小學(xué)數(shù)學(xué)解題研究（小學(xué)教育專業(yè)）全套教學(xué)課件

小學(xué)數(shù)學(xué)解題研究全套可編輯PPT課件第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章小學(xué)數(shù)學(xué)解題概述

小學(xué)數(shù)學(xué)解題常用的思想方法

計算問題應(yīng)用問題圖形與幾何初等數(shù)論推理與反駁

數(shù)學(xué)名題選講第一章小學(xué)數(shù)學(xué)解題概述知識目標(biāo)1.理解小學(xué)數(shù)學(xué)解題的相關(guān)概念。2.了解小學(xué)數(shù)學(xué)解題的意義及作用。能力目標(biāo)1.培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題的基本思維能力。2.提高學(xué)生從事小學(xué)教師職業(yè)所必備的專業(yè)素養(yǎng)。思政目標(biāo)了解數(shù)學(xué)解題的育人功能,培養(yǎng)辯證唯物主義觀點。第一節(jié)有關(guān)概念的初步界定一、數(shù)學(xué)題1.數(shù)學(xué)題的定義數(shù)學(xué)題(簡稱題)是指數(shù)學(xué)上要求回答或解釋的題目、需要研究或解決的矛盾。對于數(shù)學(xué)家而言,未知的數(shù)學(xué)題被稱為題,一些解決了的數(shù)學(xué)題被稱為定理或公式。一、數(shù)學(xué)題也包括課堂提問、例題、練習(xí)、課外作業(yè)和測驗考試題及一些研究性、應(yīng)用性課題等內(nèi)容。對于學(xué)生而言,結(jié)論已知的數(shù)學(xué)題目也稱為題。這時候的數(shù)學(xué)題是“要求回答或解釋的題目”,指的是為實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)而要求師生解答的問題系統(tǒng),既包括需要計算的答案等內(nèi)容、需要證明的結(jié)論(含定理、公式)、需要畫出的圖形、需要判斷真假的命題、需要建立的概念、需要解決的實際問題等內(nèi)容一、數(shù)學(xué)題單擊添加小標(biāo)題2.數(shù)學(xué)題的特點喬治·波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中將數(shù)學(xué)問題理解為“有意識地尋求某一適當(dāng)?shù)男袆?以便達(dá)到一個被清楚地意識到但又不能立即達(dá)到的目的”,“解決問題是尋找這種活動”。1986年第六屆國際數(shù)學(xué)教育大會的一份報告指出:“一個(數(shù)學(xué))問題是一個對人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的未解決的情境?！币弧?shù)學(xué)題單擊添加小標(biāo)題例如,雞兔同籠問題可能對于小學(xué)低年級學(xué)生構(gòu)成問題;對于中、高年級的小學(xué)生來說,可以通過假設(shè)法進(jìn)行“問題解決”。對于初中高年級學(xué)生來說,因為他們已學(xué)習(xí)了二元一次方程組及一元二次方程的解法,雞兔同籠問題就不再構(gòu)成問題。一、數(shù)學(xué)題單擊添加小標(biāo)題在小學(xué)數(shù)學(xué)中,傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)練習(xí)題的內(nèi)容是眾人熟知的,學(xué)生通過對教材例題的模仿和操作練習(xí)就能完成;其結(jié)構(gòu)是常規(guī)的,答案是確定的,條件不多不少,可以按照現(xiàn)成的公式或常規(guī)的思路得到解決。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)題的主要目的在于鞏固基礎(chǔ)和變式訓(xùn)練,具有接受性、封閉性和確定性的特點。一、數(shù)學(xué)題單擊添加小標(biāo)題在新課改背景下,小學(xué)數(shù)學(xué)題一方面更重視生活化,把生活實踐當(dāng)作學(xué)生認(rèn)識發(fā)展的載體,把數(shù)學(xué)習(xí)題與生活實踐緊密地聯(lián)系起來,使學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有用、有趣,使其感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愉悅另一方面更強(qiáng)化思維能力、科學(xué)素養(yǎng)及探究精神的培養(yǎng),通過數(shù)學(xué)游戲、名題趣題及數(shù)學(xué)家的故事等多種形式吸引學(xué)生的注意力,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,樹立學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主導(dǎo)地位,從而達(dá)到引起學(xué)生主動探究的目的。一、數(shù)學(xué)題3.小學(xué)數(shù)學(xué)題的種類(2)按習(xí)題的結(jié)構(gòu)差異可將其分為封閉題和開放題等。(1)按習(xí)題的形式差異可將其分為式題、文字題、應(yīng)用題、作圖題等。(4)按教學(xué)需要的差異可將其分為基本性練習(xí)題、單一性練習(xí)題、綜合性練習(xí)題、準(zhǔn)備性練習(xí)題、針對性練習(xí)題、對比性練習(xí)題、嘗試性練習(xí)題、發(fā)展性練習(xí)題、創(chuàng)造性練習(xí)題、診斷性練習(xí)題、變式性練習(xí)題、實踐性練習(xí)題等。(3)按習(xí)題的功能差異可將其分為基本題、拓展題、探究題等。二、解數(shù)學(xué)題解題就是解決問題,即求出數(shù)學(xué)題的答案,這個答案在數(shù)學(xué)上也稱為“解”。

所以,解題就是找出題的解的活動。學(xué)生算出習(xí)題的答案,教師講完定理的證明,由數(shù)學(xué)命題得出肯定或否定的結(jié)論,構(gòu)建出實際問題的模型等,都稱為解題。數(shù)學(xué)家的解題是一個創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)的過程,數(shù)學(xué)教學(xué)中的解題是一個再創(chuàng)造和再發(fā)現(xiàn)的過程。二、解數(shù)學(xué)題

數(shù)學(xué)的解題過程是一條尋找已知通往未知的通道,是一種探究的過程。它從問題中提取信息并將問題置于知識背景之中,忽略無用的、非本質(zhì)的因素,用相關(guān)的定義、概念和知識對問題做出明確的表述,以尋求從已知到目標(biāo)的合理途徑。在這個過程中有猜測、有聯(lián)想、有頓悟,最終有所發(fā)現(xiàn),得到結(jié)果。(一)解題教學(xué)的基本含義解題教學(xué)是指學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,通過對典型數(shù)學(xué)題的學(xué)習(xí),探究、獲得數(shù)學(xué)問題解決的基本規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“數(shù)學(xué)思維”的教學(xué)過程。三、解題教學(xué)三、解題教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,解題是一種最基本的活動形式,無論是數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)命題的掌握、數(shù)學(xué)方法與技能的獲得,還是學(xué)生能力的培養(yǎng)與發(fā)展,都要通過解題活動來完成。(二)解題教學(xué)的基本形式解題教學(xué)包括例題教學(xué)和習(xí)題教學(xué)。例題教學(xué)往往是以教師為主導(dǎo)的示范性活動,在這一活動中,教師引導(dǎo)學(xué)生將概念、命題應(yīng)用于數(shù)學(xué)問題的解決過程。三、解題教學(xué)習(xí)題教學(xué)則是以學(xué)生為主體的活動,在這一活動中學(xué)生按照教師的示范和通過對例題的模仿,把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于解題實踐之中。三、解題教學(xué)三、解題教學(xué)(三)解題教學(xué)的基本要求12345目的性示范性啟發(fā)性變通性方法性

例題、習(xí)題的選配應(yīng)該有明確的目的性,針對某一概念、法則、性質(zhì)或方法的應(yīng)用要做到有的放矢。1

解題教學(xué)中需要教師的示范,讓學(xué)生通過例題的教學(xué),遵循和模仿基本的解題方法,掌握基本的解題模式和解題技能,能用正確的格式表達(dá)解題過程。2

解題教學(xué)應(yīng)充滿啟發(fā)性思維,能充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用,引導(dǎo)學(xué)生積極思考。3三、解題教學(xué)12345目的性示范性啟發(fā)性變通性方法性

解題教學(xué)中提倡由特殊到一般、抽象概括、總結(jié)規(guī)律、推廣應(yīng)用等活動,使學(xué)生弄清基本規(guī)律的來龍去脈,使其思維得到優(yōu)化、概括能力得到發(fā)展。教師要采用一題多解、變式訓(xùn)練等不同的方式和角度分析問題、解決問題,以培養(yǎng)學(xué)生選擇最優(yōu)解法的能力。4

教師在解題教學(xué)時,不僅要給學(xué)生講解題目的解法,更要注重講解解法的發(fā)現(xiàn)過程,避免學(xué)生只知其然而不知其所以然,只會簡單機(jī)械地模仿。教師要重視解題的思維過程,把解題思路的探索過程(包括成功的思路和失敗的嘗試)呈現(xiàn)給學(xué)生,在解題中滲透數(shù)學(xué)思想,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會解題,提高其思維能力。5四、解題策略數(shù)學(xué)的解題策略是為了實現(xiàn)解題目標(biāo)而采取的方針。解題策略的思維基礎(chǔ)是邏輯思維、形象思維和直覺思維。戴再平在《數(shù)學(xué)習(xí)題理論》中提出了八個解題策略:枚舉法、模式識別、問題轉(zhuǎn)化、中途點、以退求進(jìn)、推進(jìn)到一般、從整體看問題、正難則反。任樟輝在《數(shù)學(xué)思維論》中提出了十個解題策略:以簡馭繁、進(jìn)退互用、數(shù)形遷移、化生為熟、正難則反、倒順相通、動靜轉(zhuǎn)換、分合相輔、引參求變、以美啟真。并且認(rèn)為數(shù)學(xué)思維策略的研究就是數(shù)學(xué)解題策略的研究。四、解題策略羅增儒在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中提出了十個解題策略:模式識別、映射化歸、差異分析、分合并用、進(jìn)退互化、正反相輔、動靜轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、有效增設(shè)、以美啟真。解題策略介于具體的求解方法和抽象的解題思想之間,是思想轉(zhuǎn)化為方法的橋梁。一方面,它是用來指導(dǎo)解題過程的具體方法;另一方面,它是運(yùn)用解題方法的方法、尋找解題方法的方法、創(chuàng)造解題方法的方法。思考與練習(xí)(1)請你對小學(xué)數(shù)學(xué)題進(jìn)行分類,說出你的分類標(biāo)準(zhǔn)。(2)你覺得在解題教學(xué)過程中教師應(yīng)該注意哪些問題?請通過案例進(jìn)行說明。第二節(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)解題的作用及意義一、解題是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容問題是數(shù)學(xué)的心臟,解題是數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要活動。美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認(rèn)為:“數(shù)學(xué)家存在的主要理由就是解問題,數(shù)學(xué)的真正的組成部分是問題和解。一、解題是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容對于數(shù)學(xué)工作者來說,“題”是研究的對象,“解”是研究的目標(biāo),“解題”是數(shù)學(xué)活動的基本形式和主要內(nèi)容,“解題”也是數(shù)學(xué)活動的存在目的和興奮中心。對于數(shù)學(xué)教學(xué)而言,不僅要把“題”作為研究的對象,把“解”作為研究的目標(biāo),而且要把“解題”也作為研究的對象,把“開發(fā)智力、促進(jìn)人的發(fā)展”作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的目標(biāo)。解題是真正發(fā)生在數(shù)學(xué)教育中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。！二、解題是學(xué)生掌握知識、形成數(shù)學(xué)能力的基本途徑初學(xué)數(shù)學(xué)概念、公式、法則的小學(xué)生基礎(chǔ)薄弱,對知識的理解不夠深入,容易產(chǎn)生錯誤的觀點。解題教學(xué)能使教師及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中存在的問題,并及時糾正其錯誤的觀點,幫助其正確掌握知識。另外,小學(xué)生數(shù)學(xué)概念的掌握、數(shù)學(xué)技能的熟練、數(shù)學(xué)定理的理解、數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)及數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高等都離不開解題實踐活動。三、解題是培養(yǎng)學(xué)生思維能力和良好心理品質(zhì)的重要方法概念、定理、法則、公式同屬于數(shù)學(xué)對象,擁有著共同的屬性,可用于解決一系列的數(shù)學(xué)問題。通過解題教學(xué),學(xué)生不僅可以加深對概念、定理、法則、公式的理解,達(dá)到思維訓(xùn)練的目的,還可以形成數(shù)學(xué)基本技能,為以后更高難度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)。三、解題是培養(yǎng)學(xué)生思維能力和良好心理品質(zhì)的重要方法經(jīng)常進(jìn)行數(shù)學(xué)解題練習(xí)既可以培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真負(fù)責(zé)、有始有終、一絲不茍的優(yōu)良品質(zhì),也可以培養(yǎng)學(xué)生形成勇于克服困難的頑強(qiáng)意志和主動完成任務(wù)的工作精神。這些良好的心理品質(zhì)對學(xué)生的成長及以后的工作都極為重要。四、解題是評價學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要方式

“解題教學(xué)及對學(xué)生的解題作業(yè)的分析可以幫助教師檢查學(xué)生的認(rèn)知水平,了解學(xué)生的解題能力,為其教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計和教法的調(diào)整提供依據(jù)。

盡管解題不是唯一的評價學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的方式,但它是當(dāng)前用得最多、操作最方便、公眾認(rèn)可度較高的一種方式?？梢赃@樣認(rèn)為:解題貫串于認(rèn)知主體的整個學(xué)習(xí)生活乃至整個生命歷程,它既是內(nèi)在的個人追求,也是外在的工作需要。思考與練習(xí)(1)數(shù)學(xué)解題活動對于小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有哪些作用?(2)影響小學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力提升的因素有哪些?第三節(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)解題的要求及步驟一、解題程序(一)國外對解題程序的研究在國外諸多對解題程序的研究成果中,較為著名的是喬治·波利亞的“怎樣解題表”,它包括“弄清問題”“擬訂計劃”“實現(xiàn)計劃”和“回顧”四個步驟1.弄清問題弄清問題即弄清問題未知的是什么,已知的是什么,條件是什么,條件是否充分或者多余一、解題程序2.擬訂計劃擬訂計劃即找出已知與未知之間的聯(lián)系3.實現(xiàn)計劃實現(xiàn)計劃即實現(xiàn)求解的計劃,檢驗每一步驟,確定這一步驟的正確性,并證明所做的每一步驟。4.回顧回顧即及時總結(jié)解題的經(jīng)驗與教訓(xùn)一、解題程序(二)國內(nèi)對解題程序的研究在國內(nèi)諸多對數(shù)學(xué)解題程序的研究成果中,比較著名的是解題動態(tài)流程及解題機(jī)制的控制論模型。1.解題動態(tài)流程一、解題程序

面對一個問題,首先應(yīng)審題,并對其進(jìn)行模式識別。如果有現(xiàn)成的模式,則直接給出解答;如果沒有現(xiàn)成的模式,則選擇合適的解題策略,接著判斷階梯問題是否有效,有效就得出解答,無效再回到審題環(huán)節(jié)重新進(jìn)行解題。在審題時,無論是否有現(xiàn)成的模式,最后得到的解答都需要進(jìn)行驗證,如圖1-1所示。2.解題機(jī)制的控制論模型一、解題程序

根據(jù)控制論的“反饋-控制”原理,有專家提出了解題機(jī)制的控制論模型,如圖1-2所示。

該模型要求解題者首先按照問題的要求確立一個解題目標(biāo),然后比較初始條件、中間狀態(tài)與解題目標(biāo)之間的差異,以此來調(diào)整和確定解題方向,使差異逐步縮小,最終實現(xiàn)解題目標(biāo)。傳統(tǒng)的解題訓(xùn)練通常需要經(jīng)歷以下四個階段。二、解題訓(xùn)練1.模仿

學(xué)生通過簡單地模仿教師的示范或教科書的例題去解題。這是一個模仿者通過被模仿者的行為獲得相應(yīng)的表象,從而產(chǎn)生類似結(jié)果的過程,在這一過程中學(xué)生通過解題體驗初步理解解題方法。2.變式

變式即學(xué)生在簡單模仿的基礎(chǔ)上邁出主動實踐的一步,其主要表現(xiàn)為學(xué)生做足夠數(shù)量的形式變化的習(xí)題,其本質(zhì)是學(xué)生對所學(xué)的基礎(chǔ)知識進(jìn)行操作性活動與初步應(yīng)用。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)雖然不能單靠模仿和練習(xí),但這兩步卻是不可或缺的。二、解題訓(xùn)練3.領(lǐng)悟

領(lǐng)悟即學(xué)生在模仿與變式的基礎(chǔ)上產(chǎn)生新的理解,是當(dāng)事者在解題實踐中領(lǐng)悟到了知識的深層結(jié)構(gòu),具體表現(xiàn)為當(dāng)事者的豁然開朗和恍然大悟。這種領(lǐng)悟常常是直覺性的,“只可意會,不可言傳”。單擊添加小標(biāo)題4.提升

提升是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中從自發(fā)到自覺、從被動到主動、從感性到理性的飛躍階段,具體表現(xiàn)為解題思路的主動設(shè)計、模式的形成、知識的應(yīng)用及解題策略的自覺調(diào)控。思考與練習(xí)(1)解題教學(xué)對學(xué)生以后的發(fā)展有什么作用?(2)請自行設(shè)計一道小學(xué)數(shù)學(xué)題,用喬治·波利亞的“怎樣解題

表”的四個步驟解題并進(jìn)行模擬教學(xué)。謝謝觀看小學(xué)數(shù)學(xué)解題研究第二章小學(xué)數(shù)學(xué)解題常用的思想方法知識目標(biāo)了解小學(xué)數(shù)學(xué)解題常用的思想方法。能力目標(biāo)能合理運(yùn)用正確的思想方法解決小學(xué)數(shù)學(xué)問題。思政目標(biāo)通過對中國古典數(shù)學(xué)名題的介紹,增加讀者對中國數(shù)學(xué)文化的認(rèn)知和認(rèn)同。第一節(jié)分析與綜合一、主要理論分析法與綜合法是邏輯思維的基本形式,是解決數(shù)學(xué)問題的一般方法。一、主要理論分析法,是把研究對象分解為各個組成部分、方面、層次和因素,分別加以考察,從而認(rèn)識事物各個方面的本質(zhì)屬性。即從問題的結(jié)論出發(fā),不斷尋求解決問題所需的條件,直到最終找到已知事實的方法。由此可知,分析法的特點是:從結(jié)論入手,不斷尋求解決問題的條件,從“結(jié)論”探求“需知”,逐步向“已知”接近,其逐步推理的過程實際上就是尋求結(jié)論的充分條件的過程。一、主要理論

綜合法,是把研究對象的各個部分、方面、層次和因素連接起來做總體研究,從而認(rèn)識和把握事物的本質(zhì)規(guī)律。即從問題的已知條件出發(fā),經(jīng)過逐步的邏輯推理,得到一系列的可知條件,最后得出結(jié)論。由此可知,綜合法的特點是:把認(rèn)識對象的各個部分聯(lián)系起來加以研究,從“已知”推出“可知”,逐步推向“結(jié)論”,其逐步推理的過程實際上就是尋求已知的必要條件的過程。一、主要理論

綜上可以看出,分析法與綜合法是兩種不同的邏輯方法,在解題思路上是相反的,但在實際的解題過程中,二者之間又是互相聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化的。分析法是由果溯因,有利于思考;綜合法是由因索果,適用于表述。因此,分析法與綜合法是解決數(shù)學(xué)問題行之有效的方法和策略。解題者在解決問題時,可以先用分析法探尋解題思路,再用綜合法進(jìn)行有條理的表述。二、教學(xué)實例分享單擊添加小標(biāo)題【例2-1】一條水渠長400米,已經(jīng)修了5天,每天修50米,照這樣計算,還需要幾天修完?【分析】本題可以分別用分析法和綜合法的思路進(jìn)行解題。1.用分析法解題(1)分析法一。想要知道還需幾天修完,必須知道剩下多少米和每天修多少米(50米);想要知道剩下多少米,必須知道一共要修多少米(400米)和已經(jīng)修了多少米;想要知道已經(jīng)修了多少米,必須知道每天修多少米(50米)和已經(jīng)修了幾天(5天)。由于最后這兩個條件都是已知條件,那么該問題就迎刃而解。二、教學(xué)實例分享單擊添加小標(biāo)題【解答】列綜合算式:(400-50×5)÷50=(400-250)÷50=150÷50=3(天)答:還需要3天修完。二、教學(xué)實例分享(2)分析法二。想要知道還需幾天修完,必須知道一共修的天數(shù)和已經(jīng)修的天數(shù)(5天);想要知道一共修的天數(shù),必須知道一共修的米數(shù)(400米)和每天修的米數(shù)(50米)。由于最后這兩個條件都是已知條件,那么該問題就迎刃而解了。【解答】列綜合算式:400÷50-5=8-5=3(天)答:還需要3天修完。二、教學(xué)實例分享

已知水渠一共要修的米數(shù)(400米)和每天修的米數(shù)(50米),可以求出一共需要幾天修完;知道一共需要幾天修完和已經(jīng)修的天數(shù)(5天)后,便可以求出還要幾天修完。2.用綜合法解題【解答】列綜合算式:400÷50-5=8-5=3(天)答:還需要3天修完。二、教學(xué)實例分享單擊添加小標(biāo)題【例2-2】小東期末考試的語文、英語、科學(xué)的平均成績是76分,數(shù)學(xué)成績公布后,他的平均成績提高了3分。小東的數(shù)學(xué)成績是多少分?【分析】本題可以用分析與綜合的思路進(jìn)行求解。二、教學(xué)實例分享【解答】列綜合算式:答:小東的數(shù)學(xué)成績是88分。(76+3)×4-76×3=79×4-76×3=88(分)

要求數(shù)學(xué)成績是多少分,可以用4科的總成績減去除數(shù)學(xué)外其他3科的總成績。由于4科的平均分比除數(shù)學(xué)外其他3科的平均分高3分,所以4科的平均分是76+3=79分。二、教學(xué)實例分享單擊添加小標(biāo)題【例2-3】將兩個大小相同的正方形拼成一個長方形后,它的周長比原來兩個正方形的周長的和減少了4厘米。原來正方形的周長是多少厘米?【分析】本題可以用分析與綜合的思路進(jìn)行求解。二、教學(xué)實例分享【解答】答:原來正方形的周長是8厘米。4÷2×4=8(厘米)

因為當(dāng)兩個大小相同的正方形拼成一個長方形后,有兩條邊會重合在長方形內(nèi),所以長方形的周長才會減少,其減少的長度就是原來正方形的兩條邊的長度之和。從而可以求出原正方形的邊長,再由周長計算公式算出原正方形的周長。二、教學(xué)實例分享單擊添加小標(biāo)題【例2-4】(第六屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽復(fù)賽試題)李師傅加工一批零件,如果每天做50個,要比原計劃推遲8天完成;如果每天做60個,就可以提前5天完成。這批零件共有多少個?【分析】本題可以用分析與綜合的思路或方程法進(jìn)行求解。二、教學(xué)實例分享【解答】1.用分析與綜合的思路解題

要求這批零件共有多少個,可以求出在原計劃的天數(shù)內(nèi)兩種不同情況下所做的零件數(shù)的差,而造成這個差的原因是李師傅每天多做了10個,由此便可求出原計劃的天數(shù)是多少天,接著可以求出零件的總數(shù)。如果每天做50個,那么在原計劃的天數(shù)內(nèi)少做了50×8=400(個)如果每天做60個,那么在原計劃的天數(shù)內(nèi)多做了60×5=300(個)二、教學(xué)實例分享

后者比前者在原計劃的天數(shù)內(nèi)一共多做了700個,是因為每天多做了10個,所以原計劃的天數(shù)是700÷10=70(天)那么這批零件共有70×60-300=3900(個)或70×50+400=3900(個)答:這批零件共有3900個。二、教學(xué)實例分享單擊添加小標(biāo)題【例2-5】一個大型方隊,外層每邊30人,內(nèi)層每邊10人,中間的位置由16人進(jìn)行體操表演。這個方隊共有多少人?【分析】方隊外層每邊30人,內(nèi)層每邊10人,可推算出實有的層數(shù)中間空心方陣的人數(shù),將實心方陣的人數(shù)減去空心方陣的人數(shù),再加上中間進(jìn)行體操表演的16人,就能求出這個方隊的總?cè)藬?shù)。302-(10-2)2+16=900-64+16=852(人)二、教學(xué)實例分享【分析2】也可先求出一共有幾層,再求出中空方陣的人數(shù),最后求出方隊的總?cè)藬?shù)。[30-(10-2)]÷2=11(層)11層共有人數(shù):30×11×2+(30-11×2)×11×2=836(人)總?cè)藬?shù):836+16=852(人)答:方隊的總?cè)藬?shù)為852人。三、本課小結(jié)單擊添加小標(biāo)題

在解答數(shù)學(xué)問題時,分析法一般是從局部、個別去研究問題,而綜合法則是從全局、整體去把握問題。如果沒有分析,那么認(rèn)識就無法深入,對問題的認(rèn)識就只能局限于表面三、本課小結(jié)單擊添加小標(biāo)題如果只有分析,那么認(rèn)識就只能局限于枝節(jié),而不能統(tǒng)觀全局。因此,在解題時使用綜合法必須以分析法為基礎(chǔ),使用分析法必須以綜合法為指導(dǎo)。思考與練習(xí)(1)超市將20千克奶糖和10千克水果糖混合成什錦糖出售。若每千克奶糖賣100元,每千克水果糖賣40元,那么每千克什錦糖應(yīng)賣多少元?(2)小英前5次數(shù)學(xué)測驗的平均成績是88分,為了使平均成績達(dá)到92.5分,小英要連續(xù)考多少次滿分(假設(shè)每次測驗的滿分是100分)?(3)將362個蘋果和234個梨等分給若干位小朋友,最后多了5個蘋果和3個梨,每位微課部分題目講解(一)小朋友分到的蘋果和梨的總數(shù)不超過30個,那么小朋友一共有多少人?思考與練習(xí)(4)李叔叔到外地出差,5天沒有回家。等到他回家后,一次撕下這5天的日歷,發(fā)現(xiàn)這5天日期數(shù)的和剛好是40。李叔叔回家這天是幾號?(5)某商場以每臺1800元的相同價格售出兩臺不同牌號的錄音機(jī),其中一臺盈利20%,另一臺虧損20%,結(jié)果是盈利、虧損還是不盈不虧?第二節(jié)觀察與歸納一、主要理論

歸納法是通過對特殊對象的研究得出一般性結(jié)論的方法。從思維方向看,歸納是由部分到整體,由個別到一般的推理形式。歸納法在發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律、探求問題解決途徑時有著重要作用,許多數(shù)學(xué)概念和命題都是在歸納的基礎(chǔ)上概括形成的一般結(jié)論。一、主要理論

在研究問題的范圍內(nèi),按照研究的對象是否完全,可以把歸納法分為完全歸納法與不完全歸納法。

歸納往往從觀察開始,觀察是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的基礎(chǔ)。生物學(xué)家會觀察各種生物的生活,物理學(xué)家會觀察各種晶體的形狀,數(shù)學(xué)家會觀察各種形和數(shù)……一、主要理論

正如著名數(shù)學(xué)家喬治·波利亞所言:“先收集有關(guān)的觀察材料,考察它們并加以比較,注意到一些規(guī)律,最后把零零碎碎的細(xì)節(jié)歸納成有明顯意義的整體?！?/p>

在解題過程中,觀察并不是簡單地觀看,而是有意識、有目的地搜索信息和捕獲規(guī)律,發(fā)現(xiàn)題目中隱含著的某種特征,并由此進(jìn)行分析、聯(lián)想、構(gòu)造、變換,獲得解決問題的途徑或優(yōu)化問題的解法。一、主要理論(2)綜合分析,從相同的性質(zhì)中歸納猜想出具有一般意義的結(jié)論。(1)觀察若干具體實例,發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)。(3)檢驗結(jié)論的正確性,確認(rèn)結(jié)論。用觀察與歸納法解決問題的一般步驟如下:二、教學(xué)實例分享解題就是解決問題,即求出數(shù)學(xué)題的答案,這個答案在數(shù)學(xué)上也稱為“解”。

【例2-6】觀察A,B,C三幅圖的圖形變化,在D圖中填上適當(dāng)?shù)膱D形。二、教學(xué)實例分享解題就是解決問題,即求出數(shù)學(xué)題的答案,這個答案在數(shù)學(xué)上也稱為“解”。

【解答】D圖如下所示:【分析】觀察A,B,C三幅圖中圖形的變化情況可以發(fā)現(xiàn)所有的圖形都是按逆時針方向進(jìn)行位置變化的。如“☆”是按“左上→左下→右下”的位置進(jìn)行變化的,由此可知,D圖中的“☆”的位置應(yīng)在右上角。以此類推,便可以得到其他三種圖形在D圖中的具體位置。二、教學(xué)實例分享【例2-7】找出下列數(shù)的排列規(guī)律,在橫線上填上合適的數(shù)。(1)3,4,6,9,13,,,。(2)2,6,10,14,18,,,。(3)3,5,9,17,33,,,。二、教學(xué)實例分享【分析】經(jīng)過觀察,可以發(fā)現(xiàn):(1)從第二個數(shù)起,后一個數(shù)依次比前一個數(shù)大1、大2、大3、大4……所以橫線上應(yīng)分別填13+5=18,18+6=24,24+7=31。(2)從第二個數(shù)起,后一個數(shù)比前一個數(shù)大4,所以橫線上應(yīng)分別填18+4=22,22+4=26,26+4=30。(3)從第二個數(shù)起,后一個數(shù)依次比前一個數(shù)大2、大4、大8、大16……所以橫線上應(yīng)分別填33+32=65,65+64=129,129+128=257。二、教學(xué)實例分享【解答】(1)18,24,31。(2)22,26,30。(3)65,129,257。二、教學(xué)實例分享【例2-8】在一張白紙上畫30條直線,它們最多能有多少個交點?【分析】在紙上畫1條直線,有0個交點;在紙上接著畫第2條直線,它們最多有1個交點;在紙上接著畫第3條直線,它就可能與前兩條直線各有一個交點,即最多增加2個交點。以此類推,接著畫第4條直線、第5條直線、第6條直線……圖中增加的交點數(shù)最多分別為3個、4個、5個……二、教學(xué)實例分享【解答】把上述規(guī)律整理如下(表2-1):由表2-1可知30條直線最多的交點個數(shù)為1+2+3+4+…+29=(1+29)×29÷2=30×29÷2=435(個)答:畫30條直線最多能有435個交點。二、教學(xué)實例分享【例2-9】從1開始,每隔兩個整數(shù)寫一個整數(shù),可得到一列數(shù):1,4,7,10,…。問:第100個數(shù)是多少?【分析】若根據(jù)已知條件直接將這100個數(shù)寫出,就顯得非常麻煩,其實只需要寫出前幾個數(shù)便能尋找到其中的規(guī)律。二、教學(xué)實例分享【解答】

從第2個數(shù)起,4=1+3×1,7=4+3=1+3×2,10=7+3=1+3×3,……通過觀察,便可歸納出這些數(shù)有如下規(guī)律:第2個數(shù)是1加上1個3,第3個數(shù)是1加上2個3,第4個數(shù)是1加上3個3……可以推出,第100個數(shù)就是1加上99個3,即第100個數(shù)是1+3×99=298。如果不想被打倒，只有增加自身的重量。二、教學(xué)實例分享【例2-10】有一個一千位數(shù),它的各位數(shù)字都是1,這個數(shù)被7除后余數(shù)是多少?【分析】直接求這個一千位數(shù)被7除后的余數(shù)很麻煩,可先用較小的數(shù)如1,11,111,1111等除以7,觀察其余數(shù)的變化,看能否找到解題的規(guī)律。二、教學(xué)實例分享【解答】1÷7=0……111÷7=1……4111÷7=15……61111÷7=158……511111÷7=1587……2111111÷7=158731111111÷7=158730……1…………

由上面幾個數(shù)被7除的余數(shù)可以看出:6位數(shù)的111111能被7整除,7位數(shù)的1111111除以7的余數(shù)就等于1位數(shù)的1除以7的余數(shù)1,8位數(shù)的11111111除以7的余數(shù)等于2位數(shù)的11除以7的余數(shù)4……即在所有數(shù)位都為1的一千位數(shù)中,從左開始每隔6位數(shù)為1個循環(huán)。因為1000÷6=166……4,所以所有數(shù)位都為1的一千位數(shù)除以7的余數(shù)就等于4位數(shù)的1111除以7的余數(shù)5。因此,本題的答案為5。TECHNOLOGY三、本課小結(jié)

從特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象是歸納的核心,由于在這個過程中由歸納所獲得的結(jié)論超越了前提所包含的內(nèi)容,因而通過觀察、歸納獲得的規(guī)律或結(jié)論一般來說還只是一種猜測,它的正確性還有待于進(jìn)一步檢驗。但歸納特有的由特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)識功能有助于猜想解題思路。作為一種解題的思想方法,觀察與歸納在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中起著舉足輕重的作用。思考與練習(xí)(1)找出數(shù)的排列規(guī)律,在橫線上填上合適的數(shù)。①9,12,21,33,

,

。②1,2,2,3,3,4,5,5,

,

。③12478,24781,47812,78124,

,

。(2)由1000個1組成的一千位數(shù)除以3,余數(shù)是多少?(3)1991個1991相乘所得的積,末兩位數(shù)字是多少?第三節(jié)枚舉與篩選一、主要理論GOODMORING早安在解決問題時把所有可能的情況不重復(fù)、不遺漏、有順序地一一列舉出來,稱為枚舉。在枚舉過程中將重復(fù)的和不合要求的情況除去并將遺漏的情況找回來,稱為篩選。一、主要理論

枚舉與篩選是小學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題思想方法之一。有的數(shù)學(xué)題所給的條件或所求的問題比較多,有的數(shù)學(xué)題的數(shù)量關(guān)系比較隱蔽,已知條件與問題之間的關(guān)系不明顯,那么這些數(shù)學(xué)題從整體上就難以找到統(tǒng)一的解決方法。一、主要理論

枚舉與篩選有著悠久的歷史。早在公元前3世紀(jì),古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托色尼為了研究素數(shù)在自然數(shù)列中的分布而制作出世界上第一張素數(shù)表時,用的就是先枚舉后篩選的方法。放假通知二、教學(xué)實例分享【分析】把各種找法列舉出來?？捎昧斜淼姆椒ㄗ鞔?先排5角硬幣,再排1元硬幣。【例2-11】某商店營業(yè)員只有5角和1元的兩種硬幣,若他要找給顧客5元錢,有幾種不同的找法?二、教學(xué)實例分享【解答】兩種硬幣的具體找法如表2-2所示。由表2-2可知,共有6種找法。答:有6種不同的找法。二、教學(xué)實例分享【例2-12】小明和小紅玩擲骰子的游戲。將2枚骰子一起擲出,若點數(shù)和為7,則小明勝;若點數(shù)和為8,則小紅勝。試判斷他們兩人誰獲勝的可能性更大二、教學(xué)實例分享【分析】把14分成兩個自然數(shù)的和,設(shè)這兩個數(shù)為a,b,不妨設(shè)a≤b,已知a+b=14,采用枚舉法,則可列表2-3【解答】根據(jù)以上分析,篩選相關(guān)數(shù)據(jù)后,可知把14分成7與7的和時乘積最大,最大乘積為7×7=49。二、教學(xué)實例分享【例2-14】將50這個數(shù)拆成10個質(zhì)數(shù)的和,要求其中最大的質(zhì)數(shù)盡可能大,那么這個最大的質(zhì)數(shù)是幾?【分析】依題意,要將50拆成10個質(zhì)數(shù)的和,并且要求最大的質(zhì)數(shù)盡可能大,那么其余9個質(zhì)數(shù)應(yīng)盡可能小。列舉出所有可能的情況,即可從中找出問題的答案。二、教學(xué)實例分享【解答】因為最小的質(zhì)數(shù)是2,若10個數(shù)中除最大的數(shù)以外的9個質(zhì)數(shù)全部是2,那么這9個質(zhì)數(shù)的和就是2×9=18,最大的數(shù)就是50-18=32。又因為32不是質(zhì)數(shù),但是比32小1的31是質(zhì)數(shù),那么顯然最大的質(zhì)數(shù)是31,其余9個質(zhì)數(shù)中有8個質(zhì)數(shù)是2,另一個質(zhì)數(shù)是3。2×8+3+31=50答:這個最大的質(zhì)數(shù)是31。三、本課小結(jié)12345示范性啟發(fā)性變通性方法性

枚舉與篩選雖然古老、簡單,但在當(dāng)今的數(shù)學(xué)研究中仍然閃爍著耀眼的光芒。運(yùn)用枚舉與篩選解題的關(guān)鍵在于以下兩點:(1)將整體分解成不重復(fù)也不遺漏的各種情況。(2)對枚舉的結(jié)果進(jìn)行綜合考察、篩選并得出結(jié)論。思考與練習(xí)(1)將長度為16厘米的鐵絲圍成長方形或正方形,怎樣圍面積最大?最大面積是多少?(2)甲、乙、丙3個自然數(shù)的和是100,用甲數(shù)除以乙數(shù)或用丙數(shù)除以甲數(shù),得到的結(jié)果都是“商5余1”,那么甲數(shù)是多少?(3)兩個自然數(shù)之和為50,它們的最大公約數(shù)是5,求這兩個自然數(shù)(大減小)之差。思考與練習(xí)(4)有0,1,4,7,9這幾個數(shù)字,從中任意選出4個數(shù)字組成不同的四位數(shù),如果把其中能被3整除的四位數(shù)從小到大排列起來,那么第5個數(shù)的末位數(shù)字是幾?(5)期末考試結(jié)束了,三年級學(xué)生語文得100分的有8人,數(shù)學(xué)得100分的有6人。王老師讓在這次期末考試中所有得了100分的學(xué)生舉手,請問:會有多少人舉手?(6)已知60以內(nèi)的兩個兩位數(shù)的最大公約數(shù)是8,求這兩個兩位數(shù)分別是多少。第四節(jié)化歸一、主要理論化歸是轉(zhuǎn)化歸結(jié)的簡稱。

化歸是運(yùn)用某種方法或手段,把有待解決的較為生疏或較為

復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為較為

熟悉或較為簡單的問題來

解決的思想方法。一、主要理論

人類在研究和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的長期實踐中,獲得了大量的成果,也積累了豐富的經(jīng)驗,許多問題的解決已經(jīng)形成了固定的方法和約定俗成的步驟。

我們把這種有既定解決方法和程序的問題稱為規(guī)范問題,而把一個生疏或復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為規(guī)范問題的過程稱為問題的規(guī)范化(或稱為化歸)。

化歸原則的核心是實現(xiàn)問題的規(guī)范化,也就是把一個生疏、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡單的問題,以便于運(yùn)用已知的理論、方法和程序去促成問題的解決。由此可看出,熟悉化和簡單化是化歸的基本方向。一、主要理論化歸包含三個基本要素:化歸的對象化歸的目標(biāo)化歸的方法

化歸的對象就是待解決的數(shù)學(xué)問題,化歸的目標(biāo)就是某一已知的數(shù)學(xué)模型,化歸的方法就是規(guī)范化的解題手段和技巧。其中,化歸的方法是實現(xiàn)成功化歸的關(guān)鍵。一、主要理論利用化歸策略解決問題的過程如圖2-1所示。二、教學(xué)實例分享【例2-15】周末小紅在家做作業(yè),開始時看見鐘面上的分針略超過時針,做完作業(yè)時,發(fā)現(xiàn)時針和分針恰好互換了位置。小紅做作業(yè)用了多少分鐘?【分析】由“原來分針略超過時針,后來時針和分針恰好互換了位置”可知,分針和時針在鐘面上一共走了60格。根據(jù)分針轉(zhuǎn)速是時針轉(zhuǎn)速的12倍,可以把原題化歸為和倍問題:甲的速度是乙的12倍,甲、乙共行了60千米,甲行了多少千米?此時便可用已知解法進(jìn)行解答了。二、教學(xué)實例分享【解答】小紅做作業(yè)用的時間為60÷(12+1)×12=60÷13×12=55153(分)答:小紅做作業(yè)用了55153分鐘。二、教學(xué)實例分享【例2-16】用大、小兩輛汽車運(yùn)煤,大汽車運(yùn)了9次,小汽車運(yùn)了10次,兩車一共運(yùn)了132噸。已知大汽車3次運(yùn)的量等于小汽車4次運(yùn)的量,求大、小汽車的載重量各是多少噸。【分析】通過題目的已知條件,把兩種車轉(zhuǎn)化成一種車,問題便很容易得到解決。二、教學(xué)實例分享【解答】因為大汽車3次運(yùn)的量等于小汽車4次運(yùn)的量,所以大汽車9次運(yùn)的量就等于小汽車12次運(yùn)的量。那么“大汽車9次+小汽車10次=132噸”便可轉(zhuǎn)化為“小汽車12次+小汽車10次=132噸”,從而求得小汽車的載重量。小汽車的載重量為

60÷(12+1)×12

=60÷13×12

=55153(分)答:大汽車的載重量是8噸,小汽車的載重量是6噸。大汽車的載重量為6÷34=8(噸)二、教學(xué)實例分享【例2-17】已知被除數(shù)是29,除數(shù)是5。若被除數(shù)和除數(shù)都加上一個相同的數(shù)后,新被除數(shù)與新除數(shù)的比為19∶7。求加上的這個數(shù)是多少?！痉治觥勘怀龜?shù)與除數(shù)都加上同一個數(shù)后,它們的差不會變,仍為29-5=24,但都加上同一個數(shù)后,新被除數(shù)與新除數(shù)的比變?yōu)榱?9∶7,也就是說,新被除數(shù)是新除數(shù)的179倍。這樣,原題便可化歸為差倍問題:已知新被除數(shù)與新除數(shù)的差是24,新被除數(shù)是新除數(shù)的179倍,求新除數(shù)是多少。二、教學(xué)實例分享【解答】加上這個數(shù)后的新除數(shù)是

(29-5)÷(179-1)

=24÷172

=14答:所以加上的這個數(shù)是14-5=9。所以加上的這個數(shù)是14-5=9。二、教學(xué)實例分享【例2-18】求圖2-2中甲、乙兩個陰影部分的面積差。(單位為厘米,π取3.14)【分析】設(shè)甲、乙陰影部分的面積分別是a,b,由題目已知條件可知,要想先計算出a,b,再計算a-b難以做到。但是如果給a,b都增加c(設(shè)c為兩圓相交時重疊部分的面積),那么a+c,b+c就分別是大、小圓的面積,這時兩個陰影部分的面積差就轉(zhuǎn)化為兩圓的面積差,問題也就迎刃而解了。二、教學(xué)實例分享【解答】

a-b=(a+c)-(b+c)

=π×32-π×22

=5π

=15.70(平方厘米)答:

圖中甲、乙兩個陰影部分的面積差是15.70平方厘米。二、教學(xué)實例分享【例2-19】某校男生人數(shù)與女生人數(shù)的比為5∶7。已知女生人數(shù)比男生人數(shù)多45人,學(xué)校共有學(xué)生多少人?【分析】由題意可知,男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是5∶7,所以可求得男生人數(shù)占全?？?cè)藬?shù)的55+7=152。同理,可求得女生人數(shù)占全校總?cè)藬?shù)的57+7=172。因為女生人數(shù)比男生人數(shù)多45人,而女生人數(shù)比男生人數(shù)多(172-152)=16。45人與16相對應(yīng),用除法計算,可算出全校一共有45÷16=45×6=270人。將題目中的比例問題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)問題來求解,收到了意想不到的效果。二、教學(xué)實例分享【解答】學(xué)校共有學(xué)生

45÷(57+7-55+7)=45÷16=270(人)答:

學(xué)校共有學(xué)生270人。三、本課小結(jié)

化歸不是指直接解決數(shù)學(xué)問題,而是指把該問題轉(zhuǎn)化為已解決的或容易解決的問題,再返回去求得原問題的解答。實施化歸時,既可以變更問題的條件,也可以變更問題的結(jié)論;既可以變換問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu),也可以變換問題的外部形式。數(shù)學(xué)中實現(xiàn)化歸的方法有很多,如化復(fù)雜為簡單、化抽象為具體、化生僻為熟悉、化一般為特殊、化未知為已知、化綜合為基本等。思考與練習(xí)(1)有3根鐵絲,一根長15米,一根長18米,還有一根長27米。如果要把它們截成同樣長的小段,不允許有材料剩余,那么每段最長是幾米?(2)師傅、徒弟兩人合做零件2小時,共生產(chǎn)零件110個;如果他們分別工作5小時,那么師傅比徒弟多生產(chǎn)25個。求師傅、徒弟每小時各生產(chǎn)多少個零件。思考與聯(lián)系(3)學(xué)校體育室買了5個足球和2個排球,共用去304元。已知一個排球比一個足球便宜9元,求一個足球多少元。(4)甲、乙兩人下棋,規(guī)定甲勝一局得3分,乙勝一局得2分。如果他們共下了10局,且兩人的得分相等,那么乙勝了幾局?(5)從時針指向4時開始,再經(jīng)過多少分,時針正好與分針重合?(6)甲、乙兩數(shù)的和是21,甲數(shù)的12等于乙數(shù)的15。求甲、乙兩數(shù)。第五節(jié)假設(shè)根據(jù)所研究的具體問題,從題設(shè)條件的各種可能情況中做出某種假設(shè),然后從這一假設(shè)出發(fā),對其進(jìn)行推理或計算,從而尋找到問題的正確答案,這種解決問題的思想方法就是假設(shè)。一、主要理論假設(shè)法是指針對題目中的已知問題提出假設(shè),對照題目的已知條件進(jìn)行推算,根據(jù)出現(xiàn)的矛盾數(shù)字適當(dāng)調(diào)整或修改后,得到正確答案的一種方法。一、主要理論假設(shè)是小學(xué)數(shù)學(xué)重要的解題方法之一。用假設(shè)法解決問題時,可以先根據(jù)題目中的已知條件或某種現(xiàn)象做出假設(shè)。例如,假設(shè)要求的兩個或幾個未知數(shù)相等,或者要求的兩個未知量是同一種量,等等;然后按照假設(shè)進(jìn)行推算,如果發(fā)現(xiàn)推算的結(jié)果與已知條件矛盾,則可分析矛盾產(chǎn)生的原因,最后找出原問題的正確答案。二、教學(xué)實例分享【例2-20】某汽車站售出汽車月票若干張。已知學(xué)生票每張6元,成人票每張14元;售出的學(xué)生票比成人票多700張,售出的成人票比學(xué)生票多收入6200元。問該汽車站售出的成人票與學(xué)生票各有多少張?！痉治觥考僭O(shè)該汽車站再售出成人票700張,則售出的學(xué)生票的張數(shù)就與成人票的張數(shù)同樣多了,那么成人票又要多收入700×14=9800元。這樣,售出的成人票就比售出的學(xué)生票一共要多收入6200+9800=16000元。由于每張成人票比學(xué)生票要多收入14-6=8元,而16000元里面包含了16000÷8=2000個8元,那么學(xué)生票共售出2000張。二、教學(xué)實例分享【解答】列綜合算式:學(xué)生票數(shù)為(6200+700×14)÷(14-6)

=16000÷8

=2000(張)成人票數(shù)為2000-700=1300(張)答:該汽車站售出成人票1300張,學(xué)生票2000張。二、教學(xué)實例分享【例2-21】有兩根同樣長的鋼管,第一根用去了130米,第二根用去了130。哪一根鋼管用去的長一些?【分析】第一根鋼管用去的長度是已知的,第二根鋼管用去的長度是未知的。要想知道第二根鋼管用去的長度,必須先知道鋼管的總長度,而題目中并沒有說明鋼管的總長度。因此,可以先假設(shè)鋼管的總長度是某一個具體的值,再通過計算確定答案。二、教學(xué)實例分享【解答】

(1)假設(shè)鋼管的總長度是1米,那么兩根鋼管用去的長度一樣。(2)假設(shè)鋼管的總長度是10米,那么第二根鋼管用去的長度就是10×130=3(米),因為3米>130米,所以第二根鋼管用去的長一些。(3)假設(shè)鋼管的總長度是12米,那么第二根鋼管用去的長度就是12×130=230(米),因為130米>230米,所以第一根鋼管用去的長一些。綜上所述,兩根鋼管哪一根用去的長一些取決于鋼管的總長度。答:如果鋼管的總長度是1米,則兩根鋼管用去的一樣長;如果鋼管的總長度大于1米,則第二根鋼管用去的長一些;如果鋼管的總長度小于1米,則第一根鋼管用去的長一些。二、教學(xué)實例分享【例2-22】制藥廠委托搬運(yùn)公司運(yùn)送500個玻璃瓶,雙方商定每個玻璃瓶的運(yùn)費是0.24元,如果打破一個,不但不給運(yùn)費,還要賠償1.26元。結(jié)果搬運(yùn)公司最終共得搬運(yùn)費115.50元。搬運(yùn)過程中打破了幾個玻璃瓶?【分析】假設(shè)500個玻璃瓶在搬運(yùn)過程中都沒有被打破,那么搬運(yùn)公司一共應(yīng)得運(yùn)費0.24×500=120元,然而實際上少得了120-115.50=4.50元,由于打破一個玻璃瓶要少得0.24+1.26=1.50元,由此可以算出搬運(yùn)公司在搬運(yùn)過程中打破的玻璃瓶的個數(shù)。二、教學(xué)實例分享【解答】列綜合算式:(0.24×500-115.50)÷(0.24+1.26)=4.50÷1.50=3(個)答:搬運(yùn)過程中打破了3個玻璃瓶。二、教學(xué)實例分享【例2-23】在同一個籠子里有若干只雞和兔,從籠子上看有30個頭,從籠子下數(shù)有70只腳,這個籠子里的雞、兔各有多少只?【分析】如果假設(shè)全部是雞,則30只雞的腳數(shù)應(yīng)為2×30=60只,比題目中的條件少70-60=10只。因為每只雞比兔少2只腳,所以10只腳就有10÷2=5只兔子。也可以假設(shè)全部是兔子,推算出雞的腳數(shù)。二、教學(xué)實例分享【解法1】假設(shè)全部是雞。兔的只數(shù)為(70-2×30)÷(4-2)=5(只)

雞的只數(shù)為30-5=25(只)答:這個籠子里雞有25只,兔有5只。【解法2】假設(shè)全部是兔子。雞的只數(shù)為(4×30-70)÷(4-2)=25(只)兔子的只數(shù)為30-25=5(只)三、本課小結(jié)在解題過程中根據(jù)題目的特點巧妙地對條件或問題進(jìn)行假設(shè),可以起到化繁為簡、化難為易的效果,從而很快地找到解決問題的突破口。思考與練習(xí)(1)甲、乙兩個糧食倉庫共存放糧食110噸。運(yùn)走甲倉庫庫存的14和乙倉庫庫存的15后,兩倉庫的糧食共被運(yùn)走了25噸。甲、乙兩個倉庫原來各有糧食多少噸?(2)學(xué)校買來6張桌子和8把椅子,共付款588.8元。已知每張桌子比每把椅子貴38.4元,求每張桌子和每把椅子的價格。(3)小紅和小英一起跳繩,小紅先跳了2分鐘,然后兩人各跳了3分鐘,一共跳了780下。已知小紅比小英每分鐘多跳12下,小紅比小英一共多跳了多少下?思考與練習(xí)(4)紅星小學(xué)五年級3班的同學(xué)去公園劃船。已知公園的大船每船能坐6人,小船每船能坐4人,46位同學(xué)一共租了10條船,剛好坐滿。問大船和小船各租了多少條。(5)一次知識競賽共有15道題,規(guī)定每答對一題得8分,每答錯一題倒扣4分。小英在競賽中一共得了72分,她答對了幾道題?第六節(jié)數(shù)形結(jié)合一、主要理論

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田”“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用。一、主要理論

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用。

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生的詩句“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”形象地闡述了數(shù)與形在數(shù)學(xué)解題中的重要作用。抽象的數(shù)學(xué)語言三、解題教學(xué)數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形位置關(guān)系結(jié)合起來通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”,使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化。這種將數(shù)與形融為一體的解題思想方法就是數(shù)形結(jié)合。一、主要理論

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用。

數(shù)形結(jié)合是一種化歸途徑,它同時也獨立成為一種解題的思想方法。它能發(fā)揮數(shù)與形兩種信息的轉(zhuǎn)換互補(bǔ)的優(yōu)勢,使本來比較隱蔽、復(fù)雜、抽象的數(shù)量關(guān)系直觀地顯示出來,更有利于解題

者分析條件與問題之間的聯(lián)系,從而找到解題的途徑。一、主要理論

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用。二、教學(xué)實例分享

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用?！纠?-24】甲、乙兩桶油共72千克,從甲桶往乙桶倒入9千克油后,兩桶油的質(zhì)量正好相等。甲、乙兩桶油原來各有多少千克?二、教學(xué)實例分享

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用?！痉治觥扛鶕?jù)題意畫出線段圖(圖2-3)

從線段圖可以看出,在甲桶倒出9千克油,往乙桶倒入9千克油后,甲、乙兩桶油的質(zhì)量才相等,也就是說,原來甲桶中的油比乙桶中的油多兩個9千克,即原來兩桶中的油的質(zhì)量差為9×2=18千克。二、教學(xué)實例分享【解答】1.方法一列綜合算式:甲桶原有油為

(72+9×2)÷2

=90÷2

=45(千克)乙桶原有油為

72-45=27(千克)2.方法二列綜合算式:乙桶原有油為

(72-9×2)÷2

=54÷2

=27(千克)甲桶原有油為

72-27=45(千克)答:甲桶原來有45千克油,乙桶原來有27千克油。二、教學(xué)實例分享

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用。【例2-25】一群小學(xué)生,女生比男生多30人。在女生和男生各走了15人之后,女生人數(shù)是男生人數(shù)的2.5倍。原來男生和女生各有多少人?二、教學(xué)實例分享

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用?！痉治觥恳李}意畫出線段圖(圖2-4)。

從線段圖中可以看出,在男生、女生各走了15人之后,女生比男生多的30人正好是男生人數(shù)的2.5-1=1.5倍。因此,在雙方各走15人之后,男生的人數(shù)應(yīng)是30÷(2.5-1)=20人,并由此算出原來男生的人數(shù)是15+20=35人,原來女生的人數(shù)是35+30=65人。二、教學(xué)實例分享【解答】列綜合算式:男生

30÷(2.5-1)+15

=30÷1.5+15

=20+15

=35(人)答:原來男生有35人,女生有65人。女生

35+30=65(人)二、教學(xué)實例分享

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用。【例2-26】在一張長32厘米、寬18厘米的長方形紙中剪一個最大的正方形,然后在余下的紙中再剪一個最大的正方形,接著再次在余下的紙中剪一個最大的正方形,求最后余下的紙的面積。二、教學(xué)實例分享

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用。【分析】依題意畫出示意圖(圖2-5)

由示意圖可知,在長方形紙中剪最大的正方形,必須以短邊(寬)為正方形的邊長。二、教學(xué)實例分享【解答】三次所剪的正方形紙的邊長分別為18厘米、32-18=14厘米、18-14=4厘米,用原長方形紙的面積減去3個正方形紙的面積之和,便可算出最后余下的紙的面積。列綜合算式:

32×18-(182+142+42)

=576-(324+196+16)

=576-536

=40(平方厘米)答:最后余下的紙的面積是40平方厘米。二、教學(xué)實例分享

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用?！纠?-27】三(1)班的同學(xué)參加了繪畫和書法兩個課外興趣小組。已知參加繪畫小組的有32人,參加書法小組的有30人,兩個小組都參加的有9人,那么三(1)班共有學(xué)生多少人?二、教學(xué)實例分享

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用?！痉治觥扛鶕?jù)題意畫出示意圖(圖2-6)。

從示意圖中可以看出:中間重疊(陰影)部分所表示的繪畫小組和書法小組都參加的9人,既包含在參加繪畫小組的32人中,也包含在參加書法小組的30人中,因而他們被重復(fù)計算了一次。所以要計算全班人數(shù),必須從32+30=62人中減去被重復(fù)計算的9人。二、教學(xué)實例分享【解答】32+30-9=53(人)答:三(1)班共有學(xué)生53人。三、本課小結(jié)、COVID-19

數(shù)形結(jié)合的思想方法,充分體現(xiàn)了圖形與數(shù)字的重要特征和內(nèi)在聯(lián)系,它能使抽象的概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化與簡單化,有利于解題者拓寬解題思路、探求解題途徑。思考與練習(xí)(1)在一個周長為60米的圓形池塘邊種樹,每隔4米種一棵樹,一共可以種多少棵樹?(2)三年級1班有學(xué)生48人,其中參加學(xué)校舞蹈隊的有20人,既參加舞蹈隊又參加合唱隊的有9人,兩隊都沒有參加的有12人。求參加合唱隊的人數(shù)。思考與練習(xí)(3)某小學(xué)三、四年級學(xué)生共528人,排成四路縱隊去博物館參觀。已知隊伍的行進(jìn)速度是每分鐘25米,前后兩人都要相距1米。現(xiàn)在隊伍走過一座橋,整個隊伍從上橋到離橋共用了16分鐘。這座橋長多少米?(4)兄妹兩人同時離家去上學(xué)。哥哥每分鐘走90米,妹妹每分鐘走60米,哥哥到校門口時,發(fā)現(xiàn)忘記帶數(shù)學(xué)課本了,立即沿原路回家去取,走到離學(xué)校180米處與妹妹相遇。他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)?思考與練習(xí)(5)甲對乙說:“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時,你才3歲?！币覍渍f:“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時,你將15歲?！奔赚F(xiàn)在多少歲?乙現(xiàn)在多少歲?(6)把一個正方形分成3個完全一樣的長方形,已知每個長方形的周長為72厘米,求原來正方形的周長。第七節(jié)類比與猜想一、主要理論

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田”“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用。類比法是根據(jù)兩個或兩類對象之間某些屬性的相同或相似,而推出它們的其他某種屬性也相同或相似的邏輯方法,又稱為類比推理。

類比法是從特殊到特殊的推理。在對兩個或兩類不同對象的屬性進(jìn)行比較時,若發(fā)現(xiàn)它們有較多的相同點或相似點,就可以把其中一個或一類對象的另一種屬性推移到另一個或另一類對象中。一、主要理論

由于類比法是根據(jù)兩個或兩類不同對象的某些特殊屬性的比較而做出有關(guān)另一個特殊屬性的結(jié)論的,因此類比是一種合情推理。因為其前提與結(jié)論的從屬關(guān)系不是必然關(guān)系,且邏輯根據(jù)不充分,所以由類比得到的結(jié)果具有不確定性,還有待于嚴(yán)格證明。盡管如此,它仍然不失為一種重要的解題思想方法。一、主要理論二

、可以在求解問題中得到應(yīng)用一

、可以提出新問題和獲得新的發(fā)現(xiàn)三

、可以用來對猜想進(jìn)行檢驗喬治·波利亞在論及類比法時,認(rèn)為它有三個作用:一、主要理論在小學(xué)數(shù)學(xué)解題活動中,運(yùn)用類比與猜想的方法解題的思路是審題找類比的模型猜想解答二、教學(xué)實例分享

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用?！纠?-28】一批布,可以做成人服裝60套,改做兒童服裝可以做90套。如果先做成人服裝和兒童服裝各30套,然后用余下的布做兒童服裝,還可以做多少套?【分析】可以把“這批布”理解為“工作總量1”,把“這批布可以做成人服裝60套,兒童服裝90套”理解為“甲單獨完成這項工作要60天,乙單獨完成這項工作要90天”。因此,此題可類比為工程問題:一項工作,甲單獨完成要60天,乙單獨完成要90天。甲、乙合做30天后將剩下的留給乙做,乙還要做幾天才能完成任務(wù)?二、教學(xué)實例分享【解答】列綜合算式:

答:余下的布還可以做15套兒童服裝。二、教學(xué)實例分享

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用?！纠?-29】從5點整開始,再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合?【分析】此題與追及問題相似。如果把鐘面上1分鐘的距離看作1格,那么分針每小時走60格,時針每小時走5格。因此,分針每走1格的同時時針就走112格。要求經(jīng)過多少時間分針與時針重合,實質(zhì)上就是求多少時間后分針追上時針。二、教學(xué)實例分享【解答】5點整時,時針指向5,分針指向12,時針和分針相隔25小格。此時分針和時針同時出發(fā),當(dāng)分針追上時針時,兩針就重合了。

二、教學(xué)實例分享

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用。【例2-30】有甲、乙兩個公交車站,從甲站到乙站與從乙站到甲站每隔10分鐘同時各發(fā)車一輛,且都是行駛60分鐘到達(dá)對方公交站。某旅客從甲站乘車去乙站,在途中可以看到幾輛從乙站開往甲站的公交車?【分析】由于甲、乙兩站每隔10分鐘同時各發(fā)車一輛,且都是行駛60分鐘到達(dá)對方公交站,所以某旅客所乘的公交車從甲站起動時,正好有一輛從乙站開來的公交車到站停車(這輛車不算是旅客在途中看到的),且其在途中每隔10÷2=5分鐘就能看到一輛從乙站開往甲站的公交車。因此,此題可類比為植樹問題:在一條長為60米的馬路一側(cè)種樹,每隔5米種一棵樹,路的兩端不種,一共種了多少棵樹?二、教學(xué)實例分享【解答】列綜合算式:60÷(10÷2)-1=12-1=11(輛)答:旅客在途中可以看到11輛從乙站開往甲站的公交車。三、本課小結(jié)

運(yùn)用類比與猜想的方法解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵是善于引入“輔助問題”。通過該題與“輔助問題”的類比形成猜想并發(fā)現(xiàn)解題思路,進(jìn)而預(yù)見可能的答案,最后解決該問題。

但要注意:只有本質(zhì)上相同或相似的問題才能進(jìn)行類比與猜想,而形式相似但本質(zhì)不相同的問題進(jìn)行類比與猜想容易造成錯誤。思考與練習(xí)(1)小明平時每天6點回家吃晚飯。一天,他的媽媽從6點開始等他,一直等到時針與分針第二次成直角時小明才到家。問小明是幾點到家的。(2)王老師為學(xué)校購買音樂器材。已知他帶去的錢可以買10臺手風(fēng)琴或50把提琴,如果他買了6臺手風(fēng)琴后,將剩下的錢全部買提琴,那么可以買多少把提琴?思考與練習(xí)(3)在同一條直線上的A,B,C,D,E,F,G7個站,每相鄰兩站間距離都是600米。問A站與G站之間的距離是多少米。(4)時鐘3點敲3下,6秒敲完。那么9點敲9下,多少秒可以敲完?第八節(jié)逆推與還原一、主要理論

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田”“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用。有些數(shù)學(xué)問題,若直接從正面順向思考,難度較大,不易求解,教師就要善于引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維視角,逆向思維,根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系的變化過程和最后結(jié)果,由后向前一步一步地倒著推算,使解題思路清晰明了,進(jìn)而使問題得以輕松解決。

逆推法,也稱倒推法,主要是指從最后結(jié)果出發(fā),結(jié)合逆運(yùn)算關(guān)系,由后向前逆向推理,層層深入,直到問題解決。它是逆向思維的一種方式,也是求解數(shù)學(xué)問題常用的方法,有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性。三、解題教學(xué)原來是減的,運(yùn)算時需要用加在從后往前推算的過程中,每一步都是與原來相反的運(yùn)算:原來是除的,運(yùn)算時需要用乘原來是加的,運(yùn)算時需要用減你的用逆推與還原的方法解題時往往要涉及倒過來的推算原來是乘的,運(yùn)算時需要用除二、教學(xué)實例分享

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用?！纠?-31】【例2-31】根據(jù)算式中數(shù)的變化,填寫運(yùn)算符號和括號。

200100501680=30080080=30010=290二、教學(xué)實例分享

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用?！痉治觥咳绻凑諒纳系较?、從左到右的計算習(xí)慣先填出200,100,50,16及80之間的運(yùn)算符號和括號,解題會比較困難。但是如果用逆推與還原的思想方法從最后的結(jié)果往前進(jìn)行推算,問題就容易得到解決。

290=300

10=300

800

80=200

100

50

16

80由上式第一個等號可知:要想300與10的運(yùn)算結(jié)果為290,只可能是300-10=290。由上式第二個等號可知:要想800與80的運(yùn)算結(jié)果為10,只可能是800÷80=10。由上式第三個等號可知:要想200與100的運(yùn)算結(jié)果為300,只可能是200+100=300;要想50與16的運(yùn)算結(jié)果為800,只可能是50×16=800。考慮到運(yùn)算順序,“200+100”的外面要加上括號。二、教學(xué)實例分享

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用?！窘獯稹?/p>

(200+100)-50×16÷80

=300-800÷80

=300-10

=29二、教學(xué)實例分享

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用?！纠?-32】一捆電線,第一次用去全長的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后還剩7米。這捆電線原有多少米?【分析】用逆推與還原的思想方法從最后的結(jié)果出發(fā)往前進(jìn)行推算即可。二、教學(xué)實例分享

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用?！窘獯稹繌摹暗谌斡萌?5米,最后還剩7米”可以推出第二次用完后剩下的電線長度是15+7=22米;接著可以推出第一次用完后剩下的電線長度是(22-10)×2=24米;最后可以推出第一次用之前的電線長度是(24+3)×2=54米。因此,這捆電線原有54米。列綜合算式:

[(7+15-10)×2+3]×2

=[12×2+3]×2

=27×2

=54(米)答:這捆電線原有54米。二、教學(xué)實例分享

《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用數(shù)解決了種種平面圖形和立體圖形的問題;同時,也用形的直觀來解釋數(shù)的算法,如“開方術(shù)”“開立方術(shù)”等。劉徽在《九章算術(shù)注》中更將其發(fā)展為“析理以辭,解體用圖”的系統(tǒng)方法,對我國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用?！纠?-33】小明和奶奶聊天。小明問奶奶今年是多大年紀(jì),奶奶說:“把我的年齡減去7歲后縮小為1/9,再加上2歲后擴(kuò)大10倍,結(jié)果