導(dǎo)數(shù)與微分(經(jīng)典課件)

PAGE導(dǎo)數(shù)與微分引言導(dǎo)數(shù)與微分是數(shù)學(xué)分析的基本概念之一。導(dǎo)數(shù)與微分都是建立在函數(shù)極限的基礎(chǔ)之上的。導(dǎo)數(shù)的概念在于刻劃瞬時(shí)變化率。微分的概念在于刻劃瞬時(shí)改變量。求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算被稱為微分運(yùn)算，是微分學(xué)的基本運(yùn)算，也是積分的重要組成部分。本章主要內(nèi)容如下：以速度問題為背景引入導(dǎo)數(shù)的概念，介紹導(dǎo)數(shù)的幾何意義；給出求導(dǎo)法則、公式，繼而引進(jìn)微分的概念；討論高階導(dǎo)數(shù)、高階微分以及參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)法?？蓪?dǎo)與連續(xù)，可導(dǎo)與微分的關(guān)系?！?導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義，單側(cè)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，函數(shù)的極值。教學(xué)目的：深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念，能準(zhǔn)確表達(dá)其定義；明確其實(shí)際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的相互聯(lián)系和區(qū)別；明確導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)概念解決一些涉及函數(shù)變化率的實(shí)際應(yīng)用問題；會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程；清楚函數(shù)極值的概念，并會(huì)判斷簡單函數(shù)的極值。教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念，幾何意義及可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念。教學(xué)方法：講授與練習(xí)。學(xué)習(xí)學(xué)時(shí)：3學(xué)時(shí)。一、導(dǎo)數(shù)的定義：1．引入（背景）：導(dǎo)數(shù)的概念和其它的數(shù)學(xué)概念一樣是源于人類的實(shí)踐。導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，后來英國數(shù)學(xué)家牛頓（Newton）在研究物理問題變速運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Leibuiz）在研究幾何問題曲線切線的斜率問題中，都采用了相同的研究思想。這個(gè)思想歸結(jié)到數(shù)學(xué)上來，就是我們將要學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)。在引入導(dǎo)數(shù)的定義前，先看兩個(gè)與導(dǎo)數(shù)概念有關(guān)的實(shí)際問題。問題1。直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)作直線變速運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，若為某一確定時(shí)刻，求質(zhì)點(diǎn)在此時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度。取臨近于時(shí)刻的某一時(shí)刻，則質(zhì)點(diǎn)在或時(shí)間段的平均速度為：，當(dāng)越接近于，平均速度就越接近于時(shí)刻的瞬時(shí)速度，于是瞬時(shí)速度：。問題2。曲線上一點(diǎn)處切線的斜率：已知曲線方程為，求此曲線在點(diǎn)處的切線。在曲線上取臨近于點(diǎn)的某點(diǎn)，則割線的斜率為：，當(dāng)越接近于，割線斜率就越接近于曲線在點(diǎn)處的斜率，于是曲線在點(diǎn)處的斜率：.2．導(dǎo)數(shù)的定義：以上兩個(gè)問題的實(shí)際意義雖然不同，但從數(shù)學(xué)角度來看，都是特殊形式的函數(shù)的極限。定義1設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，若極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱該極限為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作或定義1令，，則上述定義又可表示為：＝即：函數(shù)在一點(diǎn)處函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比當(dāng)自變量改變量趨于零時(shí)的極限。例1．已知函數(shù)，求解：；或。例2．已知函數(shù)，求解：例3．已知函數(shù)，求解：，不存在故函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)。例4．已知函數(shù)，求解：，故函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)。二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：通過對(duì)引例2我們已經(jīng)看到，已知曲線方程，若在點(diǎn)可導(dǎo)，那么曲線在點(diǎn)存在切線，并且切線斜率為。注：若曲線在點(diǎn)存在切線，那么在點(diǎn)可導(dǎo)嗎？（不一定，如在點(diǎn)）。②極值不可能在一區(qū)間端點(diǎn)取得，只能在區(qū)間內(nèi)部取得；最值無此限制；③若在點(diǎn)取得最值，當(dāng)為區(qū)間端點(diǎn)時(shí)，則此最值不是極值，但當(dāng)為區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)時(shí)，則此最值一定是極值。2．費(fèi)馬（Fermat）定理：從圖象上可以看到，若點(diǎn)為函數(shù)的極值點(diǎn)，且點(diǎn)處曲線的切線存在（在點(diǎn)可導(dǎo)），那么此切線應(yīng)平行于軸（）。從而有：定理5.3(費(fèi)馬定理)若點(diǎn)為函數(shù)的極值點(diǎn)，且在點(diǎn)可導(dǎo)，則必有.證明：這里以極大值的情形給予證明，對(duì)極小值情形類似可證之。設(shè)為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則對(duì)一切都有，于是，當(dāng)時(shí)：；當(dāng)時(shí)：由函數(shù)極限的保不等式性有：且，又知存在，故由定理5.2便知。說明：①穩(wěn)定點(diǎn)：稱滿足的點(diǎn)為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)（求法：解方程）；②穩(wěn)定點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)（如函數(shù)，點(diǎn)為穩(wěn)定點(diǎn)但不是極值點(diǎn)）；③極值點(diǎn)不一定是穩(wěn)定點(diǎn)，只有加上可導(dǎo)條件極值點(diǎn)才是穩(wěn)定點(diǎn)（如函數(shù)，點(diǎn)為極值點(diǎn)但不是穩(wěn)定點(diǎn)）。3．達(dá)布（Darboux）定理：定理5.4(達(dá)布定理，導(dǎo)函數(shù)的介值定理)若函數(shù)在上可導(dǎo)，且，為介于與之間的任一實(shí)數(shù)，則至少存在一點(diǎn)，使得證明：不妨設(shè)，則（此處介于指不等式嚴(yán)格成立）引入函數(shù)在上可導(dǎo)，由定理5.1知在上連續(xù)，在上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理則：存在一點(diǎn)，使得為在上的最大值，欲利用費(fèi)馬定理來證，需證以下兩個(gè)方面：（ⅰ）為在上的極大值，只需證且；（ⅱ）在點(diǎn)可導(dǎo)；為此：同理：