導數(shù)應用：含參函數(shù)的單調(diào)性討論(二)

導數(shù)應用：含參函數(shù)的單調(diào)性討論(二)對函數(shù)(可求導函數(shù))的單調(diào)性討論可歸結為對相應導函數(shù)在何處正何處負的討論，若有多個討論點時，要注意討論層次與順序，一般先根據(jù)參數(shù)對導函數(shù)類型進行分類，從簡單到復雜。典型例題例1、已知函數(shù),討論函數(shù)的單調(diào)性.分析：討論單調(diào)性就是確定函數(shù)在何區(qū)間上單調(diào)遞增，在何區(qū)間單調(diào)遞減。而確定函數(shù)的增區(qū)間就是確定的解區(qū)間；確定函數(shù)的減區(qū)間就是確定的解區(qū)間；討論單調(diào)性與討論不等式的解區(qū)間相應。解：因為，所以(1)當時，，當時，；當時，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)當時，的圖像開口向上，I)當時，，所以函數(shù)在R上遞增；II)當時，方程的兩個根分別為且所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(3)當時，的圖像開口向下，且方程的兩個根分別為且所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。綜上所述，當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當，函數(shù)在R上遞增；小結：導函數(shù)為二次型的一股先根據(jù)二次項系數(shù)分三種情況討論（先討論其為0情形），然后討論判別式（先討論判別式為負或為0的情形，對應導函數(shù)只有一種符號，原函數(shù)在定義域上為單調(diào)的），判別式為正的情況下還要確定兩根的大?。ㄈ舨荒艽_定的要進行一步討論），最后根據(jù)導函數(shù)正負確定原函數(shù)相應單調(diào)性，記得寫出綜述結論。例2．（2010山東理數(shù)改編）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；解：因為的定義域為所以，令，則同號法一：根據(jù)熟知二次函數(shù)性質(zhì)可知g(x)的正負符號與開口有關，因此可先分類型討論：①當時，由于<1，開口向下,結合其圖象易知，,此時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.②當時，開口向上,但是否在定義域需要討論：因所以i)當時，由于<1，開口向上,結合其圖象易知，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.時，,此時，函數(shù)單調(diào)遞減；ii)當時，g(x)開口向上且，但兩根大小需要討論：a)當時，恒成立，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；b)當，g(x)開口向上且在（0，）有兩根時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；小結：求單調(diào)區(qū)間要確定定義域，確定導函數(shù)符號的關鍵是看分子相應函數(shù)，因此討論點有：第一是類型（一次與二次的根個數(shù)顯然不同)；第二有沒有根（二次的看判別式），第三是有根是否為增根（在不在定義根內(nèi)；第四有根的確定誰大；第五看區(qū)間內(nèi)導函數(shù)的正負號（二次函數(shù)要看開口）。確記要數(shù)形結合，多數(shù)考題不會全部討論點都要討論的，題中往往有特別條件，不少討論點會同時確定（即知一個就同時確定另一個）。判別式與開口的討論點先誰都可以，但從簡單優(yōu)先原則下可先根據(jù)判別式討論，因為當導函數(shù)無根時它只有一種符號，相應原函數(shù)在定義域內(nèi)（每個連續(xù)的區(qū)間）為單調(diào)函數(shù)較簡單。鞏固作業(yè)：1.已知函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間.解：2.已知函數(shù)f(x)=x－ax+(a－1)，討論函數(shù)的單調(diào)性,求出其單調(diào)區(qū)間。解：的定義域為.(1)(2)①若即時，>0,故在單調(diào)遞增.②若0<,即時，由得，；由得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.③若,即時，由得，；由得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上所述，當，單調(diào)增區(qū)為,減區(qū)間是;當時，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；當時，在定義域上遞增，單調(diào)增區(qū)為（不存在減區(qū)間）;當時，的減區(qū)間是，在增區(qū)間是.3.已知函數(shù)()=(1+)-+(≥0)，求()的單調(diào)區(qū)間.解：，.當時，.所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）當.（3）當即時，故的單調(diào)遞增區(qū)間是.（4）當即（）時，由得，；由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.（5）當即（）時，由得，；由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.綜上知