2024高考數(shù)學(xué)教材：平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

2024高考數(shù)學(xué)教材:

平面向量,數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

目錄

1.平面向量的概念及線性運算..................................................2

1.1.教材回扣基礎(chǔ)自測一一自主學(xué)習(xí)?知識積淀..............................2

1.2.課堂作業(yè).................................................................4

1.3.互動課堂?考向探究........................................................6

1.3.1.考點一平面向量的概念自主練習(xí)...................................7

1.3.2.考點二平面向量的線性運算微專題.................................8

2.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示...............................................17

2.1.教材回扣基礎(chǔ)自測一一自主學(xué)習(xí)?知識積淀..............................17

2.2.課堂作業(yè)................................................................18

2.3.互動課堂?考向探究.......................................................21

2.3.1.考點一平面向量基本定理的應(yīng)用....................................21

2.3.2.考點二平面向量的坐標(biāo)運算........................................24

2.3.3.考點三平面向量共線的坐標(biāo)表示....................................27

3.平面向量的數(shù)量積............................................................33

3.1.教材回扣基礎(chǔ)自測一一自主學(xué)習(xí)?知識積淀.............................34

3.2.課堂作業(yè)................................................................35

3.3.互動課堂?考向探究......................................................38

3.3.1.考點一平面向量數(shù)量積的運算自主練習(xí)...........................38

3.3.2.考點二平面向量數(shù)量積的性質(zhì)應(yīng)用微專題..........................41

3.3.3.【例1】（配合考點一使用）若平面向量ei,e2滿足|ei|=|3ei+e2|=2,則為

在e2方向上的投影的最大值為（）....................................................................................47

3.4.互動課堂?考向探究.....................................................49

3.4.1,考點—平面向量與平面幾何.......................................49

3.4.2.考點二平面向量中的最值問題.....................................52

3.4.3.考點三平面向量與解三角形.......................................55

4.數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入.....................................................63

4.1.教材回扣基礎(chǔ)自測一一自主學(xué)習(xí)?知識積淀.............................63

4.2.課堂作業(yè)..............................................................65

4.3.互動課堂?考向探究......................................................67

第1頁共73頁

4.3.1.考點一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念...........................................67

4.3.2.考點二復(fù)數(shù)的幾何意義...........................................69

4.3.3.考點三復(fù)數(shù)的運算微專題........................................71

1.平面向量的概念及線性運算

考題舉

內(nèi)容要求考向規(guī)律

例

1.了解向量的實際

考情分析：主

背景

202。新要考查平面向量的

2.理解平面向量的

高考n線性運算（加法、減

概念，理解兩個向量相

卷?△（向量的法、數(shù)乘）及其幾何

等的含義

線性運算）意義、共線向量定

3.理解向量的幾何

2018?全理，有時也會有創(chuàng)

表示

國I卷Z（向新的新定義問題；

4.掌握向量加法、

量的線性運題型以選擇題、填

減法的運算，并理解其

算）空題為主，屬于中

幾何意義

2017?江低檔題目。偶爾會

5.掌握向量數(shù)乘的

蘇高在解答題中作為工

運算及其幾何意義，理

考？2（向量具出現(xiàn)

解兩個向量共線的含義

的線性運算）核心素養(yǎng)：數(shù)

6.了解向量線性運

學(xué)運算

算的性質(zhì)及其幾何意義

1.1.教材回扣基礎(chǔ)自測-——自主學(xué)習(xí)知識積淀

一一Aq

1.向量的有關(guān)概念

（1）向量

兩個方面：大小和方向。

第2頁共73頁

其中，向量的大小，叫做向量的長度(或模)。

(2)零向量

長度為Oz方向是任意的。

(3)單位向量：長度等于1個單位;方向是確定的。

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量。平行向量又叫共

線向量O規(guī)定：。與任一向量平行O

(5)相等向量：長度相等;方向相同。

(6)相反向量：長度相等;方向相反。

單位向量有無數(shù)個，它們大小相等，但方向不一定相同；與

向量。平行的單位向量有兩個，即向量言和一臺。

2.向量的線性運算

向量定運算

法則(或幾何意義)

運算義律

⑴交

換律：。+

求兩ab=bJt-a；

三角形法則

加法個向量和⑵結(jié)

的運算y合律：3

a+))+c=

平行四邊形法則a+S+c)

求a

與力的相a-b

減法反向量一b="+(一

的和的運b)

三角形法則

算

第3頁共73頁

A(JLld)

⑴|必=|2|同；—；

求實(2)當(dāng)2>0時，2a的(2+

數(shù)/I與向方1可與a的方向相向;4)。=%+

數(shù)乘

量a的積當(dāng)A<0時，2a的方1可與

的運算a的方向相反;當(dāng)2=0

時，觴=0b)=Aa-\~

Xb

?微提醒?

向量加法的多邊形法則

多個向量相加，利用三角形法則，應(yīng)首尾順次連接，a+b+

。表示從起點指向終點的向量，只關(guān)心起點、終點。

3.共線向量定理

。是非零向量，若存在一個實數(shù)九使得力=癡，則向量〃與

非零向量a共線。

?微提醒?

-1

1.若尸為線段AB的中點，。為平面內(nèi)任一點，則0P=]

—?—?

(QA+03)。

—?—?-?

2.。4=%。8+〃。。(九〃為實數(shù))，若A,B,C三點共線，則

%+〃=1。

1.2.課堂作業(yè)

第4頁共73頁

一、常規(guī)題

1.在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論錯誤的是（）

A.|A3|=|AD|一定成立

—?—?-?

B.AC=A3+A。一定成立

C.AD=BC一定成立

—?—>—?

D.8O=AO—AB一定成立

解析在平行四邊形ABCD中，AC=AB+A。一定成立，

-A-A-A-A—?—?

=3。一定成立，8O=AO—AB一定成立，但|AB|=|AD|不一定成

立。故選A。

答案A

2.如圖所示，已知AC=33C,。4=0,OB=b,OC=c,則

下列等式中成立的是（)

A.c—^b—^a

B.c—2b—a

C.c—2a—b

c31,

D.c=/a一矽

解析因為AC=38C,OA=a,OB=b,所以O(shè)C=QA+AC

33131

=0A=OA+](08—QA)=/0吐=/b—于。

第5頁共73頁

答案A

3.設(shè)a與〃是兩個不共線向量，且向量a+乃與一（力一2a）

共線，則%=o

解析依題意知向量。+勸與2a—力共線，設(shè)。+乃=左（2a

1—2左=0,1

一》），則有（1—2Z）a+（hH迫=0,所以，…解得％=萬，

%+2=0,z

；=-20

套案--

u木2

二、易錯題

―?

4.（對向量相等隱含條件認(rèn)識不清）若四邊形ABCD滿足AO

—>—>-A

〃3c且|AB|=|OC|,則四邊形ABCD的形狀是

解析當(dāng)|AD|=|BC|時，四邊形A3CD是平行四邊形；當(dāng)|AD

―?

|W|3C|時，四邊形A3CD是等腰梯形。

答案等腰梯形或平行四邊形

5.（兩向量的方向關(guān)系不清）已知同=2,網(wǎng)=5,則|。十"的

取值范圍是o

解析當(dāng)。與辦方向相同時，|a+"=7;當(dāng)a與8方向相反

時，|a+"=3;當(dāng)。與b不共線時，3<|。+例<7。所以|a+b|的取

值范圍為［3,7］。

答案［3,7］

考點例析對點微練

1.3.互動課堂?考向探究

第6頁共73頁

L3.L考點一平面向量的概念自主練習(xí)

1.下面說法正確的是（）

A.平面內(nèi)的單位向量是唯一的

B.平面內(nèi)所有單位向量的終點的集合為一個單位圓

C.所有的單位向量都是共線的

D.所有的單位向量的模相等

解析因為平面內(nèi)的單位向量有無數(shù)個，所以選項A錯誤；

當(dāng)單位向量的起點不同時，其終點就不一定在同一個圓上，所以

選項B錯誤；當(dāng)兩個單位向量的方向不相同也不相反時，這兩

個向量就不共線，所以選項C錯誤；因為單位向量的模都等于

1,所以選項D正確。

答案D

2.下列四個命題中，真命題為（）

A.若a//b,則a=b

B.若⑷=|例，則

C.若|0|=步|,則。〃力

D.若a=b,則|a|=l5I

答案D

3.下列四個命題中，正確的是（）

A.若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同

—?—?

B.若A,B,C,。是不共線的四點，且則四邊

形A3CD為平行四邊形

C.a=）的充要條件是⑷=|加且a〃b

D.已知九〃為實數(shù)，若Za=曲,則。與〃共線

解析A錯誤，若兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向

量相等，但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點；B正確，

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因為AB=OC,所以|AB|=|Z）C|且A8〃0C,又A,B,C,。是不

共線的四點，所以四邊形ABCQ為平行四邊形；C錯誤，當(dāng)a〃

8且方向相反時,即使⑷=步|,也不能得到所以“⑷=網(wǎng)

且?！╞"不是“a=b”的充要條件，而是必要不充分條件；D錯

誤，當(dāng)丸=〃=0時，。與〃可以為任意向量，滿足觴=曲，但a

與b不一定共線。

答案B

—————-—

*?-_=_II一；1L二I

向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點

1.向量定義的關(guān)鍵是方向和長度。

2.非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制。

3.相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等。

4.單位向量的關(guān)鍵是長度等于1個單位。

5.零向量的關(guān)鍵是長度是0,規(guī)定零向量與任何向量共線。

1.3.2.考點二平面向量的線性運算微專題

微考向1：平面向量的加法、減法運算

【例1】（1）（多選）如圖所示，在△A3C中，。是AB的中

點，下列關(guān)于向量CD表示不正確的是（）

A.CD=CA+DB

—?—?-?

B.CD=BC+DA

f1ff

C.CD^^AB+AC

第8頁共73頁

D.CD=!CA+《CB

解析對于A,因為。是48的中點，所以AO=DB,因為

—?-A-A—?-A-A

CD=CA+AD,所以CO=CA+DB,所以A正確；對于B,由三

―?—?—?—?—?―?―?

角形法則得，CQ=CB+BO=CB+D4=—BC+D4,所以B不

正確；對于C,CD=CA+AD=^AB~AC,所以C不正確；對于

11

D,因為。是A3的中點，所以。。=5。4+不。8,所以D正確。

故選BC。

答案BC

(2)(2021凍北育才學(xué)校模擬)如圖，在平行四邊形ABCD,

——3—

后為3C的中點，尸為。石的中點，若AF=%A3+京。，則％=

()

32

A-4B-3

C』D1

J24

-1

解析連接AE(圖略)，因為尸為。石的中點，所以A尸=]

(AD+AE),而AE=A3+BE=A3+4BC=AB+H。，所以A尸=5

一1(——1—'

(AD+AE)=-^AD-\-AB+2AD,^AF=xAB+海

第9頁共73頁

m,1

所以％=2。

答案C

———一———..

w-二-']]”!TF,，1■,匚I

平面向量的線性運算技巧

1.不含圖形的情況：可直接運用相應(yīng)運算法則求解。

2.含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，

充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知

向量用已知向量表示出來求解。

微考向2：向量共線問題

【例2】設(shè)向量ei，02是平面內(nèi)的一組基底，若向量。=

i3^1—02與力=C1一202共線，則丸=（）

1

二--

A.3B.3

C.-3D.3

解析因為a與力共線，所以存在〃￡R,使得a=〃b,即

—3ei—e2=〃（ei—屁2）,即一3ei—02=〃2一加02,比較系數(shù)，得〃

=-3,—Aju=-1,故丸=一；。

答案B

二二=-j?匚?

兩個向量共線是指兩個向量的方向相同或相反,因此共線包

含兩種情況：同向共線或反向共線。

一般地，若。=勸（。70）,則a與力共線：

1.當(dāng)z>0時，a與8同向；

2.當(dāng)丸<0時，°與力反向。

微考向3：三點共線問題

[例3]（1）（2021?鄭州模擬）設(shè)白與外是兩個不共線的向

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量，A3=3ei+2e2，CB=ke\+ei，CD=3e、-2ke2,若A,B,D

三點共線，則％的值為O

解析因為A,B,。三點共線，所以必存在一個實數(shù)九使

^AB=XBDO又A3=3ei+2e2,CB=ke\+e2,CD=3e\~2ke2,所

以3。=。。-08=3d一2既2一(既1+02)=(3—幻幻一(2%+1)62,所

以3ei+2e2=〃3—Z)ei—〃2左+1)02,又仍與?不共線，所以

3=43一2),9

解得k=—］。

2=T(2%+1),

答案V9

(2)設(shè)。4,。8不共線，求證：P,A,8三點共線的充要條件

-A-A—>

是：OP=%OA+〃OB且2+〃=1,九〃￡R。

證明充分性：因為％+〃=1,

—?-?-A-A-A—?—A-A

所以0P=A0A+〃08=(l—4)0A+〃08=0A+〃(08—QA)

—?—?

=0A+〃A5。

—?—?-?

所以O(shè)P—OA=〃AB。

—?—?—?-?

所以AP=〃AB,所以AP,A3共線。

因為兩向量有公共點A,所以A,P,3三點共線。

必要性：若P,A,3三點共線，

-A-A-A-A

則AP=〃A8=〃(08—0A)。

—>—?-A-?

所以0尸一0A=3—"0Ao

第11頁共73頁

所以O(shè)P=(1—〃)。4+〃0瓦

-A-?-?

令人=1一〃，貝|QP=%OA+〃QB,其中〃+2=1。

-A-?―?

綜上，P,A,3三點共線的主要條件是：OP=AOA+^OB^L

2+〃=1,A,〃￡R。

總結(jié)反思

1.證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向

量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時,

—?—?

才能得出三點共線，即A,B,。三點共線臺AB,AC共線。

-?-?—>?

2.A,B,C三點共線的一個充要條件是。4=203+〃0。(2

+〃=1)(0是平面內(nèi)任意一點),此結(jié)論在解決三點共線問題時非

常方便。

【題組對點練】

1.(微考向1)設(shè)。為△A4C所在平面內(nèi)一點，BC=3CD,

若AQ=143+〃AC,則2一〃=()

54

A.-3B.—3

C.gD.|

解析由BC=3CO,可知8,C,。三點在同一直線上，如

圖所示。根據(jù)題意及圖形，可得AD=AC+CD=AC+"(AC—A3)

14145

,所以丸=一,，所以〃

2—=-333°

故選A。

第12頁共73頁

答案A

—?—?-?

2.(微考向1)(多選)已知平面向量OA,OB,0C為三個單位

—?-?-A—>-A

向量，且。403=0,^OC=xOA+yOB{x,j￡R),則x+y的可

能取值為()

A.0B.1

C.也D.2

解析依題意，QA,是一組垂直的單位向量，如圖建立

坐標(biāo)系，向量03作為一組垂直的單位基底可以表示單位圓

上任一點C(cosQ,sin0)(3表示由x軸非負(fù)半軸旋轉(zhuǎn)到OC所形

—?-?-A

成的角)構(gòu)成的向量OC,附0,2兀),因為。A=(l,0),03=(0,1),

-?-A->—?

(?C=(cos0,sinO'),OC=xOA~\-yOB,所以％=cos仇j=sin0,

故x+y=cos9+sin9=gsin。+彳，[0,2兀)，故％+y￡[―

也也,可以取0,1,也。故選ABC。

第13頁共73頁

答案ABC

3.（微考向3）如圖所示，在aABC中，。是3C的中點，過

點0的直線分別交AB,AC所在直線于點M,N,若

AC=nAN,則m+n的值為（）

-―.----------..A

mn

解析解法一:連接AO,則AO=1(AB+AC)=EAM+]AN,

mn

因為Af,0,N三點共線，所以萬+5=1,所以〃?+〃=2。

1

解法二：連接A0。由于。為的中點，故AO=］（AB+

AC）,MO=AO-AM^AB+AC）-^iAB=\^--^B+^AC,同

理，NO=pB+|j一力4。。由于向量MO,NO共線，故存在實數(shù)

第14頁共73頁

（11）11-*（八_

2使得M0=AM9,即一/川+濟仁支/鉆+攻\一小。。由于

-fiiiino

AC不共線，故得不一=萬/1且5=%萬一二，消掉2,得（

AB,乙777乙乙it）m—

2）（〃-2）=也〃，化簡即得機+〃=2。

答案B

4.（微考向2）設(shè)兩個非零向量。與〃不共線。若癡+力與。

+kb共線，則k—o

解析因為①+力與。+心共線，則存在實數(shù)2,使加+8

=%3+劭），即（女一人加=（"一1）兒又。，。是兩個不共線的非零

向量，所以％—2=欣一1=0。消去九得3—1=0,所以左=±1。

答案±1

教師備用題

【例1】（配合例1使用）在△A3C中，。為邊3C上一點，

AAA[-?>

E是線段AO的中點，若CE=^AB+^iAC,貝!J2+〃=

()

A-3B.一

〃77

C.70D.—76

f]fff(1)+]

角窣析CE=^CB-CA)+^AC=-jCB+^-^-MCA=—^~

1

（112+11

CD+1—Q—〃JCA,因為石是AQ的中點，所以一丁=13-

=；,解得丸=3，//=—|,故2+〃=—'。故選B。

答案B

【例2】（配合例1使用）已知數(shù)列｛斯｝是正項等差數(shù)列,

第15頁共73頁

在△ABC中，BD=tBCQ￡R),若人。：的人與+益人。，則的小的

最大值為()

A.1B.；

C』D1

J458

―?—?-?

解析因為BD=tBC,所以B,C,。三點共線。又因為A。

—?—?

=a^B+asAC,所以。3+恁=1。由數(shù)列｛。〃｝是正項等差數(shù)列，

得“3>0,恁>。，所以1=43+45、

2\/a3a5,解得的當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?%=夕寸取等號。故選

Co

答案c

【例3】(配合例3使用)如圖，在△ABC中，。為5c的

—?—?—?―?—?

中點，AE=2EC,AD與BE相交于點G,若AG=xGQ,BG=

—?

yGE,貝ij%+y=()

A.4B.與C.2D.冷

—?—?-?

解析由題意得向量AG=%GO,。為3c的中點，且AE=

-A―A—?—?—?-?

XXXX

2EC，可得AG=yzpjAQ=2(l+%)/§+2(1+%)/0=2(1+x)/3

3r-X3尤

+4(1+%)"及因為&G,石二點共線，所以2(1+%)+4(1+%)

第16頁共73頁

=1,解得了=4。由BG=yGE,。為8c的中點，_ELAE=2EC,

可得的南南服+孤卜南服+胸）,=

-AA-A

、/A+二/、BD。因為A,G,。三點共線，所以

3（1+y）3（1+y）3（1+y）

+4%=1，解得尸點所以％+y=?。故選D。

答案D

2.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

內(nèi)容要求考題舉例考向規(guī)律

考情分析：平面

1.了解平面向

向量的坐標(biāo)運算承前

量的基本定理及其

啟后，不僅使向量的

意義2018?全國III

加法、減法和實數(shù)與

2.掌握平面向卷?13（向量共線

向量的積完全代數(shù)

量的正交分解及其的坐標(biāo)表?。?/p>

化，也是學(xué)習(xí)向量數(shù)

坐標(biāo)表小2017?全國in

量積的基礎(chǔ)，因此是

3.會用坐標(biāo)表卷18（平面向量

平面向量中的重要內(nèi)

不平面向量的加的坐標(biāo)運算）

容之一，也是高考中

法、減法與數(shù)乘運2015?江蘇高

命題的熱點內(nèi)容。在

算考二6（平面向量

這里，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)

4.理解用坐標(biāo)的坐標(biāo)運算）

化和數(shù)形結(jié)合的思想

表不的平面向量共

核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)

線的條件

運算

2.1.教材回扣基礎(chǔ)自測—自主學(xué)習(xí)?知識積淀

、基礎(chǔ)細(xì)梳理知識必備?固根基.

第17頁共73頁

1.平面向量基本定理

(1)基底：不共線的向量6,02叫做表示這一平面內(nèi)所有向量

的一組基底。

(2)定理：如果白，62是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么

對于這一平面內(nèi)的任意向量。，有且只有一對實數(shù)為，丸2，使a

=』1C1+2262。

2.平面向量的坐標(biāo)表示

在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與％軸、y軸方向相同的兩個

單位向量i,j作為基底，該平面內(nèi)的任一向量。可表示成“=%

i+yj,a與數(shù)對(%,y)是一一對應(yīng)的，把有序數(shù)對(%,y)叫做向量

a的坐標(biāo)，記作a=(%,y),其中a在％軸上的坐標(biāo)是％,。在y

軸上的坐標(biāo)是y。

3.平面向量的坐標(biāo)運算

設(shè)。=（%i，y）,b=g,竺），則a+1=（%i+%2，yi+y2），

向量的加法、減法

a-b—但一?，y1—>2）

向量的數(shù)乘設(shè)a=（%,y）,貝！Jia=（/be2"）

向量坐標(biāo)的求法

設(shè)A（%i，y）,5（X2,竺），則AB=（%2—幻，丫2-yi）

4.平面向量共線的坐標(biāo)表示

右,4=(%],yD，b—(X2>”)，則a〃8-%2丫1=0。

?微提醒?

1.平面內(nèi)任意兩個不共線向量都可以作為基底，反之亦然。

2.若a與8不共線，癡+〃力=0,則2=〃=0。

3.已知a=(%i,yi),b=(x2,y2),如果％2WO,"WO,貝股〃

，可弋。

2.2.課堂作業(yè)

一、常規(guī)題

第18頁共73頁

1.已知點Pi(l,3),P2(4,0),若尸是線段P1P2的一個三等分

點，則點P的坐標(biāo)為()

(2,2)(3,-1)

(2,2)或(3,-1)(2,2)或(3,1)

-A1-A-A2-A-A

解析由題意得=或=RP2=(3,-3)O

ff1f

設(shè)P(%,y),則P1P=(%—1,y—3),當(dāng)P1P=§P1P2時，(X-I,y一

1-2一

3)=§(3,-3),所以％=2,y=2,即尸(2,2)o當(dāng)PiP=]PE時，

2

(x-1,y—3)=g(3,-3),所以％=3,y=l,即尸(3,1)。故選D。

答案D

-A->

2.如圖，在正方形ABCD中，石為。。的中點，若

-?

+〃AC,則2+〃的值為()

D.-1

11

解析因為E為。。的中點，所以AC=AB+AD=]A3+]

AB+AD=^AB+DE+AD=^AB+AE,即AE=—NB+AC,所以

答案A

第19頁共73頁

3.已知向量a=(l,2),b=Q,—2),c=(l,A)o若c〃(2a

+b),則2=o

解析由題意可得2a+b=(4,2)。因為c〃(2a+))，c=(l,

A),所以42—2=0,即%=:。

較安—

u木2

二'易錯題

4.(忽視基底不共線)給出下列三個向量:

—3),c=(—2,6)。從三個向量中任意取兩個作為一組，能構(gòu)成基

底的組數(shù)為o

解析這三個向量中，b//c,a與6c不平行，所以可以構(gòu)

成基底的是a與6a與c,所以能構(gòu)成兩組基底。

答案2

5.(忽視共線的兩種情況)已知點A(—1,3),BQ,-1),則與

向量A8共線的單位向量是。

-A-?-A

解析AB=(3,-4),|AB|=^32+(-4)2=5,所以與A3共線

的單位向量是序一刁或［一右刁。

令口士案［G予一小4V或,f［一3于45,)

6.(向量共線的坐標(biāo)公式掌握不牢)已知點8(4,2)和

-A-A

向量4=(2,2),若?！ˋB,則實數(shù)2=；若a=〃A5,

則4=。

-A->

解析由題意得A8=(3,l),因為a〃AB,所以“一2=0,

第20頁共73頁

2f[3〃=2,

解得2=鼻。由a=fiAB,得（2,2）=（3〃，//）,所以，故〃

J〔〃=九，

_2

=3°

答案,2:2

考點例析對點微練

2.3.互動課堂?考向探究

2.3.1.考點一平面向量基本定理的應(yīng)用

【例1】（1）（2021?鄭州模擬）如圖，在直角梯形ABCO中，

A3=2AO=2QC,石為8C邊上一點，BC=3EC,/為AE的中

解析如圖，取A3的中點G,連接QG,CG,易知四邊形

—————[—

OC5G為平行四邊形，所以3C=GO=AQ—AG=AO—%B,所

—f—*1?

以AE=A3+8E=AB+w8C=AB+wAD—=|AB+|AD,于

1、

—?—?―?[―?-?1

^BF=AF~AB=^AE~AB9-Fk1

^+-7—AB=gAO。

第21頁共73頁

故選c。

答案c

f2f1一

(2)在△ABC中，點P是A3上一點，且CP=gCA+§CB,Q

是3C的中點，A。與CP的交點為M,又CM=tCP,則實數(shù)，的

值為o

解析因為。尸=（。1+?8,所以3cp=2C4+C8,即2cp

-2CA=CB-CP,所以2Ap=PB。即P為AB的一個三等分點

(靠近A點)，又因為A,M,。三點共線，HAM=XAQO所以CM

———?f—?[f'f)一)—2f

=AM-AC=XAQ-AC=X^AB+^AC-AC=^AB+^~AC,又

CM=tCP=t(AP—AC)=t^AB—AC=—tAC。故

<3JJ

第22頁共73頁

答案i3

總結(jié)反思

平面向量基本定理的實質(zhì)及應(yīng)用思路

i.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊

形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或數(shù)乘運算。

2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一

組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過

向量的運算來解決。

【變式訓(xùn)練】(1)在梯形ABC。中，AB//CD,AB=2CD,

—?—?-?

M,N分別為CO,的中點。若A8=14M+"AN,則2+〃等

于O

-A-A-A-?—A-A-A-A

解析因為AB=AN+NB=AN+CN=AN+(CA+AN)=

ffff]—ff8—4一

2AN+CM+MA=2AN~^AB~AM,所以A3=gAN—5AAf,所以

.48“，…4

A=-予4=予所以

4

套案-

u木5

(2)如圖，已知平行四邊形A3CD的邊3C,CO的中點分別

-A-A-A-A

是K,L,且AK=ei，AL—e2.>試用ei，e?表不JBC,CD。

解設(shè)BC=*,CD=y,

第23頁共73頁

則3K=；x,DL=—^y0

-?-?—>—>—>—?

由AB+8K=AK,AD+DL=AL,

〃1

—y+/=ei①，

得J1

x—^y=e2②，

①+②X(—2),得;x—2x=ei—2e2,

224

即x=-1(ei-2e2)=一?1+予2,

,一24

所以BC=—gei+ge2。

42

同理可得y=—+$2,

-42

即CD=—,01+^02。

2.3.2.考點二平面向量的坐標(biāo)運算

【例2】(1)如圖，原點。是△ABC內(nèi)一點，頂點A在x

-A-A-?

軸上，ZAOB=150°,ZBOC=90°,\0A\=2,\OB\=1,\OC\=

第24頁共73頁

C.一小D.小

解析由題意可得A(2,0),小一坐，(|,一啕。因

—?—?-?

為0C=%0A+"05,所以由向量相等的坐標(biāo)表示得

&蛆_3

2z—n_3

Z2逆解得憶=_35，所吟小。故選0。

、2一2'

答案D

—?-A

(2)在平行四邊形ABCQ中，AC=(2,3),BD=(-1,4),則

—?—?

AB=；AD—o

—?―?―?—?―?—?

解析AB+AD=AC=(2,3),AB~AD=DB=(1,一4)。所以

f-(3n一

2A5=(2,3)+(1,-4)=(3,-1),即一a，2AD=(2,3)

-(1,-4)=(1,7),即AO=b，引。

(3)設(shè)向量G,b滿足同=24,8=(2,1),且。與力的方向相

反，則。的坐標(biāo)為o

解析設(shè)a=(%,y),x<0,y<0,則％—2y=0且x2+y2=20,

解得％=4,y=2(舍去)，或者％=—4,y=—2,即a=(—4,一

2)o

答案(-4,-2)

總結(jié)反思

1.利用向量的坐標(biāo)運算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)

第25頁共73頁

乘運算法則，然后根據(jù)“兩個向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)

相等”這一原則，化歸為方程(組)進(jìn)行求解。

2.向量的坐標(biāo)表示把點與數(shù)聯(lián)系起來，實際上是向量的代

數(shù)表示，即引入平面向量的坐標(biāo)可以使向量運算代數(shù)化，成為

數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟

知的數(shù)量運算。

【變式訓(xùn)練】⑴已知點M(3,-2),N(—5,-1),且MP

=，N,則點P的坐標(biāo)為()

(,3〕

A.(—8,1)B.-1,1萬

(3)

C.1,5D.(8,-1)

\乙)

11

解析設(shè)點P{x,y),則MP=(%-3,y+2),而］A/N=/(一

卜一3=-4,

8,1)=—4,5,所以＜I.1解得＜3所以

(1卜+2=于［產(chǎn)一于

L，一辦

答案B

(2)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c=

〃仇九

第26頁共73頁

解析以向量a和力的交點為原點建立如圖所示的平面直

角坐標(biāo)系(設(shè)每個小正方形的邊長為1),則A(l,-1),3(6,2),

C(5,-1),所以a=AO=(—l,1),b=0B=(6,劣,c=BC=(一

1,—3)o因為油,所以(一1,—3)=2(—1,1)+〃(6,2)o

一2+6〃=—1,

即＜

4+2〃=—3,

答案4

2.3.3.考點三平面向量共線的坐標(biāo)表示

[例3](1)(多選)已知向量。4=(1,-3),08=(—2,1),

0C=(r+3,r-8),若點A,B,。能構(gòu)成三角形，則實數(shù)f可以

為()

A.—2