第13講反比例函數(shù)的應用 課件2023-2024學年浙教版數(shù)學八年級下冊重難點突破

第13講

反比例函數(shù)的應用第6章

反比例函數(shù)浙教版八年級下冊重難點突破系列1.反比例函數(shù)的確定方法由于在反比例函數(shù)關系式y(tǒng)＝

中，只有一個待定系數(shù)k，確定了k的值，也就確定了反比例函數(shù)，因此只需給出一組x，y的對應值或圖象上一個點的坐標，代入y＝

即可求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的關系式．2.用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關系式的一般步驟(1)設所求的反比例函數(shù)為y＝

(k≠0)；(2)根據已知條件(自變量與函數(shù)的對應值)列出含k的方程；(3)解一元一次方程求出k的值；(4)把k值代入函數(shù)關系式y(tǒng)＝

.3.函數(shù)的應用反映了一種數(shù)學建模的方式，具體可概括為由試驗獲得數(shù)據——用描點法畫出圖象——根據圖象和數(shù)據判斷或估計函數(shù)的類別——用待定系數(shù)法求出函數(shù)關系式——用試驗數(shù)據驗證函數(shù)關系式——應用函數(shù)關系式解決問題．4.應用反比例函數(shù)的性質解決實際問題時，自變量不僅要使反比例函數(shù)自身式子有意義，而且要符合實際問題中的具體意義及附加條件．【例1】某學校要種植一塊面積為200m2的長方形草坪，要求兩邊長均不小于10m，則草坪的一邊長y(單位：m)隨另一邊長x(單位：m)的變化而變化的圖象可能是(

)【思路點撥】易知y是x的反比例函數(shù)，再根據邊長的取值范圍即可作出判斷．C【解題過程】

∵草坪面積為200m2，∴xy＝200，即y＝

.∵兩邊長均不小于10m，∴x≥10，y≥10，∴x≤20，∴10≤x≤20.故選C.【例2】如圖，某農家擬用已有的長為8m的墻或墻的一部分為一邊，其它三邊用籬笆圍成一個面積為12m2的矩形園子．設園子中平行于墻面的籬笆長為ym(其中y≥4)，另兩邊的籬笆長分別為xm.(1)求y關于x的函數(shù)表達式，并求x的取值范圍．【思路點撥】由矩形的面積公式可得出y關于x的函數(shù)表達式，結合4≤y≤8可求出x的取值范圍；【解題過程】

∵矩形的面積為12m2，∴y＝

，∵4≤y≤8，∴1.5≤x≤3.(2)若僅用現(xiàn)有的11m長的籬笆，且恰好用完，請你幫助設計圍制方案．【思路點撥】根據11m長的籬笆恰好用完，可得y＝11－2x，結合矩形園子的面積，即可得出關于x的一元二次方程，解方程即可得出圍制方案．【解題過程】∵籬笆長11m，且恰好用完，∴y＝11－2x，∴x(11－2x)＝12，解得x1＝1.5，x2＝4(舍去)，∴y＝11－2x＝8.∴當矩形園子的長為8m，寬為1.5m時，11m長的籬笆恰好用完．【例3】某市某蔬菜生產基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種．如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關閉及關閉后，大棚內溫度y(℃)隨時間x(h)變化的函數(shù)圖象，其中BC段是雙曲線y＝

的一部分．請根據圖中信息解答下列問題：(1)恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內溫度18℃的時間為多少小時？【思路點撥】分析圖象所代表的情境，根據圖象直接得出大棚溫度18℃的時間為12－2＝10(h)；【解題過程】恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚溫度18℃的時間為10h.(2)求k的值．【思路點撥】分析圖象所代表的情境，利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；(3)當x＝16時，大棚內的溫度約為多少攝氏度？【思路點撥】分析圖象所代表的情境，將x＝16代入函數(shù)解析式求出y的值即可．【方法歸納】解決用圖象描述分段函數(shù)的實際問題時，要抓住以下幾點：①自變量變化而函數(shù)值不變化的圖象用水平線段表示；②各個分段中，要準確確定函數(shù)關系；③反比例函數(shù)的解析式確定只需要確定圖象上一個點的坐標即可．【例4】一輛客車從甲地出發(fā)前往乙地，平均速度v(千米/時)與所用時間t(小時)的函數(shù)關系如圖所示，其中60≤v≤120.(1)求v與t的函數(shù)關系式及t值的取值范圍．【思路點撥】用待定系數(shù)法即可求解；(2)客車上午8時從甲地出發(fā)．①客車需在當天14時40分至15時30分(含14時40分與15時30分)間到達乙地，求客車行駛速度v的范圍；②客車能否在當天12時30分到達乙地？說明理由．【思路點撥】將

分別代入v關于t的函數(shù)關系式，求出對應v的值，結合圖象即可得出v的取值范圍；②根據t的值是否在5≤t≤10范圍內，即可作出判斷．【例5】環(huán)保局對某企業(yè)排污情況進行檢測，結果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0mg/L.環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，在15天以內(含15天)排污達標．整改過程中，所排污水中硫化物的濃度y(mg/L)與時間x(天)的變化規(guī)律如圖，線段AB表示前3天的變化規(guī)律，其中第3天時硫化物的濃度降為4mg/L.從第3天起所排污水中硫化物的濃度y與時間x滿足下面表格中的關系：時間x(天)34568…硫化物的濃y(mg/L)432.421.5…(1)求整改過程中當0≤x＜3時，硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達式．【思路點撥】當0≤x＜3時，y是x的一次函數(shù)，用待定系數(shù)法可確定函數(shù)解析式；(2)求整改過程中當x≥3時，硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達式．【思路點撥】當x≥3時，y是x的反比例函數(shù)，用待定系數(shù)法可確定函數(shù)解析式；(3)該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度，能否在15天以內不超過最高允許的1.0mg/L？為什么？【思路點撥】把x＝15代入反比例函數(shù)解析式并計算，比較后可得結果．【解題過程】能．理由如下：當x＝15時，y＝

＝0.8.∵0.8＜1，∴該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度，能在15天以內不超過最高允許的1.0mg/L.【例6】某地計劃用120～180天(含120與180天)的時間建設一項水利工程，工程需要運送的土石方總量為360萬米3.(1)寫出運輸公司完成任務所需時間y(單位：天)與平均每天的工作量x(單位：萬米3)之間的函數(shù)關系式，并給出自變量x的取值范圍；【思路點撥】利用“每天的工作量×天數(shù)＝土方總量”可以得到兩個變量之間的函數(shù)關系式；(2)由于工程進度的需要，實際平均每天運送土石方比原計劃多5000米3，工期比原計劃減少了24天，原計劃和實際平均每天運送土石方分別多少萬米3?【思路點撥】根據“工期比原計劃減少了24天”找到等量關系并列出方程求解即可．【解題過程】設原計劃平均每天運送土石方x萬米3，則實際平均每天運送土石方(x＋0.5)萬米3.由題意，得方程兩邊同乘x(x＋0.5)，得360(x＋0.5)－360x＝24x(x＋0.5)．化簡，得x2＋0.5x－7.5＝0.解得x1＝2.5，x2＝－3.經檢驗，x1＝2.5，x2＝－3均是原方程的根，但x2＝－3不符合實際意義，故舍去．又因為2≤x≤3，所以x1＝2.5滿足條件．即原計劃平均每天運送土石方2.5萬米3，實際平均每天運送土石方3萬米3.【方法歸納】求函數(shù)解析式，一般先根據題意，求出圖象上的相關點，用待定系數(shù)法列方程求解；解分式方程時一定要注意驗根．【例7】如圖，李老師設計了一個探究杠桿平衡條件的試驗：在一個自制類似天平的儀器的左邊固定托盤A中放置一個重物，在右邊的活動托盤B(可左右移動)中放置一定質量的砝碼，使得儀器左右平衡，改變活動托盤B與點O的距離x(cm)，觀察活動托盤B中砝碼的質量y(g)的變化情況．試驗數(shù)據記錄如下表：x(cm)1015202530y(g)3020151210(1)把上表中(x，y)的各組對應值作為點的坐標，在坐標系中描出相應的點，用平滑曲線連結這些點．【思路點撥】根據各點在坐標系中分別描出即可得出平滑曲線；【解題過程】如圖

．(2)觀察所畫的圖象，猜測y與x之間的函數(shù)關系，求出函數(shù)關系式并加以驗證．【思路點撥】觀察可得x，y的乘積為定值300，故y與x之間的函數(shù)關系為反比例函數(shù)，將數(shù)據代入用待定系數(shù)法可得反比例函數(shù)的關系式；(3)當砝碼的質量為24g時，活動托盤B與點O的距離是多少厘米？【思路點撥】把y＝24代入解析式求解，可得答案；(4)當活動托盤B往左移動時，應往活動托盤B中添加還是減