2019-2020學(xué)年人教A版廣東省東莞市高二第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 含解析

2019-2020學(xué)年高二第一學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷

一、選擇題

1.在△48C中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且6=2,^=45°,<7=120°,則邊

c=（）

A.V2B.?C.2D?收

x》0

2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足，y>0,則目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最大值是（）

x+y"<2

A.2B.1C.-1D.-2

糖的質(zhì)量b克

3.糖水溶液（不飽和）的濃度計(jì)算公式為（a>b）,向糖水（不飽和）

?糖水的質(zhì)量a克

中再加入〃克糖，那么糖水（不飽和）將變得更甜，則反應(yīng)這一事實(shí)的不等關(guān)系為（）

A.2〉上也B.2〈互也C,互>上也D,2（旦也

aa+maa+maaaa

22

4.已知雙曲線工5-工5=1（a>0,b>0）的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的兩倍，則它的漸近線方程

azt/

為（）

A.y=±yxB.y=±V2xC.y=±2xD.y=

5.已知數(shù)列｛aj是等差數(shù)列，且為+如=50,36=19,則金=（）

A.3B.4C.7D.8

6.已知a,6為實(shí)數(shù)，貝寸“0<a&V2”是“a<2”的（）

b

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：”三百七十八里關(guān)，初步健步不為

難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”.其大意

為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天

的一半，走了6天后到達(dá)目的地”，則該人第4天走的路程為（）

A.96里B.48里C.24里D.12里

8.如圖，已知三棱錐。-48C,點(diǎn)黑〃分別是。1,8c的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段做上一點(diǎn)，且

MG=2GN,若記丞=；,QB=b,0C=o則而=（）

O

M

A-4亭卓B-壬亭卓

c-臺(tái)亭卓D-系本卓

9.已知實(shí)數(shù)a>0,b>0,且工26=2,則旦的最大值為（）

aa

A，9B.—C

2-1

22

10.已知雙曲線02__工一=1的左、右焦點(diǎn)分別為6、Fi,P為雙曲線C上一點(diǎn)，直線/

,169

分別與以內(nèi)為圓心、片?為半徑的圓和以月為圓心、月?為半徑的圓相切于點(diǎn)4,B,則|48|

=（）

A.2A/7B.6C.8D.10

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共2小題，每小題5分，共10分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得。分.請(qǐng)把正

確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

11.四邊形/腦內(nèi)接于圓0,AB=CD=5,47=3,NBCD=60°,下列結(jié)論正確的有（）

A.四邊形483為梯形

B.圓0的直徑為1

C.四邊形曲的面積為竺返.

4

D.△/1劭的三邊長(zhǎng)度可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列

12.我們通常稱離心率為'亙的橢圓為“黃金橢圓”.如圖，已知橢圓

2

22

C：￥，^l（a>b〉0）,4,Ai,8,8為頂點(diǎn)，石，Q為焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，

滿足下列條件能使橢圓C為“黃金橢圓”的有（）

A.|4月，|￡引，為等比數(shù)列

B."84=90°

C.歷_Lx軸，且。0〃48

D.四邊形4848的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)石，F(xiàn)2

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.

13.拋物線寸="上的一點(diǎn)"到焦點(diǎn)的距離為2,則點(diǎn)"的縱坐標(biāo)是.

14.如圖，以長(zhǎng)方體/夕曲-48G〃的頂點(diǎn)〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)〃的三條棱所在的直線為坐標(biāo)

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若函的坐標(biāo)為（2,3,4）,則記的坐標(biāo)為.

15.已知命題“VxG[1,3],不等式f-aK4》0”為真命題，則a的取值范圍為.

16.斐波那契數(shù)列（Fibonaccisequence,又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那

契（LeonardodaFibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為"兔子數(shù)列".它是這

樣一個(gè)數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下

遞推的方法定義：a,=1,&=1,a?=a?.i+a?.2（n^3,"GN*）,記其前"項(xiàng)和為￡,設(shè)

52019=i■（大為常數(shù)），則S017+S0I6-$015-S<）14=（用t表示）,St>17-題119=（用

常數(shù)表示）.

四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.

解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.必須把解答過(guò)程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)

域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無(wú)效.

17.已知0:x-x-6^0,q-.x-（2M1）x+m+nf^Q.

(1)若m=2,且pAg為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

(2)若g是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

18.已知等比數(shù)列｛&｝滿足級(jí)=4,^=128,數(shù)列｛a￡｝是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛a〃｝和｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和￡.

19.在中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,JELbsinB=as\nA-(/H-c)sir\C.

(1)求角力的大小.

(2)若外邊上的中線AD=2?,ASAABC=2A/3,求的周長(zhǎng).

20.如圖，已知斜三棱柱45G中，NBCA=9Q°,AC=BC=2,4在底面45c上的射

影恰為4?的中點(diǎn)。，且A[D=F.

(1)求證：48_L加;

(2)求直線46與平面48G所成角的正弦值；

(3)在線段GC上是否存在點(diǎn)肌使得二面角照-45-G的平面角為90°?若存在，確

定點(diǎn)"的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.在數(shù)學(xué)建模課上，老師給大家?guī)?lái)了一則新聞：“2019年8月16日上午，423米的東

莞第一高樓民盈?國(guó)貿(mào)中心2號(hào)樓(以下簡(jiǎn)稱“國(guó)貿(mào)中心”)正式封頂，隨著最后一方

混凝土澆筑到位，標(biāo)志著東莞最高樓紀(jì)錄誕生，由東莞本地航母級(jí)企業(yè)民盈集團(tuán)刷新了

東莞天際線，比之前的東莞第一高樓臺(tái)商大廈高出134米.”在同學(xué)們的驚嘆中，老師

提出了問(wèn)題：國(guó)貿(mào)中心真有這么高嗎？我們能否運(yùn)用所學(xué)知識(shí)測(cè)量驗(yàn)證一下？一周后，

兩個(gè)興趣小組分享了他們各自的測(cè)量方案.

第一小組采用的是“兩次測(cè)角法”：他們?cè)趪?guó)貿(mào)中心隔壁的會(huì)展中心廣場(chǎng)上的4點(diǎn)測(cè)得

國(guó)貿(mào)中心頂部的仰角為a,正對(duì)國(guó)貿(mào)中心前進(jìn)了s米后，到達(dá)8點(diǎn)，在8點(diǎn)測(cè)得國(guó)貿(mào)中

心頂部的仰角為B,然后計(jì)算出國(guó)貿(mào)中心的高度(如圖1).

第二小組采用的是“鏡面反射法”：在國(guó)貿(mào)中心后面的新世紀(jì)豪園一幢11層樓(與國(guó)貿(mào)

中心處于同一水平面，每層約3米)樓頂天臺(tái)上，進(jìn)行兩個(gè)操作步驟：①將平面鏡置于

天臺(tái)地面上，人后退至從鏡中能看到國(guó)貿(mào)大廈的頂部位置，測(cè)量出人與鏡子的距離為a,

米；②正對(duì)國(guó)貿(mào)中心，將鏡子前移a米，重復(fù)①中的操作，測(cè)量出人與鏡子的距離為生

米.然后計(jì)算出國(guó)貿(mào)中心的高度(如圖2).

實(shí)際操作中，第一小組測(cè)得s=90米，a=42",(3=48°,最終算得國(guó)貿(mào)中心高度為

〃；第二小組測(cè)得a=1.45米，a=12米，魚=1.4米，最終算得國(guó)貿(mào)中心高度為假

設(shè)他們測(cè)量者的“眼高h(yuǎn)n都為1.6

米.

圖1困2

(1)請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)幫兩個(gè)小組完成計(jì)算(參考數(shù)據(jù)：tan42°?0.9,

tan48°=——答案保留整數(shù)結(jié)果)；

tan42

(2)你認(rèn)為哪個(gè)小組的方案更好，說(shuō)出你的理由.

22.設(shè)圓寸+/-2x-15=0的圓心為M直線/過(guò)點(diǎn)及(-1,0)且與x軸不重合，/交圓

附于4,8兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)心作4"的平行線交網(wǎng)于點(diǎn)C.

(1)證明|西+|御|為定值，并寫出點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)C的軌跡為曲線￡直線/,:與曲線￡交于？。兩點(diǎn)，點(diǎn)/?為橢圓G

上一點(diǎn)，若△即?是以。。為底邊的等腰三角形，求4%?面積的最小值.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

1.在△45C中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且6=2,ff=45°,C=120°,則邊

c=()

A.A/2B.遮C.2D.76

【分析】由已知利用正弦定理即可求解.

解：'：b=2,8=45°,餐120°,

2c

由正弦定理［三一"，可得五=石，

sinosint——T-

22

：?解得Vs,

故選：D.

2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足<y>0,則目標(biāo)函數(shù)z=x-p的最大值是()

x+yC2

A.2B.1C.-1D.-2

【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)

解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

’x>0

解：由約束條件足、y>0作出可行域如圖，

Lx+y^2

化目標(biāo)函數(shù)z=x-v為y=x-z,

由圖可知，當(dāng)直線y=x-n過(guò)4(2,0)時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為2;

故選：A.

糖的質(zhì)量b克

糖水溶液（不飽和）的濃度計(jì)算公式為（a>b）,向糖水（不飽和）

3.?糖水的質(zhì)量a克

中再加入加克糖，那么糖水（不飽和）將變得更甜，則反應(yīng)這一事實(shí)的不等關(guān)系為（）

A上典B.電<文也C,文>立也D.?〈文也

aa+maatmaaaa

【分析】向糖水（不飽和）中再加入〃克糖，那么糖水（不飽和）將變得更甜，可知濃

度變大，即可得出.

解：向糖水（不飽和）中再加入〃克糖，那么糖水（不飽和）將變得更甜，可知濃度變

大.

由題意可得：—.

aa+m

故選：B.

22

4.已知雙曲線七-上5=1（a>0,b>0）的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的兩倍，則它的漸近線方程

為（）

A.y=±yXB.y=±V2xC.y=±2xD.y=±依x

【分析】由題意可得a=26,再由雙曲線的漸近線方程尸土2x可得所求.

a

22

解：雙曲線%-%=1（a>0,6>0）的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的兩倍，

a2/

可得a=2b,

它的漸近線方程為y=±—X,即y=±—X.

a2

故選：4

5.已知數(shù)列｛當(dāng)｝是等差數(shù)列，且設(shè)各3=50,56=19,則4=（）

A.3B.4C.7D.8

【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.

解：設(shè)等差數(shù)列｛d｝的公差為&?.?a+43=50,a6=19,

；?2e+14d=50,ai+5t/=19,

解得句=4,d=3,

則生=4+3=7.

故選：C.

6.已知a,6為實(shí)數(shù)，則“0VabV2”是“a<2”的（）

b

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】“0Va6V2”n“2<a<0或a<—u,“aV?”=?uQ<ab<2或aWO,b

bbb

>0或aVO,ab>2u,由此能求出結(jié)果.

解：a,6為實(shí)數(shù)，

uQ<ab<2n0<?；騛<—“，

bb

“aV=（（0<ab<2或aWO,b>0或aVO,ab>2"，

i,Q<ab<2n是“a<2”的既不充分也不必要條件.

b

故選：D.

7.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為

難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”.其大意

為：”有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天

的一半，走了6天后到達(dá)目的地”，則該人第4天走的路程為（）

A.96里B.48里C.24里D.12里

【分析】根據(jù)題意，可知此人每天所走的路程形成等比數(shù)列，且公比為3，前六項(xiàng)和為

378,所以可以可以解得首項(xiàng)，第4天走的路程為第4項(xiàng)可求.

【解答】解析：根據(jù)題意，可得此人所走的路程形成等比數(shù)列{4},其中q=^,S6=378,

6]

則--------------=378,

1---

2

解得a=192,

所以a4=192X-^-=24.

故選：C.

8.如圖，已知三棱錐0-48C,點(diǎn)黑〃分別是以，勿的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段砌上一點(diǎn)，且

MG=2GN,若記禰=:，OB=b,灰=3則沃=（）

O

M

A-4亭卓B-壬亭卓

c-臺(tái)亭卓D-系本卓

【分析】利用向量三角形法則、向量共線定理、平行四邊形法則即可得出.

解:營(yíng)證而MG=-|M而=祈一而,OM=yOA="1^ON=y<OB+OC)制

(b+C),

可得：0G=

ooo

故選：C.

9.已知實(shí)數(shù)a>0,b>0,且工'26=2,則土的最大值為()

aa

A102D.亨

BC.3

,9-f

【分析】先根據(jù)工'26=2得到工=2-26>0=0V6V1;再代入所求結(jié)合二次函數(shù)的性

aa

質(zhì)即可求解.

解：因?yàn)閷?shí)數(shù)a>0,b>Q,且工2。=2,

a

所以：—=2-2/>>0=>0<6<1,

a

'：—=b(2-26)=-2(A-4-)2+4；

a22

所以當(dāng)6=占時(shí)，工的最大值為士

2a2

故選：B.

10.已知雙曲線C.生_2_=1的左、右焦點(diǎn)分別為石、F,戶為雙曲線c上一點(diǎn)，直線/

,1692

分別與以石為圓心、月戶為半徑的圓和以鳥為圓心、AP為半徑的圓相切于點(diǎn)4B,則|48|

=()

A.277B.6C.8D.10

【分析】求得雙曲線的a,b,c,運(yùn)用直線和圓相切的性質(zhì)和雙曲線的定義、直角三角

形的勾股定理，解方程可得所求值.

22____

解：雙曲線J_=1的a=4,b=3,C=J16+9=5,

-169

可得A(-5,0),A(5,0),

由直線/與圓E,圓Q相切于4,B,

可得/A_L/,BF21.I,

過(guò)6作月垂足為“,

可得|KM=|48|,

設(shè)1所1=〃，\PFi\=n,可得m-〃=2a=8,

\F,H\=\AFy\-|防|=8,

在直角三角形片打〃中，可得|A//|=J|FIF2|2-|FIH|2=/I()2_82=6,

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共2小題，每小題5分，共10分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得。分.請(qǐng)把正

確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

11.四邊形步內(nèi)接于圓0,AB=CD=5,AD=3,NBCD=60°,下列結(jié)論正確的有（）

A.四邊形48微為梯形

B.圓。的直徑為7

C.四邊形ABCD的面積為55遮

4

D.△?!被的三邊長(zhǎng)度可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列

【分析】直接利用余弦定理三角形的面積公式的應(yīng)用和圓的內(nèi)接四邊形的應(yīng)用求出結(jié)果.

解：四邊形4坑步內(nèi)接于圓0,AB=CD=5,AD=3,ZBCD=60°,

所以NZW8=120°.

如圖所示：

連接4aBD,

在故中，利用余弦定理初AD*cos120°=9+25+15=49,

解得BD=7.

在△腦中，利用余弦定理用=5+初-2?CD*BOcos60°,

整理得49=BC?+25-2X5XBCX/,整理得：80=8或-3(負(fù)值舍去).

由于四邊形483內(nèi)接于圓0,

設(shè)N4DC=0,所以n-6,

在△/緲中，利用余弦定理A>C>cos0,

在中，利用余弦定理4?=/4+由-2?Ocos(n-6),

所以9+25-30cos0=25+64+2X5X8cos6,整理得cos0=-p

所以6=120°,即N47，=120°,

所以AD//BC,且48不平行CD.

則四邊形A5必為梯形.故4正確.

RD

設(shè)△/劭的外接圓直徑為2/?=.，<。-3,故8錯(cuò)誤.

sinl20--

2_

S四邊形ABCD??皿?研"sinl20°+^-CD-CB-sin60°—故C正確.

△/做的三邊長(zhǎng)度分別為3,5,7可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，故〃正確.

故選：ACD.

12.我們通常稱離心率為逅二的橢圓為“黃金橢圓”.如圖，已知橢圓

2

22

C：￥，^l（a〉b〉O）,4,4,R,8為頂點(diǎn)，F(xiàn)“Q為焦點(diǎn)，戶為橢圓上一點(diǎn)，

滿足下列條件能使橢圓。為“黃金橢圓”的有（）

PR

A

A.|4引，出引，|Q4|為等比數(shù)列

B.NAS4=90°

C.M_Lx軸，且。

D.四邊形4845的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)片，F(xiàn)2

【分析】對(duì)每個(gè)命題如果是正確的求出各個(gè)命題所在的橢圓的離心率即可.

解：/中若成等比數(shù)列則（2c）2=（a-c）（a-c）,即2c=a-c或2c=c-a（舍），

解得：￡=二手近二L所以4不正確；

a32

夕若NA84=90°,則由射影定理可得：OB^=FOOAz,即8=ca,c+ac-a=0,

即J+e-1=0,eG（0,1）,解得e=1二1;所以8正確；

2

,2止b

C若歷_Lx軸，所以。（（-c,旦_）,又々〃4區(qū)，則斜率相等，所以丁=旦，即

a--------a

-c

b=c,所以e=￡=~?=^=^=—,所以C不正確；

aVc2+c22

D,因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，若命題正確則內(nèi)切圓的圓心為原點(diǎn)，由圓的對(duì)稱性可知，

圓心到直線4笈的距離等于c,

因?yàn)橹本€48的方程為：三十工=1,即bx^ay-ab=0,所以原點(diǎn)到直線的距離d=

ab

ab

ab

由題意知：I"2~2=c,又斤=3-。2,整理得：a(a2-c)=c(2a-c),e-3e+1

Va'+b'

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.

13.拋物線/=%上的一點(diǎn)解到焦點(diǎn)的距離為2,則點(diǎn)附的縱坐標(biāo)是—學(xué)

【分析】利用拋物線的性質(zhì)，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離.

解：由拋物線方程x2jy,設(shè)"(x,力,準(zhǔn)線方程為x=-4,焦點(diǎn),(0,J),

2488

可得冊(cè)鼻廣(1二？，y=115

ooo

1R

故點(diǎn)〃的縱坐標(biāo)為.1.

故答案為：學(xué).

14.如圖，以長(zhǎng)方體/腦-48G4的頂點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)。的三條棱所在的直線為坐標(biāo)

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若函的坐標(biāo)為(2,3,4),則記的坐標(biāo)為(-2,3,

【分析】DB]=(2,3,4),可得8(2,3,4).進(jìn)而得到4G坐標(biāo).

解：DB]=(2,3,4),:.反(2,3,4).

：.A(2,0,0),G(0,3,4),

；.hC1=(0,3,4)-(2,0,0)=(-2,3,4),

故答案為：(-2,3,4),

15.已知命題“VxG[1,3],不等式f-a/4'0”為真命題，則a的取值范圍為(-

°°,4].

【分析】命題“VxG[1,3],x2-aA+4^0w是真命題oaWx+9(1W「3)恒成立，

X

令g(x)=A+—(1/A<3),利用基本不等式易求g(X)加〃=4,從而可得a的取值范

x

圍.

解：???當(dāng)x￡[1,3]時(shí)，4-初+420恒成立，

/.(1W后3)恒成立，令g(x)=A+—(1,

XX

則aWg(X)min,

4

VA+—^2jx*—=(當(dāng)且僅當(dāng)X=2時(shí)取“=”),

xVx

:?g(x)而〃=4,

:.司W(wǎng)4.

故答案為：(-8,4].

16.斐波那契數(shù)列(Fibonaccisequenc耳，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那

契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列",它是這

樣一個(gè)數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下

遞推的方法定義：3i=1,a=1,d=a〃-i+a〃-2("23,〃￡N*),記其前"項(xiàng)和為S,設(shè)

52019=t(亡為常數(shù))，貝I5O17+Soi6-5015-S()14=t(用力表不)，$017一甌19=一1

(用常數(shù)表示).

【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列｛d｝滿足條件,利用數(shù)列的前"項(xiàng)和的定義，即可得出S017+&16

一S015一S()14的值；

根據(jù)a〃=a〃_i+a〃-2可得an-2=an-an-\9求出前"項(xiàng)和留+/+…+d=癡-%由此求得So”

一生019的值.

解：斐波那契數(shù)列｛d｝滿足：51=1,52=1,a〃=a〃T+a〃一2(〃，3,〃￡N*),設(shè)4019=亡，

貝”：SO17+SO16一S()15-Soi4

=S()17一S()15+Soi6一S()14

=(a017+4016)+(生106+/015)

=^2018+52017

=/019

=t；

根據(jù)a〃=a"-i+a〃-2可得an-i=a?-an-\,

所以4+也+…+a〃=(a一級(jí))+(a&-備)+…+(a^2-)=a^2~32=3^1-1,

所以&J17一色019=(漱2-魚)-32019=-金=-1.

故答案為：t；-1.

四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.

解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.必須把解答過(guò)程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)

域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無(wú)效.

17.已知p:x-x-6^0,q:x-(2?1)x+ni+nf^O.

(1)若榕2,且pAg為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

(2)若g是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【分析】(1)分別求出。與g為真命題的x的取值范圍，取交集得答案；

(2)求解一元二次不等式化簡(jiǎn)命題q,把g是p的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為集合端點(diǎn)值間

的關(guān)系求解.

解：(1)p:(.x-3)(jt+2)20得；-2或x》3,

當(dāng)k2時(shí)，由q:X2-5A+6W0為真，得2WA<3,

pAq為真，即。，q都為真，

即[x<-2或x>3

[2^^^x3

...X的取值范圍為｛3｝;

(2)q:x-(2M1)x^m+n^Q,即g:(x-m)(x-m-1)WO,

q:,即q:[m,Ml].

是O的充分不必要條件，

.,.m1W-2或mN3,即-3或

綜上：q是p的充分不必要條件時(shí)，加的取值范圍為(-8,-3]U[3,+8).

18.已知等比數(shù)列｛aj滿足金=4,5334=128,數(shù)列｛a〃2｝是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛a〃｝和｛&｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛扇的前〃項(xiàng)和￡.

【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a,公比為q,運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解方程可得

首項(xiàng)和公比，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式a〃；由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得

(2)由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和.

【解答】解(1)因?yàn)閿?shù)列｛a〃｝是等比數(shù)列，故設(shè)首項(xiàng)為a“公比為q,

因?yàn)?=4,急a,=128所以@2口.@2口2=128,

所以4=8,解得q=2,所以a=2,

n

所以數(shù)列｛a.｝的通項(xiàng)公式為an=2,

因?yàn)椋鸻￡｝是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列,

所以a￡=1+(n-1)=/7,

-n

因?yàn)閍n=2"，所以

23n

⑵由(1)^Sn=l^+2<y)+3<y)+……+n-(y),

234

同乘5得:ySn=l*(-1-)+2*(-1-)+3-(y)++n?g嚴(yán)I

作差得:‘Sn卷+g)2+g)'……+?)n-n嗎嚴(yán)I

即/￡=1-

n+2

所以S=2-

n2n,

19.在△48C中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,JLbsinB=as\nA-(ZH-c)sinC.

(1)求角力的大小.

(2)若打邊上的中線AD=2?,ASAABC=273,求△48C的周長(zhǎng).

【分析】(1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式得：t｝=a-bc-c,由余弦定理得cos4的值，

結(jié)合范圍/G(0,n),可求4的值.

(2)方法一：由三角形的面積公式可求6c=8,在劭中，△47C中，由余弦定理得

2

2

b2+c2=^+24j聯(lián)立方程可求a=8,6+C=56,6C=8,即可解得加c的值，從而可

求△4%的周長(zhǎng)的值.方法二：利用三角形的面積公式可求歷=8,由(1)知6+d=3

-8,利用平面向量的運(yùn)算可得

AD2=^(AB+AC)2,得48=3+3-bc=(ZH-c)2-3bc,聯(lián)立方程即可解得△4仇7的周

長(zhǎng)，方法三：利用三角形的面積公式可求6c=8,由(1)知〃+c2=a2-8②，延長(zhǎng)4?到

E,使/￡=247,由余弦定理得斤+。2-兒=48,聯(lián)立方程可求△48C的周長(zhǎng)的值.

解：(1)由已知Asinb=asin/-(/H-c)sinC,

由正弦定理得：t)=a-bc-c,

b2+02-a21

由余弦定理得:cosA-

2bc2

在中，因?yàn)?G(0,n),

所以A片二

o

,

(2)方法-：djSAABC=ybcsinA=-^-bc=2V3得6c=8①,

由(1)t)=a-be-c9即〃+，=才一8②，

222

在△/劭中，由余弦定理得：c=(y)+(2V3)-2-2V3-1-COSZADB,

在中，由余弦定理得：b2=(*1)2+(2炳)2-2?2的mcos/ADC,

2

0cosZADB=-cosAADC,所以b2+c2=色+24③，

由①②③，得a=8,Z?2+C=56,bc=8,

^r?b+c=V(b+c)2=Vb2+c2+2bc=V72=6V2?

所以的周長(zhǎng)a+b+c=8+6&,

:>

方法二：SAABC|-bcsinA=2V3?得6c=8①，

由(1)知N+cLaZ-g②，

75"昔(疝+正)2得48=斤+02-。。=(ZH-c)2-3bc?,

由①②③得b+c=6加，a=8,

所以的周長(zhǎng)a+b+c=8+6

>

方法三：SAABC^■bcsinA=2V3得6c=8①，

由(1)知及92=3-8②，

延長(zhǎng)47到￡便4E=240,

在AABE中NABE=60°,AE=2AD=4?,

余弦定理得b2+c2-2bccos60°=(4/3)2?即的^-歷=48③,

由①②③得b+c=6，^,a=8,

所以的周長(zhǎng)a+b+c=8+6我，

BD

E

20.如圖，已知斜三棱柱48C-4SG中，ZBCA=9Q°,AC=BC=2,4在底面4SC上的射

影恰為4c的中點(diǎn)。，且A1D=V3.

(1)求證：46>L4G;

(2)求直線43與平面48G所成角的正弦值；

(3)在線段GC上是否存在點(diǎn)用使得二面角"-45-G的平面角為90°?若存在，確

定點(diǎn)"的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)方法一：作廢■■L4C交四于點(diǎn)￡分別以DC,以所在直線為x,y,

z軸通過(guò)向量的數(shù)量積求解證明AB±AG.

方法二：證明/1G>L4C.證明8c_L47,BCLA'D,然后證明8CJ■面4第4,推出

即可證明/GJ■面ABC,推出4BLAa.

(2)方法一：求出面48G的一個(gè)法向量，結(jié)合不=(2,1,-V3),利用空間向量

的數(shù)量積求解直線45與平面48G所成角的正弦函數(shù)值即可；

方法二：說(shuō)明N4故即為所要求，在RtZk4被中，轉(zhuǎn)化求解即可.

(3)方法一：不存在，設(shè)而=入西=(0,入，加入)，(0W入W1)求出面MAB

的一個(gè)法向量，利用向量的數(shù)量積為：0,轉(zhuǎn)化求解判斷即可.

方法二：面48，L面48G,推出第與面48〃的交點(diǎn)人為必與4。的交點(diǎn)，且欄-耳,

NL]N

所以在線段笫上不存在點(diǎn)照滿足要求.

【解答】證明：(1)方法一：作DELAC交AB于點(diǎn)、E,分別以巫，DC,ZM,所在直線為

x,y,z軸建系

A(0,-1,0),C(O,1,0),B⑵1,0),Ai(0,0,收，C/0,2,圾),

所以，A1B=(2,1,-百)，AC^=(0,3,5/3),

ApB'AC^=0+3-3=0,所以48_L4G.

方法二：在中，AD=1,A業(yè)=仃得44=2,N44?=60°

所以四邊形4第4為菱形，得/G-L4G.

大BCLAC,BCL4D,ACC\A,D=D,AC,4/fc面/比14,所以6CJ■面加G4,

因?yàn)?Gu面ACC\A\,所以AC\-LBC,

又因?yàn)?01坑=6,4aB紀(jì)面ABC

所以4G，面48C,因?yàn)?氏面48a所以4艮L4G.

(2)方法一：因?yàn)槊?8G〃面四C,所以面48G的一個(gè)法向量為需(0,0,1),

因?yàn)锳1B=（2,1,一百），所以A1B'm=-V3>IA1B|=M4+l+3=2五,

cos〈率,、〉-1點(diǎn)呼,

設(shè)線48與平面48G所成角為a,sinCl=|cos<B.m>1=^-

方法二：因?yàn)槊?86〃面/8C,所以線48與平面48c所成的角等于48與面48c所成

的角，所以N4故即為所栗求.

在RS4劭中，A^=73,A[B=2&,sin/A/D=嘉黑,

線46與平面48G所成角的正弦值為返.

4

（3）方法一：不存在，設(shè)CM=、CC1=（O,入，向入），（0W入W1）

A1B；=AB=（2,2,0）,AjJ=A^C+CM=（0）入+1,如人-如）,

設(shè)面題4出的一個(gè)法向量為W=（x,y,z）

有

x=-y

AjBj?n=0J2x+2y=0

=((入+l)y+(?入M)z=0(X+l)y

AjMen=0

X+1*-?fX+1

n=(l?"1(),m,n=r--7=-=0,得人=T.

正入-孤V3人-V3

所以不存在點(diǎn)照滿足要求.

方法二：面48?面45G,

第與面48。的交點(diǎn)〃為約與4〃的交點(diǎn),

21.在數(shù)學(xué)建模課上，老師給大家?guī)?lái)了一則新聞：“2019年8月16日上午，423米的東

莞第一高樓民盈?國(guó)貿(mào)中心2號(hào)樓（以下簡(jiǎn)稱“國(guó)貿(mào)中心”）正式封頂，隨著最后一方

混凝土澆筑到位，標(biāo)志著東莞最高樓紀(jì)錄誕生，由東莞本地航母級(jí)企業(yè)民盈集團(tuán)刷新了

東莞天際線，比之前的東莞第一高樓臺(tái)商大廈高出134米.”在同學(xué)們的驚嘆中，老師

提出了問(wèn)題：國(guó)貿(mào)中心真有這么高嗎？我們能否運(yùn)用所學(xué)知識(shí)測(cè)量驗(yàn)證一下？一周后，

兩個(gè)興趣小組分享了他們各自的測(cè)量方案.

第一小組采用的是“兩次測(cè)角法”：他們?cè)趪?guó)貿(mào)中心隔壁的會(huì)展中心廣場(chǎng)上的4點(diǎn)測(cè)得

國(guó)貿(mào)中心頂部的仰角為a,正對(duì)國(guó)貿(mào)中心前進(jìn)了s米后，到達(dá)8點(diǎn)，在8點(diǎn)測(cè)得國(guó)貿(mào)中

心頂部的仰角為B,然后計(jì)算出國(guó)貿(mào)中心的高度（如圖1）.

第二小組采用的是“鏡面反射法”：在國(guó)貿(mào)中心后面的新世紀(jì)豪園一幢11層樓（與國(guó)貿(mào)

中心處于同一水平面，每層約3米)樓頂天臺(tái)上，進(jìn)行兩個(gè)操作步驟：①將平面鏡置于

天臺(tái)地面上，人后退至從鏡中能看到國(guó)貿(mào)大廈的頂部位置，測(cè)量出人與鏡子的距離為a,

米；②正對(duì)國(guó)貿(mào)中心，將鏡子前移a米，重復(fù)①中的操作，測(cè)量出人與鏡子的距離為&

米.然后計(jì)算出國(guó)貿(mào)中心的高度(如圖2).

實(shí)際操作中，第一小組測(cè)得s=90米，a=42°,B=48°,最終算得國(guó)貿(mào)中心高度為

〃；第二小組測(cè)得當(dāng)=1.45米，a=12米，生=1.4米，最終算得國(guó)貿(mào)中心高度為假

設(shè)他們測(cè)量者的“眼高h(yuǎn)n都為1.6

米.

a132

(1)請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)幫兩個(gè)小組完成計(jì)算(參考數(shù)據(jù)：tan42°七0.9,

tan48°=一答案保留整數(shù)結(jié)果)；

tan42

(2)你認(rèn)為哪個(gè)小組的方案更好，說(shuō)出你的理由.

【分析】(1)第一小組：在N4BCD,RtZk/曲中求得BC,AC,由AC-BC=s,可得

嗎一組一=s,可求解3的值，可得”的值，第二小組：先求得星，F(xiàn)Q,由R?

tanatanp

(ai-aJ，PQ

-FQ=a,得—\_2-----=可求用，進(jìn)而可求〃的值.

h

(2)逐一分析兩種方案的優(yōu)點(diǎn)和不足