第一章三角形的證明單元測試卷2023-2024學(xué)年北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊

出卷網(wǎng)出卷網(wǎng)（） 北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明單元測試卷一、選擇題1．已知等腰三角形一邊長為2，周長為8，則它的腰長為（）A．2 B．3 C．4 D．52．等腰三角形中一個外角等于100°，則另兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為（）A．40°，40° B．80°，20°C．50°，50° D．50°，50°或80°，20°3．下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）A．、、 B．2、3、4 C．6、7、8 D．9、12、154．如圖，在中，，，邊的垂直平分線分別交，于，兩點，則的周長為（）A． B． C． D．5．如圖，已知BG是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，DE＝5，則DF的長度是（）A．3 B．4 C．5 D．66．等腰三角形的一個內(nèi)角是，則它的一個底角的度數(shù)是（）A． B． C．或 D．或7．如圖，已知四邊形ABCD中，，，，，，則這個圖形的面積為（）A．48 B．54 C．24 D．608．如圖，在趙爽弦圖中，已知直角三角形的短直角邊長為，長直角邊長為，大正方形的面積為20，小正方形的面積為4，則的值是（）A．10 B．9 C．8 D．79．下列條件中，不能判定直線MN是線段AB（M，N不在AB上）的垂直平分線的是（）A．MA=MB，NA=NB B．MA=MB，MN⊥ABC．MA=NA，MB=NB D．MA=MB，MN平分AB10．如圖，在中，，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點P，畫射線與交于點D，，垂足為E．則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，點在內(nèi)，因為，，垂足分別是、，，所以平分，理由是．12．如圖，的兩邊的垂直平分線分別交于D、E，若，則的度數(shù)為．13．如圖，有一臺救火飛機沿東西方向，由點飛向點，已知點為其中一個著火點，已知，，，飛機中心周圍以內(nèi)可以受到灑水影響，若該飛機的速度為，則著火點受到灑水影響秒14．如圖，在中，，，分別以點，為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點，作直線交于點，并與的平分線交于點，連接，與相交于點，則度．三、作圖題15．如圖，已知，請用尺規(guī)作圖法在BC邊上找一點P，使得．（不寫作法，保留作圖痕跡）16．已知點是邊上一點．求作：點，使得，且點到兩邊的距離相等．（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）四、解答題17．如圖，在中，，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且，．（1）求證：是等腰三角形；（2）當(dāng)時，求的度數(shù)．18．如圖，已知，垂足是C，且點C為的中點，.求證：.19．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE是線段AB的垂直平分線，交AB于點D，交AC于點E．求∠EBC的度數(shù)．20．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5，BD=2.5，求AC的長.五、綜合題21．如圖，△ABD、△AEC都是等邊三角形，直線CD與直線BE交于點F．（1）求證：CD=BE；（2）求∠CFE的度數(shù)．22．如圖，中，，，點F為延長線上一點，點E在上，且．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．23．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，D為AB中點，點E在直線BC上(點E不與點B，C重合)，連接DE，過點D作DF⊥DE交直線AC于點F，連接EF．（1）如圖(a)，當(dāng)點F與點A重合時，請直接寫出線段EF與BE的數(shù)量關(guān)系：（2）如圖(b)，當(dāng)點F不與點A重合時，證明：AF2+BE2=EF2；（3）若AC=5，BC=3，EC=1，請直接寫出線段AF的長．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：①當(dāng)長度為2的邊是等腰三角形的底邊時，等腰三角形的腰長為(8-2)÷2=3，

∵2+3＞4，故此種情況符合題意，即該等腰三角形的腰長為3；

②當(dāng)長度為2的邊是等腰三角形的腰長時，等腰三角形的底邊長為8-2-2=4

∵2+2=4，故此種情況不符合題意，即該等腰三角形不存在，

綜上等腰是哪些的腰長為3.故答案為：B.【分析】由于長度為2的邊長沒有明確告知是等腰三角形的腰長還是底邊長，故需要分類討論：①當(dāng)長度為2的邊是等腰三角形的底邊時，②當(dāng)長度為2的邊是等腰三角形的腰長時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)算出該三角形的腰或底邊的長，進而根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷能否圍成三角形進行排除即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：①當(dāng)這個100°的外角是頂角處的外角時，由鄰補角定義可得該等腰三角形的頂角為80°，則兩底角的度數(shù)為(180°-80°)=50°，此時另兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為50°，50°；

②當(dāng)這個100°的外角是底角處的外角時，由鄰補角定義可得該等腰三角形的底為80°，則頂角的度數(shù)都為180°-80°-80°=20°，此時另兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為80°，20°

綜上該等腰三角形另外兩個內(nèi)角的度數(shù)為50°，50°或80°，20°.

故答案為：D.

【分析】分類討論：①當(dāng)這個100°的外角是頂角處的外角時，②當(dāng)這個100°的外角是底角處的外角時，分別根據(jù)鄰補角定義求出其相鄰內(nèi)角的度數(shù)，進而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可算出另外兩個內(nèi)角的度數(shù).3．【答案】D【解析】【解答】解：A、，故三邊不能構(gòu)成直角三角形；

B、22+32≠42，故三邊不能構(gòu)成直角三角形；

C、62+72≠82，故三邊不能構(gòu)成直角三角形；

D、92+122=152，故三邊能構(gòu)成直角三角形.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，一個三角形的三邊滿足較小兩邊的平方和等于最大邊長的平方，則該三角形就是直角三角形，據(jù)此逐項判斷得出答案.4．【答案】C【解析】【解答】解：∵MN是AB邊的垂直平分線，

∴MA=MB，

∴△ACM的周長AC+CM+AM=AC+CM+MB=AC+BC，

∵AC=6，BC=10，

∴△ACM的周長=AC+BC=16，故答案為：C.

【分析】線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等。5．【答案】C【解析】【解答】解：∵BG是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，DE＝5，

∴DF=DE=5；

故答案為：C.

【分析】角平分線上的點到角兩邊的距離相等，據(jù)此解答即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：當(dāng)?shù)慕鞘堑捉菚r，底角即為；當(dāng)?shù)慕鞘琼斀菚r，底角為；∴它的一個底角的度數(shù)是或，故選：．【分析】分的角是底角和頂角兩種情況解答即可求解．7．【答案】C8．【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)題意得，大正方形的面積=小正方形的面積+4×直角三角形的面積，

即20=4+4×ab，

∴ab=8.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)勾股定理的證明可得大正方形的面積=小正方形的面積+4×直角三角形的面積，列出式子求解，即可求得.9．【答案】C【解析】【解答】解：∵MA=MB，NA=NB，∴直線MN是線段AB的垂直平分線；∵MA=MB，MN⊥AB，∴直線MN是線段AB的垂直平分線；當(dāng)MA=NA，MB=NB時，直線MN不一定是線段AB的垂直平分線；∵MA=MB，MN平分AB，∴直線MN是線段AB的垂直平分線，故選：C．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定定理進行判斷即可．10．【答案】D【解析】【解答】由作圖可知：AD平分∠CAB

∴∠CAD=∠BAD，·······················································A正確，不合題意；

∵DE⊥AB，

∴∠DEA=90°=∠C

∵AD為公共邊

∴

∴CD=DE，····································································B正確，不合題意；

∵AC=3，AB=5，∠C=90°

∴BC=4

由B知：AE=AC=3，

∴BE=2

設(shè)CD=DE=x，則BD=4-x

∴

即

解得x=

∴CD=DE=，BD=，···········································C正確，不合題意；

∴，·······D錯誤，符合題意；

故答案為D

【分析】本題考查勾股定理，角平分線的性質(zhì)及三角形全等。根據(jù)題中描述，能明確AD是角平分線是解題關(guān)鍵。根據(jù)勾股定理求解即可。11．【答案】角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的角平分線上【解析】【解答】解：由題意可得：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的角平分線上.

故答案為：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的角平分線上.

【分析】根據(jù)角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的角平分線上，可得答案.12．【答案】【解析】【解答】解：∵△ABC的兩邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于點D、E，

∴AD=BD，AE=CE，

∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，

設(shè)∠B=∠BAD=x，∠C=∠CAE=y，∠DAE=z，

∴∠BAC=x+y+z，

∵∠BAC+∠DAE=x+y+2z=150°①，∠B+∠BAC+∠C=2x+2y+z=180°②，

∴①+②得3x+3y+3z=330°，

∴x+y+z=110°，即∠BAC=110°.故答案為：110°.【分析】由線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得AD=BD，AE=CE，由等邊對等角得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，設(shè)∠B=∠BAD=x，∠C=∠CAE=y，∠DAE=z，則∠BAC=x+y+z，然后可得出x+y+2z=150°①，2x+2y+z=180°②，進而將兩式相加可得答案.13．【答案】【解析】【解答】解：過作于，設(shè)，在上，且，如圖：，，，，，，，，，，著火點受到灑水影響的時間為秒；故答案為：．

【分析】過C作CH⊥AB于H，由勾股定理的逆定理得∠ACB=90°，再根據(jù)勾股定理求解即可。14．【答案】73【解析】【解答】解：∵∠B=36°，∠ACB=74°，

∴∠BAC=180°-36°-74°=70°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠BAC=×70°=35°，

∵DF垂直平分BC，

∴BF=CF，

∴∠FCB=∠B=36°，

∴∠AFM=∠B+∠FCB=72°，

∴∠AMF=180°-35°-72°=73°，故答案為：73.

【分析】先利用角平分線的定義求出∠BAD=∠BAC=×70°=35°，再利用垂直平分線的性質(zhì)可得∠FCB=∠B=36°，再利用角的運算求出∠AMF的度數(shù)即可.15．【答案】解：如圖，點為所作．【解析】【分析】由圖形可知，點P在線段BC上，PC=AP，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，點P在AC的垂直平分線上，故利用尺規(guī)作圖作出作出AC的垂直平分線即可.16．【答案】解：如圖，點P即為所求．【解析】【分析】由題可知點P既在過點B且垂直于AN的直線上，又在∠MAN的角平分線上，所以尺規(guī)作圖分別作∠MAN的角平分線和過點B作AN的垂線，兩線的交點也即點P。17．【答案】（1）證明：∵，，，，，，∴是等腰三角形；（2）解：∵，，，，，．【解析】【分析】（1）由等邊對等角得∠B=∠C，從而根據(jù)ASA判斷出△DBE≌△ECF，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得DE=EF，可根據(jù)有兩邊相等的三角形是等腰三角形得出結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得∠B=72°，由三角形的內(nèi)角和定理求出∠BDE+∠1=108°，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得∠BDE=∠FEC，由等量代換得出∠FEC+∠1=108°，最后根據(jù)平角定義可求出∠DEF的度數(shù).18．【答案】證明：∵，∴.∵點C是的中點，∴.在和中，AB=DEBC=EC，∴.19．【答案】解：∵∠C=90°，∠A=36°，∴∠ABC=90°﹣36°=54°，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=54°﹣36°=18°．【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC，根據(jù)線段垂直平分線得出AE=BE，求出∠ABE，相減即可求出答案．20．【答案】解：作DE⊥AB于E，∵∠1=∠2，∠C=90°，∴DE=CD=1.5.在△BDE中，∵∠BED=90°，∴BE===2.∵Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE，∵CD=1.5BD=2.5∴BC=1.5+2.5=4∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴即∴∴AC=3.【解析】【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形全等的判定和勾股定理。角平分線上的點到角兩邊的距離相等，需要作DE⊥AB于E，根據(jù)∠1=∠2和CD=1.5，可得D到AB的距離即DE=1.5，AE=AC，結(jié)合BD長，應(yīng)用勾股定理，求出BE=2，BC=4，在Rt△ABC中，根據(jù)，可得，得出AC=321．【答案】（1）證明：∵△ABD、△AEC都是等邊三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，∠CAE=60°，∵∠DAB=∠DAC+∠CAB，∠CAE=∠BAE+∠CAB，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，∴△DAC≌△BAE，∴CD=BE（2）解：∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC=∠ABE，∴∠CFE=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠DBA+∠ABF=∠BDF+∠DBA+∠ADC=∠BDA+∠DBA=60°+60°=120°【解析】【分析】（1）利用△ABD、△AEC都是等邊三角形，證明△DAC≌△BAE，即可得到CD=BE；（2）由△DAC≌△BAE，得到∠ADC=∠ABE，再由∠CFE=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠DBA+∠ABF，即可解答．22．【答案】（1）證明：在和中（2）解：，【解析】【分析】（1）先求出∠ACF=90°，再利用三角形全等的判定方法證明即可；

（2）根據(jù)題意先求