2021年全國高考真題乙卷數(shù)學(xué)（理）試題（含答案解析）

絕密★啟用前

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)2（z+z）+3（z-z）=4+6i,貝ijz=（）

A.l-2zB.l+2zC.1+zD.1-/

2.已知集合5=卜卜=2〃+1,〃62},T={f'=4〃+l,"eZ},則S?T（）

A.0B.SC.TD.Z

3.已知命題〃：*￡R,sinxv1；命題q:VxwR,e*Nl，則下列命題中為真命題的是（）

A.PMB.-PgC.D.

1—Y

4.設(shè)函數(shù)/（x）=——，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（）

1+x

A../"（X-1）-1B./（X—1）+1C./（x+1）-1D..f（x+l）+l

5.在正方體ABC。—4月￡。中，P為的中點(diǎn)，則直線與AQ所成的角為（）

兀f兀一兀_兀

A.-B.-C.—D.一

2346

6.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分

配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

17T

7.把函數(shù)y=/（x）圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移人個(gè)

23

單位長度，得到函數(shù)丁=5皿卜一?

的圖像，則/(x)=()

.(XlxX71

A.sin------B.sin—+一

(212212

sin2》-上D.sinI2xH---

C.I12I12

7

8.在區(qū)間(0,1)與(1,2)中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于一的概率為()

4

7B喘0卷

A.D

9-1

9.魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高.如圖，點(diǎn)E，”,G

在水平線AC上，OE和Q是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”,

GC和硝都稱為“表目距”，GC與咫的差稱為“表目距的差”則海島的高鉗二()

表高X表距主言表高*表距.一表高

A表目距的差一表問

表目距的差

表高X表距c表高X表距一

c表目距的差+表距表目距的差表距

10.設(shè)aH0,若x=a為函數(shù)/(x)=a(x—a)2(x—。)的極大值點(diǎn)，則()

Aa<bB.a>bC.ab<a2D.ah>a2

尤22

11.設(shè)8是橢圓C：F+=1(?>/?>0)上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)戶都滿足1尸3區(qū)3,則C的離心

a瓦

率的取值范、圍是()

D.。，；

A.與B.plc

7-H

12.設(shè)Q=21nl.01,Z?=lnl.O2,c=—1.則()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知雙曲線C:二—丁=1（根＞0）的一條漸近線為Jir+my=（），則C的焦距為.

m

14.已知向量￡=（1,3）,B=（3,4）,若則4=

15.記AAHC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a",c,面積為百，3=60。，/=3加，則）=

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選

側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖④圖⑤

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和

一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為1和7,樣本方差分別記為S；和S；.

⑴求X,y,S；,S；；

i,則認(rèn)為

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果,_元22.

新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).

18.如圖，四棱錐P—A8CZ)的底面是矩形，底面ABC。，PD=DC=1,〃為3c的中點(diǎn)，且

PBLAM.

⑴求8C；

(2)求二面角A—PM—3的正弦值.

21

19.記S,為數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和，/為數(shù)列｛S.｝的前〃項(xiàng)積，已知相+區(qū)=2.

⑴證明：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；

(2)求｛4｝的通項(xiàng)公式.

20.設(shè)函數(shù)/(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=?(x)的極值點(diǎn).

(1)求4；

x+r(%)

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=―證明:g(x)<L

xf[x｝

21.已知拋物線。：彳2=2外(0>0)的焦點(diǎn)為尸，且尸與圓M:l+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為

4.

(1)求〃；

(2)若點(diǎn)P在M上，24,是C的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，求△尸AB面積的最大值.

(二)選考題，共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

22.在直角坐標(biāo)系宜方中，G)C的圓心為。(2,1),半徑為1.

(1)寫出OC的一個(gè)參數(shù)方程；

(2)過點(diǎn)尸(4,1)作OC的兩條切線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線

的極坐標(biāo)方程.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知函數(shù),f(x)=|x-a|+k+3|.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求不等式/(x)?6的解集；

(2)若〃x)>—。，求a的取值范圍.

絕密★啟用前

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)2（z+z）+3（z-z）=4+6i,則2=（）

A.1-2/B.l+2zC.1+zD.1-i

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)z=a+4,利用共輾復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于。、。的等式，解出這兩個(gè)未知

數(shù)的值，即可得出復(fù)數(shù)z.

【詳解】設(shè)2=。+初，則胃=。一次，則2（z+z）+3（z-z）=4a+6友=4+6,，

4a=4

所以，〈，解得。=8=1,因此，z=1+/.

6b=6

故選：C.

2,已知集合5=［卜=2〃+1,〃62},T={4f=4〃+l,〃eZ},則S?T（）

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【解析】

【分析】分析可得T=S,由此可得出結(jié)論.

【詳解】任取fwT,則f=4"+l=2?（2〃）+l,其中〃eZ,所以，t^S,故T=

因此，SC\T=T.

故選：C.

3.已知命題p：玉eR,sinx<1；命題,e1'1>j,則下列命題中為真命題的是()

A.P^qB.C.PAfD.->(pvq)

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題?的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識(shí)確定命題夕的真假性，由此確定正

確選項(xiàng).

【詳解】由于—iWsinxWl,所以命題「為真命題；

由于國之。，所以所以命題q為真命題；

所以〃八4為真命題，—p八q、〃八r、」(pvq)為假命題.

故選：A.

4.設(shè)函數(shù)/(x)=±W,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

1+x

A.f(x—1)—1B./(x-1)+1C../(x+1)-1D.f(x+1)+1

【答案】B

【解析】

【分析】分別求出選項(xiàng)的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.

1_r9

【詳解】由題意可得/*)=——=-1+——，

1+X1+X

2

對(duì)于A,y(x-i)-i=一一2不是奇函數(shù)；

X

2

對(duì)于B,7(X—1)+1=一是奇函數(shù)；

X

2

對(duì)于c,y(x+i)-i=------2,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；

x+2

2

對(duì)于D,/(X+1)+1=-,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學(xué)生對(duì)概念的理解，是一道容易題.

5.在正方體-中，尸為BQi的中點(diǎn)，則直線形與A2所成的角為（）

兀兀兀兀

A.-B.-C.-D.一

2346

【答案】D

【解析】

【分析】平移直線A2至BG，將直線P8與AA所成的角轉(zhuǎn)化為PB與BG所成的角，解三角形即可.

【詳解】

如圖，連接6G，PG，P8,因?yàn)?/p>

所以NPBG或其補(bǔ)角為直線PB與AD］所成的角，

因?yàn)?用_L平面所以8g，PG，又PC1上BQi，BBiCBQi，

所以PG_L平面PBB、,所以pqj.PB,

設(shè)正方體棱長為2,則=20,P&=g,

sinZPBC,=所以

故選:D

6.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分

配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【解析】

【分析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法

原理求得.

【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中

任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位

置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有41種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有

C；x4!=240種不同的分配方案，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排

思想求解.

7.把函數(shù)y=/(x)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的5倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移§個(gè)

單位長度，得到函數(shù)》=$抽(％-￡］的圖像，則/*)=()

【答案】B

【解析】

71

【分析】解法一：從函數(shù)y=/(x)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得至勤=/2X------

.（萬）

即得了2%——?=sinx----,再利用換元思想求得y=fM的解析表達(dá)式;

<4,

解法二：從函數(shù)y=sin(x

出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到y(tǒng)=/(x)的解析表

達(dá)式.

【詳解】解法一：函數(shù)y=/(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=/(2x)

的圖象，再把所得曲線向右平移?個(gè)單位長度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫統(tǒng)=/的圖象，

根據(jù)已知得到了函數(shù)y=sin(無一北的圖象，所以/2卜一三=sin"）,

zt兀71t7C

令,!HiJx=-+—,x-------1-----

Wf234212

所以/(f)=sin(5+^),所以/(x)=sin[：+5

解法二：由已知的函數(shù)y=sin[x-7)逆向變換，

第一步：向左平移2個(gè)單位長度，得到y(tǒng)=sinx+g-g=sinx+三的圖象，

313I12)

第二步：圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin[]+3]的圖象,

即為y=/(x)的圖象，所以/(力=$也心+總.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和伸縮變換，屬基礎(chǔ)題，可以正向變換，也可以逆向變換求解，

關(guān)鍵是要注意每一步變換，對(duì)應(yīng)的解析式中都是x的變換，圖象向左平移。個(gè)單位，對(duì)應(yīng)x替換成x+a,

圖象向右平移“個(gè)單位，對(duì)應(yīng)x替換成x-牢記“左加右減”口訣；圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)仰長或縮短到原

X

來的k倍，對(duì)應(yīng)解析式中X替換成一.

K

7

8.在區(qū)間(0,1)與(1,2)中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于一的概率為()

4

72392

A.-B.—C.—D.一

932329

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)從區(qū)間(0,1),。,2)中隨機(jī)取出的數(shù)分別為x,y,則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?/p>

。={(3)|0<x<l,l<y<2},設(shè)事件A表示兩數(shù)之和大于則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?/p>

A="x,y)[0<x<l,l<y<2,x+yt1,分別求出。,A對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的的概率公式即

可解出.

y

、2

7

B（oq）

【詳解】如圖所示:1

X

設(shè)從區(qū)間（0,1）,（1,2）中隨機(jī)取出的數(shù)分別為x,y,則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?/p>

Q=｛（x,y）|o<x<l,l<y<2｝,其面積為$=1x1=1.

設(shè)事件A表示兩數(shù)之和大于（，則構(gòu)成的區(qū)域的A=｛（x,y）0<x<l,l<y<2,x+y）：｝,即圖中的陰影

13劣23S23

部分，其面積為集=1一一x-x-=—,所以P（A）=d=n

24432Sn32

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃解決兒何概型中的面積問題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出事件Q,A對(duì)應(yīng)的區(qū)

域面積，即可順利解出.

9.魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高.如圖，點(diǎn)E，H,G

在水平線AC上，OE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”,

GC和EH都稱為“表目距”，GC與E”的差稱為“表目距的差”則海島的高AB=（）

表高x表距D表高x表距主一

表目距的差+表目距的差一表圖

表高x表距「表高x表距―

,表目距的差表距

表目距的差

【答案】A

【解析】

【分析】利用平面相似的有關(guān)知識(shí)以及合分比性質(zhì)即可解出.

【詳解】如圖所示：

DFFHFGCG

由平面相似可知，——=——，一■=一■，而DE=FG,所以

ABAHABAC

DEEH_CG_CG-EH_CG-EH

,而CH=CE-EH=CG-EH+EG,

AC-AH~~CH

表高x表距

即AB=CG—EH+EGXDE=EGXDE.DE+表高.

CG-EHCG-EH一表目距的差

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出.

10.設(shè)GHO,若x為函數(shù)〃x)=a(x-a)2(x—"的極大值點(diǎn)，則()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合對(duì)“進(jìn)行分類討論，畫出/(x)圖象，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】若a=。，則/(x)=a(x—a)3為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故標(biāo)b.

依題意，x=“為函數(shù)〃x)=a(x—々口》—Z?)的極大值點(diǎn)，

當(dāng)”0時(shí)，由龍>人，/(%)<(),畫出“X)的圖象如下圖所示:

由圖可知b<a,a<0,故a匕〉

當(dāng)a>0時(shí)，由時(shí)，/(%)>0,畫出/(力的圖象如下圖所示:

由圖可知h>a,a>0，故a/?〉".

綜上所述，加?>/成立.

故選：D

【點(diǎn)睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.

22

11.設(shè)8是橢圓C:]+與=l(a>b>0)的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)戶都滿足1尸3區(qū)3,則C的離心

ab

率的取值范圍是(

AM11D.*

A.—，1B.c

L7z-H.

【答案】c

【解析】

【分析】設(shè)由3((),。)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出|P8|,分類討論求出|尸用的最大值，再

構(gòu)建齊次不等式，解出即可.

22

222

【詳解】設(shè)。(%,%)，由8(0,力)，因?yàn)槠?磐=1，a=b+c,所以

a~b~

(2\?2(.3\2,4

-=_+22

|P§|2=片+(%-好=4］一/+(y0^)"7Ty()~+—+a+b,

IhJh\cJc

>3

因?yàn)椤猙<y0"，當(dāng)一彳w—b，即時(shí)，|盟:=4)2,^\PB\nm=2h,符合題意，由從2/可

得a222c2,即0<e?也；

2

當(dāng)一耳>一人，即/<。2時(shí)，|PB|2=2+/+/，即4?+/+/<4〃，化簡得，(/—/)2。，顯

然該不等式不成立.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出|「耳的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論

函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值.

12.設(shè)a=21nl.01,Z?=lnl.O2,C=A/LO4-1.則()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】

【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對(duì)。力的大小作出判定，對(duì)于〃與c,b與c的大小關(guān)系，

將0.01換成X,分別構(gòu)造函數(shù)/(x)=21n(l+x)-Jl+4x+Lg(x)=ln(l+2x)-，1+4X+1,利用導(dǎo)數(shù)分

析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合40)=0,g(0)=0即可得出。與c,0與c的大小關(guān)系.

【詳解】?=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=^,

所以

下面比較c與。力的大小關(guān)系.

222

記〃x)=21n(l+x)-Jl+4x+lJiV(())=0,/(x)=

]+xJl+4x(1+x)Jl+4x

由于l+4x-(l+x)-=2x-x2=x(2-x)

所以當(dāng)0<v<2時(shí),l+4x—(1+x)>0,即A/1+4x>(1+x),/(x)>0,

所以在［0,2］上單調(diào)遞增，

所以/(0.01)>/(O)=0即21nl.01>VT5?-1,即。>c;

2(Jl+4x-l-2x)

令g(x)=ln(l+2x)—A/TT^+1,則g(O)=O,g［x)22

l+2xJl+4x(l+x)Jl+4x

由于l+4x—(l+2x)~=Tx?,在x>0時(shí),l+4x—(l+2x)~<0,

所以g'(x)<0,即函數(shù)g(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞減,所以g(O.Ol)<g(O)=O,即lnL02<JE5?-1,即所c;

綜上，b<c<a,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個(gè)值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，

利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計(jì)計(jì)算往往是無法解決的.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知雙曲線C:二—產(chǎn)=1(m>())的一條漸近線為6x+/2=0,則C的焦距為

m

【答案】4

【解析】

【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出。力的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線中從對(duì)應(yīng)關(guān)系，聯(lián)立求解"？，再由

關(guān)系式求得C,即可求解

【詳解】由漸近線方程、Qx+my=()化簡得)，=-正X,即2=同時(shí)平方得耳=三，又雙曲線中

matnam~

31

/=〃?力2=1,故弓=上，解得,"=3,%=0(舍去)，c2=/+b2=3+i=4nc=2,故焦距2c=4

tnm

故答案為：4

【點(diǎn)睛】本題為基礎(chǔ)題，考查由漸近線求解雙曲線中參數(shù)，焦距，正確計(jì)算并聯(lián)立關(guān)系式求解是關(guān)鍵

14.已知向量￡=(1,3)石=(3,4),若(2—/1垃_1以則4=.

【答案】|3

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出.

【詳解】因?yàn)椤暌患?（1,3）-/1（3,4）=（1-3/1,3-4/1）,所以由倒一時(shí)可得，

3（1—32）+4（3—42）=（）,解得4=1.

3

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)￡=（芯,,）石=（々,%）,

aA_b<=>a-b=0<=>x^x2+%%=（），注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分.

15.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為c,面積為6，3=60。，儲(chǔ)+02=3〃。，則人=

【答案】20

【解析】

【分析】由三角形面積公式可得QC=4,再結(jié)合余弦定理即可得解.

【詳解】由題意，S=>acsinB=更~ac=6，

A/1OC24

所以ac=4,a2+c?=12,

所以。2=a2+c2-2accosB=12-2x4x；=8,解得b=2及（負(fù)值舍去）.

故答案為：20.

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選

側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖①圖②圖③

【答案】③④

【解析】

【分析】由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.

【詳解】選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④，

如圖所示，長方體ABCD-A與G9中，AB=BC=2,BB]=1,

分別為棱B居,BC的中點(diǎn)，

則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱錐E—A。尸.

故答案為：③④.

【點(diǎn)睛】三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)

系.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和

一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為嚏和J,樣本方差分別記為和.

⑴求"S：,S；；

i,則認(rèn)為

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果,_元22.

新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.

【答案】（1）工=10,5=10.3,S：=0.036,￡=0.04；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備沒

有顯著提高.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù)和方差.

(2)根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合(1)的結(jié)論進(jìn)行判斷.

……-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7，八

［詳解］(］)x=----------------------------------------------=10,

10

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5…

y=--------------------------------------------------------=10.3,

0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32

10

0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22,、…

--------------------------------------------------=0.04.

10

（2）依題意，y-x=0.3=2x0.15=2,0.152=2V0.025，=270.038,

U走延,所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備沒有顯著提高.

-Vio

18.如圖，四棱錐P—A3CD的底面是矩形，底面ABC。，PD=DC=1,M為的中點(diǎn)，且

PB1AM.

(1)求BC；

（2）求二面角A—QM—3的正弦值.

【答案】（1）72；（2）—

14

【解析】

【分析】（1）以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4、DC、OP所在直線分別為x、＞、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

BC=2a,由已知條件得出麗.而=0,求出。的值，即可得出8C的長；

（2）求出平面的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】（1）平面ABC。，四邊形ABC。為矩形，不妨以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.QC、DP所

在直線分別為X、＞、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

設(shè)3c=2a,則0（0,0,0）、尸（0,0,1）、3（2”,1,0）、M（a,l,0）、A（2a,0,0）,

則而=（2a,l,-1）,W=

■.PBLAM，則麗?病=—2/+1=0,解得。=J，故BC=2a=也;

2

（2）設(shè)平面PAW的法向量為加=（%,昨4）,則畫？=一當(dāng),1,0,AP=（-0,O,。，

—72

/TI?AM=----X,4-Vi=0I——?/二《

由121取%=J5,可得.=（j2J2）,

fh?AP--A/2XJ+ZJ=0

設(shè)平面PBAf的法向量為〃=（為0），3河=（一手,0,0,BP=（-V2,-l,lj,

7

V2

nBM--=0可得7=(0/,1),

由V2一取為=1

萬?BP=-V2X2-y2+z2=0

----------m-n335/14

cos<m,n>=pq-pf=-j=-f==-n-

局."v7x>/214

sin<詔,1>=Jl—cos?〈加5>=畫,

所以,

14

因此，二面角A—9—B的正弦值為叵.

14

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用空間向量法求解二面角的步驟如下：

（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出二面角對(duì)應(yīng)的兩個(gè)半平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為

坐標(biāo)平面，直接取法向量即可）；

（3）計(jì)算（2）中兩個(gè)法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實(shí)際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，

從而得到二面角的余弦值.

21

19.記S,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，2為數(shù)列｛S.｝的前〃項(xiàng)積，已知相+區(qū)=2.

（1）證明：數(shù)列｛包｝是等差數(shù)列；

（2）求｛4｝的通項(xiàng)公式.

[3,

—,n=1

2

【答案】（1）證明見解析；（2）an=1]

----1----i\，〃N2

〃（〃+1）

【解析】

21cc2"3

【分析】（1）由已知—+—=2得S“=丁、，且2聲0,取〃=1,得4=：,由題意得

七22b”T2

2bl2仇2h.2bh、

另七'…胡士■="，消積得到項(xiàng)的遞推關(guān)系互受？=管+｝，進(jìn)而證明數(shù)列也（”｝是等差數(shù)列；

[3?

—=1

2

（2）由（1）可得々的表達(dá)式，由此得到5〃的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得見=｛1.

----7----2

〃（"+1）

2?2b

【詳解】（l）由已知晨+區(qū)=2得s,,=才、，且〃產(chǎn)。，b產(chǎn)3,

3

取另=1,由岳="得

由于〃，為數(shù)列｛S,,｝的前”項(xiàng)積,

2b,2b,2h,

所以-----------=-.....n..-b

八2瓦一12b2T2hn-1

所以2——的-----為

%,

2b「I2瓦一12bz-

2"+1_b“+i

所以

2%-1『

由于〃,用H0

21!其中nGN*

所以/kf即…=

M+I2

O|

所以數(shù)列｛2｝是以4=：為首項(xiàng)，以d=；為公差等差數(shù)列；

22

（2）由（1）可得，數(shù)列｛2｝是以4=白為首項(xiàng)，以d為公差的等差數(shù)列,

22

〃

b.=3F(772—I)X_I=1ld,

〃21722

S_2d_2+〃

”2b"71+〃’

3

當(dāng)〃=1時(shí)，4=5]

2

2+〃1+〃1

當(dāng)〃22時(shí),a-S"_]，顯然對(duì)于不成立,

n1+〃n?(/?+1)?=1

3?

—,n=I

2

n，〃N2

〃-(J九+l)

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前〃項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系，數(shù)列的前〃項(xiàng)積與項(xiàng)的關(guān)系，其中由

2%2%=勿"是關(guān)鍵一

備念T一券也得到走=〃川，進(jìn)而得到

2%一12%-1a

步；要熟練掌握前"項(xiàng)和，積與數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系，消和（積）得到項(xiàng)（或項(xiàng)的遞推關(guān)系），或者消項(xiàng)得到和

（積）的遞推關(guān)系是常用的重要的思想方法.

20.設(shè)函數(shù)/（x）=ln（a-x）,已知x=0是函數(shù)y=獷（力的極值點(diǎn).

（1）求〃;

X+f(X)

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=.;、.證明:g(x)<l.

xf(x)

【答案】1;證明見詳解

【解析】

【分析】（1）由題意求出y',由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)

%+ln(l—x)

（2）由（1）得g（x）%<1且%。0,分類討論xw（0,1）和x€（9,0）,可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要

xln(l-x)

證g（x）<l,即證x+ln（l-在x?0,l）和X?YO,0）上恒成立,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可

求解

IY

【詳解】（1）由/（x）=ln（Q-x）n/“）=----,y=^（x）ny=ln（a-x）+-----,

x-ClX-Cl

又x=0是函數(shù)y=4（x）的極值點(diǎn)，所以y'（0）=lna=0,解得〃=1；

x+/(x)x+ln(l-x)

(2)由⑴得/(x)=ln(l-x),g(x)京rwhf且田，