2021年上海市中考數(shù)學(xué)試卷（含解析版）

2021年上海市中考數(shù)學(xué)試卷一.選擇題1．下列實(shí)數(shù)中，有理數(shù)是（）A． B． C． D．2．下列單項(xiàng)式中，a2b3的同類項(xiàng)是（）A．a(chǎn)3b2 B．3a2b3 C．a(chǎn)2b D．a(chǎn)b33．將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象向下平移兩個(gè)單位，以下錯(cuò)誤的是（）A．開口方向不變 B．對稱軸不變 C．y隨x的變化情況不變 D．與y軸的交點(diǎn)不變4．商店準(zhǔn)備確定一種包裝袋來包裝大米，經(jīng)市場調(diào)查后，做出如下統(tǒng)計(jì)圖，請問選擇什么樣的包裝最合適（）A．2kg/包 B．3kg/包 C．4kg/包 D．5kg/包5．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知＝，＝，E為AB中點(diǎn)，則+＝（）A． B． C． D．6．如圖，長方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圓B半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點(diǎn)C、D與圓A的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A內(nèi) B．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A外 C．點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)D在圓A內(nèi) D．點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)D在圓A外二.填空題7．計(jì)算：x7÷x2＝．8．已知f（x）＝，那么f（）＝．9．已知＝3，則x＝．10．不等式2x﹣12＜0的解集是．11．70°的余角是．12．若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0無實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍為．13．已知數(shù)據(jù)1、1、2、3、5、8、13、21、34，從這些數(shù)據(jù)中選取一個(gè)數(shù)據(jù)，得到偶數(shù)的概率為．14．已知函數(shù)y＝kx經(jīng)過二、四象限，且函數(shù)不經(jīng)過（﹣1，1），請寫出一個(gè)符合條件的函數(shù)解析式．15．某人購進(jìn)一批蘋果到集貿(mào)市場零售，已知賣出的蘋果數(shù)量與售價(jià)之間的關(guān)系如圖所示，成本5元/千克，現(xiàn)以8元賣出，掙得元．16．如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，則＝．17．六個(gè)帶30度角的直角三角板拼成一個(gè)正六邊形，直角三角板的最短邊為1，求中間正六邊形的面積．18．定義：在平面內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)到圖形的距離是這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)圖上所有點(diǎn)的最短距離，在平面內(nèi)有一個(gè)正方形，邊長為2，中心為O，在正方形外有一點(diǎn)P，OP＝2，當(dāng)正方形繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，則點(diǎn)P到正方形的最短距離d的取值范圍為．三.解答題19．計(jì)算：9+|1﹣|﹣2﹣1×．解方程組：．21．如圖，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF為AD邊上的中線．（1）求AC的長；（2）求tan∠FBD的值．22．現(xiàn)在5G手機(jī)非常流行，某公司第一季度總共生產(chǎn)80萬部5G手機(jī)，三個(gè)月生產(chǎn)情況如圖．（1）求三月份生產(chǎn)了多少部手機(jī)？（2）5G手機(jī)速度很快，比4G下載速度每秒多95MB，下載一部1000MB的電影，5G比4G要快190秒，求5G手機(jī)的下載速度．23．如圖，在圓O中，弦AB等于弦CD，且相交于點(diǎn)P，其中E、F為AB、CD中點(diǎn)．（1）證明：OP⊥EF；（2）連接AF、AC、CE，若AF∥OP，證明：四邊形AFEC為矩形．24．已知拋物線y＝ax2+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)P（3，0）、Q（1，4）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)A在直線PQ上，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，以AB為斜邊在其左側(cè)作等腰直角三角形ABC．①當(dāng)Q與A重合時(shí)，求C到拋物線對稱軸的距離；②若C在拋物線上，求C的坐標(biāo)．25．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是對角線AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BO并延長交邊CD或邊AD于點(diǎn)E．（1）當(dāng)點(diǎn)E在CD上，①求證：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值；（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的長．

2021年上海市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.選擇題1．下列實(shí)數(shù)中，有理數(shù)是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：A.＝,不是有理數(shù)，不合題意；B.＝,不是有理數(shù)，不合題意；C.＝,是有理數(shù)，符合題意；D.＝,不是有理數(shù)，不合題意；故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．2．下列單項(xiàng)式中，a2b3的同類項(xiàng)是（）A．a(chǎn)3b2 B．3a2b3 C．a(chǎn)2b D．a(chǎn)b3【分析】依據(jù)同類項(xiàng)的定義：所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同，據(jù)此判斷即可．【解答】解：A、字母a、b的指數(shù)不相同，不是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、有相同的字母，相同字母的指數(shù)相等，是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)符合題意；C、字母b的指數(shù)不相同，不是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)不符合題意；D、相同字母a的指數(shù)不相同，不是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查的是同類項(xiàng)的定義，掌握同類項(xiàng)的定義是解題的關(guān)鍵．3．將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象向下平移兩個(gè)單位，以下錯(cuò)誤的是（）A．開口方向不變 B．對稱軸不變 C．y隨x的變化情況不變 D．與y軸的交點(diǎn)不變【分析】由于拋物線平移后的形狀不變，對稱軸不變，a不變，拋物線的增減性不變．【解答】解：A、將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象向下平移兩個(gè)單位，a不變，開口方向不變，故不符合題意．B、將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象向下平移兩個(gè)單位，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，對稱軸不變，故不符合題意．C、將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象向下平移兩個(gè)單位，拋物線的開口方向不變，對稱軸不變，則y隨x的變化情況不變，故不符合題意．D、將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象向下平移兩個(gè)單位，與y軸的交點(diǎn)也向下平移兩個(gè)單位，故符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，注意：拋物線平移后的形狀不變，開口方向不變，頂點(diǎn)坐標(biāo)改變．4．商店準(zhǔn)備確定一種包裝袋來包裝大米，經(jīng)市場調(diào)查后，做出如下統(tǒng)計(jì)圖，請問選擇什么樣的包裝最合適（）A．2kg/包 B．3kg/包 C．4kg/包 D．5kg/包【分析】最合適的包裝即顧客購買最多的包裝，而顧客購買最多的包裝質(zhì)量即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，取所得范圍的組中值即可．【解答】解：由圖知這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1.5kg~2.5kg，取其組中值2kg，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查頻數(shù)（率）分布直方圖，解題的關(guān)鍵是根據(jù)最合適的包裝即顧客購買最多的包裝，并根據(jù)頻數(shù)分布直方圖得出具體的數(shù)據(jù)及眾數(shù)的概念．5．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知＝，＝，E為AB中點(diǎn)，則+＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相等向量的幾何意義和三角形法則解答．【解答】解：∵＝，E為AB中點(diǎn)，∴＝，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴＝＝，∴+＝+＝，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查平面向量，三角形法則，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法則，屬于中考?？碱}型．6．如圖，長方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圓B半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點(diǎn)C、D與圓A的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A內(nèi) B．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A外 C．點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)D在圓A內(nèi) D．點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)D在圓A外【分析】兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差的絕對值，得圓A的半徑等于5，由勾股定理得AC＝5，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可得結(jié)論．【解答】解：兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差的絕對值，設(shè)圓A的半徑為R，則：AB＝R﹣1，∵AB＝4，圓B半徑為1，∴R＝5，即圓A的半徑等于5，∵AB＝4，BC＝AD＝3，由勾股定理可知AC＝5，∴AC＝5＝R，AD＝3＜R，∴點(diǎn)C在圓上，點(diǎn)D在圓內(nèi)，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是關(guān)鍵，還利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形確定圓的位置．二.填空題7．計(jì)算：x7÷x2＝x5．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行解答即可．【解答】解：x7÷x2＝x7﹣2＝x5，故答案為：x5．【點(diǎn)評】此題考查了同底數(shù)冪的除法，熟練掌握同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減是解題的關(guān)鍵．8．已知f（x）＝，那么f（）＝．【分析】將x＝代入函數(shù)表達(dá)式，化簡即可．【解答】解：由題意將x＝代入函數(shù)表達(dá)式，則有：．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)求值問題，只需將自變量的取值代入函數(shù)表達(dá)式．9．已知＝3，則x＝5．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．記為進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵＝3，∴x+4＝9∴x＝5．故答案為：5．【點(diǎn)評】此題考查的是算術(shù)平方根的概念，掌握其概念是解決此題關(guān)鍵．10．不等式2x﹣12＜0的解集是x＜6．【分析】不等式移項(xiàng)，把x系數(shù)化為1，即可求出解集．【解答】解：移項(xiàng)，得：2x＜12，系數(shù)化為1，得：x＜6，故答案為x＜6．【點(diǎn)評】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．70°的余角是20°．【分析】根據(jù)余角的定義即可求解．【解答】解：根據(jù)定義一個(gè)角是70°，則它的余角度數(shù)是90°﹣70°＝20°，故答案為，20°．【點(diǎn)評】本題主要考查了余角的概念，掌握互為余角的兩個(gè)角的和為90度是解決此題關(guān)鍵，12．若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0無實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍為c＞．【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，然后求出c的取值范圍．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣3x+c＝0無實(shí)數(shù)根，Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，解得c＞，∴c的取值范圍是c＞．故答案為：c＞．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．13．已知數(shù)據(jù)1、1、2、3、5、8、13、21、34，從這些數(shù)據(jù)中選取一個(gè)數(shù)據(jù)，得到偶數(shù)的概率為．【分析】用偶數(shù)的個(gè)數(shù)除以數(shù)的總數(shù)即可求得答案．【解答】解：∵共有9個(gè)數(shù)據(jù)，其中偶數(shù)有3個(gè)，∴從這些數(shù)據(jù)中選取一個(gè)數(shù)據(jù)，得到偶數(shù)的概率為＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．14．已知函數(shù)y＝kx經(jīng)過二、四象限，且函數(shù)不經(jīng)過（﹣1，1），請寫出一個(gè)符合條件的函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣2x．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)以及正比例函數(shù)圖象是點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求解．【解答】解：∵函數(shù)y＝kx經(jīng)過二、四象限，∴k＜0．若函數(shù)y＝kx經(jīng)過（﹣1，1），則1＝﹣k，即k＝﹣1，故函數(shù)y＝kx經(jīng)過二、四象限，且函數(shù)不經(jīng)過（﹣1，1）時(shí)，k＜0且k≠﹣1，∴函數(shù)解析式為y＝﹣2x，故答案為y＝﹣2x．【點(diǎn)評】考查了正比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．某人購進(jìn)一批蘋果到集貿(mào)市場零售，已知賣出的蘋果數(shù)量與售價(jià)之間的關(guān)系如圖所示，成本5元/千克，現(xiàn)以8元賣出，掙得k元．【分析】根據(jù)圖像求出函數(shù)關(guān)系式，計(jì)算售價(jià)為8元時(shí)賣出的蘋果數(shù)量，即可求解．【解答】解：設(shè)賣出的蘋果數(shù)量y與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝mx+n，，解得：，∴y＝﹣kx+7k，x＝8時(shí)，y＝﹣k×8+7k＝k，∴現(xiàn)以8元賣出，掙得（8﹣5）×k＝k，故答案為：k．【點(diǎn)評】此題主要考查了函數(shù)圖象，能夠得出賣出的蘋果數(shù)量y與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．16．如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，則＝．【分析】過D作DM⊥BC于M，過B作BN⊥AD于N，由四邊形BMDN是矩形，可得DM＝BN，＝，根據(jù)AD∥BC，可得＝＝，＝，即可得到＝．【解答】解：過D作DM⊥BC于M，過B作BN⊥AD于N，如圖：∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，∴四邊形BMDN是矩形，DM＝BN，∵＝，∴＝，∴＝，∵AD∥BC，∴＝＝，∴＝，∴＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查平行線分線段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定與性質(zhì)，掌握同（等）底三角形面積比等于高之比，同（等）高的三角形面積比等于底之比是解題的關(guān)鍵．17．六個(gè)帶30度角的直角三角板拼成一個(gè)正六邊形，直角三角板的最短邊為1，求中間正六邊形的面積．【分析】利用△ABG≌△BCH得到AG＝BH，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BG＝2AG，接著證明HG＝AG可得結(jié)論．【解答】解：如圖，∵△ABG≌△BCH，∴AG＝BH，∵∠ABG＝30°，∴BG＝2AG，即BH+HG＝2AG，∴HG＝AG＝1，∴中間正六邊形的面積＝6××12＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．也考查了正多邊形與圓，解題的關(guān)鍵是求出HG．18．定義：在平面內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)到圖形的距離是這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)圖上所有點(diǎn)的最短距離，在平面內(nèi)有一個(gè)正方形，邊長為2，中心為O，在正方形外有一點(diǎn)P，OP＝2，當(dāng)正方形繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，則點(diǎn)P到正方形的最短距離d的取值范圍為2﹣≤d≤1．【分析】由題意以及正方形的性質(zhì)得OP過正方形ABCD各邊的中點(diǎn)時(shí)，d最大，OP過正方形ABCD的頂點(diǎn)時(shí)，d最小，分別求出d的值即可得出答案．【解答】解：如圖：設(shè)AB的中點(diǎn)是E，OP過點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)O與邊AB上所有點(diǎn)的連線中，OE最小，此時(shí)d＝PE最大，OP過頂點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)O與邊AB上所有點(diǎn)的連線中，OA最大，此時(shí)d＝PA最小，如圖①：∵正方形ABCD邊長為2，O為正方形中心，∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，∴OE＝1，∵OP＝2，∴d＝PE＝1；如圖②：∵正方形ABCD邊長為2，O為正方形中心，∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，∴OA＝，∵OP＝2，∴d＝PA＝2﹣；∴d的取值范圍為2﹣≤d≤1．故答案為：2﹣≤d≤1．【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意得出d最大、最小時(shí)點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．三.解答題19．計(jì)算：9+|1﹣|﹣2﹣1×．【分析】直接利用算術(shù)平方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：+|1﹣|﹣2﹣1×＝3＝3＝3﹣1＝2．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．20．解方程組：．【分析】解方程組的中心思想是消元，在本題中，只能用代入消元法解題．【解答】解：，由①得：y＝3﹣x，把y＝3﹣x代入②，得：x2﹣4(3﹣x)2＝0，化簡得：(x﹣2)(x﹣6)＝0，解得：x1＝2，x2＝6．把x1＝2，x2＝6依次代入y＝3﹣x得：y1＝1，y2＝﹣3，∴原方程組的解為．【點(diǎn)評】本題以解高次方程組為背景，旨在考查學(xué)生對消元法的靈活應(yīng)用能力．21．如圖，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF為AD邊上的中線．（1）求AC的長；（2）求tan∠FBD的值．【分析】（1）解銳角三角函數(shù)可得解；（2）解法一：連接CF，過F作BD的垂線，垂足為E，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得CF＝FD，由勾股定理可得AD＝2，EF＝2，即可求tan∠FBD．解法二：EF直接用三角形中位線定理求解即可．【解答】解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC＝＝＝6，即AC的長為6；（2）如圖，連接CF，過F點(diǎn)作BD的垂線，垂足E，∵BF為AD邊上的中線，即F為AD的中點(diǎn)，∴CF＝AD＝FD，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝2，∵三角形CFD為等腰三角形，F(xiàn)E⊥CD，∴CE＝CD＝2，在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，∴tan∠FBD＝＝＝．解法二：∵BF為AD邊上的中線，∴F是AD中點(diǎn)，∵FE⊥BD，AC⊥BD，∴FE∥AC，∴FE是△ACD的中位線，∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，解本題關(guān)鍵根據(jù)題意作輔助線，熟練掌握解銳角三角函數(shù)和勾股定理等基本知識點(diǎn)．22．現(xiàn)在5G手機(jī)非常流行，某公司第一季度總共生產(chǎn)80萬部5G手機(jī)，三個(gè)月生產(chǎn)情況如圖．（1）求三月份生產(chǎn)了多少部手機(jī)？（2）5G手機(jī)速度很快，比4G下載速度每秒多95MB，下載一部1000MB的電影，5G比4G要快190秒，求5G手機(jī)的下載速度．【分析】（1）先根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖求出三月份所占百分比，即可利用總數(shù)乘以三月份所占百分比求解；（2）設(shè)5G手機(jī)的下載速度是每秒xMB．則4G手機(jī)的下載速度是每秒（x﹣95）MB．根據(jù)“下載一部1000MB的電影，5G比4G要快190秒”，列方程求解即可．【解答】解：（1）80×（1﹣30%﹣25%）＝36（萬部），答：三月份生產(chǎn)了36萬部手機(jī)；（2）設(shè)5G手機(jī)的下載速度是每秒xMB．則4G手機(jī)的下載速度是每秒（x﹣95）MB．+190＝，解得：x1＝100，x2＝﹣5（不合題意，舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝100是原方程的解，答：5G手機(jī)的下載速度是每秒100MB．【點(diǎn)評】此題主要考查的是如何觀察扇形統(tǒng)計(jì)圖并且從統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息，分式方程的應(yīng)用，理解題意，找出正確的等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在圓O中，弦AB等于弦CD，且相交于點(diǎn)P，其中E、F為AB、CD中點(diǎn)．（1）證明：OP⊥EF；（2）連接AF、AC、CE，若AF∥OP，證明：四邊形AFEC為矩形．【分析】（1）利用全等三角形的性質(zhì)證明OE＝OF，PE＝PF，可得結(jié)論．（2）連接AC，設(shè)EF交OP于J，想辦法證明PE＝PF＝PA＝PC，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OP，EF，OE，OF，OB＝OD．∵AE＝EB，CF＝FD，AB＝CD，∴OE⊥AB，OF⊥CD，BE＝DF，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∵OB＝OD，∴Rt△OEB≌Rt△OFD（HL），∴OE＝OF，∵∠OEP＝∠OFP＝90°，OP＝OP，∴Rt△OPE≌Rt△OPF（HL），∴PE＝PF，∵OE＝OF，∴OP⊥EF．（2）證明：連接AC，設(shè)EF交OP于J．∵AB＝CD，AE＝EB，CF＝DF，∴AE＝CF，BE＝DF，∵PE＝PF，∴PA＝PC，∵PE＝PF，OE＝OF，∴OP垂直平分線段EF，∴EJ＝JF，∵OP∥AF，∴EP＝PA，∴PC＝PF，PA＝PE，∴四邊形AFEC是平行四邊形，∵EA＝CF，∴四邊形AFEC是矩形．【點(diǎn)評】本題屬于圓綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，平行線分線段成比例定理，矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．24．已知拋物線y＝ax2+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)P（3，0）、Q（1，4）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)A在直線PQ上，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，以AB為斜邊在其左側(cè)作等腰直角三角形ABC．①當(dāng)Q與A重合時(shí)，求C到拋物線對稱軸的距離；②若C在拋物線上，求C的坐標(biāo)．【分析】（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c即可得拋物線的解析式為y＝﹣x2+；（2）①過C作CH⊥AB于H，交y軸于G，A與Q（1，4）重合時(shí)，AB＝4，GH＝1，由△ABC是等腰直角三角形，得CH＝AH＝BH＝AB＝2，C到拋物線對稱軸的距離是CG＝1；②過C作CH⊥AB于H，先求出直線PQ為y＝﹣2x+6，設(shè)A（m，﹣2m+6），則AB＝﹣2m+6，yC＝﹣m+3，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，將C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+解得m＝或m＝3（與P重合，舍去），即可求出C（﹣2，）．【解答】解：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c得：，解得，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+；（2）①過C作CH⊥AB于H，交y軸于G，如圖：當(dāng)A與Q（1，4）重合時(shí)，AB＝4，GH＝1，∵△ABC是等腰直角三角形，∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形，∴CH＝AH＝BH＝AB＝2，∴CG＝CH﹣GH＝1，而拋物線y＝﹣x2+的對稱軸是y軸（x＝0），∴C到拋物線對稱軸的距離是CG＝1；②過C作CH⊥AB于H，如圖：設(shè)直線PQ解析式為y＝kx+b，將P（3，0）、Q（1，4）代入得：，解得，∴直線PQ為y＝﹣2x+6，設(shè)A（m，﹣2m+6），則AB＝|﹣2m+6|，∴CH＝AH＝BH＝AB＝|﹣m+3|，當(dāng)﹣m+3≥0，yC＝﹣m+3時(shí)，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，將C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+得：﹣m+3＝﹣（2m﹣3）2+，解得m＝或m＝3（與P重合，舍去），∴m＝，2m﹣3＝﹣2，﹣m+3＝，∴C（﹣2，）當(dāng)﹣m+3＜0，yC＝﹣m+3時(shí)，xC＝m﹣（m﹣3）＝3，C（3，﹣m+3），由P（3，0）可知m＝3，此時(shí)A、B、C重合，舍去，∴C（﹣2，）【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及解析式、對稱軸、等腰直角三角形、一次函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示C的坐標(biāo)．25．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是對角線AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BO并延長交邊CD或邊AD于點(diǎn)E．（1）當(dāng)點(diǎn)E在CD上，①求證：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值；（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的長．【分析】（1）①由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAC＝∠DCA，由平行線的性質(zhì)得出∠DAC＝∠ACB，