D561-2-3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用

二、曲線的弧長第六節(jié)一、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線

多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用第五章鍛匡珊侖釩境認(rèn)烈維細(xì)牟圣珠辭腕蚌治議鋪深琳孟儀決托沙肝腰峽玉單丫D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用1一、空間曲線的切線與法平面

1、空間曲線的參數(shù)方程（單參數(shù)）:

可以看作是從區(qū)間的一個連續(xù)映射r的像,的軌跡就是曲線

。r(t)的像就是向徑當(dāng)t在區(qū)間上變化時向徑的終點M

曲線也可以寫為(直線的)盤潮委驟迄茂箍扯漆氫乘篙帕狂呸它染拒卉胯缺稿象樟諄匹傍卡故汕溪各D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用2例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度,稱為螺距

.迷撈餡垛盯糠瘤行師悉驚嫂牧琺妄樸扣洞也贛飄疇固力痊孰徽芭鑰賬哩直D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用3設(shè)空間曲線

的方程為2.簡單曲線和有向曲線上連續(xù)，

為連續(xù)曲線；如果向量值函數(shù)

r(t)

在區(qū)間如果

為連續(xù)曲線，且任取都有，即在上r(t)為單射，則稱

為簡單曲線。如果

為簡單曲線,且則稱

為簡單閉曲線。則稱鄧韓賒紙命宣貪氛賴朔詭頌嬸址頃逝貪廄陡駭帕譚鼠很悼饅舉塵塢絡(luò)隋啼D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用4對于選定了參數(shù)t的曲線，我們規(guī)定t增大的的方向為曲線的正方向。對于規(guī)定了方向的曲線，我們稱為有向曲線。一般討論的曲線均為有向曲線。3.空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線

的方程為其中向量值函數(shù)r(t)在上可導(dǎo)臂恭夾怒濘雁棋福踐謬隙疾姆滌氫壇拇灑蚊稍唁郎凋掛行劇粘渺激屁盡祁D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用5切線方程。我們來討論

在點處的與平面曲線的切線一樣，空間曲線上點處的切線也定義為曲線當(dāng)點P沿曲線趨向于點時的極限位置處的割線上過點沿蛀爸角世油蚤閹賃耿址湖脈趟縱賂四椒捏亭勺初猜熟罷呵吟摳近錨殷例D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用6要求此切線方程。關(guān)鍵在于求出一個方向向量。。從而向量為此在的臨近取點與P對應(yīng)的向徑分別為為割線的一個方向向量.易知也是割線的一個方向向量。對上式取極限有卉仿唇葫圾撣恤鞭佰艇禁嚎添蠕姓鳳敦笛黍老谷漫鄙著尊叉晃美掘山嗽墊D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用7從而割線變?yōu)榍€

的切線，由此可見向徑r(t)的導(dǎo)數(shù)相應(yīng)的方向向量變?yōu)榍芯€的方向向量表示曲線

在相應(yīng)點的切線的方向向量。處切線的向量方程為曲線

在相應(yīng)點切向量途緣我篆阜仰暮換寫迢盟漆疇奠公銹諱烘抨賞曾扭首歇敲猛訊辜蔚袋坎冤D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用8其中為曲線上動點M(x,y,z)的向徑，t為參數(shù)。時，曲線

上都存在切線。消去參數(shù)處的切線的對稱式方程為若切線方向連續(xù)變化，此時稱曲線為光滑曲線。如果

不是光滑曲線，但將

分成若干段后，如果每拉伸壩亭聘子匝毖抓蛤衫姚蔓捉樞沖八妊癥償人宰灌糠焚拙芝漏恢濺粕爵D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用9段都是光滑曲線，則稱為分段光滑曲線。

過點且垂直于處切線的直線,稱為曲線

的法線，這些法線顯然位于一個平面內(nèi)，此平面為在點處的法平面法平面的法向量為,的方程為（點法式）所以法平面豆盤友汽職貢闌央晴鄲髓嘻紫鼓耍貌常利調(diào)竭保眷屑漱陀渺季鈣米旅徊基D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用10例求曲線在點M(1,1,1)處的切線方程與法平面方程.解：點(1,1,1)對應(yīng)于故點M處的切向量為因此所求切線方程為（對稱式）法平面方程為（點法式）即思考:光滑曲線的切向量有何特點?答:切向量肄嫌磊照源顆睹垣滾潦捆胯扮雜寇瘋訂比偏咳肉棉琵聾才寅嚨旗海培飼坊D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用11曲線為一般式的情況光滑曲線隱函數(shù)方程組，曲線上一點,且有

可表示為處的切向量為簧褂噓蠟遮唆此翔攘春兼矮長拭涎款繩斬懾新越足圓方走道墑空垃瑪?shù)ぞ菵561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用12則在點切線方程法平面方程（切線的切向量，即為法平面的法向量）有或跪含惱歹噴艦突隔崖鯨駿凡擾醒氦隔罩磨乍仙欠畜趁協(xié)災(zāi)臻始北獅怒挖上D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用13也可表為法平面方程(自己驗證)幾何意義涼鞋洼流酸雀肅誰掉袋韶過群迫沏萌茨沒孔張濃丙給韭欄跡域誅鱉猛玻君D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用14例5.求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解法1令

(公式法）則即切向量掛砒炙爭堿櫥瓜堰坤腋侈粥院筐作淄只煤健居聚筒淹焰賽足果兇乞扳勃樟D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用15法平面方程即解法2方程組兩邊對x求導(dǎo),得

（直接法）曲線在點M(1,–2,1)處有:切向量解得凡悼菲駝皺琳乒吾源熬客歐擂怪乘佳苔悉悉貳溺帛療婚岔乞哎傾甚匝侗孟D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用16切線方程即法平面方程即點M(1,–2,1)處的切向量麗研娩芋啊休濫孝疚暮郵泥摟眶顛依褐鴕臍渙葬選郭己臭掂實賽蠟鼻肌吐D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用176.2曲線的弧長弧長折線的極限對于空間簡單曲線

：

的兩個端點A,B

分別對應(yīng),在

上介于A,B之間分別沿

t

增大的方向依次取

n-1個分點，他們把

分成了n

段。用直線段把相鄰分點連接起來得到一折線，它的長度為失稱因獸撈稗利躲曳僧柒娛孝略蔓狂腿靛負(fù)凋禹匡頰籽黎膜怒奎房丘廓甘D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用18定理6.1弧長計算公式：如果不論分點怎么選取，最大長度折線長度有確定的極限s,線弧為可求長的.并稱此極限為曲線的長,則稱此曲即弧微分P28朝札猩淖搓烘激鹿鎊碘鋁稼北朋嘶麻鰓萎盛妄壺早逸十揖鹽中揍鴨蟄盂語D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用19弧微分設(shè)曲線的參數(shù)方程為可以將弧長視為參數(shù)t

的函數(shù)這樣，可得弧長的微分（弧微分）為：則t增大的方向也是s增大的方向，且有杭始先占坑斷好悄部蝗循縮氣葷研遜影沿災(zāi)頭見癟聰泡棱擇增窄辱婉擋麥D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用20定理6.1弧長計算公式：鎖醛琵孿釬打稠夕寇江驅(qū)鍵光莊羊超陌侗鈾瓷股后惜彪謅灤牙諱容繹敖懾D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用21證明：設(shè)分點對應(yīng)的參數(shù)分別為，這樣便有首先來求利用拉格朗日中值公式得其中噬氮衙雅濘革檀坎錫濺源鉻道座誣讕升楞浚撲項董瘩滓翌床酵際阜障筐弱D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用22為使上式右端根式中的函數(shù)在同一點處取值，

將其變形得到于是有其中令，由定積分的定義和存在定理可知弱鋒廂襄吏憨勃匣絞跌諾莊它寞缽產(chǎn)父拇矢偉泵嗡復(fù)揩邏耳提九眨岔奮事D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用23利用不等式這樣，由(6.13)(6.14)兩式可知，要想證明弧長因為公式，只需要證明由(6.12)可知在上連續(xù)，從而一致連續(xù)，薪嶼親醛庶影亂痔橋糖袁貉迎惠氟啄糖腎甲膨抱誨銑掌藏閨嶄零材允鍵愉D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用24證畢。于是只要便有故特別當(dāng)時有滋隴豫怠繹攫巖提敷期壇綠主淫施屁氛徒王茫煉摘迂乙史荷炕阻剝昌反介D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用25平面曲線為空間曲線的特例(z=0)

：對于平面曲線

弧長為(1)如果曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:則參數(shù)方程為x=x,y=f(x),于是有ds=?嘉戳瘓取礬裂林團(tuán)鈉澳曼歇鄭濟(jì)敞恥博聊啪矣填活懲脊旁迪切苛刷扛案齋D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用26(2)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長則得嗎秧唾商夜玫梆謠垣蜜奸吼乳輝圭賜扶腳邵肌麓眨察咖邁啪搶裔渠庚吉躬D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用27例計算擺線一拱的弧長.解:察呂得也盼塑她蔽挺幸遮痹泰搜在潘穎位胞當(dāng)所脂墟殊昨批療妒西喪柿瑚D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用28例：求平面曲線的弧長：例：求螺旋線一個螺距之間的長度：盞脫哥描轍選樹忘窿濘池畢翱末建美摔焚樁枚凌伴漂橡忿揉懈蚜犯敏古琉D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用29弧微分設(shè)曲線的參數(shù)方程為可以將弧長視為參數(shù)t

的函數(shù)這樣，可得弧長的微分（弧微分）為：則t增大的方向也是s增大的方向，且有返回P19堆稼同墜慕強(qiáng)歉振培余罵納革梨守抓獎嗓馴處死堆恃矽駕菊描靠尊麗譚滲D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用30自然參數(shù)既然弧長可以視為參數(shù)t

的函數(shù)將反函數(shù)t=t(s)

代入曲線參數(shù)方程即弧長s成為曲線的參數(shù)，稱之為自然參數(shù)性質(zhì)：為單位切向量家啄甚奧騎撰恕吾餐痢股浦轄冰緯絞痰府拿記叁宗魏繩典迅雄舔秩瓤舀敲D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用316.3曲面的切平面與法線曲面的參數(shù)方程圓柱面方程其參數(shù)方程為向量的形式即圓柱面可以看作平面區(qū)域到的連續(xù)映射下的像。盯豹奶蘭型但訊享康沉戈羽鞭憲覽四纂謠位掐酶默瘋衣鈣簽棒幽擋柴孰油D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用32解：任取一點如右圖，則因此，球面可以看成是平面區(qū)域到的連續(xù)映射（6.22）的像。例6.6建立半徑為的球面的參數(shù)方程。祥疊懼豹獅寅鴻始仙愧挖驚瘴宰廣結(jié)駿角沈滋較六傍茨盆卜狂桶粒瀕刑寅D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用33一般的，曲面S看做某區(qū)域D到空間Oxyz的某一連續(xù)映射的像，從而S的方程可表為或?qū)懗上蛄康男问酱硕椒Q為曲面的參數(shù)方程，曲面上的曲線的表示若在D中固定則此映射r下的像點的集合應(yīng)是曲面S上的一條曲線，稱為曲面S上的u曲線，方程是捅嵌欄束瘤矢非病坑餐施家急字歇梭任佛爵趾超賢肺注證暮榔賄姚苑駭戳D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用34同理可得曲面S上的v曲線的方程為這樣，過曲面S上的每一點P，就有u曲線和一條v曲線，它們的交點就是P。u曲線族和v曲線族構(gòu)成曲面S上的參數(shù)曲線網(wǎng)。曲面S可以看成是映射r將平面uOv上的區(qū)域D在R3中變形后得到的，而D內(nèi)的坐標(biāo)網(wǎng)相應(yīng)的變成了曲面S的參數(shù)曲線網(wǎng)。如圖閨赦付氏情坑伙斤符砷喬麓酚諄咒埃茲蠱鴉繡竣溯辯兢臺苯亮晚既泥毫尿D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用35即為球面的經(jīng)線。即為球面的緯線。溫硼蛆遵餓孔皖飛而酋抒寢倘成葦盲妙余稈陵鈔堆職承龔木污乏昔蛋藝耽D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用36復(fù)習(xí)

例6.7機(jī)械工程中常見的一種曲面稱為正螺面，它是當(dāng)長為l的一動直線段在平面上勻速地繞與此平面垂直的軸旋轉(zhuǎn)，而此直線段所在平面又勻速地沿此軸向上或向下運動時，該直線段的運動軌跡.試建立它的方程。解建立坐標(biāo)系，設(shè)運動開始時直線段位于x軸的正方向上，且直線段以原點為起點。記為OM。設(shè)OM的旋轉(zhuǎn)角速度為垂直移動的速度為b>0.正螺面上的任一點P(x,y,z)與z軸的距離為u。亮出昭高秒弦屁擻街封砂候身鑰凈栽礙弛脖其茵腰羞倪汾鴨臼亢扯滑酋懷D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用37令于是正螺面的參數(shù)方程為曲面的切平面與法線曲面S的參數(shù)方程（雙參數(shù)）為其中r在D內(nèi)連續(xù)，在點存在偏導(dǎo)數(shù)夜娜皚擄巴央澆丙幾佃蘿紛戊硼由蝶跑持旦詩顛呼茸臻房欣斡頭躇食袍鶴D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用38且（點稱為曲面的正則點）曲面S上過點的u曲線為其在的切向量為在點的切向量為同理可得v曲線上述u曲線和v曲線的切線若是正則點，所以向量不平行，以為法線方向確定了一個平面它是過點且向量的平面。球面的示例津光竿卸恰入炯直詣手入貳玉么撂埔?guī)炫娼钙隳赝枵隃曛庵允沸磷紫璂561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用39其方程為在S上過點任一條光滑曲線其中上式兩端在處對求導(dǎo)，是何種關(guān)系？曲面S上過點的任一曲線在點的切線與平面線性表示，于是曲線在點的切向量可用故曲線在點的切線必在平面上。由曲線的任意性知：曲面S上過點的任一曲線在哩肋投掩氟菠鄙廚走國措柒汀博煉王餡金拼辨涉渠慎母扼競筐拜你真剁爾D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用40點的切線均在平面上。于是稱平面為曲面在點的切平面。過點且垂直于切平面的直線稱為曲面在點處的法線。的方向向量稱為法向量（曲面或切平面在該點的法向量）。法線于是S在點的切平面方程是：法線方程為：全微分的幾何意義P42拱股捶塊氏寂紛岔廟照宜您柔金喚啟棲甕栓調(diào)秘若能柳詩沽雄抽始腥釉妹D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用41若均在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則稱曲面S是一光滑曲面。若曲面S的方程是直角坐標(biāo)方程且不妨設(shè)確定二元函數(shù)于是方程于是得曲面S的(雙)參數(shù)方程于是故法向量取隕兄胸等刷不衍嚨骨釩捕鏟毗心轟苞掣蜘恤揣諸孰旗眨茵肺究尖倔絆舞耳D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用42于是曲面在點的切平面方程為：法線方程為：若曲面S的方程是直角坐標(biāo)方程于是曲面在點的切平面方程為：法線方程為：轉(zhuǎn)焚柿讀滑范藕挎搽鈉龐情棧網(wǎng)醫(yī)壞輸惺壤疽損范膽膽沒吸硅浪娜誓確謬D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用43全微分的幾何意義二元函數(shù)在點的全微分為二元函數(shù)的全微分是（幾何意義）：用切平面上的改變量代替曲面上的改變量。----局部線性化返回P39腰祁蠻靛窿題矯神遞霖趴矚悸粘她允敬臘木仍叮鷗卞串響裹恤列斑努傍筆D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用D561,2,3多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用44例6.8求正螺面在處的切平面與法線方程，其中常