2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章：函數(shù)與方程（附答案解析） (二)

2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章：函數(shù)與方程

一、單項選擇題

1.函數(shù)/(x)=e'+2x—5的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

答案B

解析函數(shù)")=y+2》-5在R上單調(diào)遞增，而7(l)=e—3<0,7(2)=e2—1>0,

由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)/(x)的唯一零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi).

2.如圖，公園里有一處扇形花壇，小明同學(xué)從4點(diǎn)出發(fā)，沿花壇外側(cè)的小路順時針方向勻速

走了一圈(路線為48-50-0/),則小明到O點(diǎn)的直線距離y與他從Z點(diǎn)出發(fā)后運(yùn)動的時間

f之間的函數(shù)圖象大致是()

答案D

解析小明沿蕊走時，與。點(diǎn)的直線距離保持不變，

沿80走時，隨時間增加與。點(diǎn)的距離越來越小，

沿。1走時，隨時間增加與。點(diǎn)的距離越來越大，故結(jié)合選項可知D正確.

答案D

解析因?yàn)閥=媽二?=一3因，xWO,故因?yàn)槠婧瘮?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,

—XXX

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將函數(shù)圖象向右平移1個單位長度可得歹=亭產(chǎn)的圖象，

所以y=處二」的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對稱，排除A,B；

X—1

又當(dāng)》=蛇二!1=0時，x=0或x=2,故>>=蛇二U的圖象與x軸有2個交點(diǎn)，排除C.

X—1X—1

4.在使用二分法計算函數(shù)/(x)=lgx+x—2的零點(diǎn)的近似解時，現(xiàn)已知其所在區(qū)間為(1,2),

如果要求近似解的精確度為0」，則接下來需要計算次區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值()

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析因?yàn)閰^(qū)間(1,2)的長度為1,每次二等分都使區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼狞c(diǎn)

3次取中間值后，區(qū)間(1,2)的長度變?yōu)槿詹粷M足題意，

O

4次取中間值后，區(qū)間(1,2)的長度變?yōu)槿?去0.1,滿足題意.

16

5.信號在傳輸介質(zhì)中傳播時，將會有一部分能量轉(zhuǎn)化為熱能或被傳輸介質(zhì)吸收，從而造成信

號強(qiáng)度不斷減弱，這種現(xiàn)象稱為衰減.在試驗(yàn)環(huán)境下，超聲波在某種介質(zhì)的傳播過程中，聲

壓的衰減過程可以用指數(shù)模型：P(s)=Be一檢描述聲壓尸(s)(單位：帕斯卡)隨傳播距離s(單位:

米)的變化規(guī)律，其中島為聲壓的初始值，常數(shù)K為試驗(yàn)參數(shù).若試驗(yàn)中聲壓初始值為900

帕斯卡，傳播5米聲壓降低為400帕斯卡，據(jù)此可得試驗(yàn)參數(shù)K的估計值約為(參考數(shù)據(jù)：

In2七0.69,In3pl.10)()

A.0.162B.0.164

C.0.166D.0.168

答案B

解析由題意知，400=900e5￡

兩邊取自然對數(shù)，則In4=ln9—5K,

“卜,“In9—In42(ln3—In2)2X0.41,

所以K=--------=-----2弋------=0n.164.

555

1n(—Y)x<0，

6.已知人x)=,"''則函數(shù)y=3Ax)—贄x)的零點(diǎn)個數(shù)為()

口，x》0,

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析由題設(shè)，當(dāng)x<0時，/(x)GR且單調(diào)遞減，當(dāng)x?0時，/(x)W(0,l)且單調(diào)遞減，

令[=危)，則V=3?—2/=0,可得％=0或，=],作出函數(shù)/(X)的圖象，如圖所示，

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由圖知，當(dāng)一。時有一個零點(diǎn)，當(dāng)用時有兩個零點(diǎn)，故共有3個零點(diǎn).

7.已知函數(shù)/(x)=2i+k)gM,且實(shí)數(shù)>b>c>0,滿足人切(如(c)〈0,若實(shí)數(shù)xo是函數(shù)歹=/U)

的一個零點(diǎn)，那么下列不等式中一定不成立的是()

A.XQ<aB.x6>a

C.xo<hD.XQ<C

答案D

解析由函數(shù)的單調(diào)性可得，

函數(shù)貝x)=2*+log2X在(0,+8)上單調(diào)遞增，

由危次切?<0,

則/(a),/(b),/(c)為負(fù)數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)，

選項A,B,C可能成立；

對于選項D,當(dāng)xo<c時，

由函數(shù)的單調(diào)性可得負(fù)。)>0,負(fù)6)>0,

即不滿足以求助(c)〈0,

故選項D不可能成立.

—2)x>]

8.(2022?西安模擬)已知函數(shù)義x)=,'‘若函數(shù)8(X)=貝刈-10訣。+1)恰有

|x|—1,—1WxW1,

3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

AEI]Bfi9

C.l64jD.

答案B

解析令g(X)=/(X)—l0ga(x+1)=0,可得加)=10g4a+1),

所以曲線y=/(x)與曲線y=lo改(x+1)有三個交點(diǎn)，

當(dāng)時，曲線y=/(x)與曲線>=10即(工+1)只有一個交點(diǎn)，不符合題意;

當(dāng)04vl時，若使得曲線y=/(x)與曲線歹=log，x+l)有三個交點(diǎn)，

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10ga3>-1,

則,log“5<T,解得?檔.

0<?<1,

二、多項選擇題

9.凈水機(jī)通過分級過濾的方式使自來水逐步達(dá)到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其中第一級過濾一般由孔徑

為5微米的PP棉濾芯(聚丙烯熔噴濾芯)構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、

懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì).假設(shè)每一層PP棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，過濾

前水中大顆粒雜質(zhì)含量為50mg/L,若要滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過2.5mg/L,

則PP棉濾芯層數(shù)不可能為()

(參考數(shù)據(jù)：1g2七0.30,1g3=0.48)

A.5B.6C.7D.8

答案ABC

解析由題意得，經(jīng)〃層棉濾芯過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量為50。3=50XQ",“GN",

則50XG"<2.5得，20XG"W1,

所以lg20+lgUz<0,

lg10+lg2+n(ig2-lg3)^0,

所以l+0.3+(0.3-0.48)nW0,1.3W0.18”,

得普，

因?yàn)閚為正整數(shù)，

所以〃的最小值為8.

/+2工，

10.設(shè)函數(shù)外)=，'''則g(x)=/(x)一加的零點(diǎn)個數(shù)可能是()

Inx-Xfx>0f

A.1B.2C.3D.4

答案AB

9+2x,XWO,

解析由函數(shù)/(x)=,'''得大—1)=貝

lnx-x,x>0,

則函數(shù)g(x)=/(x)—〃z的零點(diǎn)個數(shù)就是函數(shù)y=/(x)的圖象與y=m的交點(diǎn)個數(shù),

畫出^=危)和，=用的圖象，如圖所示，

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由圖可知，當(dāng)機(jī)＞0時，兩個函數(shù)的圖象有1個交點(diǎn)，

當(dāng)mWO時，兩個函數(shù)的圖象有2個交點(diǎn)，

所以函數(shù)g（x）=f（x）—m的零點(diǎn)可能有1個或2個.

11.某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射

后每毫升血液中的含藥量武微克）與時間/（小時）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線.據(jù)進(jìn)

一步測定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，貝哎）

y(微克)

A/(l,4)

r（小時）

A.a—3

B.注射一次治療該病的有效時間長度為6小時

C.注射該藥物;小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克

O

D.注射一次治療該病的有效時間長度為52小時

32

答案AD

'4l,0^?1,

解析由函數(shù)圖象可知y=.|T|

LJ”，閆，

當(dāng)t=\時，y=4,

即日宀=4,解得。=3,

4t,O^Kl,

故A正確,

藥物剛好起效的時間，當(dāng)4f=0.125,即/=丄,

藥物剛好失效的時間=0.125,

解得￡=6,

故藥物有效時長為6—^-=5豆（小時），

3232

注射一次治療該病的有效時間長度不到6個小時，故B錯誤，D正確；注射該藥物1小時后

O

每毫升血液含藥量為4X：=0.5（微克），故C錯誤.

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12.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)/(X)有4個零點(diǎn)X|,X2，工3，X4(X142a3<X4)，并且當(dāng)時,

2

J(x)=x-ax+\9則下列說法中正確的是()

A.實(shí)數(shù)。的取值范圍是(一8,-2)U(2,+8)

B.當(dāng)x<0時，J(x)=x2+ax+1

C.X1X2X3X4—1

D.xi+2工2+3工3+4工4的取值范圍是,+°°)

答案BC

解析因?yàn)樨)為偶函數(shù)且有4個零點(diǎn)，

則當(dāng)xX)時兀0有2個零點(diǎn),

Z=q2—4>0,

即’_二￡八解得a>2,A不正確；

了u,

2

當(dāng)工<0時，-x>0,則,/(X)=/(—X)=X2+QX+1,B正確;

偶函數(shù)y(x)的4個零點(diǎn)滿足：X1<X2<X3<X4,

則不3,X4是方程N(yùn)—。才+1=0的兩個根，

則有X3>0,X3X4=1且修=一冗4,X2=—%3,

于是得X|X2X3X4=(X3X4)2=1,C正確；

由C選項知，X|+2%2+3x3+4x4—X3+3x4=X3H，

X3

且0VX3V1,而函數(shù)歹=x+±在(0,1)上單調(diào)遞減，

X

從而得%3+二￡(4,+°°),D不正確.

X3

三、填空題

13.為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加

密密鑰密碼系統(tǒng)(PrivateKeyCryptosystem),其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文一密文(加

密)，接收方由密文一明文.現(xiàn)在加密密鑰為》=依3,如“4”通過加密后得到密文“2”，若

接收方接到密文“丄”，則解密后得到的明文是.

答案丄

2

解析由題可知，加密密鑰為卜=依3,

由已知可得，當(dāng)x=4時，>=2,

所以2=4X43,解得左=3=丄，

故^=丄爐，顯然令y=丄，即丄=丄必

32丿25625632

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解得X3=L即X=L

82

14.若函數(shù)貝x)=er—ln(x+a)在(0,+8)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

答案(一8,e)

解析由題意可得，函數(shù)y=er與ga)=ln(x+a)的圖象在(0,+8)上有交點(diǎn)，

當(dāng)A0時，g(x)=lna+q)的圖象是由函數(shù)y=lnx的圖象向左平移得到的，由圖象可得，若想

兩函數(shù)圖象在(0,+8)上有交點(diǎn)只需要g(o)=inqvi,即0〈a〈e；

當(dāng)時，g(x)=ln(x+Q)的圖象是由函數(shù)y=lnx的圖象向右平移得到的，此時兩函數(shù)圖象

在(0,+8)上恒有交點(diǎn)，滿足條件.綜上可得〃<e.

15.已知函數(shù)v=/(x)的表達(dá)式為/(、)=?''、'則函數(shù)、=/如))的所有零點(diǎn)之和為

logzx,x>0,

答案3

解析:/a)=o=x=o或冗=1,

.?../(/(x))=