平面向量的線性運(yùn)算平面向量的加減法

關(guān)于平面向量的線性運(yùn)算平面向量的加減法平面向量的線性運(yùn)算——向量的加法運(yùn)算第2頁,共33頁，2024年2月25日，星期天

臺北香港上海從運(yùn)動的合成看向量運(yùn)算在大陸和臺灣沒有直航之前，臺灣同胞要到上海探親，得乘飛機(jī)要先從臺北到香港，再從香港到上海，那么這兩次位移之和是什么？ABC位移第3頁,共33頁，2024年2月25日，星期天創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入王濤同學(xué)從家中（A處）出發(fā)，向正南方向行走500m到達(dá)超市（B處），買了文具后，又沿著北偏東60°角方向行走200m到達(dá)學(xué)校（C處）（如總效果是從家（A處）到達(dá)了學(xué)AC500m200m位移叫做位移與位移的和，記作圖）．王濤同學(xué)這兩次位移的校（C處）．第4頁,共33頁，2024年2月25日，星期天F1F2FEOOEF1+F2=F從力的合成看向量運(yùn)算橡皮條在力F1與F2的作用下，從E點(diǎn)伸長到了O點(diǎn)；同時橡皮條在力F的作用下也從E點(diǎn)伸長到了O點(diǎn).問:合力F與力F1、F2有怎樣的關(guān)系？F1F2FF是以F1與F2為鄰邊所形成的平行四邊形的對角線第5頁,共33頁，2024年2月25日，星期天ABC向量的加法運(yùn)算運(yùn)動的合成力的合成F1F2FF1+F2=F

數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看，AC可以認(rèn)為是AB與BC的和，F(xiàn)可以認(rèn)為是F1與F2的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。向量的加法：求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法向量的加法法則：三角形法則、平行四邊形法則第6頁,共33頁，2024年2月25日，星期天動腦思考探索新知（1）a＋b與b＋a相等嗎？請畫出圖來說明．（2）如果向量a和向量b共線，如何畫出它們的和向量？想一想第7頁,共33頁，2024年2月25日，星期天動腦思考探索新知ACBaba+bab一般地，設(shè)向量a與向量b不共線，在平面上任取一點(diǎn)A叫做向量a與向量b的和，則向量依次作記作a＋b，即

（7．1）

求向量的和的運(yùn)算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法則．

第8頁,共33頁，2024年2月25日，星期天動腦思考探索新知ADCB如圖所示，ABCD為平行四邊形，由于根據(jù)三角形法則得

這說明，在平行四邊形ABCD中，

所表示的向量就是與的和．這種求和方法叫做向量加法的平行四邊形法則．

平行四邊形法則不適用于共線向量，可以驗證，向量的加法具有以下的性質(zhì)：(1)a＋0=0＋a=a；a＋（?a）=0；

(2)a＋b=b＋a；(3)（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．第9頁,共33頁，2024年2月25日，星期天o·ABC力的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的物理模型CA·B向量加法法則位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型第10頁,共33頁，2024年2月25日，星期天向量加法法則總結(jié)與拓展向量加法的三角形法則:1.將向量平移使得它們首尾相連2.和向量即是第一個向量的首指向第二個向量的尾向量加法的平行四邊形法則:1.將向量平移到同一起點(diǎn)2.和向量即以它們作為鄰邊平行四邊形的共起點(diǎn)的對角線三角形法則推廣為多邊形法則：第11頁,共33頁，2024年2月25日，星期天探究一：當(dāng)向量共線時，如何相加？ABC(1)同向(2)反向ABC第12頁,共33頁，2024年2月25日，星期天探究二：向量的加法是否具備交換律和結(jié)合律？數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律，即對任意a，b∈R，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)向量的加法具備嗎？你能否畫圖解釋？向量加法滿足交換律和結(jié)合律：以上兩個運(yùn)算律可以推廣到任意多個向量.第13頁,共33頁，2024年2月25日，星期天鞏固知識典型例題

例3一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度為5km/h，求該船的實(shí)際航行速度．

ABDC速度，由向量加法的平行四邊形法則，是船的實(shí)際航行速度，顯然

解如圖所示，表示船速，為水流=13．利用計算器求得即船的實(shí)際航行速度大小是13km/h，其方向與河岸線的夾角約第14頁,共33頁，2024年2月25日，星期天鞏固知識典型例題例4用兩條同樣的繩子掛一個物體,設(shè)物體的重力為k，兩條，求物體受到沿兩條繩子的方向的拉力與的大小．

繩子的方向與垂線的夾角為f1f2k解利用平行四邊形法則，可以得到所以第15頁,共33頁，2024年2月25日，星期天運(yùn)用知識強(qiáng)化練習(xí)計算：第16頁,共33頁，2024年2月25日，星期天平面向量的線性運(yùn)算——向量的減法運(yùn)算第17頁,共33頁，2024年2月25日，星期天預(yù)備知識：相反向量類比實(shí)數(shù)的相反數(shù)的概率，定義相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作-a

;

-a與a互為相反向量規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量所以:1、-(-a)=a；2、a+(-a)=(-a)+a=0；3、a=-b，b=-a，a+b=0向量的減法：a-b=a+(-b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量第18頁,共33頁，2024年2月25日，星期天向量減法法則要點(diǎn):1.平移到同一起點(diǎn)；2.指向被減向量.ABOABO第19頁,共33頁，2024年2月25日，星期天探究三：當(dāng)向量共線時，如何相減？(1)同向(2)反向探究四：平行四邊形法則的兩條對角線ADCB第20頁,共33頁，2024年2月25日，星期天動腦思考探索新知想一想根據(jù)例題4的分析，判斷在單杠上懸掛身體時，兩臂成什么角度時，雙臂受力最??？第21頁,共33頁，2024年2月25日，星期天運(yùn)用知識強(qiáng)化練習(xí)計算：第22頁,共33頁，2024年2月25日，星期天動腦思考探索新知與數(shù)的運(yùn)算相類似，可以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為向量a與向量b的差．即a?b=a＋(?b)．即

（7．2）觀察圖可以得到：起點(diǎn)相同的個向量，其起點(diǎn)是減向量b的終點(diǎn)，兩個向量a、b，其差a?b仍然是一終點(diǎn)是被減向量a的終點(diǎn)．

aAa－bBbO設(shè)a

，b

，則第23頁,共33頁，2024年2月25日，星期天a鞏固知識典型例題例5已知如圖所示向量a

、b

，請畫出向量a?b．BbOAba解

如圖所示，以平面上任一點(diǎn)O=b，連接BA，=a，為起點(diǎn)，作為所求，即

則向量=a?b．

第24頁,共33頁，2024年2月25日，星期天運(yùn)用知識強(qiáng)化練習(xí)計算：第25頁,共33頁，2024年2月25日，星期天創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入aaaaOABC3a是一個向量，其方向與a的方向相同,其模是a的模的3倍，即

|3a|=3|a|．

觀察下圖可以看出向量與向量a共線，并且a第26頁,共33頁，2024年2月25日，星期天動腦思考探索新知一般地，實(shí)數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，它的模為

（7．3）（7．4）由上面定義可以得到，對于非零向量a、b，當(dāng)時，有

若0，則當(dāng)時,

a的方向與a的方向相同，當(dāng)

時，a的方向與a的方向相反．

第27頁,共33頁，2024年2月25日，星期天動腦思考探索新知一般地，有0a=0,λ0=0．

數(shù)與向量的乘法運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘運(yùn)算，容易驗證，對于，向量數(shù)乘運(yùn)算滿足如下的法則：

任意向量a,b及任意實(shí)數(shù)

向量加法及數(shù)乘運(yùn)算在形式上與實(shí)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算規(guī)律相類似，因此，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項、合并同類項等變形，可直接應(yīng)用于向量的運(yùn)算中．但是，要注意向量的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的意義是不同的．

做一做請畫出圖形來，分別驗證這些法則．第28頁,共33頁，2024年2月25日，星期天鞏固知識典型例題例6

在平行四邊形ABCD中，O為兩對角線交點(diǎn)如圖，＝a，＝b，試用a,b表示向量、解

＝a＋b，＝b?a，

因為O分別為AC，BD的中點(diǎn)，所以（a＋b）＝a＋b，

（b?a）＝a＋b，

a＋b和

a＋b

都叫做向量a，b的線性組合，或者說，可以用向量a，b線性表示．

第29頁,共33頁，2024年2月25日，星期天鞏固知識典型例題一般地，a＋b叫做a,b的一個線性組合（其中均為實(shí)數(shù)），如果l＝a＋b，則稱l可以用a，b線性表示．

向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算都叫做向量的線性運(yùn)算．

第30頁,共33頁，2024年2月25日，星期天運(yùn)用知識強(qiáng)化練習(xí)計算：（1）3(a?2b)?2(2a＋b)；（2）3a?2(3a?4b)＋3(a?b)．（1）?a?8b；（2）5b．第31頁,共33頁，2024年2月25日，星期