黃金卷（試卷含解析）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學模擬卷（七省新高考）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．全集U=R，集合A={2,3,5,7,9}，B={4,5,6,8}，則陰影部分表示的集合是()2．已知復數(shù)z=11+i(aeR)，若z為純虛數(shù)，則a的值為4．兒童手工制作（DIY）對培養(yǎng)孩子的專注力、創(chuàng)造力有很大的促進作用．如圖，在某節(jié)手工課上，小明將一張半徑為2cm的半圓形剪紙折成了一個圓錐（無裁剪無重疊），接著將毛線編制成一個彩球，放置于圓錐底部，制作成一個冰淇淋模型．已知彩球的表面積為16πcm2，則該冰淇淋模型的高（圓錐頂點到球面上點的最遠距離）為()xA．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=，若該數(shù)列滿足an+2SnSn-1=0(n>2)，則下列命題中錯誤的是()nS2}是等比數(shù)列7．橢圓C:+=1(a>b>0)上有兩點A、B，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點，ABF1是以F2為中心的正三角形，則橢圓離心率為()8．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①f(x)+f(2-x)=0，②f(2x-1)是奇函數(shù)，則下列結論可能不正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)B．f(x)=f(x+4)C．f(3)=0D．(x-1)f(x)關于x＝1對稱二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知圓C1:(x-1)2+y2=1和圓C2:x2+y2-4x-4y+4=0，則()A．圓C2的半徑為4B．y軸為圓C1與C2的公切線C．圓C1與C2公共弦所在的直線方程為x+2y-1=0D．圓C1與C2上共有6個點到直線2x-y-2=0的距離為1除兩個樣本點(-2,1)和(2,-1)后，得到新的經驗回歸方程為=3x+．在余下的8個樣本數(shù)據和新的經驗回歸方程中().A．相關變量x，y具有正相關關系B．新的經驗回歸方程為=3x-3C．隨著自變量x值增加，因變量y值增加速度變小D．樣本(4,8.9)的殘差為-0.111．設拋物線C：y2=8x的焦點為F，準線為l，點M為C上一動點，E(3,1)為定點，則下列結論正確的是()C．|ME|+|MF|的最小值為7D．以線段MF為直徑的圓與y軸相切12．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)+f,(x)>1，f(0)=4，則關于不等式exf(x)>ex+3的表述正確的為()第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。5的展開式中，常數(shù)項為.14．人類已進入大數(shù)據時代．目前，數(shù)據量已經從TB(1TB=1024GB)級別躍升到2008年全球產生的數(shù)據量為0.500ZB,2010年增長到1.125ZB．若從2008年起，全球產生的數(shù)據量P與年份t的關系為P=P0at一2008，其中P0,a均是正的常數(shù)，則2023年全球產生的數(shù)據量是2022年的倍.15．已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=的方程：. 2 2且與函數(shù)y=f(x)，y=g(x)的圖象均相切的直線l16．已知空間四邊形ABCD的各邊長及對角線BD的長度均為6，平面ABD」平面CBD，點M在AC上，且AM=2MC，過點M作四邊形ABCD外接球的截面，則截面面積的最小值為.四、解答題：本題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．在ΔABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知M為BC邊的中點，.=(2)若ΔABC的面積為4，求ΔABC周長的最小值.a(ab).218．已知等差數(shù)列{an}滿足a6+a7=4，且a1,a4,a5成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項公式；(2)記Tn為數(shù)列{an}前n項的乘積，若a1<0，求Tn的最大值.19．目前,教師職業(yè)越來越受青睞,考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一.當前,中小學教師資格考試分筆試和面試兩部分,筆試通過后才能進入面試環(huán)節(jié).已知某市2022年共有10000名考生參加了中小學教師資格考試的筆試,筆試成績ξ~N(60,102),只有筆試成績高于70分的學生才能進入面試環(huán)節(jié).(1)從報考中小學教師資格考試的考生中隨機抽取6人,求這6人中至少有一人進入面試的概率;(2)現(xiàn)有甲、乙、丙3名學生進入了面試,且他們通過面試的概率分別為,,,設這3名學生中通過面試的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.參考數(shù)據:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X<μ+σ)~0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)~0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)~0.9973,0.841356~0.3547,0.977256~0.8710.(1)求證；AB」PC，(2)在線段PD上是否存在一點M，使得二面角M一AC一D的大小為45。，如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值；如果不存在，請說明理由.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)已知點D(2,0),E,F是雙曲線C上異于D的兩個不同點，且+=一，證明：直線EF過定點，并求出定點坐標.22．已知a>0且a1，函數(shù)f(x)=logax+ax2.(1)若a=e，求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。12345678CDBBACAA二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9BDABDADAC第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。四、解答題：本題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。2b2)=a(a2b)，又CE(0,π)，故C= π .3此時‘ABC的周長最小，且最小值為12.9.故Tn的最大值為945.1912分）【詳解】（1）記“至少有一人進入面試”為事件A,由已知得:μ=60,σ=10,所以P(ξ<70)=~=0.84135,則P(A)=1-0.841356~1-0.3547=0.6453,即這6人中至少有一人進入面試的概率為0.6453.（2）X的可能取值為0,1,2,3,則隨機變量X的分布列為：X0123P(X)124 14 24 14,22,=BC2：AB」AC,∵PA仁面PAC,AC仁面PAC,且PAnAC=A，∴AB」平面PAC,（2）取BC的中點E，連接AE，則AE」BC，建立如圖所示的空間直角坐標系，A(0，0，0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)設則點M為(0,2t,4一4t)，設平面MAC的法向量是=(x,y,z)，又=(0,0,1)是平面ACD的一個法:2:解得M解得M設BM與平面MAC所成的角為θ,：BM與平面MAC所成角的正弦值為.2112分）【詳解】（1）因為雙曲線C與已知雙曲線有相同的漸近線，設雙曲線C的標準方程為x2一4y2=λ,2=λ,解得λ=4，所以雙曲線C的標準方程為一y2=1（2）當直線EF斜率存在時，設EF:y=kx+m，米2m2244m22x2------------------------222所以m1=2k,m2=k，當m1=2k時，直線l的方程為y=k(x2)，直線過定點(2,0)，與已知矛盾，（ii）當直線EF斜率不存在時，由對稱性不妨設直線DE:y=x一2，與雙曲線C方程聯(lián)立解得xE=xF=，此時EF也過點M,0，.綜上，直線EF過定點M2 ex22 ex2 ,則f,(x) x（2）函數(shù)f(x)有兩個零點，常方程logax+ax2=0在xE(0,+偽)上有兩個根，lnx2常lnx2x與y=alna的圖象在xE(0,+偽)上有兩個交點，所以g(x)=在(0,)上單調遞增，在(,+偽)上單調遞減，；e（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．全集U=R，集合A={2,3,5,7,9}，B={4,5,6,8}，則陰影部分表示的集合是()【答案】【答案】C【分析】根據給定的條件利用韋恩圖反應的集合運算直接計算作答.【詳解】韋恩圖的陰影部分表示的集合為(eUA)nB，而全集U=R，集合A={2,3,5,7,9}，B={4,5,6,8}，故選：C2．已知復數(shù)z=11+i(aeR)，若z為純虛數(shù)，則a的值為【答案】【答案】D【分析】由復數(shù)除法運算化簡復數(shù)這代數(shù)形式，然后根據復數(shù)的定義求解.故選：D.【答案】【答案】B【分析】根據向量垂直關系的表示及向量的夾角公式即可求解.222故選：故選：B.4．兒童手工制作（DIY）對培養(yǎng)孩子的專注力、創(chuàng)造力有很大的促進作用．如圖，在某節(jié)手工課上，小明將一張半徑為2cm的半圓形剪紙折成了一個圓錐（無裁剪無重疊接著將毛線編制成一個彩球，放置于圓錐底部，制作成一個冰淇淋模型．已知彩球的表面積為16πcm2，則該冰淇淋模型的高（圓錐頂點到球面上點的最遠距離）為()【答案】【答案】B【分析】先求圓錐的高和球的半徑，再用勾股定理求彩球的球心到圓錐【分析】先求圓錐的高和球的半徑，再用勾股定理求彩球的球心到圓錐底面所在平面的距離，最后根據題意得到答案意得到答案.【詳解】設圓錐的地面半徑為【詳解】設圓錐的地面半徑為r，則2πr=2π,解得r=1，所以圓錐的高h=22一12=.設彩球的半徑為設彩球的半徑為R，則4πR2=16π,解得R=2.故選：故選：B.xA．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】【答案】A【分析】構造f(t)，求出單調性，求出2x【詳解】設t=2x，則1+2x5<2中x范圍，再判斷即可.)時為減函數(shù)，當t=[1,2)，時，所以f(t)min=f(1)=2,f(t)max<f(2)=52”的充分不必要條件，故選：A又因為f(2)=f1+2x51+<2x52<2,6．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=，若該數(shù)列滿足an+2SnSn-1=0(n>2)，則下列命題中錯誤的是()nS2}是等比數(shù)列【答案】【答案】C【分析】利用an=Sn-Sn-1可化簡已知等式證得A正確；利用等差數(shù)列通項公式可整理得到B正確；由an與Sn關系可求得C錯誤；由S2n=，結合等比數(shù)列定義可知D正確.當n>2時，由an+2SnSn-1:數(shù)列〈〉是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，A正確；=0得：Sn-Sn-1+2SnSn-1=0， 【詳解】對于A，:1-1+2=0Sn-1Sna1經檢驗：a1=不滿足an對于D，由B得：S2n=，:S2n+1=S2n，又S2=，:{S2}是以為首項，為公比的等比數(shù)列，D正確.故選：C.7．橢圓C:+=1(a>b>0)上有兩點A、B，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點，‘ABF1是以F2為中心的正三角形，則橢圓離心率為()【答案】【答案】C【分析】根據題意，由條件表示出AF1的長，結合橢圓的定義，再由離心率的計算公式，即可得到結果.【詳解】設AB邊與x軸交于點D，且‘ABF1是以F2為中心的正三角形，則AB」F1D，且F2為‘ABF1的重心，F(xiàn)DAFAFAF1+2FDAFAFAF1+21111故選：故選：C8．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①f(x)+f(2一x)=0，②f(2x一1)是奇函數(shù)，則下列結論可能不正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)B．f(x)=f(x+4)C．f(3)=0D．(x1)f(x)關于x＝1對稱【答案】【答案】A【分析】利用已知條件分析函數(shù)的對稱性和周期性，再驗證各個選項的結論.【詳解】定義在R上的函數(shù)f(x),滿足f(x)+f(2一x)=0，有f(2一x)=一f(x)，函數(shù)圖像上的點(x,f(x))函數(shù)圖像上，即函數(shù)圖像關于點(1,0)對稱；f(2x1)，函數(shù)圖像上的點(2x1,f(2x1))關于點(1,0)的對稱點為(2x1,f(2x1))，即(2x1,f(2x1))，所以函數(shù)圖像上的點關于點(1,0)的對稱點也在函數(shù)圖像上，∴f(2x)=f(2x)，令2x=t，則2x=t+4，所以f(t)=f(t+4)，得函數(shù)周期為4，B選項正確；令g(x)=(x1)f(x)，g(2x)=(2x1)f(2x)=(1x)[f(x)]=(x1)f(x)=g(x)，所以g(x)的圖像關于x＝1對稱，D選項正確；函數(shù)函數(shù)f(x)=sinπx，滿足題目中的條件，但f(x)=sinπx不是偶函數(shù)，A選項錯誤.故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知圓C1:(x-1)2+y2=1和圓C2:x2+y2-4x-4y+4=0，則()A．圓C2的半徑為4B．y軸為圓C1與C2的公切線C．圓C1與C2公共弦所在的直線方程為x+2y-1=0D．圓C1與C2上共有6個點到直線2x-y-2=0的距離為1【答案】【答案】BD【分析】對于A項，將圓的方程化成標準式即得；對于B項，判斷圓心到直線的距離等于圓的半徑即得；對于C項，只需將兩圓方程相減化簡，即得公共弦直線方程；對于D項，需要結合圖像作出兩條和已知直線平行且距離等于1的直線，通過觀察分析即得.【詳解】對于A項，由圓C2:x2+y2-4x-4y+4=0配方得：(x-2)2+(y-2)2=4,知圓C2的半徑為2，故選項A錯誤；對于B項，因圓心C1(1,0)到y(tǒng)軸的距離為1，等于圓C1的半徑，故圓C1與y軸相切，同理圓心C2(2,2)到y(tǒng)軸的距離等于圓C2的半徑，圓C2與y軸相切，故y軸為圓C1與與C2的公切線，故選項B正確；對于C項，只需要將(x-1)2+y2=1與x2+y2-4x-4y+4=0左右分別相減，即得圓C1與C2的公共弦所在的直線方程為：x+2y-2=0,故選項C錯誤；對于D項，如圖，因直線2x-y-2=0同時經過兩圓的圓心，依題意可作兩條與該直線平行且距離為1的直線l1與l2，其中l(wèi)1與l2和圓C1都相切，各有一個公共點，l1與l2和圓C2都相交，各有兩個交點，故圓C1與C2上共有6個點到直線2x-y-2=0的距離為1，故選項D正確.故選：BD.10．已知由樣本數(shù)據(xi,yi)(i=1,2,3,…,10)組成的一個樣本，得到經驗回歸方程為=2x-0.4，且x=2，去除兩個樣本點(-2,1)和(2,-1)后，得到新的經驗回歸方程為=3x+．在余下的8個樣本數(shù)據和新的經驗回歸方程中().A．相關變量x，y具有正相關關系B．新的經驗回歸方程為=3x-3C．隨著自變量x值增加，因變量y值增加速度變小D．樣本(4,8.9)的殘差為-0.1【答案】【答案】ABD【分析】根據線性回歸方程的求法、意義可判斷ABC，再由殘差的概念判斷D.【詳解】Σxi=20，x新平均數(shù)y新平均數(shù)8新的線性回歸方程=3x+，x，y具有正相關關系，A對.新的線性回歸方程：=3x-3，B對.由線性回歸方程知，隨著自變量x值增加，因變量y值增加速度恒定，C錯；故選：ABD.11．設拋物線C：y2=8x的焦點為F，準線為l，點M為C上一動點，E(3,1)為定點，則下列結論正確的是D．以線段MF為直徑的圓與y軸相切【答案】AD【分析】根據拋物線方程求得直線方程，結合三角形的知識求得|ME|一|MF|的最大值，結合拋物線的定義求得|ME|+|MF|的最小值以及判斷出以線段MF為直徑的圓與y軸相切.當點M在線段EF的延長線上時等號成立，∴|ME|一|MF|的最大值為，故B錯誤；如圖所示，過點M，E分別作準線l的垂線，垂足分別為A，B，∴|ME|+|MF|的最小值為5，故C不正確；設點M(x0,y0)，線段MF的中點為D，則xD==，∴以線段MF為直徑的圓與y軸相切，D正確.故選：AD12．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)+f,(x)>1，f(0)=4，則關于不等式exf(x)>ex+3的表述正確的為()【答案】【答案】AC【解析】構造函數(shù)g(x)=exf(x)-1，求導后可推出g(x)在R上單調遞增，由f(0)=4，可得g(0)=3，原不等式等價于g(x)>g(0)，從而可得不等式的解集，結合選項即可得結論.【詳解】令g(x)=exf(x)-1，xeR，則g,(x)=exf(x)-1+f,(x)，∴g,(x)>0恒成立，即g(x)在R上單調遞增.不等式exf(x)>ex+3可化為exf(x)-1>3，等價于g(x)>g(0)，則在[-2,2]上有解，故選項AC正確.故選：AC.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、解不等式，構造新函數(shù)是解題的關鍵，考查學生的轉化思想、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。5的展開式中，常數(shù)項為.【答案】【答案】-40【分析】由題意結合二項式展開式的通項公式整理計算即可求得最終結果.【詳解】由二項式展開式的通項公式可得(|（2x+5的展開式的通項公式可知通項公式為：T=C(2x)5-rr5-rx5-2r，5-5，令令52r=1可得r=2，令52r=1可得r=3，14．人類已進入大數(shù)據時代．目前，數(shù)據量已經從TB(1TB=1024GB)級別躍升到2008年全球產生的數(shù)據量為0.500ZB,2010年增長到1.125ZB．若從2008年起，全球產生的數(shù)據量P與年份t的關系為P=P0at一2008，其中P0,a均是正的常數(shù)，則2023年全球產生的數(shù)據量是2022年的倍.【答案】【答案】1.5【分析】通過題目數(shù)據求出函數(shù)解析式，然后利用指數(shù)運算即可求解.所以2022年全球產生的數(shù)據量為0.5.1.514，則2023年全球產生的數(shù)據量0.5.1.515，所以2023年全球產生的數(shù)據量是2022年的故答案為：1.515．已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=的方程：. 2 2且與函數(shù)y=f(x)，y=g(x)的圖象均相切的直線l【分析】公切線問題，求導，再利用斜率相等即可解題.【詳解】∵f(x)=lnx1 x，2x24 2x解得x1∴與函數(shù)y=f(x)，y=g(x)的圖象均相切的直線l的方程為：y=x一1.22x2x22162-32AD2-DE62-32AD2-DE2OH2+AH2 2 15- 2 3，截面面積為r2-OM2=故答案為：故答案為：y=x-1.16．已知空間四邊形ABCD的各邊長及對角線BD的長度均為6，平面ABD」平面CBD，點M在AC上，且AM=2MC，過點M作四邊形ABCD外接球的截面，則截面面積的最小值為.【答案】【答案】12π【分析】先由面面垂直的性質得到【分析】先由面面垂直的性質得到AE」平面CBD，求得AE、CE、OH、AH，從而求得外接球的半徑，再由平行線分線段成比例的推論證得再由平行線分線段成比例的推論證得H,O,M三點共線，從而求得OM，從而求得截面面積的最小值.【詳解】【詳解】由題意知ΔABD和ΔBCD為等邊三角形，取BD中點為E,連接AE,CE，則則AE」BD,由平面由平面ABD」平面CBD,平面ABD（平面CBD=BD,AE一平面ABD故AE」平面CBD，AE=故AE」平面CBD，AE=易知球心易知球心О在平面BCD的投影為ΔBCD的外心O1，在在AE上作OH」AE于H，易得OH//O1E,OO1//HE,則在則在RtΔOHA中，OH=,AH=2，=，連接=，連接OM,因為因為AH=2HE,OH//CE,AM=2MC,所以所以H,O,M三點共線，所以OM=MH-OH=CE-OH=,當當M為截面圓圓心時截面面積最小，此時截面圓半徑為()()故答案為：故答案為：12π..四、解答題：本題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．在ΔABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知M為BC邊的中點，.=(1)求角C的大??；(2)若ΔABC的面積為4，求ΔABC周長的最小值.a(ab).2 3π【答案】(1)C= 3π(2)12理計算即可求解；（2）根據三角形的面積公式可得ab=16，由（1結合基本不等式計算即可求解.2b2.又CE(0,π)，故C=.22ab所以當且僅當a=b=c=4時，等號成立，此時ΔABC的周長最小，且最小值為12.18．已知等差數(shù)列{an}滿足a6+a7=4，且a1,a4,a5成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項公式；(2)記Tn為數(shù)列{an}前n項的乘積，若a1<0，求Tn的最大值.【答案】【答案】(1)an=2或an=2n-11(2)945【分析】（1）利用a6+a7=4，和a1,a4,a5成等比數(shù)列結合等差數(shù)列和等比數(shù)列知識，從而求出首項和公差，從而求解.（2）根據（1）中結果并結合題意進行分情況討論，從而求解.9.所以：{an}的通項公式為an=2或an=2n-11.（2）因為a1<0，所以：an=2nTa2a3a4=945，所以：Tn的最故Tn的最大值為945.19．目前,教師職業(yè)越來越受青睞,考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一.當前,中小學教師資格考試分筆試和面試兩部分,筆試通過后才能進入面試環(huán)節(jié).已知某市2022年共有10000名考生參加了中小學教師資格考試的筆試,筆試成績ξ~N(60,102),只有筆試成績高于70分的學生才能進入面試環(huán)節(jié).(1)從報考中小學教師資格考試的考生中隨機抽取6人,求這6人中至少有一人進入面試的概率;(2)現(xiàn)有甲、乙、丙3名學生進入了面試,且他們通過面試的概率分別為,,,設這3名學生中通過面試的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.參考數(shù)據:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X<μ+σ)~0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)~0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)~0.9973,0.841356~0.3547,0.977256~0.8710.【答案】【答案】(1)0.6453(2)(2)隨機變量X的分布列見解析；期望為【分析】（1）由正態(tài)分布的對稱性有P(ξ<70)=,求各學生能進入面試的概率,再由獨立事件的乘法公式及對立事件的概率求法,求6人中至少有一人進入面試的概率.（2）求出X的可能取值為0,1,2,3的概率,寫出分布列,由分布列求期望即可.【詳解】（1）記“至少有一人進入面試”為事件A,由已知得:μ=60,σ=10,所以P(ξ<70)=~=0.84135,則P(A)=1_0.841356~1_0.3547=0.6453,即這6人中至少有一人進入面試的概率為0.6453.（2）X的可能取值為0,1,2,3,則隨機變量X的分布列為：XX PP(X)241241141424241414(1)求證；ABPC，(2)在線段PD上是否存在一點M，使得二面角MACD的大小為45，如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值；如果不存在，請說明理由.【答案】【答案】(1)證明見解析 2 2【分析】（【分析】（1）先證明出ABAC，利用PA平面ABCD得到ABPA，即可證明AB平面PAC，可以得到到ABPC；（（2）假設存在點M符合題意.以A為原點，以過A平行于CD的直線為x軸，AD,AP所在直線分別為y軸、軸、z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，用向量法求解.【詳解】（【詳解】（1）∵ADCD2,BC4，ABAC4,AB2AC2BC2,ABAC∵∵PA平面ABCD，∴ABPA.∵∵PA面PAC,AC面PAC,且PAnACA，∴∴AB平面PAC,ABPC.（（2）取BC的中點E，連接AE，則AEBC，建立如圖所示的空間直角坐標系，建立如圖所示的空間直角坐標系，