2025版高考數(shù)學一輪總復習第5章平面向量與復數(shù)第4講平面向量的綜合應用課件

第四講平面向量的綜合應用知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點一向量在平面幾何中的應用1．用向量解決常見平面幾何問題的技巧：問題類型所用知識公式表示線平行、點共線等問題共線向量定理a∥b?____________?______________，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0a＝λb

x1y2－x2y1＝0問題類型所用知識公式表示垂直問題數(shù)量積的運算性質a⊥b?__________?________________，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b為非零向量夾角問題數(shù)量積的定義cosθ＝______(θ為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量長度問題數(shù)量積的定義|a|＝______＝________，其中a＝(x，y)，a為非零向量a·b＝0x1x2＋y1y2＝02.用向量方法解決平面幾何問題的步驟：知識點二向量在解析幾何中的應用向量在解析幾何中的應用，是以解析幾何中的坐標為背景的一種向量描述．它主要強調向量的坐標問題，進而利用直線和圓錐曲線的位置關系的相關知識來解答，坐標的運算是考查的主體．知識點三向量與相關知識的交匯平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))、解析幾何結合，常通過向量的線性運算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關問題．歸

納

拓

展2．若直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，則向量(A，B)與直線l垂直，向量(－B，A)與直線l平行．雙

基

自

測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)√×√√題組二走進教材2．(必修2P60T10改編)設向量a＝(cosθ，2)，b＝(－1，sinθ)，若a⊥b，則sin2θ＝_______.[解析]

∵a＝(cosθ，2)，b＝(－1，sinθ)，且a⊥b.A．矩形

B．正方形

C．菱形

D．梯形C4．(必修2P60T8改編)一質點在平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用下處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成90°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2N和4N，則F3的大小為()B題組三走向高考6考點突破·互動探究向量與平面幾何——師生共研B故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，名師點撥：平面幾何問題的向量解法1．坐標法：把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，就賦予了有關點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決．2．基向量法：適當選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構造關于設定未知量的方程來進行求解．【變式訓練】A．等邊三角形

B．等腰三角形C．直角三角形

D．等腰直角三角形C向量在解析幾何中的應用——師生共研A．圓

B．橢圓

C．拋物線

D．直線A∴點C的軌跡為圓．故選A.[解析]

解法一：由題意，得F(－1,0)，設P(x0，y0)，6因為－2≤x0≤2，名師點撥：向量在解析幾何中的“兩個”作用：①載體作用，向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導出曲線上點的坐標之間的關系，從而解決有關距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題；②工具作用，利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)，a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題常常是比較優(yōu)越的方法．【變式訓練】2向量與其他知識的交匯——師生共研(2023·吉林省實驗中學高三上第四次月考)已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C.(1)求角C的大小；[解析]

(1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)，在△ABC中，A＋B＝π－C,0<C<π，所以sin(A＋B)＝sinC，(2)由sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，可得2sinC＝sinA＋sinB，由正弦定理得2c＝a＋b.即abcosC＝18，所以ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝4c2－3×36，所以c＝6.名師點撥：平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路1．題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關系式，然后求解．2．給出用三角函數(shù)表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路是經過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內的有界性，求得值．【變式訓練】(1)求∠C的大??；[解析]

(1)因為m＝(cosB，cosC)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，所以ccosB＋(b－2a)cosC＝0，在△ABC中，由正弦定理得，sinCcosB＋(sinB－2sinA)cosC＝0，sinA＝2sinAcosC，兩邊平方得又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，所以a2＋b2－ab＝12.②名師講壇·素養(yǎng)提升三角形的四“心”及三角形形狀的判定一、三角形的“四心”3．外心：三角形的三條邊的垂直平分線的交點(三角形外接圓的圓心)．類型一平面向量與三角形的“重心”問題A．△ABC的內心

B．△ABC的垂心C．△ABC的重心

D．AB邊的中點C∴點P的軌跡一定經過△ABC的重心．類型二平面向量與三角形的“外心”問題A．外心

B．內心

C．重心

D．垂心A所以P為AB與BC的垂直平分線的交點，所以P是△ABC的外心．故選A.類型三平面向量與三角形的“垂心”問題A．重心

B．垂心

C．外心

D．內心B類型四平面向量與三角形的“內心”問題A．重心

B．外心

C．垂心

D．內心D∴AD平分∠BAC，∴直線AD通過△ABC的內心．二、三角形形狀的判斷A．正三角形

B．直角三角形C．等腰三角形

D．等腰