2022-2023學年陜西省漢中市高二年級下冊期末數(shù)學（理）試題【含答案】

2022-2023學年陜西省漢中市高二下學期期末數(shù)學（理）試題

一、單選題

()

L2-T7T

51.51.

A.—4--1B.----1

2222

31.31.

C.—1D.----1

2222

【答案】D

【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算求解.

2i.2乂1)-3'=

【詳解】

1+i222

故選:D.

2.已知集合4={#2-5工-6<0},8={x|2x-3>0},則AB=()

i6)

A.B.(-1,+℃)

|，+8

C.D.(6,+ao)

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法和交集的運算求解.

【詳解】由k2-5x—6<0解得，-1<X<6,所以A={x|-l<x<6},

又因為8=卜卜＞|

，所以AcB=

故選：A.

2x-y-l<0,

3.若x,y滿足約束條件，x+2>0,,則2=*+丫的最大值為（）

,V-2<0,

A.-7B.0c-?D.7

【答案】C

【分析】根據(jù)約束條件，畫出可行域,平移直線2=尢+＞求解.

2x-y-l＜0,

【詳解】解：由X,y滿足約束條件-X+220,畫出可行域如圖所示:

y-2W0,

平移直線2=中，當直線z=x+y經(jīng)過點?|,2）時，Z取得最大值1

故選：C

4.曲線》=犬+/在點0,2）處的切線的斜率為（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】A

【分析】求導，代入x=l求出答案.

【詳解】/=5x4+2x,當x=l時，/=5+2=7,

故y=/+/在點（1,2）處的切線的斜率為7.

故選：A

5.如圖，圓柱內(nèi)部有兩個與該圓柱底面重合的圓錐，若從該圓柱內(nèi)部任取一點，則該點不在這兩個

圓錐內(nèi)部的概率為（）

111

B.2-3-D.4-

【答案】A

【分析】設圓柱的底面半徑為，?，高為心分別求得圓柱和兩個圓錐的體積，結(jié)合體積比的幾何擷型,

即可求解.

【詳解】設圓柱的底面半徑為，高為h,則圓柱的體積為1/=兀//?,

兩個圓錐的體積之和為匕=2、§1“2*三h=§1兀,〃，

根據(jù)體積比的幾何概型，可得所求的概率p.X.2.

r=1--L=1——1~~：-=—

V7rr2h3

故選：A.

6.過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數(shù)學家明安圖

在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓(x+lY+(y-2)2=4的一條通徑與拋物線

y2=2px(p>0)的通徑恰好構(gòu)成一個正方形的一組鄰邊，則。=()

A.yB.1C.2D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)圓的通徑的右端點就是拋物線通徑的上端點，可得拋物線y?=2px經(jīng)過點(1,2),從而

可得答案.

【詳解】因為圓(x+lf+(y-2)2=4的一條通徑與拋物線V=2px(p>0)的通徑恰好構(gòu)成一個正方

形的一組鄰邊，

而拋物線V=2px(0>0)的通徑與x軸垂直，

所以圓(》+以+&-2)2=4的這條通徑與丁軸垂直，

且圓的通徑的右端點就是拋物線通徑的上端點，

因為圓(x+iy+(y-2)2=4的圓心為(-1,2),半徑為2,所以該圓與N軸垂直的通徑的右端點為

。，2)，

即拋物線yJ2px經(jīng)過點(1,2),則4=2p,即p=2.

故選：C.

r3ev

7.函數(shù)，(x)=T%的部分圖象大致為()

【分析】根據(jù)奇偶性排除C,D：根據(jù)當x>0時，/(x)>0,排除A,從而可得答案.

【詳解】因為〃力=2三的定義域為(y,o)u(o,”)，關于原點對稱,

所以“X)是偶函數(shù)，排除C,D；

當x>0時，/(x)>0,排除A,

故選：B.

8.在等差數(shù)列｛為｝中，2%0-線=4,則｛%｝的前2023項和$2023=()

A.2023B.4046C.6069D.8092

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項結(jié)合條件可得4。吐=4,再由S2023=20231;+、)=2023限求解.

【詳解】解：設｛q｝的公差為d，

則2%]0_%=2(q+509d)_(q+7J)=^+101W=6/1012=4,

所以S2023=2。23([+%呻)=2023%。12=8092.

故選：D

9.如圖，網(wǎng)格紙上繪制了一個幾何體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該幾何體的表積為(

A.32+8石B.24+8遙+8&

C.36+8-^2D.28+8\/5+8^2

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何體的三視圖可得原幾何體為一個四棱錐P-ABCD，根據(jù)四棱錐結(jié)構(gòu)特征，求得各

個面積的面積，即可求得幾何體的表面積.

【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖可得原幾何體為一個四棱錐P-A5C。，如圖所示，

其中底面ABCO為邊長為4的正方形，力記為等腰三角形，且平面平面ABC。，

取鈣,8的中點￡尸，連接則

因為平面RWc平面71BC￡)=AB,且PEu平面%8,所以PE_L平面ABCD,

又因為A￡>u平面A3C。，所以PE14),

因為4B_LAD,EF43=后且。,48匚平面上鉆，所以4?J_平面P4B,

又因為PAu平面B4B,所以ADJ.B4,同理可證8C_LPB,

因為底面ABC。為邊長為4的正方形，且等腰二叢8的高為4,

可得皂隊8=]X4x4=8，Spg=Seye=5x4x=4\/^，SABCD=16,

2222

又由PF=>]PE+EF=V4+4=4>/2，可得SPCI)=~CD-PF=^x4x4y/2=8yf2,

所以該幾何體的表面積為S=]6+8+2x46+4&=24+8石+4&.

故選：B.

10.當點M(2,—3)到直線(4〃L1)X—(加一1))>+2a+1=0的距離取得最大值時，m=()

4

A.2B.-C.-2D.-4

【答案】C

【分析】化簡直線為（4x-y+2）加T+y+l=O,得到直線經(jīng)過定點N（-l,-2）,結(jié)合直線仞V與該

直線垂直時，點M到該直線的距離取得最大值，列出方程，即可求解.

【詳解】將直線（4加一l）x-（加-l）y+2m+l=0轉(zhuǎn)化為（4x-y+2）/w-x+y+l=0,

[4x-y+2=0[x=-l,、

聯(lián)立方程組[r+），+]=0,解得Jy=_2'所以直線經(jīng)過定點N（T-2）,

當直線MN與該直線垂直時，點M到該直線的距離取得最大值，

4w—13

此時x~~H二一1,解得m=一2.

2-(-0

故選：C.

11.已知函數(shù)/（x）=2gsinGxcoss-Zsi/tyx+M。〉。）在（0,兀）上恰有5個零點，則口的取值范

圍為（）

-2935、<2935"

A?-7_,Tb-7■迄

oo7\oo_

「2935、<2935-

U后造ID?Ik逅

【答案】D

【分析】利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)f（x）,求出x?0,兀）時，相位所在區(qū)間，再利用正

弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.

【詳解】依題意，/（x）=6sin2（ox+cos2cox=2sin（2（yx+-）,

6

由69>0,0<X<7T,得一<26yxH---<2,（071H----,

666

因為〃x）在（0,兀）上恰有5個零點，貝IJ5兀<2。兀+三46兀，解得之<。4寺，

61212

（2935-

所以。的取值范圍為7y，行.

故選：D

12.已知球。的半徑為2,A,B,C三點在球。的表面上，且則當三棱錐O-ABC的

體積最大時，AB=（）

A.&B.氈C.百D.拽

333

【答案】D

22222

［分析】如圖，設AB=a,AC=。，8C=2r,點。到平面ABC的距離為h,則a+b=4r,r+h=4,

然后表示出三棱錐A8C的體積，結(jié)合基本不等式和導數(shù)可求出其最大值.

【詳解】如圖，設4?=。，AC=6,設外接圓半徑為r，則BC=2r,設點。到平面ABC的

距離為"則/+從=4,，,+層=%

則%-“瑜=；'：。劭〈5(/+〃”=；//1=14一/12%,當且僅當〃時，等號成立.

VOAHC=1/7-y,°<〃<2,所以%-ABC=：一，

當0<〃<型時，％w>0，當也<〃<2時，VJ_4BC<O,

33

所以當力=亞時，％_ABC取最大值，此時。=6=生叵.

33

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：此題考查多面體與球的綜合問題，考查基本不等式的應用，考查導數(shù)的應用,

解題的關鍵是表示出ABC的體積，先用基本不等式表示出體積的最大值，再利用導數(shù)可求得結(jié)

果，考查數(shù)學計算能力，屬于較難題.

二、填空題

13.已知向量a=(/n,/n+2),匕=(6,3),若?！ǚ藏恷加=.

【答案】-4

【分析】根據(jù)向量共線的坐標表示直接列式求解.

【詳解】因為a〃人所以6(〃?+2)-3加=0,解得機=-4.

故答案為：-4.

14.［展開式中的常數(shù)項是.(用數(shù)字作答)

【答案】-672

【分析】先寫出二項展開式的通項公式*1=7產(chǎn)（-蛾）=（-2）'7產(chǎn)"，再令9—3r=0,得/'=3,

從而可求解.

令9—3r=0,即/'=3,得展開式中的常數(shù)項是（一2）3端=-8、84=-672.

故答案為：-672

15.數(shù)列｛4｝滿足4=lg=2,a“+2,則｛叫的前2023S202i=_____.

［?！耙?61—4+1

【答案】1351

【分析】根據(jù)已知遞推式求出〃3,4，%，4，%，/，則可得｛%｝從第3項起以3為周期的周期數(shù)列，從

而可求得答案

【詳解】因為4=1必=2,磯=卜向一："向，

所以。3=1，4=1，。5=°，4=1，%=1，。8=0,%=1,%0=1，41=0,

則｛““｝從第3項起以3為周期的周期數(shù)列，

所以$2023=674x2+3=1351.

故答案為：1351

三、雙空題

22

16.已知雙曲線C：￡-g=1（。＞0力＞0）的左、右焦點分別為E，居，。為坐標原點，以6鳥為

直徑的圓與C在第二象限內(nèi)相交于點，與C的漸近線在第一象限內(nèi)相交于點“，且OM〃耳A,則c

的離心率為,若的面積為4,則C的方程為

【答案】后—-^=1

28

【分析】根據(jù)直線的平行關系與斜率的關系和直角三角形邊與角的關系結(jié)合雙曲線的。，6,C的關系可

求離心率；再利用點到直線的距離公式求出三角形的高，進而可表示面積.

【詳解】如圖，因為〃耳A,所以tanNA耳工=2.

又A"小,\F}F2\=2cf所以|例|=2a,\AF2\=2b9

則2h=4a,所以。=2Q,則c=\[5a，所以e='=石.

h_be

因為6（-c,0）到漸近線OM:y=±x的距離為,=b,

ax/Zr+礦

因為OM〃片A,所以點M到耳A的距離為b,

所以4噸=gx|A耳卜〃=gx2axA=2/=4,

22

所以/=2,〃=44=8,則。的方程為三—X=l.

28

四、解答題

17.已知ABC內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,從c,且屜sinC=3ccosB.

⑴求角8的值；

（2）若8=4,ac=l6,求一ABC的周長.

【答案】（嗚

⑵12

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合同角的三角函數(shù)關系化簡，即可得答案;

（2）由余弦定理結(jié)合已知條件，即可求得答案.

【詳解】⑴因為由sinC=3ccosB，所以V5sinBsinC=3sinCcosB.

又C為；ABC內(nèi)角，sinCxO,所以GsinB=3cosB,

顯然B=］不滿足Gsin8=3cos8,即有tanB=百，

而Be(0,7t),所以B=1.

(2)由余弦定理得〃=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac,

b=4,ac=\6,則q+。=拈+3ac=8，

所以ABC的周長為a+b+c=12.

18.為倡導全校師生共讀好書，某校圖書館新購入一批圖書，需要招募若干名志愿者對新書進行編

號歸納，并擺放到對應的書架上.已知整理圖書所需時長y(單位：分)與招募的志愿者人數(shù)x的數(shù)

據(jù)統(tǒng)計如下表：

志愿者人數(shù)X12345

整理時長y/分6045403025

⑴求y關于x的線性回歸方程，=隊+)

(2)由(1)中的線性回歸方程求出每一個七對應整理圖書所需時長的估計值%,若滿足,-4<3,

則將數(shù)據(jù)y)稱為一組正常數(shù)據(jù)，求表格中的五組數(shù)據(jù)中為正常數(shù)據(jù)的組數(shù)

」____

2內(nèi)一〃孫

附：線性回歸方程學=?-+》中，八號-----—，a=~y-bi.

2-2

Zi=l

【答案】(l)y=-8.5x+65.5

(2)表格中共有3組數(shù)據(jù)是正常數(shù)據(jù).

【分析】(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，結(jié)合回歸系數(shù)的公式，分別求得即可得到回歸直線方程；

(2)由(1)可知，分別令為=1,蒞=2，玉=3,%=4,匕=5,驗證卜」M的值，即可得到結(jié)

論.

?辰ri、/A77?.U-.??A,皿皿一I*/口—1+2+3+4+5c_60+45+40+30+25，八

【詳解】(1)解：由表格中的數(shù)據(jù)，可得X=-----------------=3,y=---------------------------=40.

55

=1x60+2x45+3x40+4x30+5x25=515,^x,2=12+22+32+42+52=55,

i=li=l

n,1.515—5x3x40cu―/n—:—八/

則b=55—5x32=一85，可r得a=>-法=40+8.5x3=65.5，

故y關于x的回歸方程為y=-8.5x+65.5.

（2）解：由（1）可知，當王=1時，y=57,M-y=|57-60卜3,不是正常數(shù)據(jù).

當芻=2時，%=48.5,|%-%卜|48.5-45|>3,不是正常數(shù)據(jù).

當覆=3時，%=40，,-4=|40-40|<3,是正常數(shù)據(jù).

當匕=4時，K=31.5,|以一%|=|31.5-30|<3,是正常數(shù)據(jù).

當匕=5時，%=23,|%一%|=|23-25|<3,是正常數(shù)據(jù).

故表格中共有3組數(shù)據(jù)是正常數(shù)據(jù).

19.如圖，在四棱錐中，P3_L平面ABC。，底面ABC。為直角梯形，=ZA5C=90。,

PB=AB=BC=2AD=6,F為R4的中點.

⑵求二面角P-CQ-尸的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵近

42

【分析】（1）由P8_L平面ABC。，得依_LA￡>,結(jié)合可得AD_L平面R48,則A￡>_L8F,

再由等腰三角形三線合一可得小，BP,再由線面垂直的判定可得3尸，平面PAD,從而可得

BF上PD,

（2）由題意可證得區(qū)4,3C8P兩兩垂直，所以以8為坐標原點，分別以BA8C,8P所在的直線為

x，二z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可.

【詳解】（1）證明：因為PB_L平面45C。，ADu平面A8C。，所以尸3_LA￡>.

又NB4￡>=90°,所以48_LAD.

由/VTAB=A,PAABu平面得ADJ_平面

因為3fu平面R48,所以A￡>_L8凡

因為尸為姑的中點，PB=AB,所以B4J_8尸.

由Q4cA￡>=A,PAAOu平面PAD,得平面PAO.

因為PE>u平面PAO,所以3/_LPO.

(2)解：因為尸3J_平面48CO,A8,3Cu平面A8CD,所以尸8_LA8,PB，3C,

因為yWIBC,所以8ABe,8P兩兩垂直，

所以以B為坐標原點，分別以8A,8C,8P所在的直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則尸(0,0,6),尸(3,0,3),C(O,6,O),0(6,3,0),

CF=(3,-6,3)，8=(6,-3,0),CP=(0,-6,6),

設平面C。/7的法向量為機=(xi，y,zj,

m-CF=3x,-6y,+3z.=0,/.

則令M=l，得根=(L2,3).

mCD=6X]-3%=0,

設平面COP的法向量為〃=(盯%，z?)，

則,無℃=6々-3y2=0,

令W=1，得”=(1,2,2).

nCP=-6y2+6Z2=0,

mn1111714

cos(m,n

|/n||n|3A/1442

由圖可知，二面角P-CD—尸為銳角，

所以二面角「-。。-尸的余弘值為11巫.

42

20.橢圓C：*+營=1(“>。>0)的左、右頂點分別為4(-2,0),4(2,0),上頂點為3(0,1),Q

是橢圓C在第一象限內(nèi)的一動點，直線&Q與直線A8相交于點R直線BQ與x軸相交于點尺

(1)求橢圓C的方程

(2)試判斷直線列?是否經(jīng)過定點.若經(jīng)過，求出該定點的坐標；若不經(jīng)過，請說明理由.

【答案】⑴7』

⑵直線依經(jīng)過定點，該定點坐標為（2,1）.

【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求得。=2,匕=1,即可得到橢圓C的方程；

（2）設直線A2Q的方程為y=k[x-i）,聯(lián)立方程組求得々=堂=和總=丁%，再由直線AB的

1+4K1+4k

方程為y=：X+1,聯(lián)立方程組求得與=等胃和力=筌，，結(jié)合反Q,R三點共線,求得XR=等T,

22A:-12左一121+1

得出尸R的方程，即可求解.

22

【詳解】⑴解：由橢圓C:1+2=l的左、右頂點分別為A（-2,0）,A（2,0）,

ab~

上頂點為8（0,1）,可得a=2,6=1,

2

所以橢圓C的方程為三+y2=i.

4

（2）解：依題可設直線A?Q的方程為），=k（x-2）,其中

y=Z:(x-2)

聯(lián)立方程組f2_,整理得(1+4公b2-16/，+16/一4=0,

,T+''-

?*16k~—4ze8k"—2—4k

由2%=--------,得％=----,則y=-——

°l+4)t201+47rTQ1+4A

直線AB的方程為)，=gx+l,

y=k(x-2)4A+2

4k

聯(lián)立方程組1?，解得馬=兼3,昨

y=-x+l2k-l2k-\

[2

__1_

由B,Q,R三點共線，得節(jié)步=上,解得4=萼二

8攵-2xR2k+\

4FT1

軟

直線網(wǎng)的方程為廣。=4日如21一M

2k—12k+\

整理得1-4丁+2+2攵(1-2)=0,

x-2=Q

聯(lián)立方程組解得x=2,y=1,

x-4y+2=0

故直線網(wǎng)經(jīng)過定點，該定點坐標為（2,1）.

【點睛】解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：

1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進動點的坐標或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題

目中核心變量(通常為變量2)；②利用條件找到改過定點的曲線廠(x,y)=O之間的關系，得到關于k

與x,y的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關系，得出定點的坐標；

2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點,

再證明該定點與變量無關.

21.已知函數(shù)/(力=(2"一2)爐一渥+2".

⑴若。=1,求不等式〃力＞0的解集；

3

⑵若證明：“X)有且只有一個零點吃,且“＜》

【答案】(1)(0,+8)

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)導函數(shù)正負求出單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性解不等式即可；

(2)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及極值，先應用零點存在定理證明存在，再應用單調(diào)性證明唯一零點，進而證

明不等式.

【詳解】(1)因為〃=1,所以“x)=(2x—2)e=x2+2,廣(同=2＞3-1/0恒成立，

所以“X)在R上單調(diào)遞增.

又/(。)=0,所以不等式f(x)＞0的解集為(0,+a).

(2)/(x)=(2x-2)ev-ar2+2a2,貝ij/'(x)=2x(e*-a),

令/'(x)=0，得x=()或x=Ina.

因為0v。v1,所以。＜V0.

當Ina)“。,”)時，/＜勾＞0；當X￡(lnq,0)時，/z(x)＜0.

故的單調(diào)遞增區(qū)間為(y』M和(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(1叭0).

/(O)=2a2-2<0,〃Ina)=-〃[(InaJ-21M-2〃+2].

n,

令g(x)=(1-21nx-2x+2,則g(x)=^^---2f

顯然當xw(O,l)時，g'("<0,g(x)單調(diào)遞減，則g(〃)>g⑴,

即(Ina)2-2\na—2a+2>0,從而,f(Ina)<0.

故在(-8,0)上不存在零點，

當x>1時，易證得e*>,M%)=e*-V"(%)=ev-2x=z(x),

?x)=e'-2,xw(-oo,ln2)/(x)<0/(x)單調(diào)遞減，

f(x)=e2,xw(ln2,+oo)/(x)>0J(x)單調(diào)遞增,

??.《%)N《ln2)=e1n2-21112=2-21112>0,??.〃(%)20,從工)單調(diào)遞增,

x>0,/i(x)>/z(0)=e0-0=1,/.ev>x2

22

,從而/(x)=(2x-2)e“-加+切>(2X-2)X-ax=x^(2x-2-ci)9

則>1>1,/e+1]>0,〃0)=242-2<0,

由零點存在定理可得/(x)有零點與€(0,+<?),X€(0,+8),/(X)單調(diào)遞增，

2Q

故“X)有且只有一個零點%,且0<%<表1,則倏吟+”：.

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵是對零點存在定理的應用，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可證明函數(shù)零點的

唯一性.

?一，fx=2cosa,,,

22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為,c.(a為參數(shù))，以坐標原點為極點，X

[y=1+2sina

軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線I的極坐標方程為tan，=3