新高考二輪復(fù)習(xí)真題導(dǎo)數(shù)講義第33講 整數(shù)解問題之直接限制法（解析版）

第33講整數(shù)解問題之直接限制法

1.已知偶函數(shù)/(x)滿足/(4+x)=f(4-x),/(0)=0,且當(dāng)Xe(0,4］時(shí)，/(X)=媽生，關(guān)于X的不等

X

式尸(x)+qf(x)>0在［-200,200J上有且只有300個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍

【解答】解：，偶函數(shù)f(x)滿足/(x)滿足/(4+x)=/(4-Λ),

.?.∕(x+4)=∕(4-x)=∕(x-4),

.?J(X)的周期為8,且/(X)的圖象關(guān)于直線X=4時(shí)稱.

由于［-200,200］上含有50個(gè)周期，且/(x)在每個(gè)周期內(nèi)都是軸對稱圖形，

.?.關(guān)于X的不等式∕2(x)+af(x)>0在(0,4］上有3個(gè)整數(shù)解.

lln2x

當(dāng)X€(0,4］時(shí)，f'(x)=~ι,

Jr

.?.∕(X)在(Oe)上單調(diào)遞增，在e，4)上單調(diào)遞減，

-f(I)=M2,f(2)>f(3)>f(4)=—=-∕n2>0.

44

...當(dāng)X=A(R=1,2,3,4)時(shí)，/(x)>0,

.?.當(dāng)α..0時(shí)，f2(x)+c∕(x)>0在(0,4］上有4個(gè)整數(shù)解，不符合題意，

/.?<0,

由∕2(X)+6≠(X)>0可得/(x)<0或f(?)>-a.

顯然/(x)VO在(0,4］上無整數(shù)解，

故而Fa)在(0,4］上有3個(gè)整數(shù)解,分別為1,2,3.

:,-a,,f(4)=：加2,-a<f(3)=殍，-a<f(1)=Iril,

InG3,c

------Va>,—InZ.

3------4

故選：

2.已知關(guān)于X的不等式-γ↑-i-m<G的解集為(a,b),其中α>0,若該不等式在(a,h)中有且只有

2txnx

一個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍

.八/［,、LX2-2lnx

【解答】解：關(guān)于X的不等式一tux—Inx一"2<01乜ΛJ：tn>-----------?

22(x+l)

AX2-Ilnx—、_

令-------=f(x),X>0,

2(x+l)

_x3+2X2-2x-2÷rIxlnx

2x(x+l)2

令M(X)=X3+2X2-2x-2+2X∕AU,u?x)=3x2+4x+2/nx?(O,+∞)上單調(diào)遞增，

因此存在七∈(O,1)，使得〃'(尤0)=3片+4x0÷2lnx0=O,2lnx0=-3xθ-4x0,

u(x0)=Λθ+2Xg-2x0-2+2x0lnxn=片+2考—2x0-2+Λ?(-3xθ-4x0)=-2片-2x；-2xn-2=-2(x0+1)(片+l)<0>

u(1)=-l<0,w(2)=10+4妨2>0.

因此存在Xe(1,2),使得κ(x∣)=O,

因此函數(shù)/(x)在(0當(dāng))內(nèi)單調(diào)遞減，在(斗，+8)單調(diào)遞增.

f(1)=-,f(2)=2Ξ∕≤.

-43

「關(guān)于X的不等式1d-ιnx-Inx-m<0的解集為｛a,b)，其中a>0,

2

該不等式在3加中有且只有一個(gè)整數(shù)解，

實(shí)數(shù)m的取值范圍是(；，2詈］.

另解：式子可化為-,nr-,v<?tr,令g(x)=∕nr,則g(x)必過(L0),因?yàn)?a,A)之間含一個(gè)整數(shù)解，那

2

么這個(gè)整數(shù)解必須是1,且l<b<2,O<a<l,通過這個(gè)進(jìn)一步可以確定m的范圍.

故選：C.

3.已知偶函數(shù)/(X)滿足/(4+x)=f(4-x),且當(dāng)x∈(0,4］時(shí)，/(X)=媽也，關(guān)于X的不等式

X

∕2(x)+0^(x)>O在［-200,200］上有且只有300個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

【解答】解：?/(x)是偶函數(shù)，.?.f(T)=/(x),

/(4+x)=∕(4-x),.?.∕(8+x)=f(4-(4+x))=∕(-x)=∕(x),

.?.∕(x)的周期為T=8.

當(dāng)Xe(0,4］時(shí)，r(χ)J二呼。,

X

當(dāng)0<x<］時(shí)，∕,(x)>0,當(dāng)芻<χ,4時(shí)，∕,(x)<0,

.?.∕(x)在(0,?∣)上單調(diào)遞增，在e，4］上單調(diào)遞減.

又/(1)=ln2>0,f(4)=—=—>0,且/(x)是以8為周期的偶函數(shù)，

44

當(dāng)X為整數(shù)時(shí)，/(x)>0,

尸(x)+4(x)>0在［-200,200］上有300個(gè)整數(shù)解,

.?.∕2(x)+4(x)>0在(0，4］上有3個(gè)整數(shù)解，顯然這三個(gè)整數(shù)解為1,2,3,

即f(x)+a>O在(0,4］上有三個(gè)整數(shù)解1,2,3.

/〃6八

平3)+八。，即.3AZHln63In2

c,C，解2得：--------------

1/(4)+?,O

3打2n34

4

故答案為：(-竺，3吟

-------J?

34

4.已知函數(shù)/(x)=e*-0x(x>0),其中4eR,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)試討論F(X)的單調(diào)性;

(2)是否存在正整數(shù)”,使得/(x)..x?ιr對一切x>0恒成立？若存在，求出。的最大值；若不存在，請說

明理由.

【解答】解：(1)f'(x)=ex-a(x>O).

①若6,1,則.f'(x)>O恒成立，,f(x)在(0,七》)上單調(diào)遞增；

②若a>?,令∕,(x)=0>則X=Ina,

當(dāng)0<x<∕w時(shí)，∕,(x)<O,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>∕w時(shí)，f,(x)>O,/(x)單調(diào)遞增.

綜上所述，

當(dāng)4,1時(shí)，/(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)α>l時(shí)，f(x)在(0,∕"α)上單調(diào)遞減，在(∕W,?HΛ)上單調(diào)遞增.

(2)要使f(x)=e*-ax..χ2∕πx在(0,+OO)上恒成立，則=-0-/,111.0在(0,+∞)上恒成立，

XX

x

ea

令h［x)--r------InX(X>0),

XX

則〃⑴=Ls→≤+A-1=,

XX"XX

①當(dāng)α=2時(shí)，∕f(χ)=O—2)(,一力,

X

由∕>x知，力。)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,y)上單調(diào)遞增.

2

h(x)min=h(2)=^--Zn2-l>0.

.?/=2滿足題意.

②當(dāng)α>2時(shí)，當(dāng)2vxvα?xí)r，函數(shù)力(X)的取值情況，

2<x<a,.,.x-2>0,x-a<O.

又/>X,/.(x-2)ex>(x-d)x,BPh,(x)>O,

當(dāng)α>2時(shí)，∕z(x)在(2M)上單調(diào)遞增.

不妨取α=3,則函數(shù)〃*)在(2,3)匕單調(diào)遞增，

3

2<e<3,且∕z(e)=e"2——1<0,

e

.?h(x)..0不能恒成立.

綜上所述，正整數(shù)。的最大值為2.

5.已知函數(shù)f(x)=CW(x>O),其中oeR,e為自然對數(shù)的底數(shù).

X

(1)若函數(shù)F(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍；

(2)是否存在正整數(shù)α,使得/(X)..Hnr對一切X>O恒成立？若存在，求出。的最大值；若不存在.請說

明理由.

【解答】解：(1)/(x)=≤^=C-α,∕f(χ)=≤?!2,

XXX

令I(lǐng)(X)>0,得x>l,令r(x)<O,得O<x<l,

函數(shù)Z(X)在(0,1)上單調(diào)遞成，在(l,+∞)上單調(diào)遞增，

???“‰=/⑴=e-a,

二函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn),f(1)<0.

：.a的取值范圍為(e,+∞)；

fix一∩γ

(2)要使/(X)=---------..x∕nX在(0,+OO)上恒成立，

X

即使二-歷x?.0在(0,+∞)上恒成立，

JrX

x

ea

令h(x)=-----lnx(x>0),

XX

貝Uh'(x)=We÷?-l=(x-2)e：(x-g,

①當(dāng)α=2時(shí)，"(χ)=d4-x),

X

由/>X知A(X)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,-+w)單調(diào)遞增，

??h(x)lt,n=K2)=--ln2-l>0,

.^.a=2時(shí)滿足題意；

②當(dāng)α>2時(shí)，考查α>x>2時(shí)，函數(shù)力。)的取值情況：

a>x>2,.?.x-2>0,%—?<0>

又e'>x,:.(x-2)ex>(x-a)x,即h'(x)>O,

.?.當(dāng)4>2時(shí)，〃(x)在(2M)上單調(diào)遞增，

取α=3,則函數(shù)∕z(x)在(2,3)上單增，

3

?.2<e<3,且Me)=e"?——1<0，

e

/.A(x)..0不能恒成立，

綜上，α的最大正整值為2.

6.已知集合A={x∣X?+2x-3>0},集合8={x∣r-20r-L,0，a>0).

(I)若α=l,求8；

(II)若A。8中恰含有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)α的取值范圍.

【解答】解：(I)4={x∣V+2x-3>0}={x∣x>l或x<-3},

當(dāng)α=l時(shí)，由d-2X-L,0，

解得：1-√2Ml+√2,B∣Jβ=[l-√2,l+√2],

.?.A∩β=(l,l+√2];

(II)-函數(shù)y=f(x)=χ2-20r-l的對稱軸為x=α>0,

/(0)=-l<0,且AnB中恰含有一個(gè)整數(shù)，

根據(jù)對稱性可知這個(gè)整數(shù)為2,

(4-Aa-I0

：.f(2),,OR/(3)>0,即°J,

[9-6?-1>n0

解得：-,,tz<-.

43

γ

7.己知函數(shù)/(x)=-(x>0).

ex

(1)求函數(shù)f(χ)的最大值；

(2)若函數(shù)g(x)=∕(x)-∕w有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍;

(3)若不等式∕2(χ)-∕(χ)>0僅有一個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解答】解：(1)函數(shù)F(X)=±(x>O),

ex

則r(χ)=W，

e

當(dāng)x∈(O,l)時(shí)，Γ(x)>O,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(L+oo)時(shí),ff(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/(x)取得極大值，也是最大值為/(I)=-.

e

(2)函數(shù)g(x)=∕(x)-%有兩個(gè)零點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)f(x)=土(x>0)的圖象與直線y=有兩個(gè)交點(diǎn).

ex

當(dāng)X=O時(shí)，/(O)=O?%->+8時(shí)，/(x)→0?

結(jié)合(1)中結(jié)論，可得0</力<，.

e

(3)因?yàn)?(x)>0,所以不等式/a)—4(幻〉0僅有一個(gè)整數(shù)解，

即/(x)>α只有一個(gè)整數(shù)解，因?yàn)?(X)的極大值為/(1)=-,0<l<2,

e

/⑵=12，

e"

所以當(dāng)。€［與，3時(shí)，/(x)>α只有一個(gè)整數(shù)解X=I,

ee

即當(dāng)1)時(shí)，不等式U(X)-4(X)>0僅有一個(gè)整數(shù)解X=I.

ee

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是［/,

e~e

8.已知函數(shù)/(x)”.

X

(1)求/(x)在［2,α］(α>2)上的最小值；

(2)若關(guān)于X的不等式/"A：)+，W(X)>0有且僅有三個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)W的取值范圍.

【解答】解：(1)函數(shù)/(X)=媽./，(X)=L羋.

XX

所以：X∈(0,e)時(shí)，∕,(x)=--">0,

X

X∈(G-h?o)時(shí)，f,(x)=--妙<0,

X

所以：/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,÷∞)上單調(diào)遞減，

當(dāng)2<%e時(shí)，/(x)在［2,遞增，所以/(x)最小值為/(2)=當(dāng)，

當(dāng)α>e時(shí)，f(x)在［2,e］遞增，/(x)在［e,α］遞減,

所以：4..α>e時(shí)，/(x)最小值為/(2)??

α>4時(shí)，/(x)最小值為/(a)=—

綜上所述，2<q,4時(shí)，/(x)最小值為F(2)=奇

4>4時(shí)，/(x)最小值為/(a)=—,

(2)由不等式尸(力+磔(乃>0得：/(x)［∕(x)+m］>O,

當(dāng)WVo時(shí)，得到：/(x)<O或/(x)>-m，

因?yàn)?(幻在(0,e)上單調(diào)遞增，在?+∞)上單調(diào)遞減，

所以F(X)最大值為：/'(e)=」，且當(dāng)x>l時(shí)，/(X)=蛆>0,

eX

所以：f(x)<o的解集為：(0,1),無整數(shù)解.

若關(guān)于X的不等式∕2ω+mf(x)>0只有三個(gè)整數(shù)解，

所以/(x)>-m有且僅有三個(gè)整數(shù)解，

所以/(5)?-m<f(2)=f(4)<f(3)

此時(shí)整數(shù)解為2,3,4.

-∣ln5ln2-,∣/M21∏5

所cc以h：——?—m<—,c所cι以：----<，均，----，

5225

當(dāng)m=0時(shí)，尸(x)+〃礦(X)>0得/(x)wθ,

此時(shí)關(guān)于X的不等式∕2(χ)+〃礦(χ)>0有無數(shù)個(gè)整數(shù)解，不滿足題意，舍去,

當(dāng),w>0時(shí)，f2(x')+mf(x')>O,得到：/(x)<-〃7或f(x)>0,

所以/(x)>0,有無數(shù)個(gè)整數(shù)解，舍去.

綜上所述，實(shí)數(shù)W的取值范圍為：

25

9.已知函數(shù)f(x)=媽也.

⑺求/(x)在區(qū)間［1,>1)上的最小值；

(II)若關(guān)于X的不等式f?x)+mf{x}>0只有兩個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解答】解：(I)1(X)=I-"2x),令/(X)>o得/(χ)的遞增區(qū)間為(o,￡)；

X2

令∕,(x)<O得/(X)的遞減區(qū)間為(-,+oo)

xe［l,a］,則當(dāng)時(shí)，/(x)在［1,4］上為增函數(shù),

/(x)的最小值為/(1)=加2；

當(dāng)”>?∣時(shí)，/(X)在口，］)上為增函數(shù)，在弓，0上為減函數(shù)，/(2)=浮=ln2=f(1),

.?.∣<0,,2,f{x}的最小值為f(1)=Inl,

若α>2,7(x)的最小值為/(a)=—

a

綜上,當(dāng)l<α,2時(shí)，f(x)的最小值為F(I)=M2；

當(dāng)α>2,/(x)的最小值為/(a)=".

(II)由(1)知，/U)的遞增區(qū)間為(0,3，遞減區(qū)間為(￡,+8),且在(二，+∞)±∕n2x>∕w=l>0,

222

又x>0,則f(x)>O.X/(1)=0.

.?.∕n>0時(shí)，由不等式fV)+時(shí)(x)>0得f(x)>0或/(x)<-/?,而/(x)>0解集為(；，+∞),整數(shù)解有無

數(shù)多個(gè)，不合題意;

%=O時(shí)，由不等式尸(χ)+時(shí)(X)>0得F(X)XO,解集為(O,?)O(?,+8),整數(shù)解有無數(shù)多個(gè)，不合

題意;

"<0時(shí)，由不等式/2(%)+,叭犬)>0得/(χ)>τn或/(χ)<0,；/(幻<0解集為(o,J_)無整數(shù)解，若不等式

尸(幻+可?(x)>0有兩整數(shù)解，則((3)?-m<f(1)=f(2),

.?.Tn2<∏ι,--lnβ

3

綜上，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(T〃2,-∣∕n6]

10.己知函數(shù)，(X)=刨生

X

(1)求/(x)在[1,α](α>l)上的最小值；

(2)若關(guān)于X的不等式尸(X)+何'(X)>0只有兩個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解答】解：(1)函數(shù)f(x)=媽至，[(χ)=>"2x)

XX

令f(x)>0,解得0<x<?∣,得/(X)的遞增區(qū)間為(0,,；

令/(x)<0,解得x>?∣,可得F(X)的遞減區(qū)間為e,+8).

x∈[l,a?{a>1),

當(dāng)時(shí)，f(x)在[1，0上為增函數(shù)，f(x)的最小值為f(1)=Ira.

當(dāng)α>?∣時(shí)，/(X)在嗚)上為增函數(shù)，在g0上為減函數(shù)，

又/(2)=Ml=f(1),

二若?^<α,2,f(x)的最小值為f(1)=Inl.

若a>2,F(X)的最小值為f(a)=色冽.

a

綜上，當(dāng)1<4,2時(shí)，/(x)的最小值為例2；當(dāng)α>2,f(x)的最小值為蛇色.

a

(2)由(1)知，/(x)的遞增區(qū)間為(0,,,遞減區(qū)間為弓,+oo),且在弓,+8)上山(2x)>∕"e=l>0,

又x>0,則f(x)>O.又/(g)=0.

二.m>0時(shí)，由不等式∕2(%)+的(X)>0得/(x)>0或/(x)<-m,

而/(X)>O解集為g,+8),整數(shù)解有無數(shù)多個(gè)，不合題意.

m=0時(shí)，由不等式尸(X)+W(X)>0得/(x)≠0,解集(O,Jug,+∞),整數(shù)解有無數(shù)多個(gè)，不合題意；

TnVo時(shí),由不等式∕2(x)÷fnf(x)>0f?f(x)Vo或f(x)>-m,

/(X)<0解集為(0,；)無整數(shù)解，

若不等式等(X)+時(shí)(X)>0有兩個(gè)整數(shù)解,則/(3)?-m</(1)=f(2),

—ln∑<ιτι^—//?6.

i3

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(T"2,-g∕/6].

11.已知函數(shù)f(x)=x-l,g(x)=(0r-l)c'.

(I)記〃(X)=X-四，試判斷函數(shù)∕7(x)的極值點(diǎn)的情況；

ex

(H)若4(X)>g(x)有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，求〃的取值范圍.

【解答】解：(∕)?(x)=x-=x--~~-,h?x)=.

exeλe

令〃(X)=/+工-2在H上單調(diào)遞增，

又〃(0)=—1,w(1)=e-l>0.

二?存在唯一X。∈(0,1),使得〃(%)=0,即"(%)=0.

x∈(-∞,X()),h,(x)<0,此時(shí)函數(shù)〃(%)單調(diào)遞減.x∈Q?,+8),h?x)>0,函數(shù)力(1)單調(diào)遞增.

.?.x=??為極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn).

(II)4(x)>g(x)化為：a(x-)<1?BPah(x)<1.

ex

①當(dāng)心0時(shí)，由不等式有整數(shù)解，

/.h(x)在％∈Z時(shí),Λ(x)..l,

.?."(x)Vl有無窮多整數(shù)解.

②當(dāng)0<“<l時(shí)，h(x)<-,又L>l,"(O)=A(1)=1.

aa

Λ(2)..,

??.不等式有兩個(gè)整數(shù)解為o,1.即0,解得：-4—??<?.

...12e2-l

/z/(—1)...—

a

③當(dāng)0.1時(shí)，h(x?,-,又L,,1,

aa

.?.〃(x)在x∈Z時(shí)小于或等于1,二?不等式/(x)Vl無整數(shù)解.

綜上可得：-4—??<1.

2e-1

12.己知函數(shù)/(x)=a(x-1),g(x)=ex(bx-l),α∈R.

(1)當(dāng)6=2時(shí)，函數(shù)y=f(x)-g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求”的取值范圍；

(2)當(dāng)匕=α?xí)r，不等式/(x)>g(x)有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，求。的取值范圍.

【解答】解：(1)當(dāng)6=2時(shí),g(x)=eλ(2x-l),

由y=f(χ)-g⑴得」(X)=gM即"筆a

(x≠l),

令F(X)=蟲在二2(x≠l),

X-I

則F(X)=eh(2x二3),

(X-D2

可得尸(X)在(-00,0)內(nèi)遞增，在(0,1)內(nèi)遞減，在(1,2)內(nèi)遞減，在(3,?κ≈o)內(nèi)遞增,

22

則有AX)極大值=F(O)=1，F(xiàn)(X)極小值=F

函數(shù)y=/(x)-g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，

3

則α∈(0,l)∣J(4e2,+oo)；

3

(也可用過點(diǎn)(0,1)作曲線g(x)的切線，可求得兩切線的斜率分別是1和43,由直線/(X)與曲線g(x)的位

置可得)

Y—1

(2)當(dāng)b=α?xí)r，由/(x)>g(x)得α(x--------)<1.

ex

Y一1px4-Y—2

令Λ(x)=x-----,貝UΛ,(x)=:——-.

e'ex

令O(X)=d'+x-2,貝U4(X)=e，+1>O,所以O(shè)(X)在R上單調(diào)遞增，

又W0)=T<0,。(1)=e-l>O,所以Wx)在R上有唯?零點(diǎn)天(0,l),

此時(shí)∕ι(x)在(-∞,x0)上單調(diào)遞減，在(%,+8)上單調(diào)遞增.

Mx).=Λ(?)=W［#I，

易證e*>x+l,∕i(χ0)=x0''"~^x°+l>?ttl>0.

ex°ex°

當(dāng)工,O時(shí)，ΛU).?A(O)=1>O;當(dāng)工.1時(shí),∕ι(x)?h(1)=1.

①若④0,則Hz(x),,0<1,此時(shí)HZ(X)Vl有無窮多個(gè)整數(shù)解，不合題意；

②若α..l,即L,1,因?yàn)椤?X)在(-8,0］上單調(diào)遞減，在［1,+8)上單調(diào)遞增，

a

所以x∈z時(shí)，h(x)..ιnin{h(O),h(1)}=L'，所以〃(X)VL無整數(shù)解，不合題意；

aa

③若OVaV1,即此時(shí)〃(0)=〃(1)=1<1，故0,1是人(X)VL的兩個(gè)整數(shù)解，

aaa

1Ila

又∕z(x)<-只有兩個(gè)整數(shù)解，因此〃(1)…一且〃(2)..L,解得上.「一.

aaa2/-1

2

所以4W[———，1).

2e2-i

13.已知基函數(shù)/(X)=ιwia的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,2).

(1)2lηf(3)與3/W(2)的大小；

(2)定義在R上的函數(shù)g(x)滿足g(-x)=g(x),g(4+x)=g(4-x),且當(dāng)Λ∈[0,4]時(shí)：

'l-∕(x),x∈[0,l)

g(x)={∕"X.若關(guān)于X的不等式/(X)+"g(x)>O在[-200,200]上有且只有151個(gè)整數(shù)解,

——,x∈[l,4]

X

求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【解答】(1)由于函數(shù)/(x)為累函數(shù)，故帆=1,即/(x)=x",又函數(shù)過點(diǎn)4(2,2),

則2"=2,即α=l,故/(x)=x,此時(shí)

2lnf(3)=2妨3=加9,3lnf(2)=3ln2=ln8<ln9,故2∕τ√^(3)>3lnf(2).

(2)由于函數(shù)g(x)滿足g(-x)=g(x),則g(x)為偶函數(shù)，又g(4+x)=g(4-x),則圖象關(guān)于直線x=4對稱，

由此可以得到g(x)=g(8-x),乂g(x)=g(-x),則有g(shù)(8-x)=g(-x),即g(8+x)=g(x),故函數(shù)g(x)的周

期為T=8,

[l-x,Λ∈lO,l)

然后由g(x)=欣，以及奇偶性和對稱性和周期性做出示意圖如右圖，

—,x∈[l,4]

其中函數(shù)y=皿的單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)方法判斷，限于篇幅，只給出結(jié)論，y=也在區(qū)間(0,e)單調(diào)遞增，在

XX

區(qū)間(e,yo)單調(diào)遞減，最大值為2，

e

由不等式屋(幻+〃g(x)>0可得g(x)?(g(x)+〃)>0,

則得到笆?>°,或者[g")<°,結(jié)合圖象舍去第二種情形.

Ig(X)>-〃Ig(X)<-〃

故只有卜⑶>°可能成立，

[g(x)>-n

①當(dāng)〃<0時(shí)，-n>0.由上述不等式組可得g(x)>-”,即g(x)>-〃時(shí)在[-200,200]上有且只有151個(gè)整

數(shù)解，

結(jié)合圖象可知，則在(0,200]上有且只有比”=75個(gè)整數(shù)解，則在區(qū)間(0,8]上有且只有3個(gè)整數(shù)解,

2

我們設(shè)想直線y=τ在區(qū)間(O,8］和g(x)相交，當(dāng)滿足條件一手且_〃<為時(shí)，g(x)>-〃整數(shù)解在區(qū)

間(0,8］上有x=3或者x=5或者x=8三個(gè)，滿足題意，其中妃=㈣<也，

243

`J-SΛ/∕t2∕∏3∩∩∕τι3/M2?-M-t—I?

這樣有——,，一〃<—，即----<幾,----,滿足〃<0；

2332

②當(dāng)機(jī).0時(shí)，由題意g(x)>O在［-200,200］上有且只有151個(gè)整數(shù)解，我們結(jié)合圖象可知，在一個(gè)周期(0,

8］內(nèi)，滿足g(x)>O的整數(shù)解有2、3、4、5、6、8,顯然不滿足題意，故舍去；

14.已知函數(shù)/(x)=e*(2x-l)-αr+α(awR),e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)α=l時(shí),

①求函數(shù)/(x)在X=-L處的切線方程；

2

②求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若有且只有唯一整數(shù)x0,滿足/(x0)<0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解答】解：(1)當(dāng)α=l時(shí)，/(x)=e](2x-l)-x+l,.?.f'(x)=e*(2x+l)-I,

①”"(-J=T,又?/(-^)=-2∕U∣.

1_131_1

函數(shù)f(x)?x=--處的切線方程為：y-(-2e2+-)=-1(%+—),即：y+x+2e2-1=0：

②r(x)=∕(2χ+l)-1,

由于/'(0)=0,當(dāng)x∈(0,+oo)時(shí),ex>1,2x+l>l,f,(x)>0；當(dāng)xw(ro,0)時(shí),OVeXV1,2x+l<l,

.?.ΓU)<o,

.?.函數(shù)f(x)在(fo,0)上單調(diào)遞減，在(O,M)上單調(diào)遞增;

(2)由f(x)<O得e*(2x-l)<a(x-l),

ail)；當(dāng)χ<］時(shí)，^≤(2xl)

當(dāng)X=I時(shí)，不等式顯然不成立；當(dāng)x>l時(shí),z

X-IX-I

“ex(2x-l)ex(2x2-3x)exx(2x-3)

設(shè)g(χ)=--------—，/?g(%)=-?~

x-1(x-l)2U-