2023年重慶市(初三畢業(yè)考試)中考數(shù)學(xué)真題試卷（A卷）含詳解

重慶市2023年初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生考試

數(shù)學(xué)試卷C4卷）

（全卷共三個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）

注意事項：

1.試卷的答案書寫在答題卡上，不得在試卷卷上直接作答

2.作答前認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項；

3.作圖（包括作輔助線）請一律用黑色25鉛筆完成；

4.考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試卷卷和答題卡一并收回參考公式：拋物線V=":+汝+c（α≠°））的

'b4ac-b2b

頂點坐標(biāo)為I2α）,對稱軸為2a

一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為4、

B、C、。的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂

黑.

1.8的相反數(shù)是（）

1

11

8C---

B.O

A.-8o8

2.四個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，從正面得到的視圖是（）

A.（L4）B.（―1,—4）C.（—2,2）D.（2,2）

4.若兩個相似三角形周長的比為1:4,則這兩個三角形對應(yīng)邊的比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

5.如圖，AB//CD,ADLAC,若Nl=55°,則N2的度數(shù)為（）

B

2

1D

C

A.35oB.45°C.50oD.55o

6?估計應(yīng)（m+M）的值應(yīng)在（）

A.7和8之間B.8和9之間

C.9和10之間D.10和11之間

7.用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案用了9根木棍，第②個圖案用了14根木棍，第③

個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木棍，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個圖案用的木棍根數(shù)是（）

□oECO□ooo^oooo-

①②③④

A.39B.44C.49D.54

8.如圖，AC是。。的切線，B為切點，連接。4,OC.若NA=30°,AB=2√3,BC=3,則OC的長度是（）

A.3B.2√3C.√BD.6

9.如圖，在正方形ABC。中，點E,尸分別在BC,CDl.,連接A石，AF,EF,ZE4F=45o.若∕BAE=a,

則NFEC一定等于（）

A.2aB.90°-2?C.45。一αD.90°—2

10.在多項式x-y-z-m—〃（其中x>y>z>m>n）中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對

值符號后仍只有減法運算，然后進(jìn)行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”.例如：

X-y-?z-n^-n-x-y-z+m-n,|x—y|—z—|m—n∣-x-y-z-m+n......

下列說法：

①存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式相等；

②不存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式之和為0；

③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結(jié)果.

其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)

的橫線上.

11.計算2-∣+3°=.

12.如圖，在正五邊形ABeQE中，連接AC,則/8AC的度數(shù)為

13.一個口袋中有1個紅色球，有1個白色球，有1個藍(lán)色球，這些球除顏色外都相同.從中隨機摸出一個球，記

下顏色后放回，搖勻后再從中隨機摸出一個球，則兩次都摸到紅球的概率是.

14.某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位1501個，并按計劃逐月增長，預(yù)計八月份將提供崗位1815個.設(shè)七、

八兩個月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為X，根據(jù)題意，可列方程為.

15.如圖，在RtZXABC中，ZBAC=90，46=AC,點。為BC上一點，連接A0?過點8作BE_LAr）于點

E,過點C作"'JLAO交AD的延長線于點?若BE=4,CF=I,則EF的長度為.

16.如圖，是矩形ABCZ）的外接圓，若A8=4,A0=3,則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果保留

—≤4a-?4

17.若關(guān)于X一元一次不等式組2,至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程--+--=2有非負(fù)

CCy-22-V

2x-a≥2J?

整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和是

18.如果一個四位自然數(shù)礪的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0,滿足7-豆=不，那么稱這個四位數(shù)為

“遞減數(shù)”.例如：四位數(shù)4129,?.?41-12=29,.?.4I29是“遞減數(shù)”：又如：四位數(shù)5324,：53—32=21≠24,

.?.5324不是“遞減數(shù)”.若一個“遞減數(shù)”為嬴，則這個數(shù)為;若一個“遞減數(shù)”的前三個數(shù)字組

成的三位數(shù)a。C與后三個數(shù)字組成的三位數(shù)bed的和能被9整除，則滿足條件的數(shù)的最大值是.

三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題必須給

出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對

應(yīng)的位置上.

19.計算：

（1）4（2-α）+（4+IXa-1）；

,犬：_?

(2)

X2+2x+l?x+1

20.學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小虹進(jìn)行了拓展性研究.她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對角線的垂直平分線，那么這

個平行四邊形的一組對邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分.她的解決思路是通過證明對應(yīng)線段所在的兩個三

角形全等得出結(jié)論.請根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，作AC的垂直平分線交QC于點E,交AB于點F,垂足為點O.（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，四邊形ABCQ是平行四邊形，AC是對角線，所垂直平分AC,垂足為點O.

求證：OE=OF.

證明：；四邊形ABCo是平行四邊形，

.?.DC//AB.

：.NEeO=①.

：EE垂直平分AC,

又ZEOC=0.

.?.∕?COE=MOF（ASA）.

：.OE=OF.

小虹再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形對角線AC中點的直線與平行四邊形一組對邊相交形成的線段均有此特

征.請你依照題意完成下面命題：

過平行四邊形對角線中點的直線④.

21.為了解A、B兩款品質(zhì)相近的智能玩具飛機在一次充滿電后運行的最長時間，有關(guān)人員分別隨機調(diào)查了A、B

兩款智能玩具飛機各10架，記錄下它們運行的最長時間（分鐘），并對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析（運行最長時

間用X表示，共分為三組：合格60≤xv70,中等70Mx<80,優(yōu)等x280）,下面給出了部分信息：

A款智能玩具飛機10架一次充滿電后運行最長時間是:

60,64,67,69,71,71,72,72,72,82

B款智能玩具飛機10架一次充滿電后運行最長時間屬于中等的數(shù)據(jù)是:

70,71,72,72,73

兩款智能玩具飛機運行最長時間統(tǒng)計表，B款智能玩具飛機運行最長時間扇形統(tǒng)計圖

類別AB

平均數(shù)7070

中位數(shù)71b

眾數(shù)a67

方差30.426.6

根據(jù)以上信息，解答下列問題:

(1)上述圖表中α=,b=,機=；

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪款智能玩具飛機運行性能更好？請說明理由(寫出一條理由即可)；

(3)若某玩具倉庫有A款智能玩具飛機200架、B款智能玩具飛機120架，估計兩款智能玩具飛機運行性能在中

等及以上的共有多少架？

22.某公司不定期為員工購買某預(yù)制食品廠生產(chǎn)的雜醬面、牛肉面兩種食品.

(1)該公司花費3000元一次性購買了雜醬面、牛肉面共170份，此時雜醬面、牛肉面的價格分別為15元、20

元，求購買兩種食品各多少份？

(2)由于公司員工人數(shù)和食品價格有所調(diào)整，現(xiàn)該公司分別花費1260元、1200元一次性購買雜醬面、牛肉面兩

種食品，已知購買雜醬面份數(shù)比牛肉面的份數(shù)多50%,每份雜醬面比每份牛肉面的價格少6元，求購買牛肉面

多少份？

23.如圖，-ABC是邊長為4等邊三角形，動點E,F分別以每秒1個單位長度的速度同時從點A出發(fā)，點E沿

折線A→B→C方向運動，點尸沿折線A→C→B方向運動，當(dāng)兩者相遇時停止運動.設(shè)運動時間為f秒，點

E,尸的距離為y.

(1)請直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量r的取值范圍；

(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，寫出點E,尸相距3個單位長度時f的值.

24.為了滿足市民的需求，我市在一條小河AB兩側(cè)開辟了兩條長跑鍛煉線路，如圖；①A-?！狢—B；②

A-E-B.經(jīng)勘測，點8在點A的正東方，點C在點8的正北方10千米處，點。在點C的正西方14千米處，點

。在點A的北偏東45°方向，點E在點A的正南方，點E在點8的南偏西60°方向.(參考數(shù)據(jù)：√2≈1.41,√3≈1.73)

北

西東

南

(1)求AD的長度.(結(jié)果精確到1千米)

(2)由于時間原因，小明決定選擇一條較短線路進(jìn)行鍛煉，請計算說明他應(yīng)該選擇線路①還是線路②?

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=α√+bx+2過點(1,3),且交X軸于點A(T0),B兩點，交y軸于點

C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作_LBC于點O,過點P作y軸的平行線交直線BC于

點E,求△/>/)E周長的最大值及此時點尸的坐標(biāo);

（3）在（2）中△正〃E周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線CB方向平移、后個單位長度，點M為平移

后的拋物線的對稱軸上一點.在平面內(nèi)確定一點M使得以點A,P,M,N為頂點的四邊形是菱形，寫出所有符

合條件的點N的坐標(biāo)，并寫出求解點N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程.

26.在RJABC中，ZACB=90。，/8=60°,點。為線段AB匕一動點，連接CD.

（1）如圖1,若AC=9,BD=上,求線段Ar）的長.

（2）如圖2,以CD為邊在CD上方作等邊一CDE,點尸是QE的中點，連接8b并延長，交CD的延長線于點

G.若/G=NBCE,求證：GF=BF+BE.

（3）在Cr）取得最小值條件下，以Co為邊在8右側(cè)作等邊一CDE?點M為。。所在直線上一點，將

BEM沿所在直線翻折至ABC所在平面內(nèi)得到BNM.連接AN,點P為AN的中點，連接CP,當(dāng)

CP取最大值時，連接BP，將LBCP沿BC所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到?8CQ,請直接寫出此時

卷的值?

重慶市2023年初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生考試

數(shù)學(xué)試卷C4卷）

（全卷共三個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）

一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、

5、C、。的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂

黑.

1.8的相反數(shù)是（）

A.-8B.8C.-

8

【答案】A

【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得.

【詳解】解：8的相反數(shù)是-8,

故選A.

【點睛】本題考查了相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.四個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，從正面得到的視圖是（

【答案】D

【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案.

【詳解】從正面看第一層是2個小正方形，第二層右邊1個小正方形,

故選：D.

【點睛】考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖.

4

3.反比例函數(shù)y=--的圖象一定經(jīng)過的點是（）

X

A.（1,4）B.（―1,—4）C.（一2,2）D.（2,2）

【答案】C

4

【分析】根據(jù)題意將各項的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)）=--即可解答.

X

4

【詳解】解：A、將X=I代入反比例函數(shù)y=——得到y(tǒng)=-l≠4,故A項不符合題意；

X

4

B、項將X=-1代入反比例函數(shù)y=--得到y(tǒng)=4≠-4,故B項不符合題意；

X

4

C、項將％=-2代入反比例函數(shù)＞=—一得到y(tǒng)=2=2,故C項符合題意；

X

4

D、項將X=2代入反比例函數(shù)y=一一得到y(tǒng)=-2。2,故D項不符合題意；

尤

故選C.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，只要點在函數(shù)圖象上則其坐標(biāo)一定滿足函數(shù)解析式，掌握

反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.

4.若兩個相似三角形周長的比為1:4,則這兩個三角形對應(yīng)邊的比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形的周長比等于相似三角形的對應(yīng)邊比即可解答.

【詳解】解：???兩個相似三角形周長的比為1:4,

相似三角形的對應(yīng)邊比為1:4,

故選B.

【點睛】本題考查了相似三角形的周長比等于相似三角形的對應(yīng)邊比，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，AB//CD,ADlAC,若/1=55。，則N2的度數(shù)為（）

A.35oB.45oC.50oD.55°

【答案】A

【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可得/C48的度數(shù)，根據(jù)垂直的定義可得NC4T＞=90°,然后根據(jù)

?2?CAB?C4O即可得出答案.

【詳解】解：：Cr＞，Zl=55°,

：.?CAB180?55?125?,

?/AD±AC,

：.ZCAD=90°,

；.?2?CAB?CAD125?90?35?,

故選：A.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，熟知兩直線平行同旁內(nèi)角互補是解本題的關(guān)鍵.

6.估計J5（我+Ji6）的值應(yīng)在（）

A.7和8之間B.8和9之間

C9和IO之間Djo和11之間

【答案】B

【分析】先計算二次根式的混合運算，再估算結(jié)果的大小即可判斷.

【詳解】解：√2（√8+√lθ）

=√16+√20

=4+2√5

,.?2<√5<2.5，

?4<2√5<5.

Λ8<4+2√5<9.

故選：B.

【點睛】此題考查了二次根式的混合運算，無理數(shù)的估算，正確掌握二次根式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵.

7.用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案用了9根木棍，第②個圖案用了14根木棍，第③

個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木棍，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個圖案用的木棍根數(shù)是（）

QS□oooɑ??o-

①②③④

A.39B.44C.49D.54

【答案】B

【分析】根據(jù)各圖形中木棍的根數(shù)發(fā)現(xiàn)計算的規(guī)律，由此即可得到答案.

【詳解】解：第①個圖案用了4+5=9根木棍，

第②個圖案用了4+5x2=14根木棍，

第③個圖案用了4+5x3=19根木棍，

第④個圖案用了4+5x4=24根木棍，

第⑧個圖案用的木棍根數(shù)是4+5x8=44根，

故選：B.

【點睛】此題考查了圖形類規(guī)律的探究，正確理解圖形中木棍根數(shù)的變化規(guī)律由此得到計算的規(guī)律是解題的關(guān)

鍵.

8.如圖，Ae是。。的切線，8為切點，連接OC.若NA=30°,ΛB=2√3>BC=3,則。。的長度是（)

A.3B,2√3C.√BD.6

【答案】C

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及正切的定義得到QB=2,再根據(jù)勾股定理得到OC=JfI.

【詳解】解：連接0B,

?.?4C是。。的切線，B為切點，

OBLAC,

VZA=30°,Aβ=2√3，

在RjoAB中，OB=AB?tan∕A=26χ走=2，

3

?：BC=3,

在RJoBCΦ,OC=IOB2+BC?=屈，

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

9.如圖，在正方形ABCD中，點E，尸分別在BC,CDh,連接AE，AF，EF,ZE4F=45o.若NBAE=a,

A.2aB.90°-2?C.45o-aD.90o-er

【答案】A

【分析】利用三角形逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，再證明三角形全等，最后根據(jù)性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】將，ADF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至、ABH，

?*?AB=AD，/B-/D-ABAD=Z.C=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：ZDAF=ZBAH,ZD=ZABH=90o,AF=AH,

：.ZAHB+ZABC=ISOo,

：?點H,B,C三點共線，

VZBAE^a,ZE4F=45o,ΛBADZHAF=90°,

；?ND4F=N84H=45°-α,NEAF=NEAH=45°,

?：ZAHB+ZBAH=90°,

；?NAHB=45°+ɑ,

在,.A石尸和&AE”中

AF=AH

<ZFAE=NHAE,

AE^AE

：.^AFE^..AHE(SAS),

：.ZAHEZAFE=450+a,

；?ZAHEZAFD=ZAFE=45o+a,

：.NDFE=ZAFD+ZAFE=90o+2a,

,：ZDFE=ZFEC+ZC=ZFEC+90°,

.?.NFEC=2a,

故選：A.

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能正確作出旋轉(zhuǎn)，再

證明三角形全等，熟練利用性質(zhì)求出角度.

10.在多項式x-y-z一加一〃(其中x>y>z>m>")中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對

值符號后仍只有減法運算，然后進(jìn)行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”.例如：

x-y-?z-n^-n-x-y-z+m-n,?x-y?-z-?m-r^-x-y-z-m+n......

下列說法：

①存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式相等；

②不存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式之和為O；

③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結(jié)果.

其中正確的個數(shù)是（）

A.OB.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)“絕對操作”的定義及絕對值的性質(zhì)對每一項判斷即可解答.

【詳解】解：?.?x>y>z>m>",

Λ?x-y?-z-m-n=x-y-z-m-n,

.?.存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式相等，

故①正確；

根據(jù)絕對操作的定義可知：在多項式x-y—z—"2-〃（其中x>y>z>∕n>"）中，經(jīng)過絕對操作后，

z、〃、機的符號都有可能改變，但是％、y的符合不會改變，

不存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式之和為O,

故②正確；

；在多項式x—y—Z一機一〃（其中x>y>z>m>"）中，經(jīng)過“絕對操作”可能產(chǎn)生的結(jié)果如下：

Λ?x-y?-z-m-n-x-y-z-m-n,

x-?y-z?-m-n-x-y+z—m-n,

x-y-?z--n-?x-y?-?z-n—x-y-z+m-n,

x-y—z-?m-ι^-?x-y?-z-?m-r^-x-y-z-m+n,

x-?y-z?-?m-ι^-x-y+z-m+n,

共有5種不同運算結(jié)果，

故③錯誤；

故選C.

【點睛】本題考查了新定義“絕對操作”，絕對值的性質(zhì)，整式的加減運算，掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)

的橫線上.

11.計算2-∣+3°=.

【答案】1.5

【分析】先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)累及零指數(shù)基化簡，再根據(jù)有理數(shù)的加法計算.

【詳解】2T+3°='+l=L5.

2

故答案15

【點睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)累及零指數(shù)幕的意義，任何不等于O的數(shù)的負(fù)整數(shù)次幕，等于這個數(shù)的正整數(shù)次

暴的倒數(shù)，非零數(shù)的零次幕等于L

12.如圖，在正五邊形4BCDE中，連接AC,則/BAC的度數(shù)為.

CD

【答案】36°

【分析】首先利用多邊形的內(nèi)角和公式求得正五邊形的內(nèi)角和，再求得每個內(nèi)角的度數(shù)，利用等腰三角形的性質(zhì)可

得NBAC的度數(shù).

【詳解】正五邊形內(nèi)角和：（5-2）X180。=3x180。=540。

.180°-NB180°-108°匯

22

故答案為36。.

【點睛】本題主要考查了正多邊形內(nèi)角和，熟記多邊形的內(nèi)角和公式：（n-2）X180。是解答此題的關(guān)鍵.

13.一個口袋中有1個紅色球，有1個白色球，有1個藍(lán)色球，這些球除顏色外都相同.從中隨機摸出一個球，記

下顏色后放回，搖勻后再從中隨機摸出一個球，則兩次都摸到紅球的概率是.

【答案】—

【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意列表如下：

紅球白球藍(lán)球

紅球（紅球，紅球）（白球，紅球）（藍(lán)球，紅球）

白球（紅球，白球）（白球，白球）（藍(lán)球，白球）

藍(lán)球（紅球，藍(lán)球）（白球，藍(lán)球）（藍(lán)球，藍(lán)球）

由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中兩次都摸到紅球的有1種結(jié)果,

所以兩次摸到球的顏色相同的概率為"，

故答案為：—.

【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

14.某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位1501個，并按計劃逐月增長，預(yù)計八月份將提供崗位1815個.設(shè)七、

八兩個月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為X,根據(jù)題意，可列方程為.

【答案】1501(1+X)2=1815

【分析】設(shè)七、八兩個月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為X,根據(jù)題意列出一元二次方程，即可求解.

【詳解】解：設(shè)七、八兩個月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為X,根據(jù)題意得，

1501(1+Λ)2=1815,

故答案為：1501(1+X)2=1815.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，增長率問題，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在Rt中，NBAC=90，AB=AC,點。為BC上一點，連接A0.過點B作6E,AQ于點

E,過點C作b_LAD交AO的延長線于點E若BE=4,CF=L則ER的長度為.

【答案】3

［分析】證明AAFgABEA，得到BE=AF,CFAE,即可得解.

【詳解】解：'：ZBAC=90°，

：.NEAB+/￡40=90。，

VBE±AD,CF±AD,

：.ZAEB=ZAFC=^,

：.ZACF+ZEAC=90°，

：.ZACF=ZBAE，

在ZXAFC和ABEA中：

NAEB=NCFA

<NACF=ZBAE,

AB=AC

.?.AAFC^ABE4(AAS),

.?.AF=BE=4,AE=CF=1,

EF=AF-AE^4-?=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查全等三角形判定和性質(zhì).利用同角的余角相等和等腰三角形的兩腰相等證明三角形全等是解題

的關(guān)鍵.

16.如圖，JO是矩形ABCo的外接圓，若AB=4,AD=3,則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果保留

4

【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角及勾股定理得到80=5,再根據(jù)圓的面積及矩形的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：連接BO，

；四邊形ABC。是矩形，

，BD是。。的直徑,

?.?AB=4,AD=3,

?'?BD=?/AB2+AD2=5，

。的半徑為?∣,

25

???。的面積為工乃，矩形的面積為3x4=12,

25

???陰影部分的面積為一萬―12；

4

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，圓的面積，矩形的面積，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)是

x+3.1.

-----≤4a-14

17.若關(guān)于X的一元一次不等式組《2，至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程--+--=2有非負(fù)

Cy~22~y

2x-CLN2

整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和是

【答案】4

Ct-I

【分析】先解不等式組，確定”的取值范圍α≤6,再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，解得曠=號，由分式

方程有正整數(shù)解，確定出“的值，相加即可得到答案.

【詳解】解：〈

2x-a≥2②

解不等式①得：x≤5,

解不等式②得：x≥l+p

.?.不等式的解集為"自X≤5,

;不等式組至少有2個整數(shù)解,

.β.l+-≤4,

2

解得：ɑ≤6；

a-l4

；關(guān)于y的分式方程“5+二=2有非負(fù)整數(shù)解,

Λa-l-4=2（）?-2）

解得：???-?

Cl—1、CrQ—1C

即——20且——≠2,

22

解得：且α≠5

???α的取值范圍是l≤α<6,且α≠5

可以取：1,3,

1+3=4,

故答案為：4.

【點睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵.

18.如果一個四位自然數(shù)礪的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0,滿足αbC=Cd，那么稱這個四位數(shù)為

“遞減數(shù)”.例如：四位數(shù)4129,?.?41-位=29,.?.4129是“遞減數(shù)”；又如:四位數(shù)5324,；53—32=21W24,

.?.5324不是“遞減數(shù)”.若一個“遞減數(shù)”為a312,則這個數(shù)為；若一個“遞減數(shù)”的前三個數(shù)字組

成的三位數(shù)a。C與后三個數(shù)字組成的三位數(shù)bed的和能被9整除，則滿足條件的數(shù)的最大值是

【答案】①.4312②.8165

【分析】根據(jù)遞減數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：?.?^312遞減數(shù)，

.?.10α+3-31=12,

a=4,

；.這個數(shù)為4312；

故答案為:4312

；一個“遞減數(shù)”的前三個數(shù)字組成的三位數(shù)嬴與后三個數(shù)字組成的三位數(shù)域的和能被9整除，

.?.10α+Z?—lC?>-c=10c+d,

*?'abc+bcd-1OOCZ+1O?+C+1OOΛ+1OC+J，

?'?abc+bcd-IoOa+10b+c,+100/?+IOa+8-10b-c=110a+101A>，

?.?110α+10g=99(α+匕)+llα+2/?,能被9整除,

???llα+2Z?能被9整除，

：各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0,

a=?a=2Q=3。=4a=5。=6α=7ci=S

<,,,

b=S'b=7b=Gb=5b=4?b=3?b=2]b=↑

???最大的遞減數(shù),

a=S,b=i,

：.10×8-9×l-c=10c+t/,即：IlC+4=71,

，c最大取6,此時d=5,

這個最大的遞減數(shù)為8165.

故答案為：8165.

【點睛】本題考查一元一次方程和二元一次方程的應(yīng)用.理解并掌握遞減數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題必須給

出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對

應(yīng)的位置上.

19.計算：

(1)〃(2—α)+(α+l)(α-1)；

X2X

(2)---------÷X---------

x~+2x+1Ix+1

【答案】（1）2α-l

⑵擊

【分析】（1）先計算單項式乘多項式，平方差公式，再合并同類項即可;

（2）先通分計算括號內(nèi)，再利用分式的除法法則進(jìn)行計算.

【小問1詳解】

解：原式=2α-/+“2一］

=2a-l;

【小問2詳解】

X2X2+x-χy

原式=

x+l)2Λ+1)

29

Xx~

x+l)2

X2%+1

x+l)2X2

1

x+1

【點睛】本題考查整式的混合運算，分式的混合運算.熟練掌握相關(guān)運算法則，正確的計算，是解題的關(guān)鍵.

20.學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小虹進(jìn)行了拓展性研究.她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對角線的垂直平分線，那么這

個平行四邊形的一組對邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分.她的解決思路是通過證明對應(yīng)線段所在的兩個三

角形全等得出結(jié)論.請根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空:

用直尺和圓規(guī)，作AC的垂直平分線交。。于點E,交AB于點、F,垂足為點O.（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，四邊形ABCQ是平行四邊形，AC是對角線，垂直平分AC,垂足為點O.

求證：OE=OF.

證明：；四邊形ABeD是平行四邊形,

：.DC//AB.

???ZECO=?

???￡：/垂直平分AC,

???②.

又NEOC=?.

.?.ΔCOE≡MOF(AS4).

.?.OE=OF.

小虹再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形對角線AC中點的直線與平行四邊形一組對邊相交形成的線段均有此特

征.請你依照題意完成下面命題：

過平行四邊形對角線中點的直線④.

【答案】作圖：見解析；NE4O；AO=COiZFOAi被平行四邊形一組對邊所截，截得的線段被對角線中點平

分

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的畫法作圖，再推理證明即可并得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，即為所求；

D?EC

Λ∕?VB

證明：：四邊形ABC。是平行四邊形，

DC//AB.

：.NECo=ΛFAO.

V￡：尸垂直平分AC,

.,.Ao=CO.

又NEOC=ZFOA.

：..COE=AOF(ASA).

：.OE=OF.

故答案為：ZFAO,AO=CO;NFOA；

由此得到命題：過平行四邊形對角線中點的直線被平行四邊形一組對邊所截，截得的線段被對角線中點平分，

故答案為：被平行四邊形一組對邊所截，截得的線段被對角線中點平分.

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，作線段的垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形

的性質(zhì)及線段垂直平分線的作圖方法是解題的關(guān)鍵.

21.為了解A、B兩款品質(zhì)相近的智能玩具飛機在一次充滿電后運行的最長時間，有關(guān)人員分別隨機調(diào)查了4、B

兩款智能玩具飛機各10架，記錄下它們運行的最長時間(分鐘)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析(運行最長時

間用X表示，共分為三組：合格60≤x<70,中等70≤xv80,優(yōu)等x≥80),下面給出了部分信息：

A款智能玩具飛機10架一次充滿電后運行最長時間是：

60,64,67,69,71,71,72,72,72,82

3款智能玩具飛機10架一次充滿電后運行最長時間屬于中等的數(shù)據(jù)是:

70,71,72,72,73

兩款智能玩具飛機運行最長時間統(tǒng)計表，B款智能玩具飛機運行最長時間扇形統(tǒng)計圖

類別4B

平均數(shù)7070

中位數(shù)71b

眾數(shù)a67

方差30.426.6

根據(jù)以上信息，解答下列問題:

（1）上述圖表中a-,b=,m=；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪款智能玩具飛機運行性能更好？請說明理由（寫出一條理由即可）；

（3）若某玩具倉庫有A款智能玩具飛機200架、8款智能玩具飛機120架，估計兩款智能玩具飛機運行性能在中

等及以上的共有多少架？

【答案】（1）72,70.5,10;

（2）B款智能玩具飛機運行性能更好；因為B款智能玩具飛機運行時間的方差比A款智能玩具飛機運行時間的方

差小，運行時間比較穩(wěn)定；

（3）兩款智能玩具飛機運行性能在中等及以上的大約共有192架.

【分析】（1）由A款數(shù)據(jù)可得A款的眾數(shù)，即可求出“，由8款扇形數(shù)據(jù)可求得合格數(shù)及優(yōu)秀數(shù)，從而求得中位數(shù)

及優(yōu)秀等次的百分比；

（2）根據(jù)方差越小越穩(wěn)定即可判斷；

（3）用樣本數(shù)據(jù)估計總體，分別求出兩款飛機中等及以上的架次相加即可.

【小問1詳解】

解：由題意可知10架A款智能玩具飛機充滿電后運行最長時間中，只有72出現(xiàn)了三次，且次數(shù)最多，則該組數(shù)據(jù)

的眾數(shù)為72,即α=72;

由8款智能玩具飛機運行時間的扇形圖可知，合格的百分比為40%,

則B款智能玩具飛機運行時間合格的架次為：M）x40%=4（架）

則8款智能玩具飛機運行時間優(yōu)等的架次為：10-4一5=1（架）

則8款智能玩具飛機的運行時間第五、第六個數(shù)據(jù)分別為：70,71,

故8款智能玩具飛機運行時間的中位數(shù)為：空衛(wèi)=70.5

2

B款智能玩具飛機運行時間優(yōu)等的百分比為：100%=10%

即加=10

故答案為：72,70.5,10；

【小問2詳解】

B款智能玩具飛機運行性能更好：因為B款智能玩具飛機運行時間的方差比A款智能玩具飛機運行時間的方差

小，運行時間比較穩(wěn)定；

【小問3詳解】

200架A款智能玩具飛機運行性能在中等及以上的架次為：

200x9=120（架）

10

200架A款智能玩具飛機運行性能在中等及以上的架次為：

120x9=72（架）

10

則兩款智能玩具飛機運行性能在中等及以上的共有：120+72=192架，

答：兩款智能玩具飛機運行性能在中等及以上的大約共有192架.

【點睛】本題考查了扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)、眾數(shù)、百分比，用方差做決策，用樣本估計總體；解題的關(guān)鍵是熟練

掌握相關(guān)知識綜合求解.

22.某公司不定期為員工購買某預(yù)制食品廠生產(chǎn)的雜醬面、牛肉面兩種食品.

（1）該公司花費3000元一次性購買了雜醬面、牛肉面共170份，此時雜醬面、牛肉面的價格分別為15元、20

元，求購買兩種食品各多少份？

（2）由于公司員工人數(shù)和食品價格有所調(diào)整，現(xiàn)該公司分別花費1260元、1200元一次性購買雜醬面、牛肉面兩

種食品，已知購買雜醬面的份數(shù)比牛肉面的份數(shù)多50%,每份雜醬面比每份牛肉面的價格少6元，求購買牛肉面

多少份？

【答案】（1）購買雜醬面80份，購買牛肉面90份

（2）購買牛肉面90份

【分析】（1）設(shè)購買雜醬面X份，則購買牛肉面（170-x）份，由題意知，15x+20χ（170-x）=3000,解方程可

得X的值，然后代入170-x,計算求解，進(jìn)而可得結(jié)果;

(2)設(shè)購買牛肉面。份，則購買雜醬面L54份，由題意知，+6=坦犯，計算求出滿足要求的解即可.

?.5aa

【小問1詳解】

解：設(shè)購買雜醬面X份，則購買牛肉面(170-x)份，

由題意知，15x+20x(170-x)=3000,

解得，x=80,

Λ170-x=90,

.?.購買雜醬面80份，購買牛肉面90份;

【小問2詳解】

解：設(shè)購買牛肉面4份，則購買雜醬面L5α份,

1260U1200

由題意知，----+6=----

1.50

解得α=90,

經(jīng)檢驗，a=90是分式方程的解,

；?購買牛肉面90份.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列方程.

23.如圖，一ABC是邊長為4的等邊三角形，動點、E,尸分別以每秒1個單位長度的速度同時從點月出發(fā)，點E沿

折線A→B→C方向運動，點尸沿折線A→C→B方向運動，當(dāng)兩者相遇時停止運動.設(shè)運動時間為，秒，點

E,尸的距離為卜

(1)請直接寫出y關(guān)于f的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量r的取值范圍；

(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì);

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，寫出點E,尸相距3個單位長度時r的值.

【答案】(1)當(dāng)0<f≤4時，y=h當(dāng)4<r≤6時，y=n-2t.

(2)圖象見解析，當(dāng)0<f≤4時，y隨X的增大而增大

(3)f的值為3或4.5

【分析】(1)分兩種情況：當(dāng)0<f≤4時，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答；當(dāng)4<Y6時，利用周長減去2AE即可;

(2)在直角坐標(biāo)系中描點連線即可;

(3)利用y=3分別求解即可.

【小問1詳解】

解：當(dāng)0<f≤4時,

連接EF,

由題意得AE=ΛF,NA=60°，

Z√IEE是等邊三角形，

.?.y=h

函數(shù)圖象如圖:

9

8

7

6

5

4

3

2

1

當(dāng)0<∕≤4時?，y隨X的增大而增大；

【小問3詳解】

當(dāng)0<∕≤4時，y=3即［=3；

當(dāng)4<r≤6時，y=3即12—2f=3,解得f=4.5,

故r的值為3或4.5.

【點睛】此題考查了動點問題，一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解一元一次方程，正確理解動點問題是解題的關(guān)鍵.

24.為了滿足市民的需求，我市在一條小河AB兩側(cè)開辟了兩條長跑鍛煉線路，如圖；①A—O—C—B；②

A-E-B.經(jīng)勘測，點B在點A的正東方，點C在點B的正北方10千米處，點。在點C的正西方14千米處，點

。在點A的北偏東45°方向，點E在點A的正南方，點E在點B的南偏西60°方向.（參考數(shù)據(jù)：√2≈1.41,√3≈1.73）

北

西東

南

（1）求A。的長度.（結(jié)果精確到1千米）

（2）由于時間原因，小明決定選擇一條較短線路進(jìn)行鍛煉，請計算說明他應(yīng)該選擇線路①還是線路②？

【答案】（1）Ao的長度約為14千米

（2）小明應(yīng)該選擇路線①，理由見解析

【分析】（1）過點。作OELAB于點尸，根據(jù)題意可得四邊形BcDF是矩形，進(jìn)而得出OE=BC=10,然后解

直角三角形即可；

（2）分別求出線路①和線路②的總路程，比較即可.

【小問1詳解】

解：過點。作DELAB于點F，

由題意可得：四邊形BCDF是矩形，

；?OE=BC=IO千米，

???點D在點A的北偏東45°方向，

.?.?DAF?DAN45?,

ΛAD=DF-=10√2?14千米，

sin45°

答：的長度約為14千米；

【小問2詳解】

由題意可得：BC=10,Cr）=I4,

...路線①的路程為：AD