極限的四則運(yùn)算法則

關(guān)于極限的四則運(yùn)算法則時(shí),有一、無窮小運(yùn)算法則定理1.

有限個(gè)無窮小的和還是無窮小.證:

考慮兩個(gè)無窮小的和.設(shè)當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)因此這說明當(dāng)時(shí),為無窮小量.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁,共25頁，2024年2月25日，星期天說明:

無限個(gè)無窮小之和不一定是無窮小!例如，(P56,題4(2))解答見課件第二節(jié)例5機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束類似可證:有限個(gè)無窮小之和仍為無窮小.第3頁,共25頁，2024年2月25日，星期天定理2.

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

證:

設(shè)又設(shè)即當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)時(shí),就有故即是時(shí)的無窮小.推論1

.

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2

.

有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁,共25頁，2024年2月25日，星期天例1.求解:

利用定理2可知說明:

y=0是的漸近線.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁,共25頁，2024年2月25日，星期天二、極限的四則運(yùn)算法則則有證:因則有(其中為無窮小)于是由定理1可知也是無窮小,再利用極限與無窮小的關(guān)系定理,知定理結(jié)論成立.定理3.

若機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁,共25頁，2024年2月25日，星期天推論:

若且則(P45定理5)利用保號(hào)性定理證明.說明:

定理3可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形.提示:

令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁,共25頁，2024年2月25日，星期天定理4

.若則有提示:

利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2證明.說明:

定理4可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形.推論1.(C

為常數(shù))推論2.(n

為正整數(shù))例2.

設(shè)

n次多項(xiàng)式試證證:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁,共25頁，2024年2月25日，星期天為無窮小(詳見P44)定理5.

若且B≠0,則有證:

因有其中設(shè)無窮小有界因此由極限與無窮小關(guān)系定理,得為無窮小,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁,共25頁，2024年2月25日，星期天定理6

.

若則有提示:

因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理可由定理3,4,5直接得出結(jié)論.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

x=3時(shí)分母為0!例3.

設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式,試證:證:說明:

若不能直接用商的運(yùn)算法則.例4.

若機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁,共25頁，2024年2月25日，星期天例5.

求解:

x=1時(shí)分母=0,分子≠0,但因機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁,共25頁，2024年2月25日，星期天例6

.

求解:時(shí),分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁,共25頁，2024年2月25日，星期天一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁,共25頁，2024年2月25日，星期天三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理7.

設(shè)且

x滿足時(shí),又則有證:

當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有對(duì)上述取則當(dāng)時(shí)故①因此①式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁,共25頁，2024年2月25日，星期天定理7.

設(shè)且x

滿足時(shí),又則有

說明:若定理中則類似可得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁,共25頁，2024年2月25日，星期天例7.求解:

令已知(見P46例3)∴原式=(見P33例5)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁,共25頁，2024年2月25日，星期天例8.求解:

方法1則令∴原式方法2機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁,共25頁，2024年2月25日，星期天內(nèi)容小結(jié)1.極限運(yùn)算法則(1)無窮小運(yùn)算法則(2)極限四則運(yùn)算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時(shí),用代入法(分母不為0)時(shí),對(duì)型,約去公因子時(shí),分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量Th1Th2Th3Th4Th5Th7機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁,共25頁，2024年2月25日，星期天思考及練習(xí)1.是否存在?為什么?答:

不存在.否則由利用極限四則運(yùn)算法則可知存在,與已知條件矛盾.解:原式2.問機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁,共25頁，2024年2月25日，星期天3.

求解法1原式=解法2令則原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁,共25頁，2024年2月25日，星期天4.

試確定常數(shù)a

使解:令則故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束因此第22頁,共25頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)P481（5），（7），（9），（12），（14）

2（1），（3）

3（1）

4第六節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁,共25頁，2024年2月2