利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

高中數(shù)學(xué)高二年級利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值一、復(fù)習(xí)引入通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是什么？二、導(dǎo)入新課回答以下問題：三、共探新知〖探究一〗極值的定義0xy0xy極大值極小值四、形成概念如果對x0附近的所有點x，都有f(x)<f(x0),

則稱函數(shù)f(x)在點x0處取極大值，記作y極大值=f(x0)；并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個極大植點。如果對x0附近的所有點x，都有f(x)>f(x0),則稱函數(shù)f(x)在點x0處取極小值，記作y極小值=f(x0)；并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個極小植點。

已知函數(shù)y=f(x)，設(shè)x0是定義域（a,b）內(nèi)任一點，abba◆函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.

觀察函數(shù)y=f(x)在定義域[a,b]上的圖象，回答以下問題：（1）找出圖中的極點，并說明哪些點為極大值點，哪些點為極小值點？（2）極大值一定大于極小值嗎？（3）極值點能在區(qū)間端點取嗎？

yabx1x2x3x4Ox大大小小五、深化概念答案：（1）如圖；（2）不一定；（3）不能.【幾點說明】(1)極值是一個局部概念；(3)極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值;(4)函數(shù)的極值可能不止一個,而且函數(shù)的極大值未必大于極小值;(5)函數(shù)的極值點一定在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點；(2)極值不一定是最值；五、深化概念0xy3-30xy0xy問題2：函數(shù)y=f(x)在極值點的導(dǎo)數(shù)值為多少?在x=0處不可導(dǎo)結(jié)論：設(shè)x=x0是y=f(x)的極值點，且f(x)在x=x0是可導(dǎo)的，則必有f

(x0)=0.

問題3：導(dǎo)數(shù)為0的點是函數(shù)的極值點嗎?結(jié)論：導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)為0是該點為極值點的

條件.

必要非充分

yxOx1x2aby=f(x)在極大值點附近在極小值點附近

f

(x)<0

f

(x)>0

f

(x)>0

f

(x)<0(1)如果f

(x0)=0,且在x0附近的左側(cè)f

(x)>0，右側(cè)f

(x)<0,那么f(x0)是極大值(2)如果f

(x0)=0,且在x0附近的左側(cè)f

(x)<0，右側(cè)f

(x)>0,那么f(x0)是極小值

f

(x2)=0

f

(x1)=0可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)為0是該點為極值點的充要條件為：

六、范例解析x-22

f′(x)00f(x)解：定義域為R，f′(x)=x2-4由f′(x)=0可得x=-2或x=2當x變化時，f′(x),f(x)的變化情況如下表：（-∞，-2）(-2，2）(2，+∞）+－+極大值極小值

因此，當x=-2時，y極大值=

;當x=2時，y極小值=【求函數(shù)極值的步驟】(1)確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程

的所有實數(shù)根；(3)判斷在每個根的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號如何變化．①如果f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極

值．②如果f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極

值．③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右兩側(cè)符號不變，則f(x0)

.f

′(