(22)-函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)要解決的問(wèn)題:給定函數(shù)f(x),要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“展開成冪級(jí)數(shù)”,就是說(shuō),是否能找到這樣一個(gè)冪級(jí)數(shù),它在某區(qū)間內(nèi)收斂,且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x).如果能找到這樣的冪級(jí)數(shù),我們就說(shuō),函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù),或簡(jiǎn)單地說(shuō)函數(shù)f(x)能展開成冪級(jí)數(shù),而該級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x).泰勒多項(xiàng)式:如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù),則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于,其中(x介于x與x0之間).泰勒級(jí)數(shù):如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f(x),f(x),,f(n)(x),,則當(dāng)n時(shí),f(x)在點(diǎn)x0的泰勒多項(xiàng)式成為冪級(jí)數(shù)這一冪級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù).顯然,當(dāng)x=x0時(shí),f(x)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(x0).需回答的問(wèn)題:除了x=x0外,f(x)的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂?如果收斂,它是否一定收斂于f(x)?定理設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n0時(shí)的極限為零,即.麥克勞林級(jí)數(shù):在泰勒級(jí)數(shù)中取x0=0,得,此級(jí)數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù).展開式的唯一性:如果f(x)能展開成x的冪級(jí)數(shù),那么這種展式是唯一的,它一定與f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)一致.這是因?yàn)?如果f(x)在點(diǎn)x0=0的某鄰域(-R,R)內(nèi)能展開成x的冪級(jí)數(shù),即f(x)=a0+a1x+a2x2++anxn+,那么根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo),有f(x)=a1+2a2x+3a3x2+nanxn-1+,f(x)=2!a2+3×2a3x++n×(n-1)anxn-2+,f(x)=3!a3+n×(n-1)(n-2)anxn-3+,f(n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1)2an+1x+,于是得a0=f(0),a1=f(0),,,,.應(yīng)注意的問(wèn)題:如果f(x)能展開成x的冪級(jí)數(shù),那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)就是f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù).但是,反過(guò)來(lái)如果f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)x0=0的某鄰域內(nèi)收斂,它卻不一定收斂于f(x).因此,如果f(x)在點(diǎn)x0=0處具有各階導(dǎo)數(shù),則f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能作出來(lái),但這個(gè)級(jí)數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂,以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察.二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)展開步驟:第一步求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù):f(x),f(x),,f(n)(x),.第二步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值:f(0),f(0),f(0),,f(n)(0),.第三步寫出冪級(jí)數(shù),并求出收斂半徑R.第四步考察在區(qū)間(-R,R)內(nèi)時(shí)是否Rn(x)0(n).是否為零.如果Rn(x)0(n),則f(x)在(-R,R)內(nèi)有展開式(-R<x<R).例1將函數(shù)f(x)=ex展開成x的冪級(jí)數(shù).解所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為f(n)(x)=ex(n=1,2,),因此f(n)(0)=1(n=1,2,).于是得級(jí)數(shù),它的收斂半徑R=+.對(duì)于任何有限的數(shù)x、x(x介于0與x之間),有,而,所以,從而有展開式.例2將函數(shù)f(x)=sinx展開成x的冪級(jí)數(shù).解因?yàn)?n=1,2,),所以f(n)(0)順序循環(huán)地取0,1,0,-1,((n=0,1,2,3,),于是得級(jí)數(shù),它的收斂半徑為R=+.對(duì)于任何有限的數(shù)x、x(x介于0與x之間),有0(n).因此得展開式..例3將函數(shù)f(x)=(1+x)m展開成x的冪級(jí)數(shù),其中m為任意常數(shù).解:f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為f(x)=m(1+x)m-1,f(x)=m(m-1)(1+x)m-2,,f(n)(x)=m(m-1)(m-2)(m-n+1)(1+x)m-n,,所以f(0)=1,f(0)=m,f(0)=m(m-1),,f(n)(0)=m(m-1)(m-2)(m-n+1),于是得冪級(jí)數(shù).可以證.間接展開法:例4將函數(shù)f(x)=cosx展開成x的冪級(jí)數(shù).解已知(-<x<+).對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得.例5將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù).解因?yàn)?把x換成-x2,得(-1<x<1).注:收斂半徑的確定:由-1<-x2<1得-1<x<1.例6將函數(shù)f(x)=ln(1+x)展開成x的冪級(jí)數(shù).解因?yàn)?而是收斂的等比級(jí)數(shù)(-1<x<1)的和函數(shù):.所以將上式從0到x逐項(xiàng)積分,得.解:f(x)=ln(1+x)(-1<x1).上述展開式對(duì)x=1也成立,這是因?yàn)樯鲜接叶说膬缂?jí)數(shù)當(dāng)x=1時(shí)收斂,而ln(1+x)在x=1處有定義且連續(xù).例7將函數(shù)f(x)=sinx展開成的冪級(jí)數(shù).解