第一節(jié) 定積分的概念

第一節(jié)定積分的概念第五章定積分5.1定積分的概念和性質(zhì)

主要內(nèi)容和學(xué)習(xí)目標(biāo)定積分的定義（理解）定積分的幾何意義（理解）引進(jìn)定積分概念的兩個(gè)例子（理解）定積分的性質(zhì)（會(huì)應(yīng)用）一、引進(jìn)定積分概念的兩個(gè)例子1.曲邊梯形的面積曲邊梯形：在直角坐標(biāo)系下，由閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)≥0，直線(xiàn)x=a，x=b

與x

軸圍成的平面圖形AabB.yxOabABx=ax=by=f(x)基于這種想法，

可以用一組平行于y

軸的直線(xiàn)把曲邊梯形分割成若干個(gè)小曲邊梯形，只要分割得較細(xì)，每個(gè)小曲邊梯形很窄，

則其高f(x)的變化就很小.

這樣，可以在每個(gè)小曲邊梯形上作一個(gè)與它同底，底上某點(diǎn)函數(shù)值為高的矩形，曲線(xiàn)y=f(x)是連續(xù)的，

所以，當(dāng)點(diǎn)x在區(qū)間[a,b]

上某處變化很小時(shí)，

則相應(yīng)的高f(x)也就變化不大.一、引進(jìn)定積分概念的兩個(gè)例子顯然，分割越細(xì)，近似程度就越高，當(dāng)無(wú)限細(xì)分時(shí)，

則所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的精確值.用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，進(jìn)而用所有小矩形面積之和近似代替整個(gè)曲邊梯形面積.一、引進(jìn)定積分概念的兩個(gè)例子(1)分割在區(qū)間[a,b]內(nèi)任意插入n–1個(gè)分點(diǎn)：a=x0<x1<x2<···<xi-1<xi<···<xn-1<xn=b，

把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間：[x0,x1]，[x1,x2]，·

·

·，[xi-1,xi

]，·

·

·，[xn-1,xn].這些小區(qū)間的長(zhǎng)度分別記為

xi

=xi

–xi-1(i=1,2,···,n).過(guò)每一分點(diǎn)作平行于y

軸的直線(xiàn)，

它們把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形.可按下面四步計(jì)算曲邊梯形面積a=x0x1xi-1xn=

bOy=f(x)yBAxxiOyBAx一、引進(jìn)定積分概念的兩個(gè)例子(2)近似代替在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi](i=1,2,·

·

·,n)上取一點(diǎn)xi(xi-1≤xi≤

xi),以

f(xi)為高，

xi為底作小矩形，用小矩形面積f

(xi)

xi

近似代替相應(yīng)的小曲邊梯形面積

Ai，即

Ai

f

(xi)

xi(i=1,2,·

·

·,n).x1x2xixnxOy=f(x)yBAa=x0x1xi-1xn=

bxi(4)取極限當(dāng)分點(diǎn)個(gè)數(shù)n

無(wú)限增加，即（3）求和把n

個(gè)小矩形面積加起來(lái)，它就是曲邊梯形面積的近似值，即

且小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值

(即

=max{xi})趨近于0時(shí)，

上述和式的極限就是曲邊梯形面積的精確值，2.變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)一物體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，

已知速度v=v(t)是時(shí)間t

的連續(xù)函數(shù)，

求在時(shí)間間隔[T1,T2]上物體所經(jīng)過(guò)的路程s.(1)分割在時(shí)間間隔[T1,T2]內(nèi)任意插入n

-1

個(gè)分點(diǎn)：T1

=t0<t1<t2<·

·

·<ti-1<ti<·

·

·<tn-1<tn=T2，

把[T1,T2]分成n

個(gè)小區(qū)間：[t0,t1]，[t1,t2]，·

·

·，[ti-1,ti

]，·

·

·，[tn-1,tn].這些小區(qū)間的長(zhǎng)度分別為：

ti

=ti

–ti–1(i=1,2,·

·

·,n).相應(yīng)的路程s被分為n段小路程：si

(i=1,2,·

·

·,n).一、引進(jìn)定積分概念的兩個(gè)例子(2)近似代替在每個(gè)小區(qū)間上任意取一點(diǎn)xi

(ti-1≤

xi

≤

ti),用xi

點(diǎn)的速度v

(xi)

近似代替物體在小區(qū)間上的速度，用乘積v

(xi)

ti

近似代替物體在小區(qū)間[ti-1,

ti

]

上所經(jīng)過(guò)的路程

si，即

si

v(xi)

ti(i=1,2,·

·

·,n).一、引進(jìn)定積分概念的兩個(gè)例子(3)求和(4)取極限一、引進(jìn)定積分概念的兩個(gè)例子二、定積分的定義定義

設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[a,b]上有定義．任意取分點(diǎn)a=x0<x1<x2<

·

·

·<xi-1<xi<·

·

·<xn-1<xn=b把區(qū)間[a,b]分成

n個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]，

稱(chēng)為子區(qū)間，其長(zhǎng)度記為

xi

xi–

xi-1(i=1,2,·

·

·,n)在每個(gè)子區(qū)間

[xi-1,xi]上,任取一點(diǎn)

xi

(xi-1≤

xi

≤xi

)，得相應(yīng)的函數(shù)值

f(xi

)，作乘積f(xi

)

xi(i=1,2,·

·

·,n)，

把所有乘積加起來(lái)，得和式當(dāng)

n無(wú)限增大，且子區(qū)間的最大長(zhǎng)度

l(即l=max{

xi})

趨于零時(shí)，

如果上述和式的極限存在，則稱(chēng)函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，并將此極限值稱(chēng)為函數(shù)

f(x)在[a,b]

上的定積分，記作即二、定積分的定義f(x)：被積函數(shù)；x：積分變量；a與b：積分下限與上限.符號(hào)讀作函數(shù)

f(x)從a

到

b的定積分.f(x)dx：被積表達(dá)式或稱(chēng)被積分式；其中：[a,b]

：積分區(qū)間；二、定積分的定義關(guān)于定積分定義的幾點(diǎn)說(shuō)明：(1)

所謂和式極限(即函數(shù)f(x)可積)，

是指無(wú)論對(duì)區(qū)間[a,b]

怎樣分法，

也不論對(duì)點(diǎn)xi

(i=1,2,·

·

·,n)怎樣取法，極限都存在且有相同的極限值.二、定積分的定義(2)

可以證明，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)(3)

因?yàn)槎ǚe分是和式極限，

它是由函數(shù)f(x)與區(qū)間[a,b]所確定的，

因此，它與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)，即

或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)的函數(shù)是可積的.二、定積分的定義

(4)

該定義是在積分下限a小于積分上限b的情況下給出的，

此時(shí)，只要把插入分點(diǎn)的順序反過(guò)來(lái)寫(xiě)a=x0>x1>x2>

·

·

·>xi-1>xi>·

·

·>xn-1>xn=b由于xi-1>xi，

xi=xi-xi-1<0，于是有特殊地，當(dāng)a=b時(shí)，如果a>b，同樣可給出定積分即可，二、定積分的定義根據(jù)定積分的定義，上面兩個(gè)例子都可以表示為定積分：

(1)

曲邊梯形面積A

是曲邊函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，即

(2)

變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程s是速度函數(shù)v(x)在時(shí)間間隔[T1,T2]

上的定積分，即二、定積分的定義例

1

用定義計(jì)算解被積函數(shù)f(x)=e-x，在區(qū)間[0,1]

上連續(xù)，所以e-x

在[0,1]

上可積.為了計(jì)算方便起見(jiàn)，把區(qū)間[0,1]

等分成n份，分點(diǎn)為二、定積分的定義每個(gè)子區(qū)間的長(zhǎng)度都是在每個(gè)子區(qū)間上都取左端點(diǎn)為xi，于是和式為二、定積分的定義當(dāng)l=max{

xi}0+時(shí)，即n

+

有于是有二、定積分的定義AabBy=f(x)三、定積分的幾何意義當(dāng)f(x)>0時(shí)，

定積分在幾何上表示

曲邊y=f