數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)頂層設(shè)計(jì)配餐作業(yè)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精配餐作業(yè)(二十一）兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(時(shí)間:40分鐘)一、選擇題1．（2016·衡陽(yáng)二聯(lián))eq\f(2sin47°－\r（3）sin17°,cos17°)＝（)A．－eq\r（3) B．－1C.eq\r(3） D．1解析原式＝2×eq\f(sin47°－sin17°cos30°，cos17°)＝2×eq\f(sin17°＋30°－sin17°cos30°,cos17°）＝2sin30°＝1，故選D。答案D2．(2016·廣州二測(cè))已知coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－θ））＝eq\f（1，3)，則sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋θ））的值是()A.eq\f(1，3) B.eq\f（2\r(2),3)C．－eq\f(1，3) D．－eq\f(2\r(2），3)解析sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（5π,12)＋θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（π，2)－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，12）－θ）））)＝coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,12）－θ)）＝eq\f(1,3）.故選A。答案A3．（2016·河南適應(yīng)性測(cè)試)已知taneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(α－\f（π,4)）)＝eq\f（1，2）,則eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)的值為（)A.eq\f（1，2) B．2C．2eq\r（2) D．－2解析由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f（π,4）)）＝eq\f（tanα－1,1＋tanα）＝eq\f(1，2)，解得tanα＝3，所以eq\f（sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(4，2)＝2,故選B。答案B4．（2016·陜西二檢)若tanα＝eq\f(1，2)，則sin4α－cos4α的值為（）A．－eq\f（1,5） B.eq\f（1,5）C。eq\f（3，5） D．－eq\f（3，5）解析∵tanα＝eq\f（1,2），∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α）·(sin2α－cos2α)＝eq\f(tan2α－1,1＋tan2α)＝－eq\f(3，5），故選D。答案D5．（2017·福建模擬）已知sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))）＝eq\f（1，3)，則cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,3)－x））的值為（)A．－eq\f（\r（3),3） B.eq\f(\r（3),3）C．－eq\f（1,3） D.eq\f(1,3)解析因?yàn)閟ineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3）)）＝eq\f（1，2）sinx＋eq\f(\r（3),2）cosx＝eq\f(1,3），所以cosx＋coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，3）－x）)＝cosx＋eq\f(1，2)cosx＋eq\f（\r（3),2)sinx＝eq\f(3，2）cosx＋eq\f（\r（3),2)sinx＝eq\r（3）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\r（3）,2）cosx＋\f（1,2)sinx)）＝eq\f(\r（3)，3),故選B.答案B6．（2016·沈陽(yáng)三模)已知θ∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π，2)，\f（π，2）))且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈（0,1）,則tanθ的可能取值是（)A．－3 B．3或eq\f(1，3）C．－eq\f（1，3） D．－3或－eq\f（1，3）解析方法一：由sinθ＋cosθ＝a可得2sinθ·cosθ＝a2－1,由a∈（0，1)及θ∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π，2)，\f(π,2)）），得sinθ·cosθ<0且|sinθ|〈｜c(diǎn)osθ｜，θ∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(π，4)，0）)，從而tanθ∈（－1,0），故選C。方法二：用單位圓中三角函數(shù)線的知識(shí)可知θ∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π，4)，0))，從而tanθ∈(－1,0），故選C。答案C二、填空題7．已知cosθ＝－eq\f（5,13)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f（3π，2))),則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6）））的值為_(kāi)_______。解析由cosθ＝－eq\f(5,13），θ∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（π，\f(3π,2））)得sinθ＝－eq\r(1－cos2θ）＝－eq\f（12，13）,故sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6））)＝sinθcoseq\f(π,6）－cosθsineq\f（π,6）＝－eq\f（12,13)×eq\f(\r（3），2)－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(5，13）)）×eq\f(1,2)＝eq\f（5－12\r(3),26)。答案eq\f（5－12\r（3），26）8．(2016·浙江高考)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ）＋b（A〉0)，則A＝________，b＝________。解析由于2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝eq\r（2）sin(2x＋eq\f（π,4)）＋1,所以A＝eq\r（2),b＝1.答案eq\r（2）19．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)已知θ是第四象限角,且sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，4)))＝eq\f（3,5），則taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f（π，4）)）＝________。解析方法一:因?yàn)閟ineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，4）)）＝eq\f(3，5)，所以coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f（π,4))）＝sineq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4））））)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，4）））＝eq\f(3,5），因?yàn)棣葹榈谒南笙藿牵裕璭q\f（π,2)＋2kπ<θ<2kπ，k∈Z，所以－eq\f（3π,4）＋2kπ<θ－eq\f（π，4）<2kπ－eq\f（π,4）,k∈Z,所以sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4）））＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3,5))）2)＝－eq\f（4,5），所以taneq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ－\f（π，4)））＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ－\f(π,4）)），cos\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π，4)）））＝－eq\f(4,3）.方法二:因?yàn)棣仁堑谒南笙藿?且sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，4））)＝eq\f（3，5），所以θ＋eq\f(π,4)為第一象限角，所以coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π，4)))＝eq\f（4，5），所以taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ－\f(π,4）））＝eq\f（sin\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))),cosθ－\f（π，4)）＝eq\f(－cos\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2）＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(θ－\f(π，4)）））),sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2）＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ－\f(π,4))）））)＝－eq\f(cos\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π,4）））,sin\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π，4))))＝－eq\f(4，3）。答案－eq\f(4，3）10．（2016·衡水二調(diào)）若tanα＋eq\f（1，tanα)＝eq\f（10，3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，4），\f（π,2）)），則sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f（π，4)））＋2coseq\f(π，4)cos2α的值為_(kāi)_______.解析∵tanα＋eq\f（1，tanα)＝eq\f（10，3）,∴(tanα－3）(3tanα－1)＝0,∴tanα＝3或eq\f（1,3).∵α∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,4），\f（π，3）)），∴tanα>1，∴tanα＝3，sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4))）＋2coseq\f(π，4)cos2α＝eq\f(\r(2），2）sin2α＋eq\f（\r(2)，2)cos2α＋eq\f（\r(2）1＋cos2α，2)＝eq\f(\r(2），2）(sin2α＋2cos2α＋1)＝eq\f（\r(2）,2）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2tanα，1＋tan2α）＋2\f（1－tan2α，1＋tan2α）＋1）)＝eq\f（\r（2),2)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(6,10）－\f(16，10)＋1)）＝0.答案0三、解答題11．（2016·衡水調(diào)研)已知α∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π）），且sineq\f（α，2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f（\r（6)，2).（1)求cosα的值；(2）若sin（α－β)＝－eq\f（3，5），β∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，2）,π）），求cosβ的值。解析(1)由sineq\f(α,2）＋coseq\f(α,2)＝eq\f（\r（6），2)得1＋sinα＝eq\f（3，2),所以sinα＝eq\f（1,2），因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π,2），π）），所以cosα＝－eq\f(\r（3），2)。（2)由題意知α－β∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π，2)))，因?yàn)閟in（α－β）＝－eq\f(3,5)，所以cos(α－β)＝eq\f（4，5)，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin(α－β)＝－eq\f（\r（3），2）×eq\f（4，5)＋eq\f(1，2)×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（3，5）））＝－eq\f（4\r（3）＋3,10).答案（1)－eq\f（\r(3)，2)（2)－eq\f(4\r（3）＋3,10）12．已知函數(shù)f(x)＝2sineq\f(π,6）xcoseq\f(π，6)x,過(guò)兩點(diǎn)A（t，f（t））,B(t＋1，f（t＋1）)的直線的斜率記為g(t）。（1)求g(0)的值；(2)寫(xiě)出函數(shù)g（t）的解析式,求g（t）在eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f(3,2），\f（3,2）))上的取值范圍。解析(1）由題意知，f（x)＝sineq\f（π,3）x，則g(0）＝eq\f（f1－f0,1－0)＝sineq\f（π,3)－sin0＝eq\f(\r（3）,2）。(2)由題意知g（t)＝eq\f(ft＋1－ft,t＋1－t)＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，3）t＋\f(π,3)))－sineq\f（π,3）t＝sineq\f（π，3）tcoseq\f（π，3）＋coseq\f(π，3)tsineq\f（π,3)－sineq\f(π，3）t＝－eq\f（1,2）sineq\f（π,3）t＋eq\f(\r(3）,2）coseq\f(π,3)t＝－sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，3)t－\f（π,3）)）。因?yàn)閠∈eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f(3,2），\f（3,2))），所以eq\f(π，3）t－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f（5π，6）,\f(π，6)))，所以sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，3）t－\f（π，3)）)∈eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)）),所以g（t)在eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f（3,2）,\f(3,2)))上的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f(1，2),1）)。答案（1）eq\f（\r（3)，2)(2）eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)）(時(shí)間：20分鐘)1．若sinθ＋cosθ＝eq\r(2），則taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π,3）))的值是（)A．1 B．－3－eq\r（2)C．－1＋eq\r（3) D．－2－eq\r（3）解析∵sinθ＋cosθ＝eq\r（2)，∴sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝2,∴sin2θ＝1，∴2θ＝2kπ＋eq\f(π,2），k∈Z，θ＝kπ＋eq\f（π,4)，k∈Z,tanθ＝1?！鄑aneq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，3）））＝eq\f（tanθ＋\r（3)，1－\r（3)tanθ）＝eq\f（1＋\r(3），1－\r（3））＝－2－eq\r(3)。故選D。答案D2．（2017·石家莊模擬)設(shè)α，β∈[0，π],且滿足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，則sin(2α－β)＋sin（α－2β)的取值范圍為（）A．[－eq\r（2)，1］ B．[－1,eq\r（2)]C．[－1，1］ D．[1，eq\r(2)]解析∵sinαcosβ－cosαsinβ＝1?sin(α－β）＝1，α,β∈［0，π］，∴α－β＝eq\f（π,2），∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0≤α≤π，，0≤β＝α－\f（π,2)≤π))?eq\f（π,2）≤α≤π，∴sin(2α－β）＋sin（α－2β）＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2α－α＋\f(π，2)))＋sin(α－2α＋π）＝sinα＋cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（α＋\f（π，4）)）?！遝q\f（π,2）≤α≤π，∴eq\f(3π，4）≤α＋eq\f（π，4）≤eq\f(5，4)π，∴－1≤eq\r（2)sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋\f(π，4)）)≤1，即取值范圍是[－1，1],故選C。答案C3．（2016·廣州五校聯(lián)考)函數(shù)f（x)＝4cosx·sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，6））)－1(x∈R)的最大值為_(kāi)_______。解析∵f（x)＝4cosxsineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π,6))）－1＝4cosxeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r(3)，2)sinx＋\f(1，2)cosx））－1＝2eq\r(3）sinxcosx＋2cos2x－1＝eq\r（3）sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,6))),∴f（x)max＝2。答案24．已知函數(shù)f(x）＝3cos(ωx＋φ）(ω〉0，－eq\f(π,2)〈φ<0)的最小正周期為π，且其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(5π，12），0)).（1）求函數(shù)f（x）的解析式;（2）若函數(shù)g（x）＝feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（x，2)＋\f（π,6)）)，α,β∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（π，2)））,且g(α)＝1，g（β）＝eq\f（3\r(2），4），求g(α－β）的值。解析(1)依題意知,函數(shù)f（x)的最小正周期T＝eq\f（2π，ω)＝π，解得ω＝2，所以f（x)＝3cos（2x＋φ)