備考2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 互斥對(duì)立條件概率與獨(dú)立事件

專題10.5互斥對(duì)立，條件概率與獨(dú)立事件

題型一互斥與對(duì)立

題型二頻率與概率

題型三古典概型

題型四獨(dú)立事件的概率

題型五條件概率

題型六全概率公式

題型七貝葉斯公式

集練

題型一互斥與對(duì)立

例1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子1次，事件A表示“擲出的點(diǎn)數(shù)大于2”，則與A互斥且不對(duì)立的事件是().

A.擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)B.擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)

C.擲出的點(diǎn)數(shù)小于2D.擲出的點(diǎn)數(shù)小于3

例2.一名射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)，7環(huán)以下的概率分別為0.24,0.28,0.19,0.16,

0.13.計(jì)算這名射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中：

⑴射中10環(huán)或9環(huán)的概率.

⑵至少射中7環(huán)的概率.

舉一反三

練習(xí)1.從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是()

A.“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”B.“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”

C.“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”D.“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”

練習(xí)2.已知隨機(jī)事件中，A與B互斥，B與C對(duì)立，且尸(A)=Q3,P(C)=0.6,則尸(AB)=()

A.0.3B.0.6C.0.7D.0.9

練習(xí)3.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若事件A與事件6是互斥事件，則尸（A）+P（3）=l

B.對(duì)于事件A和3,尸（AB）=P（A）+P（B）

C.一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，則事件“至少有一次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件

D.把紅、橙、黃、綠4張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，則事件“甲分得紅牌”與事件“乙

分得紅牌”是互斥事件

練習(xí)4.（多選）已知甲罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,乙罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1,2,3,

5,6,現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件A="抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5”，事件2="抽取的

兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于8”，則（）

A.事件A與事件8是互斥事件B.事件A與事件2是對(duì)立事件

11?

C.事件發(fā)生的概率為三D.事件發(fā)生的概率為二

練習(xí)5.某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中，射中10環(huán)的概率是射中9環(huán)的概率的2倍，運(yùn)動(dòng)員射中9環(huán)以下的概率為0.1,

求運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中，射中10環(huán)的概率.

題型二頻率與概率

例3.在拋擲硬幣試驗(yàn)中，記事件A為“正面朝上”，則下列說(shuō)法正確的（）

A.拋擲兩枚硬幣，事件“一枚正面，一枚反面”發(fā)生的概率為g

B.拋擲十枚硬幣，事件8為“拋擲十枚硬幣，正面都朝上”沒(méi)有發(fā)生，說(shuō)明P（B）=0

C.拋擲100次硬幣，事件A發(fā)生的頻率比拋擲50次硬幣發(fā)生的頻率更接近于0.5

D.當(dāng)拋擲次數(shù)足夠大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近于0.5

例4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米3285石，驗(yàn)得米內(nèi)有夾谷，抽

樣取米一把，數(shù)得261粒米內(nèi)有夾谷29粒，則這批米內(nèi)夾谷約為石.

圉二反三

練習(xí)6.在一個(gè)不透明的紙盒中裝有2個(gè)白球和若干個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同.每次從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球,

記下顏色后再放回袋中，通過(guò)多次重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，則袋子中紅球約有個(gè).

練習(xí)7.某制造商今年3月份生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)乒乓球的直徑（單位：mm）,

將數(shù)據(jù)分組如下:

分組頻數(shù)頻率

[39.95,39.97)100.10

[39.97,39.99)200.20

[39.99,40.01)500.50

[40.01,40.03]200.20

合計(jì)1001.00

若用上述頻率近似概率，已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為40.00mm,則這批乒乓球的直徑誤差不超過(guò)0.03mm的概率是

練習(xí)8.（多選）某校為了解學(xué)校餐廳中午的用餐情況，分別統(tǒng)計(jì)了食用大米套餐和面食的人次數(shù)，剩下的為食用米

線漢堡等其它食品（每人只選一種），結(jié)果如表所示：

總?cè)舜螖?shù)大米套餐人次數(shù)面食人次數(shù)

1000550260

假設(shè)隨機(jī)抽取一位同學(xué)，記中午吃大米套餐為事件吃面食為事件M吃米線漢堡等其他食品為事件H,若用頻

率估計(jì)事件發(fā)生的概率，則（）

A.P（M）=0.55B.P（N）=0.26

C.P（H）=0.19D.P（N-H）=0.65

練習(xí)9.甲、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個(gè)網(wǎng)站查看這家健身房的評(píng)價(jià).甲在網(wǎng)站A查到共有

840人參與評(píng)價(jià)，其中好評(píng)率為95%,乙在網(wǎng)站2查到共有1260人參與評(píng)價(jià)，其中好評(píng)率為85%.綜合考慮這兩

個(gè)網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評(píng)率為（）

A.88%B.89%C.91%D.92%

練習(xí)10.某車間從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000個(gè)零件進(jìn)行一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的檢測(cè)，整理檢測(cè)結(jié)果得此項(xiàng)質(zhì)量

指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.。=0.005

B.估計(jì)這批產(chǎn)品該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的眾數(shù)為45

C.估計(jì)這批產(chǎn)品該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的中位數(shù)為60

D.從這批產(chǎn)品中隨機(jī)選取1個(gè)零件，其質(zhì)量指標(biāo)在［50,70）的概率約為0.5

題型三古典概型

例5.用0,1,2三個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，其中三位數(shù)為偶數(shù)的概率是（）

23

A.B.C.D.

3324

例6.若從集合｛1,2,3,4,5｝中任取3個(gè)元素組成該集合的一個(gè)子集，那么取得的子集中，滿足3個(gè)元素中恰好含有2

個(gè)連續(xù)整數(shù)的概率等于；

舉一

練習(xí)H.江南的周莊、同里、用直、西塘、烏鎮(zhèn)、南涔古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國(guó)江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代

表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊(yùn)、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的吳儂軟語(yǔ)民俗風(fēng)情，在世界上獨(dú)樹(shù)一

幟，馳名中外，這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的有3處.某家庭計(jì)劃今年暑假?gòu)倪@6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游，

則至少選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為（）

練習(xí)12.一個(gè)不透明的袋中裝有2個(gè)紅球，2個(gè)黑球，1個(gè)白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現(xiàn)從袋中一次

性隨機(jī)抽取3個(gè)球，貝『‘這3個(gè)球的顏色各不相同”的概率為（）

練習(xí)13.2022年11月8日，江西省第十六屆運(yùn)動(dòng)會(huì)在九江市體育中心公園主體育場(chǎng)開(kāi)幕，這是九江市舉辦的規(guī)模

最大、規(guī)格最高的綜合性體育賽事.賽事期間，有3000多名志愿者參加了活動(dòng).現(xiàn)將4名志愿者分配到跳高、跳

遠(yuǎn)2個(gè)項(xiàng)目參加志愿服務(wù)活動(dòng)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，貝『‘恰好有一個(gè)項(xiàng)

目分配了3名志愿者”的概率為.

練習(xí)14.齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，

劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)雙方各出上、中、下等馬各一匹分組分別進(jìn)行一場(chǎng)比賽,

勝兩場(chǎng)及以上者獲勝，若雙方均不知道對(duì)方馬的出場(chǎng)順序，則田忌獲勝的概率為.

練習(xí)15.某校組織了600名高中學(xué)生參加中國(guó)共青團(tuán)相關(guān)的知識(shí)競(jìng)賽，將競(jìng)賽成績(jī)分成[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100]五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)“，b,。成等差數(shù)列，成績(jī)落在區(qū)間

[60,70)內(nèi)的人數(shù)為300.

頻率/組距

0.005

O5060708090100成績(jī)

(1)求出頻率分布直方圖中。，b,c的值；

(2)估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)；

⑶現(xiàn)采用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)落在[80,90),[90,100]內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行

現(xiàn)場(chǎng)知識(shí)答辯，求抽取的這2人中恰有1人的得分在區(qū)間[90,100]內(nèi)的概率.

題型四獨(dú)立事件的概率

例7.甲，乙，丙三人打靶，他們的命中率分別Pi，P2，；，若三人同時(shí)射擊一個(gè)目標(biāo)，甲、丙擊中目標(biāo)而乙沒(méi)有擊

14

中目標(biāo)的概率為六，乙擊中目標(biāo)而丙沒(méi)有擊中目標(biāo)的概率為x，己知“甲擊中目標(biāo)”，“乙擊中目標(biāo)”，“丙擊中目標(biāo)”

1o9

是相互獨(dú)立事件，則R，小的值分別為()

]_2

3'23'3

J.121

2,33；2

例8.如圖，已知電路中有4個(gè)開(kāi)關(guān)，每個(gè)開(kāi)關(guān)獨(dú)立工作，且閉合的概率為則燈亮的概率為

舉一反三

練習(xí)16.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件"第一枚骰子奇數(shù)面朝上"，事件3="第二枚骰子偶數(shù)面朝上”，

事件C="兩枚骰子向上點(diǎn)數(shù)之和為7”.則下列結(jié)論正確的是（）

A.A與8對(duì)立B.A與C互斥

C.P（C）=|D.B與C獨(dú)立

練習(xí)17.某知識(shí)問(wèn)答競(jìng)賽需要三人組隊(duì)參加，比賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段，每個(gè)階段比賽中，如果一支隊(duì)

伍中至少有一人通過(guò)，則這支隊(duì)伍通過(guò)此階段.已知甲、乙、丙三人組隊(duì)參加，若甲通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率均為：，

乙通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率均為丙通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率均為且三人每次通過(guò)與否互不影響，則這支隊(duì)

伍進(jìn)入決賽的概率為（）

*224-196「14

A.B.C.—D.—

2252251525

練習(xí)18.在東京奧運(yùn)會(huì)乒乓球男子單打決賽中，中國(guó)選手馬龍戰(zhàn)勝隊(duì)友樊振東，奪得冠軍。乒乓球決賽采用7局4

勝制.在決勝局的比賽中，先得11分的運(yùn)動(dòng)員為勝方，但打到10平以后，先多得2分者為勝方.在10:10平后，雙方

實(shí)行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)1個(gè)球.若在決勝局比賽中，馬龍發(fā)球時(shí)馬龍得分的概率為:，樊振東發(fā)球時(shí)馬龍得

分的概率為g,各球的結(jié)果相互獨(dú)立，在雙方10:10平后，馬龍先發(fā)球，則雙方戰(zhàn)至13:11的概率為（）

A.-B.-C.—D.-

46124

練習(xí)19.（多選）連續(xù)拋擲兩次骰子，“第一次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)小于3”記為A事件，“第二次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)

數(shù)是3的倍數(shù)”記為8事件，“兩次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”記為C事件，“兩次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)之和為

奇數(shù)”記為O事件，則下列敘述中不正確的是（）

A.C與?；コ釨.「（斗）=：

C.A與C相互獨(dú)立D.B與。不相互獨(dú)立

41

練習(xí)20.甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行籃球投籃練習(xí)，甲同學(xué)一次投籃命中的概率為二，乙同學(xué)一次投籃命中的概率為

假設(shè)兩人投籃命中與否互不影響，則甲、乙兩人各投籃一次，恰有一人命中的概率是

題型五條件概率

例9.從1、2、3、4、5、6、7這7個(gè)數(shù)中任取5個(gè)不同的數(shù)，事件A：“取出的5個(gè)不同的數(shù)的中位數(shù)是4”，事

件B：“取出的5個(gè)不同的數(shù)的平均數(shù)是4"，則尸（引力=（）

A.iB.2C.1D.3

73537

例10.（多選）已知AB,C為隨機(jī)事件，則下列表述中不正確的是（）

A.P（AS）=P（A）P（B）B.C|A）=P（B|A）+P（C|A）

C.P（A|A）=1D.P（A|B）＜P（AB）

舉一

練習(xí)21.2023年3月13日第十四屆全國(guó)人民代表大會(huì)第一次會(huì)議在北京勝利閉幕，某中學(xué)為了貫徹學(xué)習(xí)“兩會(huì)”精

神，舉辦“學(xué)兩會(huì)，知國(guó)事”知識(shí)競(jìng)賽.高二學(xué)生代表隊(duì)由A,B,C,D,E共5名成員組成，現(xiàn)從這5名成員中隨

機(jī)抽選3名參加學(xué)校決賽，則在學(xué)生A被抽到的條件下，學(xué)生3也被抽到的概率為（）.

練習(xí)22.若B,C是互斥事件且P（8|A）=g,P（C|A）=：,則尸（（3uC）|A）=（）

練習(xí)23.甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球冼從甲罐中隨機(jī)取出

一球放入乙罐，分別以4、4和4表示從甲罐中取出紅球、白球和黑球，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以8表示從乙

罐中取出的球是紅球，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.（B.網(wǎng)8⑷C.網(wǎng)冏4）=（D.網(wǎng)冏4）=（

練習(xí)24.已知尸（可=:,尸（叫A）=|,尸他同=1,則尸（3）=

練習(xí)25.甲、乙兩個(gè)袋子中，各放有大小、形狀和個(gè)數(shù)相同的小球若干.每個(gè)袋子中標(biāo)號(hào)為。的小球?yàn)?個(gè)，標(biāo)號(hào)

為1的2個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的w個(gè).從一個(gè)袋子中任取兩個(gè)球，取到的標(biāo)號(hào)都是2的概率是

⑴求n的值；

（2）從甲袋中任取兩個(gè)球，已知其中一個(gè)的標(biāo)號(hào)是1的條件下，求另一個(gè)標(biāo)號(hào)也是1的概率.

題型六全概率公式

例11.甲單位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙單位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，從兩個(gè)單位任抽

一個(gè)單位，然后從所抽到的單位中任取2名志愿者，則取到兩名男性志愿者的概率為（）

1939

A.-B.—C.-D.—

510520

例12.已知尸（A）=0.4，尸國(guó)A）=0.2，尸（用,）=0.3,則尸（可=.

第二反三

練習(xí)26.甲口袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，乙口袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球，先從甲口袋中隨機(jī)取出1球放入乙口

袋，分別以A，4表示從甲口袋取出的球是紅球、白球的事件；再?gòu)囊铱诖须S機(jī)取出1球，以8表示從乙口袋取

出的球是紅球的事件，則P（&|3）=（）

8「6-17「5

AA.—B.—C.—D.一

2323408

練習(xí)27.某人外出出差，委托鄰居給家里盆栽澆一次水，若不澆水，盆栽枯萎的概率為0.8；若澆水，盆栽枯萎的

概率為0.15.鄰居澆水的概率為0.8.則該人回來(lái)盆栽沒(méi)有枯萎的概率為（）

A.0.785B.0.72C.0.765D.0.67

練習(xí)28.有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，其中甲工廠生產(chǎn)的占40%,乙工廠生產(chǎn)的占60%.已知甲、乙兩工廠生產(chǎn)的該型

號(hào)產(chǎn)品的次品率分別為3%,2%,則從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是.

練習(xí)29.有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為5%,第2,3臺(tái)加工的次品率均為3%,加工出

來(lái)的零件混放在一起，第1,2,3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的15%,25%,60%.隨機(jī)取一個(gè)零件，記4="零

件為次品"，用="零件為第1臺(tái)車床加工"?=1，2,3),則下列結(jié)論：

①P(A)=0.033

3

②》尸(瓦)=1

i=l

③P(4|A)=P(&A)

@P(B1\A)+P(B2\A)=P(B3\A).

其中正確的序號(hào)為.

練習(xí)30.“青團(tuán)”是江南人家在清明節(jié)吃的一道傳統(tǒng)點(diǎn)心，據(jù)考證“青團(tuán)”之稱大約始于唐代，已有1000多年的歷史.現(xiàn)

有甲、乙兩個(gè)箱子裝有大小、外觀均相同的“青團(tuán)”，已知甲箱中有3個(gè)蛋黃餡的“青團(tuán)”，2個(gè)肉餡的“青團(tuán)”和5個(gè)

青菜餡的“青團(tuán)”.乙箱中有3個(gè)蛋黃餡的“青團(tuán)”，3個(gè)肉餡的“青團(tuán)”和4個(gè)青菜餡的“青團(tuán)”.問(wèn)：

⑴從甲箱中取出一個(gè)“青團(tuán)”是蛋黃餡的的概率是多少？

(2)若依次從甲箱中取出兩個(gè)“青團(tuán)”，求第一個(gè)是蛋黃餡的條件下，第二個(gè)是肉餡的概率；

(3)若先從甲箱中隨機(jī)取出一個(gè)“青團(tuán)”放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一個(gè)“青團(tuán)”，從乙箱取出的“青團(tuán)”是蛋黃餡的

概率.

題型七貝葉斯公式

(尸(4)尸(叫可)

例13.托馬斯?貝葉斯(ThomasBayes)在研究“逆向概率”的問(wèn)題中得到了一個(gè)公式：

尹⑷明可)

這個(gè)公式被稱為貝葉斯公式(貝葉斯定理)，其中夕尸(4)尸(用4)稱為8的全概率.假設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)

紅球，乙袋中有2個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球.已知從乙袋中取

出的是2個(gè)白球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)白球的概率為()

A3709仆18

A.D.—C.—D.-

15075372

例14.英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件A,8有如下關(guān)系：

尸但)=尸⑻(6尸(A町某地有48兩個(gè)游泳館，甲同學(xué)決定周末兩天都去游泳館游泳，周六選

擇48游泳館的概率均為05如果甲同學(xué)周六去A館，那么周日還去A館的概率為0.4；如果周六去B館，那么

周日去A館的概率為0.8.如果甲同學(xué)周日去A館游泳，則他周六去A館游泳的概率為.

舉一反三

練習(xí)31.設(shè)有5個(gè)袋子中放有白球，黑球，其中1號(hào)袋中白球占g,另外2,3,4,5號(hào)4個(gè)袋子中白球都占;，

今從中隨機(jī)取1個(gè)袋子，從所取的袋子中隨機(jī)取1個(gè)球，結(jié)果是白球，則這個(gè)球是來(lái)自1號(hào)袋子中的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

4323

練習(xí)32.設(shè)某公路上經(jīng)過(guò)的貨車與客車的數(shù)量之比為2:1,貨車中途停車修理的概率為0.02,客車為0.01,今有一

輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為（）

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.3

練習(xí)33.某貨車為某書(shū)店運(yùn)送書(shū)籍，共10箱，其中5箱語(yǔ)文書(shū)、3箱數(shù)學(xué)書(shū)、2箱英語(yǔ)書(shū).到達(dá)目的地時(shí)發(fā)現(xiàn)丟失

一箱，但不知丟失哪一箱.現(xiàn)從剩下的9箱書(shū)中隨機(jī)打開(kāi)2箱，結(jié)果是1箱語(yǔ)文書(shū)、1箱數(shù)學(xué)書(shū)，則丟失的一箱是英

語(yǔ)書(shū)的概率為（）

練習(xí)34.有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為8%,第2臺(tái)加工的次品率為3%,第3臺(tái)加工

的次品率為2%,加工出來(lái)的零件混放在一起.已知第1,2,3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%,40%,50%,

從混放的零件中任取一個(gè)零件，如果該零件是次品，那么它是第3臺(tái)車床加工出來(lái)的概率為.

練習(xí)35.某生產(chǎn)線的管理人員通過(guò)對(duì)以往數(shù)據(jù)的分析發(fā)現(xiàn)，每天生產(chǎn)線啟動(dòng)時(shí)，初始狀態(tài)良好的概率為80%,當(dāng)生

產(chǎn)線初始狀態(tài)良好時(shí)，第一件產(chǎn)品合格的概率為95%；否則，第一件產(chǎn)品合格的概率為60%,某天生產(chǎn)線啟動(dòng)時(shí),

生產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品是合格品，則當(dāng)天生產(chǎn)線初始狀態(tài)良好的概率為（精確到0.1%）.

專題10.5互斥對(duì)立，條件概率與獨(dú)立事件

題型一互斥與對(duì)立

題型二頻率與概率

題型三古典概型

題型四獨(dú)立事件的概率

題型五條件概率

題型六全概率公式

題型七貝葉斯公式

才

題型一互斥與對(duì)立

例1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子1次，事件A表示“擲出的點(diǎn)數(shù)大于2”，則與A互斥且不對(duì)立的事件是（）.

A.擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)B.擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)

C.擲出的點(diǎn)數(shù)小于2D.擲出的點(diǎn)數(shù)小于3

【答案】C

【分析】根據(jù)已知寫(xiě)出對(duì)應(yīng)事件的基本事件，根據(jù)互斥、對(duì)立概念判斷各項(xiàng)與事件A的關(guān)系.

【詳解】由題意，￡1={1,2,3,4,5,6},而事件A={3,4,5,6）,

“擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”對(duì)應(yīng)基本事件有{2,4,6},與A不互斥，

“擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”對(duì)應(yīng)基本事件有{1,3,5},與A不互斥，

“擲出的點(diǎn)數(shù)小于2”對(duì)應(yīng)基本事件有田，與A互斥且不對(duì)立，

“擲出的點(diǎn)數(shù)小于3”對(duì)應(yīng)基本事件有{1,2},與A對(duì)立.

故選：C

例2.一名射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)，7環(huán)以下的概率分別為0.24,0.28,0.19,0.16,

0.13.計(jì)算這名射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中：

⑴射中10環(huán)或9環(huán)的概率.

⑵至少射中7環(huán)的概率.

【答案】⑴0.52

（2）0.87

【分析】（1）利用互斥事件的概率求解;

（2）利用對(duì)立事件的概率求解.

【詳解】（1）設(shè)“射中10環(huán)”“射中9環(huán)”“射中8環(huán)璘射中7環(huán)”“射中7環(huán)以下”的事件分別為的B,C,D,E,

可知它們彼此之間互斥，且P（A）=0.24,P（B）=0.28,P（C）=0.19,P（D）=0.16,P（E）=0.13,

所以P（射捫?；?環(huán)）=P（A。3）=尸（A）+P（3）=0.24+0.28=0.52,

所以所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.

（2）事件“至少射中7環(huán)”與事件射中7環(huán)以下”是對(duì)立事件，

則P（至少射中7環(huán)）=1-P（E）=1-0.13=0.87,

所以至少射中7環(huán)的概率為0.87.

舉一反三

練習(xí)1.從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）

A.“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”B.“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”

C.“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”D.“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、對(duì)立事件的定義逐項(xiàng)分析判斷作答.

【詳解】對(duì)于A,恰好有一個(gè)黑球的事件與恰好有兩個(gè)黑球的事件不能同時(shí)發(fā)生，可以同時(shí)不發(fā)生，

因此“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件，A是；

對(duì)于B,至少有一個(gè)黑球的事件與都是紅球的事件是對(duì)立事件，B不是；

對(duì)于C,至少有一個(gè)黑球的事件與至少有一個(gè)紅球的事件可以同時(shí)發(fā)生，不互斥，C不是；

對(duì)于D,至少有一個(gè)黑球的事件與都是黑球的事件可以同時(shí)發(fā)生，不互斥，D不是.

故選：A

練習(xí)2.已知隨機(jī)事件A,B,C中，A與B互斥，5與C對(duì)立，＞P（A）=0.3,P（C）=0.6,則尸（）

A.0.3B.0.6C.0.7D.0.9

【答案】C

【分析】由對(duì)立事件概率關(guān)系得到B發(fā)生的概率，再由互斥事件的概率計(jì)算公式即可..

【詳解】因?yàn)槭–）=0.6,事件B與C對(duì)立，

所以尸（8）=04,

又尸⑷=0.3,A與B互斥,

所以P（AB）=P（A）+P（B）=0.3+0.4=0.7,

故選：C.

練習(xí)3.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若事件A與事件8是互斥事件，則尸（A）+P（3）=l

B.對(duì)于事件A和8,P（AB）=P（A）+P（B）

C.一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，則事件“至少有一次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件

D.把紅、橙、黃、綠4張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，則事件“甲分得紅牌”與事件“乙

分得紅牌”是互斥事件

【答案】D

【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件以及事件的關(guān)系與運(yùn)算逐一判斷即可.

【詳解】選項(xiàng)A,因?yàn)槭录嗀與事件5是互斥事件，但不一定對(duì)立，所以P（A）+P（3）=1不一定成立，故選項(xiàng)A錯(cuò)

誤；

選項(xiàng)B,因?yàn)槭录嗀和8不一定是互斥事件，所以沒(méi)有尸（AB）=P（A）+P（B）,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,因?yàn)槭录爸辽儆幸淮沃邪小迸c事件“至多有一次中靶”，可以同時(shí)發(fā)生，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,因?yàn)榧凹追值眉t牌”與事件“乙分得紅牌”不能同時(shí)發(fā)生，所以這兩事件是互斥事件，故選項(xiàng)D正確.

故選：D.

練習(xí)4.（多選）已知甲罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,乙罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1,2,3,

5,6,現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件A="抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5"，事件8="抽取的

兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于8”，則（）

A.事件A與事件8是互斥事件B.事件A與事件8是對(duì)立事件

11°

C.事件發(fā)生的概率為與D.事件發(fā)生的概率為不

【答案】CD

【分析】根據(jù)已知，利用列舉法列出基本事件，再利用交事件、并事件以及古典概型進(jìn)行求解.

【詳解】由題可知，事件A的所有基本事件為：甲1乙5,甲1乙6,甲2乙5,甲2乙6,甲3乙3,

甲3乙5,甲3乙6,甲4乙2,甲4乙3,甲4乙5,甲4乙6,共H個(gè)；

事件8的所有基本事件為：甲2乙5,甲2乙6,甲3乙3,甲3乙5,甲3乙6,甲4乙3,

甲4乙5,甲4乙6,共8個(gè)；所以事件A與事件B有“公共部分”，故A、B錯(cuò)誤；

所以事件AuB的所有基本事件為：甲1乙5,甲1乙6,甲2乙5,甲2乙6,

甲3乙3,甲3乙5,甲3乙6,甲4乙2,甲4乙3,甲4乙5,甲4乙6,共H個(gè)；

又從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共4x5=20個(gè)基本事件，

所以事件發(fā)生的概率為三，故C正確；

20

事件Ac3發(fā)生的概率為：甲2乙5,甲2乙6,甲3乙3,甲3乙5,甲3乙6,甲4乙3,甲4乙5,甲4乙6,

Q9

共8個(gè)，所以事件發(fā)生的概率為故D正確；

故選：CD.

練習(xí)5.某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中，射中10環(huán)的概率是射中9環(huán)的概率的2倍，運(yùn)動(dòng)員射中9環(huán)以下的概率為0.1,

求運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中，射中10環(huán)的概率.

【答案】0.6

【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】設(shè)事件A設(shè)C分別表示“射中10環(huán)”“射中9環(huán)”“射中9環(huán)以下”,則心=Au8，

因?yàn)镻（A）=2尸（B）,所以尸（0=P（Au8）=P（A）+P（B）=l-0.1=0.9,

得3P（3）=0.9,P（3）=0.3,P（A）=0.6.

即運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中，射中10環(huán)的概率為0.6.

題型二頻率與概率

例3.在拋擲硬幣試驗(yàn)中，記事件A為“正面朝上”，則下列說(shuō)法正確的（）

A.拋擲兩枚硬幣，事件“一枚正面，一枚反面”發(fā)生的概率為:

B.拋擲十枚硬幣，事件B為“拋擲十枚硬幣，正面都朝上”沒(méi)有發(fā)生，說(shuō)明尸（3）=0

C.拋擲100次硬幣，事件A發(fā)生的頻率比拋擲50次硬幣發(fā)生的頻率更接近于0.5

D.當(dāng)拋擲次數(shù)足夠大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近于0.5

【答案】D

【分析】根據(jù)古典概型判斷AB,利用概率與頻率的關(guān)系判斷CD.

【詳解】拋擲兩枚硬幣，出現(xiàn)的基本事件為（正，反），（正，正），（反，正），（反，反），所以事件“一枚正面，一

枚反面”發(fā)生的概率為尸=；,故A錯(cuò)誤；

“拋擲十枚硬幣，正面都朝上”沒(méi)有發(fā)生，不能說(shuō)明P（3）=0,應(yīng)有尸（3）=/，故B錯(cuò)誤；

拋擲100次硬幣，事件A發(fā)生的頻率與拋擲50次硬幣A發(fā)生的頻率不能判斷誰(shuí)更接近于0.5,故C錯(cuò)誤；

根據(jù)頻率與概率的關(guān)系知，當(dāng)拋擲次數(shù)足夠大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近于05故D正確.

故選：D

例4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米3285石，驗(yàn)得米內(nèi)有夾谷，抽

樣取米一把，數(shù)得261粒米內(nèi)有夾谷29粒，則這批米內(nèi)夾谷約為石.

【答案】365

【分析】用樣本頻率估計(jì)總體頻率，按比例計(jì)算.

r29

【詳解】設(shè)這批米內(nèi)夾谷約為x粒，則3=言，解得x=365,

3285261

則這批米內(nèi)夾谷約為365.

故答案為：365.

舉1-1反㈢

練習(xí)6.在一個(gè)不透明的紙盒中裝有2個(gè)白球和若干個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同.每次從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，

記下顏色后再放回袋中，通過(guò)多次重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，則袋子中紅球約有個(gè).

【答案】8

【分析】利用頻率結(jié)合古典概型的計(jì)算公式代入即可得出答案.

【詳解】因?yàn)槊郊t球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，

估計(jì)袋中紅球個(gè)數(shù)是X,0.8=—=,"=8.

x+2

故答案為：8.

練習(xí)7.某制造商今年3月份生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)乒乓球的直徑（單位：mm）,

將數(shù)據(jù)分組如下：

分組頻數(shù)頻率

[39.95,39.97)100.10

[39.97,39.99)200.20

[39.99,40.01)500.50

[40.01,40.03]200.20

合計(jì)1001.00

若用上述頻率近似概率，已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為40.00mm,則這批乒乓球的直徑誤差不超過(guò)0。3mm的概率

是.

【答案】0.90

【分析】根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)以及概率、頻率的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】標(biāo)準(zhǔn)尺寸是40.00mm,并且誤差不超過(guò)0.03mm,即直徑需落在［39.97,40.03］范圍內(nèi).

由頻率分布表知,頻率為0.20+0.50+0.20=0.90,

所以直徑誤差不超過(guò)Q03mm的概率約為0.90.

故答案為：0.90

練習(xí)8.（多選）某校為了解學(xué)校餐廳中午的用餐情況，分別統(tǒng)計(jì)了食用大米套餐和面食的人次數(shù)，剩下的為食用米

線漢堡等其它食品（每人只選一種），結(jié)果如表所示：

總?cè)舜螖?shù)大米套餐人次數(shù)面食人次數(shù)

1000550260

假設(shè)隨機(jī)抽取一位同學(xué)，記中午吃大米套餐為事件吃面食為事件M吃米線漢堡等其他食品為事件H,若用頻

率估計(jì)事件發(fā)生的概率，則（）

A.尸（M）=0.55B.尸（N）=0.26

C.P（H）=0.19D.P（N=0.65

【答案】ABC

【分析】利用頻率求各事件對(duì)應(yīng)的概率，應(yīng)用互斥事件加法求尸（NT/）,判斷各項(xiàng)正誤.

【詳解】用頻率估計(jì)概率得：尸（四）=蒜=0.55,P（N）=：^g=0.26,網(wǎng)切=敗彘32=0.19,故A,B,

C正確；

P（NH）表示事件N發(fā)生或事件”發(fā)生，且N與”互斥，

故P（NH）=P（A^）+P（H）=0.19+0.26=0.45,故D錯(cuò)誤，

故選：ABC.

練習(xí)9.甲、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個(gè)網(wǎng)站查看這家健身房的評(píng)價(jià).甲在網(wǎng)站A查到共有

840人參與評(píng)價(jià)，其中好評(píng)率為95%,乙在網(wǎng)站8查到共有1260人參與評(píng)價(jià)，其中好評(píng)率為85%.綜合考慮這兩

個(gè)網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評(píng)率為（）

A.88%B.89%C.91%D.92%

【答案】B

【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計(jì)算可得.

840x95%+1260x85%

【詳解】由已知可得這家健身房的息好評(píng)率為-----------------------=8o9ri%n/.

840+1260

故選：B.

練習(xí)10.某車間從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000個(gè)零件進(jìn)行一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的檢測(cè)，整理檢測(cè)結(jié)果得此項(xiàng)質(zhì)量

指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.a=0.005

B.估計(jì)這批產(chǎn)品該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的眾數(shù)為45

C.估計(jì)這批產(chǎn)品該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的中位數(shù)為60

D.從這批產(chǎn)品中隨機(jī)選取1個(gè)零件，其質(zhì)量指標(biāo)在［50,70)的概率約為0.5

【答案】C

【分析】利用各組的頻率之和為1,求得。的值，判定A；根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念判定BC；根據(jù)頻率估計(jì)概率值，

從而判定D.

【詳解】(4+0.035+0.030+0.020+0.010)x10=1,解得。=0.005,故A正確；

頻率最大的一組為第二組，中間值為"誓=45,所以眾數(shù)為45,故B正確；

質(zhì)量指標(biāo)大于等于60的有兩組，頻率之和為(0.020+0.010)xl0=0.3<0.5,所以60不是中位數(shù)，故C錯(cuò)誤；

由于質(zhì)量指標(biāo)在［50,70)之間的頻率之和為(0.03+0.02)x10=0.5,可以近似認(rèn)為從這批產(chǎn)品中隨機(jī)選取1個(gè)零件，其

質(zhì)量指標(biāo)在［50,70)的概率約為0.5,故D正確.

故選:C

題型三古典概型

例5.用0,1,2三個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，其中三位數(shù)為偶數(shù)的概率是()

A.-B.-C.1D.-

3324

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，用列舉法可寫(xiě)出所有基本事件，再利用古典概型可解.

【詳解】根據(jù)題意，用0,1,2三個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有：102,120,210,201共四種情況，

其中三位數(shù)是偶數(shù)有：102,210,120,共3種情況，

故用0,1,2三個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，其中三位數(shù)為偶數(shù)的概率是p

4

故選：D.

例6.若從集合｛1,2,3,4,5｝中任取3個(gè)元素組成該集合的一個(gè)子集，那么取得的子集中，滿足3個(gè)元素中恰好含有2

個(gè)連續(xù)整數(shù)的概率等于;

3

【答案】1./0.6

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.

【詳解】從｛1,2,3,4,5｝中任取3個(gè)元素形成的子集共有C；=10個(gè)，

當(dāng)連續(xù)整數(shù)為1,2時(shí)，此時(shí)符合條件的子集有2個(gè)；

當(dāng)連續(xù)整數(shù)為2,3時(shí)，此時(shí)符合條件的子集有1個(gè)；

當(dāng)連續(xù)整數(shù)為3,4時(shí)，此時(shí)符合條件的子集有1個(gè)，

當(dāng)連續(xù)整數(shù)為4,5時(shí)，此時(shí)符合條件的子集有2個(gè)，

故有6個(gè)子集中恰好含有兩個(gè)連續(xù)整數(shù).

故所求概率為4=|，

3

故答案為：—

舉一反三

練習(xí)11.江南的周莊、同里、用直、西塘、烏鎮(zhèn)、南涪古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國(guó)江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代

表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊(yùn)、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的吳儂軟語(yǔ)民俗風(fēng)情，在世界上獨(dú)樹(shù)一

幟，馳名中外，這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的有3處.某家庭計(jì)劃今年暑假?gòu)倪@6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游,

則至少選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為（）

A.-B.1C.-D.-

5255

【答案】C

【分析】應(yīng)用組合數(shù)求出所有可能情況數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法、對(duì)立事件概率求法求概率即可.

【詳解】從這6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游的可能情況有點(diǎn)=15種情況，

至少選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為尸=1一G=±.

155

故選：C

練習(xí)12.一個(gè)不透明的袋中裝有2個(gè)紅球，2個(gè)黑球，1個(gè)白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現(xiàn)從袋中一次

性隨機(jī)抽取3個(gè)球，則“這3個(gè)球的顏色各不相同”的概率為（）

A.|B.—C.-D.-

21055

【答案】D

【分析】列舉出所有可能的結(jié)果，并找出其中符合題意的情況即可得解.

【詳解】由題意設(shè)2個(gè)紅球分別用｛44｝表示，2個(gè)黑球分別用｛4,表示，1個(gè)白球用｛CJ表示，

則取出的三個(gè)球的組合有以下10種情形:

（A,4,用）、（4,4,，2）、（A,4,G）、（A,4,，2）、（A,4,G）、（'%。1）、

（4,4也）、（4,耳C）、（4也C）、（為%G）,

其中符號(hào)條件的有以下四種情形：

（A，4，G）、（A&G）、（4,4，G）、（4，%G）.

49

因此從袋中一次性隨機(jī)抽取3個(gè)球，貝IJ“這3個(gè)球的顏色各不相同”的概率為尸=5=亍

故選：D.

練習(xí)13.2022年H月8日，江西省第十六屆