2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題(四)(含解析)

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.若向量岸(1,1,0),^=(-1,0,2),則忖()

A..715B.4C.5D.V17

【正確答案】D

【分析】由空間向量坐標(biāo)的加減運算，和模長公式計算即可.

【詳解】解析：由題意，得31■二(2,3,2),

722+32+22=717.

故選：D.

2.在等比數(shù)列｛叫中，。2+%=1，%+%=2,則4+%=()

A.4B.8C.16D.32

【正確答案】A

【分析】根據(jù)。3+4=式。2+%)求出4，再根據(jù)4+%=式%+4)可得答案.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為4,

由能+。4=次4+。3)，可得4=2,所以4+牝=以%+6)=4.

故選：A.

v-22

3.雙曲線土-v2=1的漸近線方程是（）

49

249

A.y=±—xB.y=±-xC.y=±-xD.y=±gx

394

【正確答案】D

【分析】依據(jù)雙曲線性質(zhì)，即可求出.

【詳解】由雙曲線蘭-或=1得，/=412=9,即。=2,6=3,

49

22IQ

所以雙曲線=1的漸近線方程是y=±/x=±；x,

故選：D.

22

本題主要考查如何由雙曲線方程求其漸近線方程，一般地雙曲線5-4=1的漸近線方程是

ab.

i22

y=±-x；雙曲線5-0=1的漸近線方程是y=±:x.

aa-h2b

4.圓C:/+y2+6x-8y+24=0關(guān)于直線V=x對稱的圓的方程為()

A.(X-4)2+(J^+3)2=1B.(x-4)2+(v-3)2=49

C.(x+4/+(y-3)2=1D.(x+4)2+(^+3)2=49

【正確答案】A

【分析】求出所求圓的圓心坐標(biāo)與半徑，即可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3y+(y-4『=l,該圓圓心為(-3,4),半徑為1,

故所求圓的圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為1,

因此，所求圓的方程為(x-4y+(y+3『=l.

故選：A.

5.在數(shù)列｛〃"｝中,《=2,4“+］?！?。"一1,“2022=()

A.2B.1C.yD.-1

【正確答案】D

【分析】結(jié)合遞推公式可求得數(shù)列｛4｝是周期為3的周期數(shù)列，然后利用遞推數(shù)列求出第3

項即可求解.

【詳解】由題意，??=1--,

+1%

故數(shù)列｛見｝是周期為3的周期數(shù)列，

從而。2022=673x3+3=。3>

,I1,1,

由q=2知，a2=1-----=-,%=1------=-1)

q2a2

故與022=。3=-L

故選：D.

6.如圖，在平行六面體Z8C￡)-W8'C'￡)’中，4C與80的交點為。，點"在8C'上，且

8例=2MU,則下列向量中與加相等的向量是()

1F72，??▼▼共?,

A.——AB+—AD+—B.-AB+-AD+-

263263

151.，112，

C.——AB+-AD+-D.—AB+—AD+—AA'

263263

【正確答案】D

【分析】根據(jù)平行六面體的幾何特點，結(jié)合空間向量的線性運算，即可求得結(jié)果.

【詳解】因為平行六面體48CZ)—H8'C7)'中，點〃在上，且8M=2MC

故可得加=OB+BM=-DB+-BC'=-(AB-AD]+-AD'

I,1^S2"八"、1i2一

-(AB-AD)+-{AD+AA)=-AB+-AD+jAA'

故選：D.

7.直線/：V=-x+附與曲線》=產(chǎn)了有兩個公共點，則實數(shù)機的取值范圍是().

A.[―2,2^^)B.2,\/2,—2^

C.(-272,2]D.[2,2^2)

【正確答案】D

【分析】把已知曲線方程變形，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案.

【詳解】由x=j4-/，得/+/=4(;<0),

如圖,

當(dāng)直線/：J=-x+m與/+/=4（*0）相切時，用=2&.

當(dāng)直線/：y=-x+/M過點（0,2）時，有兩個交點

若直線/：y=r+m與曲線x="Z7有兩個公共點,

則實數(shù)加的取值范圍是［2,2拒）.

故選：D.

x2y2.(

8.已知橢圓6>0）經(jīng)過點（3,1）,當(dāng)該橢圓的四個頂點構(gòu)成的四邊形的周長最

小時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

B.

1515

D.

【正確答案】A

【分析】把點（3,1）代入橢圓方程得/+5=1,寫出橢圓頂點坐標(biāo)，計算四邊形周長討論它

取最小值時的條件即得解.

【詳解】依題意得斗Q+21=1,橢圓的四個頂點為（±。,0）,（0±?,順次連接這四個點所得四

ab

邊形為菱形，其周長為

4〃2+從=4。2+從）（,+,=4Jo+胃+自24jo+2^^-6，當(dāng)且僅當(dāng)

當(dāng)與，即43〃時取“=”，

由7+后=1得/=12,b2=4,所求標(biāo)準(zhǔn)方程為《+片=1.

"3/124

故選：A

給定兩個正數(shù)和（兩個正數(shù)倒數(shù)和）為定值，求這兩個正數(shù)倒數(shù)和（兩個正數(shù)和）的最值問題,

可借助基本不等式中“1”的妙用解答.

二、多選題

9.已知血〃是互不重合的直線，a,"是互不重合的平面，下列四個命題中正確的是（）

A.若m//〃,“ua,則zn//a

B.若加〃。,加//氏ac/?=〃，則小〃”

C.若加_La,加_L”,a//。，則，?〃￡

D.若加_La,〃_!_?,"?-L",則a_L￡

【正確答案】BD

根據(jù)空間中直線、平面的位置關(guān)系逐項進行分析判斷，由此確定出正確的選項.

【詳解】A.若mi/n,〃ua,此時凡a可能平行或異面，故A錯誤：

B.根據(jù)“若一條直線和兩個相交平面都平行，則該直線平行于相交平面的交線”，可知B正

確：

C.若加,此時“u/或〃//力，故C錯誤；

D.選取加，〃上的方向向量小,貝IJ/為a,4的一個法向量，又;所以可知D

正確，

故選：BD.

方法點睛：判斷符號語言描述的空間中位置關(guān)系的命題的真假：

（1）利用定理、定義、公理等直接判斷；

（2）作出簡單圖示，利用圖示進行說明：

（3）將規(guī)則幾何體作為模型，取其中的部分位置關(guān)系進行分析.

10.下列關(guān)于拋物線爐=lOx的說法正確的是（）

A.焦點在x軸上

B.焦點到準(zhǔn)線的距離等于10

c.拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于7:

D.由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)可能為（2,1）

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)拋物線的定義和性質(zhì)逐項進項檢驗即可.

【詳解】拋物線/=10工的焦點在x軸上，P=5,A正確，B錯誤；

設(shè)〃（1,為）是/=10天上的一點，則目=l+5=l+g=g,所以C正確；

由于拋物線V=10x的焦點為（|,0）,過該焦點的直線方程為夕=上口-￡|,若由原點向該

直線作垂線，垂足為（2,1）時，則力=-2,此時存在符合題意的垂線，所以D正確.

故選.ACD

11.圓—+/-2*=0和圓。2：x2+）?+2x-8y=0的交點為Z,B,則有（）

A.公共弦Z8所在直線方程為x+2y=0

B.線段ZB中垂線方程為2x+y-2=0

C.公共弦的長為半

D.尸為圓Q上一動點，則尸到直線距離的最大值為且+1

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，兩圓的方程作出得出公共弦所在直線方程，判斷選項A；

利用公共弦的中垂線過圓心即可求出線段的中垂線方程，判斷選項B；利用垂徑定理和

點到直線的距離公式可判斷選項C；利用點到直線的距離即可判斷選項D.

【詳解】對于A,由圓。-x2+y2-2x=0與圓2：f+_/+2x-8y=0的交點為Z,B,

兩式作差可得4x-8y=0,即公共弦N8所在直線方程為x-2y=0,故A錯誤；

對于B,圓。|：/+爐-2x=0的圓心為（1,0）,

則線段ZB中垂線斜率為-2,

即線段Z8中垂線方程為：y-0=-2x（x-l）,整理可得2x+y-2=o,故B正確;

上。1-亞

對于C,圓Q：x2+y2—2x=0,圓心。［1,0）到x-2y=0的距離為d

#+(-2)25

2

半徑，?=1,所以==胃，故C不正確；

對于D,尸為圓Q上一動點，圓心。(1,0)到x-2y=0的距離為“=乎，半徑”1,即尸

到直線距離的最大值為1+1,故D正確.

5

故選：BD.

12.對于數(shù)列｛6｝,定義〃。=%+2%++2-%,為｛叫的“優(yōu)值,,現(xiàn)已知數(shù)列的.｝的“優(yōu)

n

值”兒=2向，記數(shù)列｛《「20｝的前〃項和為5.，則下列說法正確的是()

2

A.an=2n+2B.S?=n-\9nC.D.S”的最小值為一62

【正確答案】AC

【分析】由題可得q+2/+…+2"-%"=”-2""，進而可得。“判斷A,再由等差數(shù)列求和公式

求出，判斷B,由樂-2040分析數(shù)歹1」｛/-20｝的項的符號變化情況判斷C,求出品判斷

D.

【詳解】由題意知，4J+24+…+2"%=2"',則％+2%+…+2"%,,=〃-2向①，

n

當(dāng)力=］時，a,—2I+Ix1=4,

當(dāng)〃22日寸，4+2a2+…+27aI=(〃-l)?2"②，

①一②得，21%=".2向_(〃_1>2",

解得a“=2("+l),當(dāng)〃=1時也成立，

/.an=2n+2,A正確；

Sn=41-20+g-20+…-20=〃1+〃2+…+〃〃-20/7

=2xl+2+2x2+2+…+2x〃+2—20〃=2(1+2+…+〃)+2〃—20〃

=w(/7+l)-18n=n2-17/z,B錯誤；

Va?-20=2n-18,當(dāng)勺一20?0時,即〃69,且%-20=0,

故當(dāng)"=8或9時，｛為-20｝的前”項和S,取最小值,

9x(-16+0)

最小值為S.=豆==-72,C正確，D錯誤.

2

故選：AC.

三、填空題

Z\*、r

13.已知a=(l,x,3),b=[-2,4,y),若ab,則x+N=

【正確答案】-8

［分析］根據(jù)空間共線向量的坐標(biāo)表示計算即可得出結(jié)果.

2=—22=—2

【詳解】因為7b,所以門心.所以，■

〃=4,解得,x=-2f所以x+y=_8.

34=yy=-6

故-8

14.已知直線，:ax+2y-3=0與，2：3》+(1-。方+4=0,若川,則實數(shù)。的值為

【正確答案】-2

【分析】由/J/?可得3“+2(1-幻=0,從而可求出實數(shù)。的值

[詳解】因為直線八ax+2y_3=0與，2：3x+(l-“)y+4=0,且(！/?,

所以3a+2(l-a)=0,解得.=一2,

故-2

15.若S,,是等差數(shù)列｛&“｝的前〃項和，且則.=

3%

【正確答案】2

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項和公式，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式進行求解即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛a“｝的公差為d，由九=#1，得3(10卬10x9“=11(5%+等4

一丁

,、一~a,a,+9Jd+9d一

化簡得q=d,所以3n='-=7R=2.

asat+4da+4d

故2

V-2V2

16.片(-4,0),6(4,0)是雙曲線C：二-匕=1(加＞0)的兩個焦點，點〃是雙曲線C上一點,

m4

且NF"%=60。則△耳〃鳥的面積為.

【正確答案】4小

【分析】根據(jù)雙曲線方程及焦點直接求出山，設(shè)|人/卜叫，|町|=〃，根據(jù)雙曲線定義和

余弦定理解焦點三角形△耳加瑪，列出兩個方程，解得町，7,利用面積公式可求得答案。

【詳解】4(-4,0),6(4,0)是雙曲線。：￥_-仁=1("?>0)的兩個焦點，

m4

?..加+4=16,C.m=12,

\MF2\=n,

點M是雙曲線C上一點，且NF也尸2=60。

Im,-n\-45/3

1'/，解得叫〃=16

+n~-2m{ncos60=64

:.△F、MF,的面積S=—w.nsin60'=4-6

2

故答案為.4行

四、解答題

17.已知I直線4：2x-y+6=0和右:x-y+l=0的交點為P.

⑴若直線/經(jīng)過點P且與直線％：4x-3y-5=0平行，求直線/的方程；

(2)若直線m經(jīng)過點P且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5,求直線m的方程.

【正確答案】⑴4x-3y+8=0

(2)21-5尸10=0或8%-5八20=0

【分析】(1)由已知可得交點坐標(biāo)，再根據(jù)直線間的位置關(guān)系可得直線方程；

(2)設(shè)直線方程，根據(jù)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，列出方程組，解方程.

f2x-y+6=0fx=-5

【詳解】(1)解：聯(lián)立的方程\八，解得/即尸(-5,-4)

[x-y+\=0[y=-4

設(shè)直線/的方程為：4x-3y+c=0,將尸(-5,T)帶入可得c=8

所以/的方程為：4x-3y+8=0；

(2)解：法①：易知直線機在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為0,設(shè)直線方程為：-+^=1,

ab

-5-4?

-----1-----=1

則直線與兩坐標(biāo)軸交點為“（a,0）,8（0,6）,由題意得:b,

軻=5

[a=5a=——

解得：人.或2

\b=-2,.

i[6=4

xy__

所以直線〃?的方程為：2+4=1或萬+1=1

2

即：2x-5y-10=0或8x-5y+20=0.

法②：設(shè)直線加的斜率為2（"工0）,則機的方程為），+4=%（工+5）,

當(dāng)x=0時，y=5k-4

4

當(dāng)y=0時，x=--5

k

142R

所以第5左一4|工一5=5,解得：k或&=2

2R

所以加的方程為y+4=g（x+5）或y+4=]（x+5）

即：2x-5y-10=0或8x-5y+20=0.

18.已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛4｝中，4+勺+4=15,且《+2,々+5,生+匕構(gòu)成

等比數(shù)列｛々｝的前三項.

（1）求數(shù)列｛&｝,｛￡｝的通項公式;

⑵求數(shù)列應(yīng)+4｝的前?項和T?.

【正確答案】⑴a,=2〃+l；b?=5-2'-'

(2)(n+l)2+5x2,,-6

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為“，利用基本量代換列方程組求出｛?！埃耐椆?，進而

求出低｝的首項和公比，即可求出也｝的通項公式；

（2）利用分組求和法直接求和.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

則由已知得：＜71+%+=3cz2=15,即。2=5,

又(5—d+2)(5+d+13)=100,

解得d=2或d=-13(舍去)，所以6=。2-1=3.

，-l)xd=為+1,

又4=q+2=5,%=4+5=10,

：.q=2,：.b〃=5,2"~l；

(2)7；=(3+5xl)+(7+5x2)+-F[(2n+l)+5x2-1],

=[3+5++(2〃+I)]+(5+5x2++5x2"-')

=(”+1)2-l+(5xZ-5)=(〃+l)2+5x7-6.

19.問題：平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為3的圓C過點”(1,-1),且.(在以下兩個

條件中任選一個，補充在橫線上.)

①圓心C在直線y=2x上且圓心在第一象限；②圓C過點8(1,5).

(1)求圓C的方程；

(2)過點尸(4,3)作圓C的切線，求切線的方程.

[正確答案]⑴(1)2+(k2)2=9

(2)x-4=0或4x+3y-25=0

【分析】(1)選①條件，通過圓心在直線上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心到圓上一點的距離等

于半徑解求解；若選②條件，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點的坐標(biāo)代入即可求解；

(2)先判斷出點在圓外，再通過切線斜率存在與不存在兩種情況借助圓心到切線的距離等于

半徑求出切線方程.

【詳解】(1)選①條件

設(shè)圓心為C(a,2a)(a>0),則廠=+(2。+=^5a2+2a+2=3,

解得。=1,則圓C的方程為(x-l)2+(y-2)2=9.

所以所求圓的方程是(X-1)2+3-2)2=9.

選②條件

設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=9,由題意得:

(l-a)2+(-l-/>)2=9

I解得a=\,b=2,

(l-a)2+(5-/?)2=9

所以所求圓的方程是(x-1)2+3-2)2=9.

(2)因為點尸(4,3)在圓外，

①切線斜率不存在時，切線方程為x=4,圓心到直線的距離為d=4-l=3=r,滿足條件.

②切線斜率存在時，設(shè)切線/：y-3=k(x-4),即米-y-4%+3=0,

[A--2-4^+3|4

則圓心C到切線的距離”==3,解得…不

J-，+1

則切線的方程為.4X+3J，-25=0

所以過點P(4,3)的圓C的切線方程為：x-4=0或4x+3y—25=0.

20.如圖，在四棱雉S-48C。中，底面438滿足ZB_L4。，AB1BC,”1■底面/BCD,

RSA=AB=BC=2,AD=1.

(1)求證：平面”81平面SBC；

(2)求平面SCD與平面SAB的夾角余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵當(dāng)

【分析】(1)由線面垂直得即可進一步證8cl平面S/8,最后證平面”8,平

面S8C：

(2)由線面垂直證SZ,SA1AD,即可以4),AB,/S所在直線為x軸、y軸、z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求平面SCD與平面SAB的夾角余弦值.

【詳解】(1)弘_L底面/3cO,8Cu平面/3CZ),

AB1BC,SAnAB^A,SA、/8u平面”8,BCinSAB,

8Cu平面S8C,，平面平面SBC；

(2)5/，底面/8。。，NB、/Du平面力8C。，SA1.AB,SAVAD,

又48L/。，.?.以點力為原點，分別以Z。，AB,NS所在直線為x軸、y軸、z軸，建立

則4(0,0,0),5(0,2,0),C(2,2,0),￡>(1,0,0),5(0,0,2),SC=(2,2-2),SO=(1,0,-2),

X

7X-2x+2y-2z=0

設(shè)平面SCD的法向量是〃=(xj,z),則<即令z=1,則x=2,

zx—2z=0

?=-1,于是〃=(2,-1,1),

由(1)知8C1平面故可取平面以3的法向量為掰=。,0,0),

設(shè)平面SCO與平面SAB的夾角為銳角a,

xx|2xl-lx0+lx0|2V6

cosagcos(zm,n)\=/-X—X=J——,=—j==——

、/何1X./22+(-1)24-12V63.

，平面SCD與平面S/8的夾角的余弦值為逅.

3

21.設(shè)數(shù)列｛““｝的前〃項和為S“，Sn=2an-\

(1)求｛〃“｝的通項公式；

(2)若數(shù)列2=史皆S求也｝的前〃項和小

【正確答案】(1)%=2"」

⑵Z，=2一駕1

【分析】（1）當(dāng)"=1時，可求得4=1；當(dāng)"22,由a“=S“-S,z可證得數(shù)列｛《,｝為等比數(shù)

列，利用等比數(shù)列通項公式可求得結(jié)果；

（2）由（1）可得"，利用錯位相減法可求得結(jié)果.

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時，％=g=2q-l,解得：?,=1；

當(dāng)〃22時，an=S“_S“_|=2??-1-2a,一+1=2an-2的,即a?=2%,

數(shù)列｛凡｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，\a"=2"T.

,7—1

⑵由⑴得：bn二*工，

7012/7-2n-l1,r012n-2n-1

-T-=2O+2'+22+'"+2"-212"」’2,1H了+爹+…FF，

產(chǎn)）?-1,12n-2,2n-l

.1,1111n-l2

???—1.一

22'22232，T2"2a*2"-1-2〃一1

1-2

,c2〃一1

T=2-----丁.

n〃2”一2

3

22.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，動點P與定點F（2,0）的距離和它到定直線/：x=］的