函數(shù)模型與應(yīng)用

關(guān)于函數(shù)模型與應(yīng)用基礎(chǔ)梳理常用的幾種函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=________________二次函數(shù)模型f(x)=________________指數(shù)函數(shù)模型f(x)=________________對數(shù)函數(shù)模型f(x)=________________冪函數(shù)模型f(x)=xn(n為常數(shù))blogax+c(a>0且a≠

1)ax+b，(a≠0)

ax2+bx+c(a≠

0)bax+c(a>0且a≠1)第2頁,共29頁，2024年2月25日，星期天基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.在函數(shù)①y=ex；②y=100lnx；③y=x100；④y=100×2x中，隨x增大而增長速度最快的是________．

2.據(jù)調(diào)查，某自行車寄存處在某星期天的存車量為4000輛次，其中變速車存車費(fèi)是每輛一次0.3元，普通車存車費(fèi)是每輛一次0.2元，若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_________________________________．①解析:y=0.2x+0.3(4000-x)=-0.1x+1200，x∈[0,4000]且x∈N.

y=-0.1x+1200，x∈[0,4000]且x∈N第3頁,共29頁，2024年2月25日，星期天3.某種商品降價10%后，欲恢復(fù)原價，則應(yīng)提價________．

解析：設(shè)原價為a，應(yīng)提價x，a(1-10%)(1+x)=a?x≈11.11%.

11.11%第4頁,共29頁，2024年2月25日，星期天4.設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖象為________．解析：y表示全路程，故全路程y最后為2a，排除①③；在乙地休息10分鐘，說明該時間段內(nèi)y不變(停止于乙地)．因此選④，看圖象時一定要關(guān)注每時刻的實(shí)際含義．④第5頁,共29頁，2024年2月25日，星期天5.某商店將原價每臺2640元的彩電以9折出售后仍獲利20%，則彩電每臺進(jìn)價為________．

解析：設(shè)進(jìn)價為a，則2640×90%-a=20%×a，解得a=1980.1980元第6頁,共29頁，2024年2月25日，星期天經(jīng)典例題題型一一次函數(shù)與分段函數(shù)模型【例1】電信局為了配合客戶不同需要，設(shè)有A、B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案應(yīng)付話費(fèi)(元)與通話時間(分鐘)之間的關(guān)系如圖所示(實(shí)線部分)(注：圖中MN∥CD)．試問：(1)若通話時間為2小時，按方案A、B各付話費(fèi)多少元？(2)方案B從500分鐘以后，每分鐘收費(fèi)多少元？(3)通話時間在什么范圍內(nèi)，方案B才會比方案A優(yōu)惠？第7頁,共29頁，2024年2月25日，星期天分析：由圖可知，兩種方案都因時間段的不同導(dǎo)致收費(fèi)不同，因此，需分段列式．解：由圖可知，兩種方案都是由線性函數(shù)組成的分段函數(shù)，不妨用待定系數(shù)法，結(jié)合圖形，先求出函數(shù)解析式，再根據(jù)題意解題．由圖知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.設(shè)這兩種方案的應(yīng)付話費(fèi)與通話時間的函數(shù)關(guān)系分別為fA(x)、fB(x)，則第8頁,共29頁，2024年2月25日，星期天(1)通話2小時兩種方案的話費(fèi)分別為116元、168元．(2)當(dāng)x>500時，fB(x+1)-fB(x)=(元)．所以方案B從500分鐘以后，每分鐘收費(fèi)0.3元．(3)由圖知，當(dāng)0≤x≤60時，fA(x)<fB(x)；當(dāng)60<x≤500時，

綜上所述，當(dāng)x>293分鐘，即通話時間為293分鐘以上時，方案B才會比方案A優(yōu)惠．fB(x)=168，聯(lián)立得x=293

因此當(dāng)60<x<293

時，fA(x)<fB(x)．當(dāng)293

<x≤500時，fB(x)<fA(x)．當(dāng)x>500時，顯然fB(x)<fA(x)．第9頁,共29頁，2024年2月25日，星期天演示文稿1

23

后

等,/10078/麻衣神算子最新章節(jié)華疴夻第10頁,共29頁，2024年2月25日，星期天變式1-1南京市有甲，乙兩家乒乓球俱樂部，兩家設(shè)備和服務(wù)都很好，但收費(fèi)方式不同．甲俱樂部每張球臺每小時5元；乙俱樂部按月計(jì)費(fèi)，一個月中30小時以內(nèi)(含30小時)收費(fèi)90元，超過30小時的部分每張球臺每小時2元．小張準(zhǔn)備下個月從這兩家俱樂部中的一家租一張球臺開展活動，其活動時間不少于15小時，也不超過40小時．(1)設(shè)在甲俱樂部租一張球臺開展活動x小時的收費(fèi)為f(x)元(15≤x≤40)，在乙俱樂部租一張球臺開展活動x小時的收費(fèi)為g(x)元(15≤x≤40)，試求f(x)和g(x)；(2)你認(rèn)為小張選擇哪家俱樂部比較合算？請說明理由．第11頁,共29頁，2024年2月25日，星期天解析：(1)f(x)=5x,15≤x≤40，(2)①若15≤x≤30，令5x=90，解得x=18，即當(dāng)15≤x<18時，f(x)<g(x)；當(dāng)x=18時，f(x)=g(x)；當(dāng)18<x≤30時，f(x)>g(x)．②若30<x≤40,5x>30+2x恒成立，即f(x)>g(x)恒成立．綜上所述，當(dāng)15≤x<18時，小張選甲俱樂部比較合算；當(dāng)x=18時，兩家一樣合算；當(dāng)18<x≤40時，小張選乙俱樂部比較合算．第12頁,共29頁，2024年2月25日，星期天題型二二次函數(shù)模型【例2】

2008年北京奧運(yùn)會中國跳水隊(duì)取得了輝煌的成績．據(jù)科學(xué)測算，跳水運(yùn)動員進(jìn)行10m跳臺跳水訓(xùn)練時，身體(看成一點(diǎn))在空中的運(yùn)動軌跡(如圖所示)是一經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線(圖中標(biāo)出數(shù)字為已知條件)，且在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下運(yùn)動員在空中的最高點(diǎn)距水面m，入水處距池邊4m，同時運(yùn)動員在距水面5m或5m以上時，必須完成規(guī)定的翻騰運(yùn)動，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤．(1)求拋物線的解析式；第13頁,共29頁，2024年2月25日，星期天(2)在某次試跳中，測得運(yùn)動員在空中的運(yùn)動軌跡為(1)中的拋物線，且運(yùn)動員在空中調(diào)整好入水姿勢時距池邊的水平距離為m，問此時跳水會不會失誤？請通過計(jì)算說明理由；

(3)某運(yùn)動員按(1)中拋物線運(yùn)行，要使得此次跳水成功，他在空中調(diào)整好入水姿勢，距池邊的水平距離至多應(yīng)為多大？分析：設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算，求出距離，進(jìn)行判斷．第14頁,共29頁，2024年2月25日，星期天解：(1)由已知可設(shè)拋物線方程為y=a(x-h)2+(其中a<0，h>0)．又拋物線過點(diǎn)(0,0)和(2，-10)，代入解得a=-，h=，所以解析式為

(2)當(dāng)運(yùn)動員在空中距池邊的水平距離為3m時，即當(dāng)x=3-2=時，

所以此時運(yùn)動員距水面距離為10-=<5，故此次跳水會出現(xiàn)失誤．第15頁,共29頁，2024年2月25日，星期天(3)要使得某次跳水成功，必須10+y≥5，即y≥-5，

亦即，解不等式得，所以運(yùn)動員此時距池邊的水平距離最大為

m.

第16頁,共29頁，2024年2月25日，星期天變式2-1

(2011啟東中學(xué)期中考試)為了加強(qiáng)對煙酒生產(chǎn)的宏觀管理，實(shí)行征收附加稅政策．已知某種酒每瓶60元，在不加收附加稅時，每年大約銷售90萬瓶；若政府征收附加稅，每銷售100元要征收R元(叫做稅率R%)，則每年的銷售量將減少mR(m＞0)萬瓶．據(jù)測算稅率為6%時，征收的附加稅為108萬元．設(shè)此項(xiàng)經(jīng)營中所收取的附加稅為y.(1)求y=f(R)的表達(dá)式；(2)當(dāng)y≥120(萬元)時，試問稅率R%應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？第17頁,共29頁，2024年2月25日，星期天解析：(1)若征收附加稅，則每年的銷售量為90-mR萬瓶，此時征收的附加稅總額為：(90-mR)60R%萬元，當(dāng)R=6時，(90-mR)60R%=108，解得m=10，∴y=-6R2+54R(R＞0)．(2)由題意得-6R2+54R≥120，∴R2-9R+20≤0，∴4≤R≤5.∴稅率R%應(yīng)控制在[4%,5%]內(nèi)．第18頁,共29頁，2024年2月25日，星期天題型三指數(shù)函數(shù)模型【例3】某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答下面的問題：(1)寫出該城市人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)算10年以后該城市的人口總數(shù)(精確0.1萬人)；(3)計(jì)算大約多少年以后該城市人口將達(dá)到120萬人(精確到1年)？(1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210)分析：先列出前幾年該城市人口總數(shù)y與年份x的函數(shù)關(guān)系，觀察其規(guī)律，總結(jié)出y與x的函數(shù)關(guān)系．第19頁,共29頁，2024年2月25日，星期天解：(1)1年后該城市人口總數(shù)為y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)，2年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)2，3年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2×(1+1.2%)=100×(1+1.2%)3，…x年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)x(x∈N*)．(2)10年后人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)10≈112.7(萬)．(3)設(shè)x年后該城市人口將達(dá)到120萬人，即100(1+1.2%)x=120，x=log1.0121.20≈15.28(年)．因此，大約16年以后該城市人口將達(dá)到120萬人．第20頁,共29頁，2024年2月25日，星期天變式3-1一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500g，按每年10%衰減．(1)求t年后，這種放射性元素質(zhì)量的表達(dá)式；(2)求這種放射性元素的半衰期(精確到0.1年)．解析：(1)最初的質(zhì)量為500g，經(jīng)過1年，y=500(1-10%)=500×0.91，經(jīng)過2年，y=500(1-10%)2=500×0.92，……經(jīng)過t年，y=500×0.9t.(2)由題意5000.9t=250，即0.9t=0.5，兩邊取對數(shù)，有：tlg0.9=lg0.5，∴t=≈6.6(年)，即這種放射性元素的半衰期約為6.6年．

第21頁,共29頁，2024年2月25日，星期天題型四函數(shù)模型的綜合應(yīng)用【例4】

(2010江蘇蘇北四市聯(lián)考)某食品公司為了解某種新品種食品的市場需求，進(jìn)行了20天的測試，人為地調(diào)控每天產(chǎn)品的單價P(元/件)：前10天每天單價呈直線下降趨勢(第10天免費(fèi)贈送品嘗)，后10天呈直線上升，其中4天的單價記錄如下表：而這20天相應(yīng)的銷售量Q(百件/天)與x對應(yīng)的點(diǎn)(x，Q)在如圖所示的半圓上．(1)寫出每天銷售收入y(元)與時間x(天)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)；時間(將第x天記為x)x1101118單價(元/件)P9018第22頁,共29頁，2024年2月25日，星期天(2)在這20天中哪一天銷售收入最高？為使每天銷售收入最高，按此次測試結(jié)果應(yīng)將單價P定為多少元為好？(結(jié)果精確到1元)解：(1)由表中數(shù)據(jù)可知x∈N*，

，x∈[1,20]，x∈N*，

∴y=100QP=100

x∈[1,20]，x∈N*.第23頁,共29頁，2024年2月25日，星期天(2)∵(x-10)2[100-(x-10)2]≤

∴當(dāng)且僅當(dāng)(x-10)2=100-(x-10)2，即x=10+5時，y有最大值．∵x∈N*，∴取x=3或17時，ymax=700≈4999(元)，此時，P=7(元)．故第3或17天銷售收入最高，此時應(yīng)將單價P定為7元為好．

第24頁,共29頁，2024年2月25日，星期天變式4-1某企業(yè)投入81萬元經(jīng)銷某產(chǎn)品，經(jīng)銷時間共60個月，市場調(diào)研表明，該企業(yè)在經(jīng)銷這個產(chǎn)品期間第x個月的利潤