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排列綜合問題目錄特殊元素或特殊位置問題“相鄰”與“不相鄰問題”定序問題有限制條件的排列、組合問題多面手問題分組、分配問題特殊元素或特殊位置問題PART01例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列,求解下列問題.(1)甲不在首位的排法有多少種?(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種?(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種?(4)甲不在首位,同時(shí)乙不在末位的排法有多少種?例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列,求解下列問題.(1)甲不在首位的排法有多少種?方法一把元素作為研究對(duì)象.解:例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列,求解下列問題.(1)甲不在首位的排法有多少種?方法二把位置作為研究對(duì)象.方法二(間接法)先不考慮限制條件,從7人中選出5人進(jìn)行排列,然后把不滿足條件的排列去掉.解:解:例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列,求解下列問題.(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種?把位置作為研究對(duì)象.解:例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列,求解下列問題.(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種?解:把位置作為研究對(duì)象.例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列,求解下列問題.(4)甲不在首位,同時(shí)乙不在末位的排法有多少種?解:間接法.練習(xí):
5名學(xué)生和1位老師站成一排照相,問老師不排在兩端的排法有多少種?480種“相鄰”與“不相鄰”問題PART02例2
3名男生,4名女生,這7個(gè)人站成一排,下列情況下,各有多少種不同的站法?(1)男、女各站在一起;(2)男生必須排在一起;(3)男生不能排在一起;(4)男生互不相鄰,且女生也互不相鄰.定序問題PART03例3將A,B,C,D,E這5個(gè)字母排成一列,要求A,B,C在排列中的順序?yàn)椤癆,B,C”或“C,B,A”(可以不相鄰),則有多少種不同的排列方法?5個(gè)不同元素中部分元素A,B,C的排列順序已定,這種問題有以下兩種常用的解法.方法一
(插空法)若字母A,B,C的排列順序?yàn)椤癆,B,C”,將字母D,E插入形成的4個(gè)空中,分兩類:同理,若字母A,B,C的排列順序?yàn)椤癈,B,A”,也有20種不同的排列方法.因此滿足條件的排列有20+20=40(種).例3將A,B,C,D,E這5個(gè)字母排成一列,要求A,B,C在排列中的順序?yàn)椤癆,B,C”或“C,B,A”(可以不相鄰),則有多少種不同的排列方法?5個(gè)不同元素中部分元素A,B,C的排列順序已定,這種問題有以下兩種常用的解法.練習(xí)某電視節(jié)目的主持人邀請(qǐng)年齡互不相同的5位嘉賓逐個(gè)出場(chǎng)亮相.(1)其中有3位老者要按年齡從大到小的順序出場(chǎng),出場(chǎng)順序有多少種?(2)3位老者與2位年輕人都要分別按從小到大的順序出場(chǎng),順序有多少種?解:設(shè)符合條件的排法共有x種,有限制條件的排列、組合問題PART04例4課外活動(dòng)小組共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名隊(duì)長(zhǎng),現(xiàn)從中選5人主持某項(xiàng)活動(dòng),依下列條件各有多少種選法?(1)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選;(2)至多有兩名女生當(dāng)選;(3)既要有隊(duì)長(zhǎng),又要有女生當(dāng)選.解:分兩類:所以共有495+295=790(種)選法.多面手問題PART05例5某外語(yǔ)組有9人,每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門,其中7人會(huì)英語(yǔ),3人會(huì)日語(yǔ),從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教,有多少種不同的選法?解:由題意知,有1人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ),6人只會(huì)英語(yǔ),2人只會(huì)日語(yǔ).方法一分兩類.第一類:從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人教英語(yǔ),有6種選法,則教日語(yǔ)的有2+1=3(種)選法.此時(shí)共有6×3=18(種)選法.第二類:從不只會(huì)英語(yǔ)的1人中選1人教英語(yǔ),有1種選法,則選會(huì)日語(yǔ)的有2種選法,此時(shí)有1×2=2(種)選法.所以由分類加法計(jì)數(shù)原理知,共有18+2=20(種)不同的選法.方法二解:設(shè)既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的人為甲,則甲有入選、不入選兩類情形,入選后又要分兩種:(1)教英語(yǔ);(2)教日語(yǔ).第一類:甲入選.(1)甲教英語(yǔ),再?gòu)闹粫?huì)日語(yǔ)的2人中選1人,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,有1×2=2(種)選法;(2)甲教日語(yǔ),再?gòu)闹粫?huì)英語(yǔ)的6人中選1人,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,有1×6=6(種)選法.故甲入選的不同選法共有2+6=8(種).第二類:甲不入選,可分兩步:第一步,從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人,有6種選法;第二步,從只會(huì)日語(yǔ)的2人中選1人,有2種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,有6×2=12(種)不同的選法.綜上,共有8+12=20(種)不同的選法.練習(xí)某車間有11名工人,其中5名鉗工,4名車工,另外2名既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工,現(xiàn)在要從這11名工人中選4名鉗工,4名車工修理一臺(tái)機(jī)床,則共有多少種不同的選法?由分類加法計(jì)數(shù)原理得,共有75+100+10=185(種)不同的選法.分組、分配問題PART06例3
6本不同的書,分為3組,在下列條件下各有多少種不同的分配方法?(1)每組2本(平均分組);(2)一組1本,一組2本,一組3本(不平均分組);(3)一組4本,另外兩組各1本(局部平均分組).例7將6個(gè)相同的小球放入4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的盒子,求下列方法的種數(shù).(1)每個(gè)盒子都不空;(2)恰有一個(gè)空盒子.練習(xí)
(1)某社區(qū)服務(wù)站將5位志愿者分成3組,其中兩組各2人
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