黑龍江省綏化市綏棱縣第一中學2023-2024學年高二年級上冊9月月考數(shù)學試題

2023?2024學年度上學期高二9月月考

數(shù)學

全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指

定位置。

2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)

域均無效。

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑;非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答;

字體工整，筆跡清楚。

4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交。

5.本卷主要考查內容：選擇性必修第一冊第一章?第三章3.1。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.若方程/+2y+加2+1=0表示圓，則實數(shù)加的取值范圍為()

(1

A.(-2,1)B.(0,1)C.°,竹)D.

x2y2

2.已知橢圓1+5=1的左頂點為A,上頂點為8,貝()

A.25/2B.3C.4D.瓜

3.無論用為何值，直線y=/nr+2〃z+l所過定點的坐標為()

A.(-2,-1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(2,1)

4.兩平行直線1：x-2y-VlO=0,l2：4y—2x—3函=0之間的距離為()

A.；B.3C.\/5D.2,J2

5.已知集合A={(x,y)(尤—I)?+(y+2『=4],3={(%,y)卜一4丫+(>-2丫=/},其中廠>0,若

AB中有且僅有兩個元素，則廠的取值范圍為()

A.(1,+OO)B.(3,+00)C.(3,7)D.(2,8)

XV

6.如圖，橢圓C：/+萬=1（。＞方＞0）的左、右焦點分別為耳、尸2,過點6的直線與橢圓相交于P、。兩

點.若忸匐=3,仍。=4，|耳Q|=5，則橢圓。的方程為（）

7.如圖，在四棱錐?一A8CD中，2J_底面A6CZ）,底面A5CD為正方形，PA=BC，E為C￡＞的中點,

產(chǎn)為PC的中點，則異面直線8F與PE所成角的正弦值為（）

5也

8.已知直線/：y=x+b與圓c：（x+lY+（y—2丫=8相交于「，。兩點，o為坐標原點，且。P1。。,

則實數(shù)〃的所有取值之積為（）

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知橢圓C的對稱中心為坐標原點，焦點在坐標軸上，若橢圓的長軸長為6,焦距為4,則橢圓C的標準方

程可能為（）

cv+T=1Dy+v=1

10.已知直線4:無一/y+2=0,直線4：方_（a_2）y_3=O,若4則實數(shù)。可能的取值為（）

A.-lB.OC.lD.2

U.在平面直角坐標系X。），中，過直線％+>-2=0上任一點P作圓O：V+y2=l的兩條切線，切點分別為

A,B,則（）

A.當四邊形。4/汨為正方形時，點P的坐標為（1,1）

B.|「閭的取值范圍為［1,+8）

C.NAP3不可能為鈍角

D.當為等邊三角形時，點P的坐標為（2,0）

12.如圖，點尸是邊長為2的正方體ABC。一AMGA的表面上一個動點，則（）

A.當點P在側面上時，四棱錐P—A4。。的體積為定值

B.存在這樣的點p,使得

222”

C.當直線AP與平面A88所成的角為45。時，點P的軌跡長度為%+4&

“八473

D.當AP=N一時，點p的軌跡長度為:一

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知在空間直角坐標系宜為中，點A的坐標為（1,2,-3），點5的坐標為（0,-1,-4）,點A與點C關于工

軸對稱，貝43C|=.

x2y1

14.若方程--=l表示橢圓，則實數(shù)加的取值范圍為_________.

m2m-3

15.直線26以+（/+1）丁+1=0的傾斜角的取值范圍是.

16.在平面直角坐標系工。），中，y軸被圓心為c（i,o）的圓截得的弦長為2百，直線/：y=ar+2與圓c相

交于A,B兩點，點/在直線y=-x上，且|24|=|尸耳，那么圓C的方程為，2Xo+y（）的

取值范圍為.（本題第一空2分，第二空3分）

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

己知點尸（-1,2），求滿足下列條件的直線/的一般式方程.

（1）經(jīng)過點P,且在y軸上的截距是X軸上的截距的4倍；

（2）經(jīng)過點P,且與坐標軸圍成的三角形的面積為

2

18.（本小題滿分12分）

已知圓G：x2+y2+2x+2y-2^0,圓C2：%2+y2-4^-1=0.

（1）證明：圓G與圓。2相交；

（2）若圓G與圓G相交于A，8兩點，求|AB|.

19.（本小題滿分12分）

在平面直角坐標系工。），中，已知圓C過點0（0,0）、4（—2,0）、B（-3,-3）.

（1）求圓C的一般方程；

（2）若圓M與圓C相切于點O,且圓A/的半徑為求圓M的標準方程.

20.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐尸—A3C￡）中，底面四邊形A5CD為直角梯形，AB//CD,AB±BC，AB=2CD=2BC，

O為5。的中點，BD=4,PB=PC=PD=y/5.

（1）證明：OP_L平面A3CD;

（2）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值.

21.（本小題滿分12分）

已知X,y是實數(shù)，且（％-iy+（y—2）2=4.

（1）求3x+4y的最值；

（2）求上的取值范圍；

X

（3）求jF+y?的最值.

22.（本小題滿分12分）

在平面直角坐標系中，已知橢圓C：,+}=l（a>b>0）的離心率為半，短軸長為2.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）已知點A,8分別為橢圓C的左、右頂點，點。為橢圓C的下頂點，點P為橢圓C上異于橢圓頂點的

動點，直線AP與直線3。相交于點A/,直線BP與直線AO相交于點N.證明：直線MV與X軸垂直.

2023?2024學年度上學期高二9月月考?數(shù)學

參考答案、提示及評分細則

1.B方程可化為F有機一加2>0,解得Ovmvl.

2.D由A（2,0），B（0,A/2）,可得網(wǎng)=?.

3.C當》=一2時，>,=1,可知直線過定點（一2,1）.

4.A直線［：2x-4y-2V10=0,72：2x-4y+3ji6=0,兩平行直線之間的距離為

3710-（-2^0）5垃

J4+16―2,

5.C兩點（1,一2），（4,2）之間的距離為5,有上一2|<5<r+2,解得3<r<7.

6.D設有EQ=4—x,由|尸￡『+|尸。|2=區(qū)。（可知產(chǎn)片，/^，又由橢圓的定義有

PFf+PF2^QF}+QF2,可得3+x=5+（4—x）），解得x=3,可得。==與3=3,

C=KPF；+PF；坐,/,=b3|=建，故橢圓c的方程為￡+2二=1.

2v22V2299

7.A由AP,AB,AO兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，設45=2,點6（2,0,0）,￡>（0,2,0），

C（2,2,0），尸（0,0,2），F(xiàn)（l,l,l）,E（l,2,0），可得P￡=（l,2,-2）,設異面直線8/與PE

所成的角為e，有cos9=—y=^—=Y3,sin6=.11--=

國39V279

％,由直線與圓C相交，有<2JI，解得一1<h<7>

2*4

,（"+1）+（））-8，消去、后整理為2/+（2/?—2卜+>2_4。_3=0，有為+々

聯(lián)立方程=1—b,

y=x+b,

b2-4b-3

〃2_4/J—3h2-1h—3

X%=（石+6）（工2+8）=%%2+6（1+/2）+82=-------------+6（1一/?）+〃=----------,由0P10Q,有

-4/7-3b2-2b-3

%/+乂％=——-一-+―—=b2-3b-3=Q,可得實數(shù)b的所有取值之積為-3.2

2222

/----xy.xy.

9.BD由題意有a=3,c=2,b=J三=5,故橢圓C的標準方程可能為不~+1=1或-^+女=1.

9559

10.BC若4_L4，有a+〃（a—2）=0，解得a=O或1.

11.ABC對于選項A,由圖可知A選項正確；

對于選項B,由M=《OP?-。#=J。尸一1,由|0尸匕=7乞=及，可得|AP|之1,故B選項正確；

jrjr

對于選項C,由選項B可知NOPAW—,可得NAPBV-,故C選項正確；

42

對于選項D,當△AP3為等邊三角形時，月=2,設點P的坐標為（a,2-a）,有加+（2-a）2=2,解

得a=0或2,可得點P的坐標為（0,2）或（2,0），故選項D錯誤.

12.ACD對于選項A,由點P到側面4的距離相等，故四棱錐尸-44,。。的體積為定值，故A選項正

確；

對于選項B,這樣的點P不在正方體的表面上，故B選項錯誤；

對于選項C,①當點P在側面54G。，側面CGA。上時（不包括正方形44Gq的邊界），過點p作平

JT

面A68的垂線，垂足為“，連在中，由AH>AB>PH,可得NPAHv—；②當點P

4

在上底面上時，過點P作平面ABC。的垂線，垂足為若NP4W=上，必有9=40,又

4

由尸A/=A3,有AM=A3,\P=AB,此時點P的軌跡是以人為圓心，2為半徑的四分之一圓，點P的

軌跡長度為4*2〃><2=萬；③當點P在側面A4,〃。，A4,BB上時，點P在線段Ag,上符合題意，

4

此時點P的軌跡長為40；由上知點P的軌跡長度為乃+40,故C選項正確；

對于選項D,①當P在底面A8CD上時，點P的軌跡為以A為圓心，亍為半徑的圓與底面A3C￡>的交線，

記圓與CO相交于點6，與8c交于點有cos/D4《=爺=W=^,可得ND4[=30。，

3

30°c4G2岳

/甲4鳥=30。，則點尸的軌跡與底面A3CD的交線長為薪乂2〃、亍=—^―；②當點P在側面

_____________Il久O/Q

88CC上時，BP=y/AP2-AB2=l--4=-^,可得點P的軌跡與側面的交線為以點5為

2^312^/36萬

圓心，—為半徑的四分之一圓，交線長為:乂n2%、+==.由對稱性可知，點p的軌跡長度為

3433

--■—X3H--—x3=―--,故D選項正確.

V51點的坐標為，

13.C(1,—2,3)|BC|=71+1+49=5/51.

m>0

3

2m—3<0，可得0<"7〈一且"ZW1.

2

m手3—2m

7人/

直線的斜率為k=一一弓―,①當.=0時，k=0;②當axO時，

。+1

=6,可得—行〈百且4片0.由①②，有—百〈人〈石，可得直線的傾斜

八乃2乃)

角的取值范圍是0,y?

16.(X—1)2+>2=4(-3,0)(0,1)設圓0的標準方程為(％-1)2+〉2=，(「>0),有/=12+(6),

可得r=2.由直線/與圓C相交，有.]<2，解得。>3或a<0.由AP=~B,AC=BC，可得直線

V7T13

CP與直線/垂直，有‘。-—，有、--,解得/=——,可得2%)+%==—--,又由a>W

—1aXQ—1ci1—ci1-ci3

或avO,可得0<2%+為<1或一3<2%+%<0.

2-0

17.解：(1)①若直線/過坐標原點，可得直線/的斜率為

(-1)-0

直線/的方程為y=-2%,化為一般式為2x+y=0；

②若直線/不過坐標原點，設直線/的方程為之+2=1(a工0),

a4av)

1?1

代入點P的坐標有一上+三=1,解得a=-士；

a4a2

可得直線/的方程為一2x+~^=l,化為一般式為4x+y+2=0.

由上知，所求直線/的一般式方程為2x+y=0或4%+y+2=0.

(2)直線/顯然不過坐標原點，設直線/的方程為y—2=Z(x+l),整理為)，=依+攵+2,

(攵+2

直線/與x的交點坐標為一——,0與y軸的交點坐標為(0,4+2)，

Ik

1z,…Z+21

有3(4+2)x-^—=],解得左=-4或4=一1,

故直線/的方程為)，=一％+1或y=Tx-2,

即直線/的一般式方程為x+y-1=0或4x+y+2=0.

18.(1)證明：圓G的標準方程為(x+l『+(y+iy=4,圓心為(一1,—1),半徑為2,

圓g的標準方程為/+(y-2)2=5,圓心為(0,2),半徑為逐，

2

圓G和圓C2的圓心之間的距離為-(T)丁+[2-(-1)]=V10,

由逐—2＜何〈石+2,可知圓。和圓。2相交；

(2)解：圓G與圓。2作差可得直線A8的方程為2%+6)，-1=0,

圓。2的圓心(0,2)到直線AB的距離為尸—“11

A/22+622V10

10

19魂軍：(1)設圓C的一般方程為％2+丁2+瓜+小，+尸=0,代入點0、A、8的坐標有

F=00=2

<4-2D+F=0解得，E=4

18—30—3E+F=0尸=0

故圓C的一般方程為：x2+y2+2x+4y=0.

(2)圓C的標準方程為：(x+lY+(y+2)2=5,可得點C的坐標為(一1,—2)，直線OC的方程為y=2x

由圓的性質可知，圓心M在直線OC上，設點M的坐標為(加,2加)

圓M的標準方程為：(x—my+(y-2m)2=10,代入點。的坐標有：5m2=10,解得加=±J5

故圓”的標準方程為卜一6『+卜一2行『=10或卜+&丁+卜+2&)=10.

20.(I)證明：如圖，連接OC,

/.OPA.BD,OP=\IPB2-OB2=V5-4=1,

VOP=1,OC=2,PC=#>,PC?=OP'+OC\

：.OPYOC,

VOPA.BD,OPA.OC,8DOCU平面A3C￡),BD0C=0,

：.OP_L平面A3C￡>;

(2)解：由(1)和等腰三角形68可知，OC,OB,O尸兩兩垂直，以O為坐標原點，向量OB,OC,

0P方向分別為X,y,Z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.

可得0(0,0,0)，3(2,0,0)，￡)(-2,0,0)-C(0,2,0)，尸(0,0,1)，

又由。C=(2,2,0),有AB=2QC=(4,4,0),可得點A的坐標為(一2,T,o),

設平面PBC的法向量為m=(x,y,z),

由BC=(-2,2,0),SP=(-2,0,1),有=-2x+2y=0,

m-BP=-2x+z=0,

取X=l，y=l,z=2,可得平面P3C的一個法向量為陰=(1,1,2).

設平面PAD的法向量為n=(a,0,c),

由QP=(2,0,l),AD=(O,4,O),有㈤尸=2"+，=°'取=1,b=G,c==_2,可得平面PAO的一

n?AD=4力=0,

個法向量為〃=(l,o,-2),

由加?〃=-3,嗣=而，|〃|=百，可得平面PA。與平面”C所成銳二面角的余弦值為上』產(chǎn)=叵.

111175x7610

21.解：(1)設3%+4y=z,化為3%+4y-z=0,

可知直線3x+4y—z=0與圓(x—廳+(y-2)2=4有交點，

|3+8-z|

有1---L<2,解得14ZW21,

可得3x+4y的最小值為1,最大值為21；

(2)設％=),化為依-y=0,

X

可知直線"一》=0與圓(％—1)2+(曠一2)2=4有交點,

有卜？W2,解得左20或々《一弓,

VFTT3

故上的取值范圍為一叫一。［0,+OO);

Xk3J

(3)JPT7■的幾何意義為坐標原點到圓(x—1)2+()，-2)2=4上任意一點的距離,

圓(%—1)2+(y—2)2=4的圓心到坐標原點的距離為,產(chǎn)+22=75,

故5%2+丁的最小值為逐一2,最大值為出+2.

J，

Q9=6一2+C

22.解：(1)設橢圓C的焦距為2c,由題意有：<28=2

c_垂)