多元正態(tài)分布的統(tǒng)計推斷

關(guān)于多元正態(tài)分布的統(tǒng)計推斷

§1單因素方差分析問題的提出統(tǒng)計的模型及檢驗方法多重比較檢驗第2頁,共45頁，2024年2月25日，星期天問題的提出第3頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

某工廠實(shí)行早、中、晚三班工作制。工廠管理部門想了解不同班次工人勞動效率是否存在明顯的差異。每個班次隨機(jī)抽出了7個工人，得工人的勞動效率（件/班）資料如表。分析不同班次工人的勞動效率是否有顯著性差異。a=0.05，0.01。早班中班晚班344939374740355142334839335041355142365140第4頁,共45頁，2024年2月25日，星期天為什么各值

會有差異？可能的原因有兩個。一是，各個班次工人的勞動效率可能有差異，從而導(dǎo)致了不同水平下的觀察值之間差異，即存在條件誤差。二是，隨機(jī)誤差的存在。如何衡量兩種原因所引起的觀察值的差異?總平均勞動效率為：第5頁,共45頁，2024年2月25日，星期天三個班次工人的平均勞動效率分別為：總離差平方和ss組間離差平方和(條件誤差)ssA第6頁,共45頁，2024年2月25日，星期天組內(nèi)離差平方和（隨機(jī)誤差）sse統(tǒng)計量F第7頁,共45頁，2024年2月25日，星期天把計算的F值與臨界值比較，當(dāng)F

F

時，拒絕原假設(shè)，不同水平下的效應(yīng)有顯著性差異；當(dāng)F<F

時，接受原假設(shè)。方差來源離差平方和自由度方差F值

組間A

組內(nèi)E

—

總和

——NEXT第8頁,共45頁，2024年2月25日，星期天查F分布表得臨界值因為故應(yīng)拒絕原假設(shè)，即不同班次工人的勞動效率有顯著的差異。方差分析：比較3個或3個以上的總體均值是否有顯著性差異。用組間的方差與組內(nèi)方差相比，據(jù)以判別誤差主要源于組間的方差（不同組工人的產(chǎn)量，條件誤差），還是源于組內(nèi)方差（隨機(jī)誤差）。NEXT第9頁,共45頁，2024年2月25日，星期天50家上市公司，按行業(yè)計算其1999年底的資產(chǎn)負(fù)債情況，如下：序號制造業(yè)商業(yè)運(yùn)輸業(yè)公用事業(yè)房地產(chǎn)業(yè)165905025702559565307535090584560445936350805409264406565890602570760855830728758856307698090603568106092552566平均58.890.558.933.570.2第10頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

第11頁,共45頁，2024年2月25日，星期天多重比較檢驗1、多重比較檢驗前面的F檢驗只能說明在單一因素的影響下，不同水平是否存在顯著性的差異，但不能斷言哪些總體之間存在差異，在方差分析中否定了原假設(shè)，并不意味著接受了假設(shè)：

因而還應(yīng)該進(jìn)一步討論到底是哪些總體之間存在差異。第12頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

Scheffe檢驗檢驗的結(jié)論：第13頁,共45頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共45頁，2024年2月25日，星期天§2多元方差分析一、假設(shè)第15頁,共45頁，2024年2月25日，星期天二、多元方差分析的離差平方和的分解總離差平方和第16頁,共45頁，2024年2月25日，星期天第17頁,共45頁，2024年2月25日，星期天由于交叉乘積項為零，故組間叉積矩陣＋組內(nèi)叉積矩陣＝總叉積矩陣組內(nèi)叉積矩陣：主要由隨機(jī)因素構(gòu)成組間叉積矩陣：主要由系統(tǒng)因素構(gòu)成第18頁,共45頁，2024年2月25日，星期天SSE和SS(TR)之和等于總離差平方和SST。當(dāng)SSE在SST中占有較大的份額時，可以認(rèn)為隨機(jī)因素影響過大，反之SSE所占份額小，SS（RT）所占份額就大，不同試驗間的觀測值會有顯著性差異。

三、統(tǒng)計量第19頁,共45頁，2024年2月25日，星期天對給定的顯著性水平

，檢驗規(guī)則為：

拒絕原假設(shè)；接受原假設(shè)；第20頁,共45頁，2024年2月25日，星期天§3單個總體均值向量的推斷

設(shè)是取自多元正態(tài)總體的一個樣本，這里，現(xiàn)欲檢驗第21頁,共45頁，2024年2月25日，星期天單個總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗

是取自該總體的樣本。檢驗：

一、問題引入例設(shè)第22頁,共45頁，2024年2月25日，星期天與上面的假設(shè)等價的是，尋找常數(shù)矩陣第23頁,共45頁，2024年2月25日，星期天注：矩陣C不是唯一的，

第24頁,共45頁，2024年2月25日，星期天在例4.2.1中，假定人類的體形有這樣一個一般規(guī)律的身高、胸圍和上臂圍平均尺寸比例為6:4:1。檢驗比例是否符合這一規(guī)律。檢驗：

第25頁,共45頁，2024年2月25日，星期天則上面的假設(shè)可以表達(dá)為

第26頁,共45頁，2024年2月25日，星期天二、統(tǒng)計量及方法其中C為一已知的k×p階矩陣，k<p，rank(C)=K，φ為已知的K維向量。根據(jù)多元正態(tài)分布的性質(zhì)可知,

檢驗：第27頁,共45頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)為真時，故可以將霍特林分布的統(tǒng)計量換算成F統(tǒng)計量。第28頁,共45頁，2024年2月25日，星期天對給定的顯著性水平α，檢驗的規(guī)則

第29頁,共45頁，2024年2月25日，星期天某地區(qū)農(nóng)村男嬰的體格測量數(shù)據(jù)如下編號身高（cm）胸圍（cm）上半臂長（cm）17860.616.527658.112.539263.214.548159.014.058160.815.568459.514.0檢驗三個指標(biāo)的均值是否有關(guān)系第30頁,共45頁，2024年2月25日，星期天第31頁,共45頁，2024年2月25日，星期天§4兩個總體均值的檢驗

一、兩個獨(dú)立樣本的情形

與一元隨機(jī)變量的情形相同，常常我們需要檢驗兩個總體的均值是否相等。

設(shè)從總體，中各自獨(dú)立地抽取樣本和，?？紤]假設(shè)第32頁,共45頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)兩個樣本可得μ1和μ2的無偏估計量為其中第33頁,共45頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)原假設(shè)為真的條件下，檢驗的規(guī)則為：

第34頁,共45頁，2024年2月25日，星期天二、成對試驗的T2統(tǒng)計量

前面我們討論的是兩個獨(dú)立樣本的檢驗問題，但是不少的實(shí)際問題中，兩個樣本的數(shù)據(jù)是成對出現(xiàn)的。例如當(dāng)討論男女職工的工資收入是否存在差異；一種新藥的療效等。

思考:兩獨(dú)立樣本和成對樣本的觀測值有何不同。第35頁,共45頁，2024年2月25日，星期天設(shè)(xi,yi),i=1,2,3,…,n，時成對的試驗數(shù)據(jù)，由于總體X和Y均服從p維正態(tài)分布，且協(xié)方差相等。假設(shè)檢驗

第36頁,共45頁，2024年2月25日，星期天檢驗的統(tǒng)計量為

其中

當(dāng)原假設(shè)為真時第37頁,共45頁，2024年2月25日，星期天例1一組學(xué)生共5人，采用兩種不同的方式進(jìn)行教學(xué)，然后對5個學(xué)生進(jìn)行測驗，得如下得分?jǐn)?shù)：學(xué)生序號

教學(xué)方式AB數(shù)學(xué)物理數(shù)學(xué)物理189908285298888083375696170476706766590766365分析不同的教學(xué)方式是否有差異。第38頁,共45頁，2024年2月25日，星期天§5兩個總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗

一、問題提出設(shè)從總體，中各自獨(dú)立地抽取樣本和，。他們的均值向量差為：第39頁,共45頁，2024年2月25日，星期天例在愛情和婚姻的調(diào)查中，對一個由若干名丈夫和妻子組成的樣本進(jìn)行了問卷調(diào)查，請他們回答以下幾個問題：(1)你對伴侶的愛情的“熱度”感覺如何？(2)伴侶對你的愛情的“熱度”感覺如何？(3)你對伴侶的愛情的“可結(jié)伴”水平感覺如何？(4)伴侶對你的愛情的“可結(jié)伴”水平感覺如何？回答采用沒有、很小、有些、很大和非常大5個等級，得到結(jié)果如表。

第40頁,共45頁，2024年2月25日，星期天丈夫?qū)ζ拮悠拮訉φ煞?/p>

X1

X2

X3

X4

X1

X2

X3

X4235544555544455545554455434445553355445533453344344443544455345545554454443334444455455555445555第41頁,共45頁，2024年2月25日，星期天現(xiàn)在我們關(guān)心均值分量間的差異是否滿足某種結(jié)構(gòu)關(guān)系。比如每個指標(biāo)均值間的差異是否相等。

1、丈夫?qū)ζ拮右约捌拮訉φ煞虻幕卮鹪讦粒?.