余弦定理 高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修2

余弦定理引入

我們知道，一個(gè)三角形含有各種各樣的幾何量，比如：

三邊的邊長(zhǎng)，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，三角形的面積等.

它們之間應(yīng)該是存在確定關(guān)系的，如

在直角三角形中，邊、角之間的定量關(guān)系就有勾股定理，銳角三角函數(shù)等.

在一般三角形中，我們?cè)ㄐ缘匮芯窟^(guò)三角形的邊角關(guān)系，并得到了判定三角形全等的一些方法，如SSS，SAS，ASA，AAS

這些判定方法表明：給定一個(gè)三角形三條邊、三個(gè)角這6個(gè)元素中的某些元素，這個(gè)三角形就能唯一確定.

那么三角形的其它元素與這些給定元素之間在數(shù)量上到底有著怎樣的關(guān)系呢，這就是這一部分內(nèi)容要研究的問(wèn)題。

在全等三角形的判定中，有一種方法叫SAS(邊角邊),即一個(gè)三角形，只要給出了兩邊及其夾角，這個(gè)三角形就唯一確定了，也就是說(shuō)，這個(gè)三角形的其它邊和角都可用給出的兩邊及其夾角計(jì)算出來(lái).知識(shí)探究

幾何圖形到向量恰當(dāng)?shù)南蛄窟\(yùn)算向量到幾何關(guān)系返回余弦定理的內(nèi)容

三角形中，任何一邊的平方，等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即思考(3):

這些結(jié)論有何特點(diǎn)，用自然語(yǔ)言該怎樣敘述？

問(wèn)題2:

這你還有證明這個(gè)定理的其它思路嗎，能把它們現(xiàn)剛才的向量法比較一下嗎？返回

以CB

所在的直線為x

軸，過(guò)C點(diǎn)垂直于CB

的直線為y

軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則有返回返回

這三種方法中，用向量法最為簡(jiǎn)潔，將取兩邊對(duì)應(yīng)向量為基底，將另一邊表示出來(lái)，用數(shù)量積運(yùn)算即得結(jié)果；

用幾何法較為繁瑣，要涉及作垂線，需將分銳角、鈍角、直三種情況進(jìn)行討論，最后進(jìn)行整合.返回

思考(3):

由幾何法的證明過(guò)程，你能得出勾股定理和余弦定理的關(guān)系嗎？

勾股定理是余弦定理的特例(當(dāng)兩邊的夾角為直角時(shí))，

余弦定理是勾股定理的推廣(把兩邊的夾角由直角推廣到(0°,180°)內(nèi)的任意角)

問(wèn)題3:

余弦定理解決了“已知三角兩邊和夾角，求第三邊的問(wèn)題”.但我們已知了三角形的三邊，你能用余弦定理確定三個(gè)角的大小嗎？

思考(1):

你能用全等三角形的判定方法來(lái)解釋嗎?余弦定理的推論

SSS.

即三角形的三邊確定后,三個(gè)角的大小也是確定的.

思考(3):

請(qǐng)?jiān)倩仡櫼幌掠嘞叶ɡ淼南嚓P(guān)內(nèi)容?

思考(2):

請(qǐng)你能用自然語(yǔ)言來(lái)表述這個(gè)結(jié)論嗎?返回余弦定理

三角形中，任何一邊的平方，等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即推論：特例：勾股定理

思考(4):

三角形的三條邊，三個(gè)角叫三角形的元素.

已知三角形的一些元素,求其余元素的過(guò)程叫解三角形.你認(rèn)為余弦定理在解三角形時(shí)可以解決哪些類型的問(wèn)題？①已知兩邊和夾角，求其它的邊和角；②已知三邊，求三個(gè)角.

三角形中，任何一

角的余弦，等于該角兩邊的平方和減去對(duì)邊的平方，與這兩邊乘積的兩倍的比值，即返回例析

思考(3):解三角形，一般是怎樣一個(gè)思路?

先作一個(gè)草圖，并標(biāo)出已知元素，

再結(jié)合定理，確定恰當(dāng)求解順序，

然后依次求余下的元素.返回

思考:若去掉題目中“銳角”二字，結(jié)果會(huì)怎樣?分兩種情況進(jìn)行討論：練習(xí)1.我們是怎樣由向量知識(shí)得到余弦定理？課堂小結(jié)

余弦定理還有哪些哪些推導(dǎo)方法？你更喜歡哪一種？坐標(biāo)法；幾何法.2.說(shuō)說(shuō)余弦定理是怎樣的？其推論是又是怎樣的？3.余弦定理可以直接解決解三角形