中考數(shù)學復習《圓綜合》專項檢測卷(附帶答案)

第頁中考數(shù)學復習《圓綜合》專項檢測卷(附帶答案)學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分線，點O在AC上，⊙O經(jīng)過B，D兩點，交BC于點E．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若AB=6，sin∠BAC=，求BE的長．2．已知直線l與⊙O，AB是⊙O的直徑，AD⊥l于點D．（1）如圖①，當直線l與⊙O相切于點C時，求證：AC平分∠DAB；（2）如圖②，當直線l與⊙O相交于點E，F(xiàn)時，求證：∠DAE=∠BAF．3．已知，AB是⊙O的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B），把△AOP沿OP對折，點A的對應點C恰好落在⊙O上．（1）當P、C都在AB上方時（如圖1），判斷PO與BC的位置關系（2）當P在AB上方而C在AB下方時（如圖2），（1）中結論還成立嗎？證明你的結論；（3）當P、C都在AB上方時（如圖3），過C點作CD⊥直線AP于D，且CD是⊙O的切線，證明：AB=4PD．4．如圖，△ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，F(xiàn)兩點，過點D作DE⊥AC，垂足為點E．（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；（2）過點E作EH⊥BC，垂足為點H，若AB=4，求EH的長及sin∠DHE的值（結果保留根號）．5．如圖，點E在x軸正半軸上，以點E為圓心，OE為半徑的⊙E與x軸相交于點C，直線AB與⊙E相切于點D，已知點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（0，4）．（1）求線段AD的長；（2）連接BE、CD，則BE與CD平行嗎，為什么？（3）在⊙E上是否存在一點P，使得以點P、O、C為頂點的三角形相似于△BOE？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．6．如圖，在△ABC中，∠B=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于D，過點D作⊙O的切線交BC于E，AE交⊙O于點F．（1）求證：E是BC的中點；（2）求證：AD?AC=AE?AF=4DO2．7．如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與點A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）當BC=1時，求線段OD的長；（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；（3）設BD=x，△DOE的面積為y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫x的取值范圍．8．已知一個零刻度落在點A的量角器（半圓O）的直徑為AB，等腰直角△BCD繞點B旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，當?shù)妊苯恰鰾CD運動至斜邊BD交量角器邊緣于點G，直角邊CD交量角器邊緣于點E，F(xiàn)，第三邊交量角器邊緣于點H時，點G在量角器上的讀數(shù)為20°，求此時點H在量角器上的讀數(shù)．（2）如圖2，當點G，E在量角器上的讀數(shù)α，β滿足什么關系時，等腰直角△BCD的直角邊CD會與半圓O相切于點E？請說明理由．9．如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．（1）證明：BD是⊙O的切線．（2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且△BEF的面積為16，cos∠BFA=，那么，你能求出△ACF的面積嗎？若能，請你求出其面積；若不能，請說明理由．10．如圖所示，CD為⊙O的直徑，AD、AB、BC分別與⊙O相切于點D、E、C（AD＜BC）．連接DE并延長與直線BC相交于點P，連接OB．（1）求證：BC=BP；（2）若DE?OB=40，求AD?BC的值；（3）在（2）條件下，若S△ADE：S△PBE=16：25，求四邊形ABCD的面積．11．如圖，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一點，△ABC為正三角形，D為BC的中點，M為⊙O上一點，并且∠BMC=60°．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的兩個動點，且∠EDF=120°，⊙O的半徑為2，試問BE+CF的值是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．12．已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，對角線AC平分∠DCB，延長DA，CB相交于點E．（1）如圖1，EB=AD，求證：△ABE是等腰直角三角形；（2）如圖2，連接OE，過點E作直線EF，使得∠OEF=30°，當∠ACE≥30°時，判斷直線EF與⊙O的位置關系，并說明理由．13．如圖直角坐標系中，以M（3，0）為圓心的⊙M交x軸負半軸于A，交x軸正半軸于B，交y軸于C、D．（1）若C點坐標為（0，4），求點A坐標．（2）在（1）的條件下，在⊙M上，是否存在點P，使∠CPM=45°，若存在，求出滿足條件的點P．（3）過C作⊙M的切線CE，過A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，當⊙M的半徑大小發(fā)生變化時．AN的長度是否變化？若變化，求變化范圍，若不變，證明并求值．14．如圖1在平面直角坐標系中，⊙O1與x軸切于A（﹣3，0）與y軸交于B、C兩點，BC=8，連AB．（1）求證：∠ABO1=∠ABO；（2）求AB的長；（3）如圖2，過A、B兩點作⊙O2與y軸的正半軸交于M，與O1B的延長線交于N，當⊙O2的大小變化時，得出下列兩個結論：①BM﹣BN的值不變；②BM+BN的值不變．其中有且只有一個結論正確，請判斷正確結論并證明．15．如圖，已知AB是⊙O直徑，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于點F，交BC于點G，過點C作⊙O的切線與ED的延長線交于點P．（1）求證：PC=PG；（2）點C在劣弧AD上運動時，其他條件不變，若點G是BC的中點，試探究CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關系，并寫出證明過程；（3）在滿足（2）的條件下，已知⊙O的半徑為5，若點O到BC的距離為時，求弦ED的長．16．如圖，AB是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線BM，點P在右半圓上移動（點P與點A，B不重合），過點P作PC⊥AB，垂足為C；點Q在射線BM上移動（點M在點B的右邊），且在移動過程中保持OQ∥AP．（1）若PC，QO的延長線相交于點E，判斷是否存在點P，使得點E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大?。蝗舨淮嬖?，請說明理由；（2）連接AQ交PC于點F，設，試問：k的值是否隨點P的移動而變化？證明你的結論．17．如圖，在⊙O上位于直徑AB的異側有定點C和動點P，AC=AB，點P在半圓弧AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作直線PB的垂線CD交PB于D點．（1）如圖1，求證：△PCD∽△ABC；（2）當點P運動到什么位置時，△PCD≌△ABC？請在圖2中畫出△PCD并說明理由；（3）如圖3，當點P運動到CP⊥AB時，求∠BCD的度數(shù)．18．如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB=60°．點P從A點出發(fā)，以cm/s的速度，沿AC向C作勻速運動；與此同時，點Q也從A點出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運動．當P運動到C點時，P、Q都停止運動．設點P運動的時間為ts．（1）當P異于A、C時，請說明PQ∥BC；（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點？19．已知，AB是⊙O的直徑，AB=8，點C在⊙O的半徑OA上運動，PC⊥AB，垂足為C，PC=5，PT為⊙O的切線，切點為T．（1）如圖（1），當C點運動到O點時，求PT的長；（2）如圖（2），當C點運動到A點時，連接PO、BT，求證：PO∥BT；（3）如圖（3），設PT2=y，AC=x，求y與x的函數(shù)關系式及y的最小值．20．如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，直線PO交⊙于點E、F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO與⊙O交于點C，連接BC，AF．（1）求證：直線PA為⊙O的切線；（2）試探究線段EF、OD、OP之間的等量關系，并加以證明；（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和線段PE的長．21．等腰直角△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．現(xiàn)△ABC以每秒2個單位的速度向右移動，同時△ABC的邊長AB、BC又以每秒0.5個單位沿BA、BC方向增大．（1）當△ABC的邊（BC邊除外）與圓第一次相切時，點B移動了多少距離？（2）若在△ABC移動的同時，⊙O也以每秒1個單位的速度向右移動，則△ABC從開始移動，到它的邊與圓最后一次相切，一共經(jīng)過了多少時間？22．如圖，半圓O的直徑AB=12cm，射線BM從與線段AB重合的位置起，以每秒6°的旋轉(zhuǎn)速度繞B點按順時針方向旋轉(zhuǎn)至BP的位置，BP交半圓于E，設旋轉(zhuǎn)時間為ts（0＜t＜15），（1）求E點在圓弧上的運動速度（即每秒走過的弧長），結果保留π．（2）設點C始終為的中點，過C作CD⊥AB于D，AE交CD、CB分別于G、F，過F作FN∥CD，過C作圓的切線交FN于N．求證：①CN∥AE；②四邊形CGFN為菱形；③是否存在這樣的t值，使BE2=CF?CB？若存在，求t值；若不存在，說明理由．23．如圖，直角坐標系中，已知兩點O（0，0），A（2，0），點B在第一象限且△OAB為正三角形．△OAB的外接圓交y軸的正半軸于點C．（1）點B的坐標是，點C的坐標是；（2）過點C的圓的切線交x軸于點D，則圖中陰影部分的面積是；（3）若OH⊥AB于點H，點P在線段OH上．點Q在y軸的正半軸上，OQ=PH，PQ與OB交于點M．當△OPM為等腰三角形時，求點Q的坐標；24．如圖，AB是半圓O的直徑，AB=2．射線AM、BN為半圓O的切線．在AM上取一點D，連接BD交半圓于點C，連接AC．過O點作BC的垂線OE，垂足為點E，與BN相交于點F．過D點作半圓O的切線DP，切點為P，與BN相交于點Q．（1）求證：△ABC∽△OFB；（2）當△ABD與△BFO的面枳相等時，求BQ的長；（3）求證：當D在AM上移動時（A點除外），點Q始終是線段BF的中點．

參考答案1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分線，點O在AC上，⊙O經(jīng)過B，D兩點，交BC于點E．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若AB=6，sin∠BAC=，求BE的長．（1）證明：連接DO，如圖1所示∵BD是∠ABC的平分線，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴DO∥BC，∵∠C=90°，∴∠ADO=90°，即AC⊥OD，∴AC是⊙O的切線．（2）解：設⊙O的半徑為R，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin∠BAC==，∴BC=×6=4，由（1）知，OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴，∴，解得：R=2.4，過O作OF⊥BC于F，如圖所示：則BE=2BF，OF∥AC，∴∠BOF=∠BAC，∴=sin∠BOF=，∴BF=×2.4=1.6，∴BE=2BF=3.2．2．已知直線l與⊙O，AB是⊙O的直徑，AD⊥l于點D．（1）如圖①，當直線l與⊙O相切于點C時，求證：AC平分∠DAB；（2）如圖②，當直線l與⊙O相交于點E，F(xiàn)時，求證：∠DAE=∠BAF．解：（1）連接OC，∵直線l與⊙O相切于點C，∴OC⊥CD；又∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO；又∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）如圖②，連接BF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE，在⊙O中，四邊形ABFE是圓的內(nèi)接四邊形，∴∠AEF+∠B=180°，∴∠BAF=∠DAE．3．已知，AB是⊙O的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B），把△AOP沿OP對折，點A的對應點C恰好落在⊙O上．（1）當P、C都在AB上方時（如圖1），判斷PO與BC的位置關系（只回答結果）；（2）當P在AB上方而C在AB下方時（如圖2），（1）中結論還成立嗎？證明你的結論；（3）當P、C都在AB上方時（如圖3），過C點作CD⊥直線AP于D，且CD是⊙O的切線，證明：AB=4PD．解：（1）PO與BC的位置關系是PO∥BC；（2）（1）中的結論PO∥BC成立，理由為：由折疊可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO，又∵OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠CPO，又∵∠A與∠PCB都為所對的圓周角，∴∠A=∠PCB，∴∠CPO=∠PCB，∴PO∥BC；（3）∵CD為圓O的切線，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO=∠COP，由折疊可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP，又OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠APO=∠AOP，∴△APO為等邊三角形，∴∠AOP=60°，又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，∴△BCO為等邊三角形，∴∠COB=60°，∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，∴△POC也為等邊三角形，∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°，在Rt△PCD中，PD=PC，又∵PC=OP=AB，∴PD=AB，即AB=4PD．4．如圖，△ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，F(xiàn)兩點，過點D作DE⊥AC，垂足為點E．（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；（2）過點E作EH⊥BC，垂足為點H，若AB=4，求EH的長及sin∠DHE的值（結果保留根號）．【解答】解：（1）DE是⊙O的切線；理由如下：連接OD，如圖1所示：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等邊三角形，∴∠BOD=60°，∴∠BOD=∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線；連接CD，作DM⊥EH于M，如圖2所示：∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=4，∠A=∠C=60°，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，∴AD=AB=2，∵DE⊥AC，∴∠ADE=90°﹣∠A=30°，∴AE=AD=1，DE=AE=，∴CE=AC﹣AE=3，∵EH⊥BC，∴∠CEH=90°﹣∠C=30°，∴CH=CE=，∴EH=CH=，∵∠DEH=90°﹣∠CEH=60°，∴∠EDM=90°﹣60°=30°，∴EM=DE=，∴DM=EM=，MH=EH﹣EM=，∴DH===，∴sin∠DHE===．5．如圖，點E在x軸正半軸上，以點E為圓心，OE為半徑的⊙E與x軸相交于點C，直線AB與⊙E相切于點D，已知點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（0，4）．（1）求線段AD的長；（2）連接BE、CD，則BE與CD平行嗎，為什么？（3）在⊙E上是否存在一點P，使得以點P、O、C為頂點的三角形相似于△BOE？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）連接DE，∵A的坐標為（3，0），點B的坐標為（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB==5，∵以點E為圓心，OE為半徑的⊙E與x軸相交于點C，直線AB與⊙E相切于點D，∴OB=DB=4，∴AD=5﹣4=1；（2）平行；連接BE、CD、OD，∵直線AB與⊙E相切于點D，∴∠ADC=∠AOD，∵OB⊙E于點O，∴OB=BD，∠OBE=∠DBE，∴BE⊥OD，∴∠OBE+∠BOD=90°，∵∠BOD+∠COD=90°，∴∠OBE=∠COD，∴∠ADC=∠DBE，∴BE與CD平行；（3）存在，P1，P2，P3，P4．6．如圖，在△ABC中，∠B=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于D，過點D作⊙O的切線交BC于E，AE交⊙O于點F．（1）求證：E是BC的中點；（2）求證：AD?AC=AE?AF=4DO2．（1）證明：連接BD，如右圖所示，∵AB是⊙O的直徑，∴BD⊥AC，又∵∠ABC=90°，∴CB切⊙O于點B，且ED且⊙O于點E，∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C，∴∠CDE=∠C，∴ED=EC，∴EB=EC，即點E是BC的中點；（2）證明：∵AB=2OD，∴AB2=4OD2，連接BF，由由上圖所示，∵AB是⊙O的直徑，∴BF⊥AE，∴△ABE∽△AFB，∴，∴AB2=AE?AF，同理可得，AB2=AD?AC，∴AB2=AD?AC=AE?AF，即AD?AC=AE?AF=4DO2．7．如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與點A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）當BC=1時，求線段OD的長；（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；（3）設BD=x，△DOE的面積為y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍。解：（1）如圖（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如圖（2），存在，DE是不變的．連接AB，則AB==2，∵D和E分別是線段BC和AC的中點，∴DE=AB=；（3）如圖（3），連接OC，∵BD=x，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，過D作DF⊥OE．∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，∴OE=OF+EF=+=∴y=DF?OE=??=（0＜x＜）．8．已知一個零刻度落在點A的量角器（半圓O）的直徑為AB，等腰直角△BCD繞點B旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，當?shù)妊苯恰鰾CD運動至斜邊BD交量角器邊緣于點G，直角邊CD交量角器邊緣于點E，F(xiàn)，第三邊交量角器邊緣于點H時，點G在量角器上的讀數(shù)為20°，求此時點H在量角器上的讀數(shù)．（2）如圖2，當點G，E在量角器上的讀數(shù)α，β滿足什么關系時，等腰直角△BCD的直角邊CD會與半圓O相切于點E？請說明理由．解：（1）如圖1所示：連接OG、OH．∵點G在量角器上的讀數(shù)為20°，∴∠AOG=20°．∵△BCD為等腰直角三角形，∴∠CBD=45°．∴∠HOG=90°．∴∠AOH=∠AOG+∠GOH=20°+90°=110°．（2）如圖2所示：連接OG、OE．∵DC為圓O的切線，E為切點，∴∠OED=90°．∴∠OED=∠C．∴EO∥CB．∴∠EOA=∠CBA=β．又∵∠GBA=∠GOA=α，∠ABC=∠ABG+∠DBC，∴β=+45°．9．如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．（1）證明：BD是⊙O的切線．（2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且△BEF的面積為16，cos∠BFA=，那么，你能求出△ACF的面積嗎？若能，請你求出其面積；若不能，請說明理由．解：（1）BD是⊙O的切線，理由：如右圖所示，連接OB，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∴∠BAC+∠C=90°，∵OA=OB，∴∠BAC=∠OBA，∴∠OBA+∠C=90°，∵∠ABD=∠C，∴∠ABD+∠OBA=90°，即∠OBD=90°，∴DB是⊙O的切線；（2）在Rt△ABF中，∵cos∠BFA=，∴=，∵∠E=∠C，∠EBF=∠FAC，∴△EBF∽△CAF，∴S△BFE：S△AFC=（）2=，∵△BEF的面積為16，∴△ACF的面積為36．10．如圖所示，CD為⊙O的直徑，AD、AB、BC分別與⊙O相切于點D、E、C（AD＜BC）．連接DE并延長與直線BC相交于點P，連接OB．（1）求證：BC=BP；（2）若DE?OB=40，求AD?BC的值；（3）在（2）條件下，若S△ADE：S△PBE=16：25，求四邊形ABCD的面積．【解：（1）證明：連接OE，如下圖①，∵BC、AB分別與⊙O相切于點C、E，∴∠OCB=∠OEB=90°，在RT△OCB與RT△OEB中，RT△OCB∽RT△OEB（HL）∴∠COB=∠EOB∵同弧所對的圓周角是其所對的圓心角的一半，∴∠COB=∠COE=∠CDP，∴DP∥OB，又點O是CD的中點，∴OB是△CDP的中位線，∴BC=BP（2）連接OA、OE、CE，如下圖②所示∵CD是⊙O的直徑，∴∠DEC=90°，又BC與⊙O相切于點C，∴∠DEC=∠OCB=90°，又∠4=∠6∴△DEC∽△OCB，∴∴DE?OB=OC?DC=40∴DC=2OCOC2=20，OC=2，∵又∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=90°，又∠1+∠5=90°，∴∠4=∠5∴△ADO∽△OCB∴∴AD?BC=OC?OD=OC2=20即：AD?BC=20（3）∵AD、BC分別與⊙O相切于點D、C，如圖②所示，∴CD⊥AD，CD⊥PC，∴AD∥PB∴△ADE∽△BPE∴==，∴，即：AD=BC=BP又∵AD?BC=20∴BC2=25即：BC=5∴S四邊形ABCD=（AD+BC）?2OC=OC（AD+BP）=2?BC=2××5=18即：四邊形ABCD的面積為1811．如圖，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一點，△ABC為正三角形，D為BC的中點，M為⊙O上一點，并且∠BMC=60°．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的兩個動點，且∠EDF=120°，⊙O的半徑為2，試問BE+CF的值是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．（1）證明：連結OB、OD、OC，如圖1，∵D為BC的中點，∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，∴∠ODB=90°，∵∠BMC=∠BOC，∴∠BOD=∠M=60°，∴∠OBD=30°，∵△ABC為正三角形，∴∠ABC=60°∴∠ABO=60°+30°=90°，∴AB⊥OB，∴AB是⊙O的切線；（2）解：BE+CF的值是為定值．作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，連結AD，如圖2，∵△ABC為正三角形，D為BC的中點，∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴DH=DN，∠HDN=120°，∵∠EDF=120°，∴∠HDE=∠NDF，在△DHE和△DNF中，，∴△DHE≌△DNF，∴HE=NF，∴BE+CF=BH﹣EH+CN+NF=BH+CN，在Rt△DHB中，∵∠DBH=60°，∴BH=BD，同理可得CN=OC，∴BE+CF=OB+OC=BC，∵BD=OB?cos30°=，∴BC=2，∴BE+CF的值是定值，為．12．已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，對角線AC平分∠DCB，延長DA，CB相交于點E．（1）如圖1，EB=AD，求證：△ABE是等腰直角三角形；（2）如圖2，連接OE，過點E作直線EF，使得∠OEF=30°，當∠ACE≥30°時，判斷直線EF與⊙O的位置關系，并說明理由．1）證明：∵對角線AC平分∠DCB，∴∠ACD=∠ACB，∴=，∴AD=AB，∵EB=AD，∴AB=EB，∵∠EBA=∠ADC=90°，∴△ABE是等腰直角三角形（2）解：直線EF與⊙O相離．理由如下：∵∠DCB＜90°，∠ACD=∠ACB，∵∠ACE≥30°，∴60°≤∠DCE＜90°，∴∠AEC≤30°，∴AE≥AC，∵OE＞AE，∴OE＞AC，作OH⊥EF于H，如圖，在Rt△OEH中，∵∠OEF=30°，∴OH=OE，∴OH＞OA，∴直線EF與⊙O相離．13．如圖直角坐標系中，以M（3，0）為圓心的⊙M交x軸負半軸于A，交x軸正半軸于B，交y軸于C、D．（1）若C點坐標為（0，4），求點A坐標．（2）在（1）的條件下，在⊙M上，是否存在點P，使∠CPM=45°，若存在，求出滿足條件的點P．（3）過C作⊙M的切線CE，過A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，當⊙M的半徑大小發(fā)生變化時．AN的長度是否變化？若變化，求變化范圍，若不變，證明并求值．解：（1）根據(jù)題意，連接CM，又M（3，0），C（0，4）；故CM=5，即⊙M的半徑為5；所以MA=5，且M（3，0）；即得A（﹣2，0）；（2）假設存在這樣的點P（x，y），結合題意，可得△CMP為等腰直角三角形，且CM=PM=5，故CP=5；結合題意有，；解之得：、⊙即存在兩個這樣的點P；P1（7，3），P2（﹣1，﹣3）；（3）AN的長不變?yōu)?．證明：連接CM，作MH⊥AN于H，易證△AMH≌△MCO，故AH=MO=3．即AN=HN+AH=3+3=6．14．如圖1在平面直角坐標系中，⊙O1與x軸切于A（﹣3，0）與y軸交于B、C兩點，BC=8，連AB．（1）求證：∠ABO1=∠ABO；（2）求AB的長；（3）如圖2，過A、B兩點作⊙O2與y軸的正半軸交于M，與O1B的延長線交于N，當⊙O2的大小變化時，得出下列兩個結論：①BM﹣BN的值不變；②BM+BN的值不變．其中有且只有一個結論正確，請判斷正確結論并證明．解：（1）連接O1A，則O1A⊥OA，又OB⊥OA，∴O1A∥OB，∴∠O1AB=∠ABO，又∵O1A=O1B，∴∠O1AB=∠O1BA，∴∠ABO1=∠ABO；（2）作O1E⊥BC于點E，∴E為BC的中點，∵BC=8，∴BE=BC=4，∵A（﹣3，0），∴O1E=OA=3，在直角三角形O1BE中，根據(jù)勾股定理得：O1B===5，∴O1A=EO=5，∴BO=5﹣4=1，在直角三角形AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB==；（3）①BM﹣BN的值不變，理由為：證明：在MB上取一點G，使MG=BN，連接AM、AN、AG、MN，∵∠ABO1為四邊形ABMN的外角，∴∠ABO1=∠NMA，又∠ABO1=∠ABO，∴∠ABO=∠NMA，又∠ABO=∠ANM，∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，∵∠AMG和∠ANB都為所對的圓周角，∴∠AMG=∠ANB，在△AMG和△ANB中，∵，∴△AMG≌△ANB（SAS），∴AG=AB，∵AO⊥BG，∴BG=2BO=2，∴BM﹣BN=BM﹣MG=BG=2其值不變．15．如圖，已知AB是⊙O直徑，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于點F，交BC于點G，過點C作⊙O的切線與ED的延長線交于點P．（1）求證：PC=PG；（2）點C在劣弧AD上運動時，其他條件不變，若點G是BC的中點，試探究CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關系，并寫出證明過程；（3）在滿足（2）的條件下，已知⊙O的半徑為5，若點O到BC的距離為時，求弦ED的長．【解答】（1）證明：連結OC，如圖，∵PC為⊙O的切線，∴OC⊥PC，∴∠OCG+∠PCG=90°，∵ED⊥AB，∴∠B+∠BGF=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠OCG，∴∠PCG=∠BGF，而∠BGF=∠PGC，∴∠PGC=∠PCG，∴PC=PG；（2）解：CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關系為CG2=BO?BF．理由如下：連結OG，如圖，∵點G是BC的中點，∴OG⊥BC，BG=CG，∴∠OGB=90°，∵∠OBG=∠GBF，∴Rt△BOG∽Rt△BGF，∴BG：BF=BO：BG，∴BG2=BO?BF，∴CG2=BO?BF；（3）解：連結OE，如圖，由（2）得OG⊥BC，∴OG=，在Rt△OBG中，OB=5，∴BG==2，由（2）得BG2=BO?BF，∴BF==4，∴OF=1，在Rt△OEF中，EF==2，∵AB⊥ED，∴EF=DF，∴DE=2EF=4．16．如圖，AB是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線BM，點P在右半圓上移動（點P與點A，B不重合），過點P作PC⊥AB，垂足為C；點Q在射線BM上移動（點M在點B的右邊），且在移動過程中保持OQ∥AP．（1）若PC，QO的延長線相交于點E，判斷是否存在點P，使得點E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大??；若不存在，請說明理由；（2）連接AQ交PC于點F，設，試問：k的值是否隨點P的移動而變化？證明你的結論．解：（1）解法一：當點E在⊙O上時，設OQ與⊙O交于點D，∵AB⊥PC，∴=．∵AP∥OQ，∴∠APE=∠PEQ．∴=．又∠AOE=∠BOD，=，，∴．（2）k值不隨點P的移動而變化．理由是：∵P是⊙O右半圓上的任意一點，且AP∥OQ，∴∠PAC=∠QOB．∵BM是⊙O的切線，∴∠ABQ=90°．又∵PC⊥AB，∴∠ACP=90°．∴∠ACP=∠ABQ．∴△ACP∽△OBQ．∴．又∵∠CAF=∠BAQ，∠ACF=∠ABQ=90°，∴△ACF∽△ABQ．∴．又∵AB=2OB，∴即．∴PC=2CF即PF=CF．∴=．即k值不隨點P的移動而變化．17．如圖，在⊙O上位于直徑AB的異側有定點C和動點P，AC=AB，點P在半圓弧AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作直線PB的垂線CD交PB于D點．（1）如圖1，求證：△PCD∽△ABC；（2）當點P運動到什么位置時，△PCD≌△ABC？請在圖2中畫出△PCD并說明理由；（3）如圖3，當點P運動到CP⊥AB時，求∠BCD的度數(shù)．（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵PD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠D=∠ACB，∵∠A與∠P是對的圓周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC；（2）解：當點P運動到以OC所在直徑交AB的點上時，△PCD≌△ABC，理由：∵AB，PC是⊙O的直徑，∴∠PBC=∠ACB=90°，AB=PC，∵∠A=∠P在△PCD和△ABC中，，∴△PCD≌△ABC（AAS）；（3）解：∵∠ACB=90°，AC=AB，∴∠ABC=30°，∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°，∵CP⊥AB，AB是⊙O的直徑，∴=，∴∠ACP=∠ABC=30°，∵CP⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠DCB+∠ABC=60°，∴∠BCD=30°．18．如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB=60°．點P從A點出發(fā)，以cm/s的速度，沿AC向C作勻速運動；與此同時，點Q也從A點出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運動．當P運動到C點時，P、Q都停止運動．設點P運動的時間為ts．（1）當P異于A、C時，請說明PQ∥BC；（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點？解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，且菱形ABCD的邊長為2cm，∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB，又∵∠DAB=60°（已知），∴∠BAC=∠BCA=30°；如圖1，連接BD交AC于O．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC，∴OB=AB=1，∴OA=（cm），AC=2OA=2（cm），運動ts后，，∴又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB，∴∠APQ=∠ACB∴PQ∥BC（2）如圖2，⊙P與BC切于點M，連接PM，則PM⊥BC．在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=PC=由PM=PQ=AQ=t，即=t解得t=4﹣6，此時⊙P與邊BC有一個公共點；如圖3，⊙P過點B，此時PQ=PB，∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°∴△PQB為等邊三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1∴時，⊙P與邊BC有2個公共點．如圖4，⊙P過點C，此時PC=PQ，即2t=t，∴t=3﹣．∴當1＜t≤3﹣時，⊙P與邊BC有一個公共點，當點P運動到點C，即t=2時P與C重合，Q與B重合，也只有一個交點，此時，⊙P與邊BC有一個公共點，∴當t=4﹣6或1＜t≤3﹣或t=2時，⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個公共點；當4﹣6＜t≤1時，⊙P與邊BC有2個公共點．19．已知，AB是⊙O的直徑，AB=8，點C在⊙O的半徑OA上運動，PC⊥AB，垂足為C，PC=5，PT為⊙O的切線，切點為T．（1）如圖（1），當C點運動到O點時，求PT的長；（2）如圖（2），當C點運動到A點時，連接PO、BT，求證：PO∥BT；（3）如圖（3），設PT2=y，AC=x，求y與x的函數(shù)關系式及y的最小值．（1）解：連接OT∵PC=5，OT=4，∴由勾股定理得，PT===3；（2）證明：連接OT，∵PT，PC為⊙O的切線，∴OP平分劣弧AT，∴∠POA=∠POT，∵∠AOT=2∠B，∴∠AOP=∠B，∴PO∥BT；（3）解：設PC交⊙O于點D，延長線交⊙O于點E，由相交弦定理，得CD2=AC?BC，∵AC=x，∴BC=8﹣x，∴CD=，∴由切割線定理，得PT2=PD?PE，∵PT2=y，PC=5，∴y=[5﹣][5+]，∴y=25﹣x（8﹣x）=x2﹣8x+25，∴y最小==9．20．如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，直線PO交⊙于點E、F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO與⊙O交于點C，連接BC，AF．（1）求證：直線PA為⊙O的切線；（2）試探究線段EF、OD、OP之間的等量關系，并加以證明；（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和線段PE的長．解：（1）連接OB，∵PB是⊙O的切線，∴∠PBO=90°，∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB，又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS），∴∠PAO=∠PBO=90°，∴OA⊥PA，∴直線PA為⊙O的切線．（2）EF2=4OD?OP．證明：∵∠PAO=∠PDA=90°∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°，∴∠OAD=∠OPA，∴△OAD∽△OPA，∴=，即OA2=OD?OP，又∵EF=2OA，∴EF2=4OD?OP．（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=BC=3（三角形中位線定理），設AD=x，∵tan∠F=，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32，解之得，x1=4，x2=0（不合題意，舍去），∴AD=4，OA=2x﹣3=5，∵AC是⊙O直徑，∴∠ABC=90°，又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB==．∵OA2=OD?OP，∴3（PE+5）=25，∴PE=．21．等腰直角△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．現(xiàn)△ABC以每秒2個單位的速度向右移動，同時△ABC的邊長AB、BC又以每秒0.5個單位沿BA、BC方向增大．（1）當△ABC的邊（BC邊除外）與圓第一次相切時，點B移動了多少距離？（2）若在△ABC移動的同時，⊙O也以每秒1個單位的速度向右移動，則△ABC從開始移動，到它的邊與圓最后一次相切，一共經(jīng)過了多少時間？（3）在（2）的條件下，是否存在某一時刻，△ABC與⊙O的公共部分等于⊙O的面積？若存在，求出恰好符合條件時兩個圖形移動了多少時間？若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）設第一次相切時，△ABC移至△A′B′C′處，A′C′與⊙O切于點E，連OE并延長，交B′C′于F．設⊙O與直線l切于點D，連OD，則OE⊥A′C′，OD⊥直線l．由切線長定理可知C’E=C′D，設C′D=x，則C′E=x，易知C′F=x．∴x+x=1，∴x=﹣1，∴CC’=5﹣1﹣（﹣1）=5﹣．∴點C運動的時間為（5﹣）÷（2+0.5）=2﹣．∴點B運動的距離為（2﹣）×2=4﹣．（2）∵△ABC與⊙O從開始運動到最后一次相切時，是AB與圓相切，且圓在AB的左側，故路程差為6，速度差為1，∴從開始運動到最后一次相切的時間為6秒．（3）∵△ABC與⊙O從開始運動到第二次相切時，路程差為4，速度差為1，∴從開始運動到第二次相切的時間為4秒，此時△ABC移至△A″B″C″處，A″B″=1+4×=3．連接B”O(jiān)并延長交A″C″于點P，易證B″P⊥A″C″，且OP=﹣=＜1．∴此時⊙O與A″C″相交，∴不存在．22．如圖，半圓O的直徑AB=12cm，射線BM從與線段AB重合的位置起，以每秒6°的旋轉(zhuǎn)速度繞B點按順時針方向旋轉(zhuǎn)至BP的位置，BP交半圓于E，設旋轉(zhuǎn)時間為ts（0＜t＜15），（1）求E點在圓弧上的運動速度（即每秒走過的弧長），結果保留π．（2）設點C始終為的中點，過C作CD⊥AB于D，AE交CD、CB分別于G、F，過F作FN∥CD，過C作圓的切線交FN于N．求證：①CN∥AE；②四邊形CGFN為菱形；③是否存在這樣的t值，使BE2=CF?CB？若存在，求t值；若不存在，說明理由．【解答】（1）解：∵射線BM從與線段AB重合的位置起，以每秒6°的旋轉(zhuǎn)速度繞B點按順時針方向旋轉(zhuǎn)至BP的位置，∴B一秒P轉(zhuǎn)動的圓心角為12°，∴每秒走過的弧長為：=πcm∕s；（2）①證明：如圖所示：∵點C始終為的中點，過C作CD⊥AB于D，AE