專題05 五大類圓錐曲線題型-2024年高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項訓(xùn)練（新高考新題型專用）（學(xué)生版）

專題05五類圓錐曲線題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項訓(xùn)練（原卷版）【題型1圓錐曲線中的軌跡方程問題】【題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問題】【題型3圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題】【題型4圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題】【題型5圓錐曲線中的極點與極線】題型1圓錐曲線中的軌跡方程問題曲線方程的定義一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個關(guān)系：①曲線上的點的坐標都是方程的解；②以方程的解為坐標的點都是曲線上的點．此時，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼担ㄈ绻呀o出，本步驟省略）；（2）設(shè)曲線上任意一點的坐標為；（3）根據(jù)曲線上點所適合的條件寫出等式；（4）用坐標表示這個等式，并化簡；（5）確定化簡后的式子中點的范圍．上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍．求軌跡方程的方法：定義法：如果動點的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。直接法：如果動點的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點的坐標表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。代入法（相關(guān)點法）：如果動點的運動是由另外某一點的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程。點差法：圓錐曲線中與弦的中點有關(guān)的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點的坐標滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程.已知雙曲線與直線：有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸，軸于，兩點，點坐標為，當(dāng)點坐標為時，點坐標為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)當(dāng)點運動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.已知，直線相交于，且直線的斜率之積為2.(1)求動點的軌跡方程；(2)設(shè)是點軌跡上不同的兩點且都在軸的右側(cè)，直線在軸上的截距之比為，求證：直線經(jīng)過一個定點，并求出該定點坐標.在平面直角坐標系中，已知點，點的軌跡為.(1)求的方程；(2)設(shè)點在直線上，為的左右頂點，直線交于點（異于），直線交于點（異于），交于，過作軸的垂線分別交?于，問是否存在常數(shù)，使得.1．M是一個動點，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，且．(1)求動點M的軌跡方程E；(2)設(shè)，，過點的直線l與曲線E交于A，B兩點（點A在x軸上方），P為直線，的交點，當(dāng)點P的縱坐標為時，求直線l的方程．2．在平面直角坐標系中，已知雙曲線經(jīng)過點，點與點關(guān)于原點對稱，為上一動點，且異于兩點.(1)求的離心率；(2)若△的重心為，點，求的最小值；(3)若△的垂心為，求動點的軌跡方程.3．已知長為的線段的中點為原點，圓經(jīng)過兩點且與直線相切，圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點且互相垂直的直線分別與曲線交于點和點，且，四邊形的面積為，求實數(shù)的值.4．已知橢圓的離心率為，長軸長為4，是其左、右頂點，是其右焦點．(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)是橢圓上一點，的角平分線與直線交于點．①求點的軌跡方程；②若面積為，求．5．已知點和直線，點到的距離.(1)求點的軌跡方程；(2)不經(jīng)過圓點的直線與點的軌跡交于，兩點.設(shè)直線，的斜率分別為，，記，是否存在值使得的面積為定值，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.6．已知動圓過定點，且截軸所得的弦長為4.(1)求動圓圓心的軌跡方程；(2)若點，過點的直線交的軌跡于兩點，求的最小值.7．在中，已知，，設(shè)分別是的重心、垂心、外心，且存在使.(1)求點的軌跡的方程；(2)求的外心的縱坐標的取值范圍；(3)設(shè)直線與的另一個交點為，記與的面積分別為，是否存在實數(shù)使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.8．已知，，為平面上的一個動點.設(shè)直線的斜率分別為，，且滿足.記的軌跡為曲線.(1)求的軌跡方程；(2)直線，分別交動直線于點，過點作的垂線交軸于點.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問題：已知點是橢圓上的一個定點，是橢圓上的兩個動點。若直線，則直線過定點且定點為；當(dāng)時，為定值；證明:重新建系將橢圓上的成為新的坐標原點按得橢圓又點在橢圓上，所以，代入上式可得①橢圓上的定點和動點分別對應(yīng)橢圓上的定點和動點，設(shè)直線的方程為，代入①得。當(dāng)時，兩邊除以得．，因為點的坐標滿足這個方程，所以是這個關(guān)于的方程的兩個根．若，由平移斜率不變可知，故，當(dāng)時，所以，由此得。所以的斜率為定值，為定值；即，由此知點在直線上，從而直線過定點．：已知點是平面內(nèi)一個定點，橢圓：上有兩動點若直線，則直線過定點．證明：重新建系將橢圓上的成為新的坐標原點按橢圓：，展開得：．平面內(nèi)的定點和橢圓上的動點分別對應(yīng)橢圓上的定點和動點、，設(shè)直線的方程為，代入展開式得（構(gòu)造齊次式），當(dāng)時，兩邊同時除以整理得，因為點的坐標滿足這個方程，所以和是關(guān)于的方程的兩根．若，由平移斜率不變可知所以整理可得到和的關(guān)系，從而可知直線過定點，由平移規(guī)律可得直線過定點．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是橢圓的一個頂點，是等腰直角三角形．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點是橢圓上一動點，求線段的中點的軌跡方程；（3）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，探究：直線是否過定點，并說明理由.已知橢圓的左、右焦點分別是，，點在橢圓上，且．（1）求橢圓的標準方程；（2）過點且不過點的直線交橢圓于，兩點，求證：直線與的斜率之和為定值．如圖，橢圓經(jīng)過點，且離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）若經(jīng)過點，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值．1．已知橢圓經(jīng)過點，下頂點為拋物線的焦點．(1)求橢圓的方程；(2)若點均在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，（?。┣笞C：直線過定點；（ⅱ）當(dāng)時，求直線的方程．2．已知橢圓：（）中，點，分別是的左、上頂點，，且的焦距為．(1)求的方程和離心率；(2)過點且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，若，求的值．3．已知橢圓E：經(jīng)過點，右焦點為，A，B分別為橢圓E的上頂點和下頂點.(1)求橢圓E的標準方程；(2)已知過且斜率存在的直線l與橢圓E交于C、D兩點，直線BD與直線AC的斜率分別為k1和k2，求的值.4．在平面直角坐標系中，重新定義兩點之間的“距離”為，我們把到兩定點的“距離”之和為常數(shù)的點的軌跡叫“橢圓”．(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點為，過作直線交于兩點，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．5．焦點在軸上的橢圓的左頂點為，，，為橢圓上不同三點，且當(dāng)時，直線和直線的斜率之積為．(1)求的值；(2)若的面積為1，求和的值；(3)在（2）的條件下，設(shè)的中點為，求的最大值．6．已知，分別是橢圓的左、右焦點，左頂點為A，則上頂點為，且的方程為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若是直線上一點，過點的兩條不同直線分別交于點，和點，，且，求證：直線的斜率與直線的斜率之和為定值.7．已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，右頂點為，的面積為，.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點且斜率大于的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為，若，求直線與直線的斜率之積的最小值.8．已知P為圓上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，M為PQ的中點.M的軌跡曲線E.(1)求曲線E的軌跡方程；(2)曲線E交x軸正半軸于點A，交y軸正半軸于點B.直線與曲線E交于C，D兩點，若直線直線AB，設(shè)直線AC，BD的斜率分別為.證明：為定值．題型3圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題弦長公式（最常用公式，使用頻率最高）三角形面積問題直線方程：焦點三角形的面積直線過焦點的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項系數(shù)平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).范圍問題應(yīng)用均值不等式求解最值時，應(yīng)注意“一正二定三相等”圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：（1）（注意分三種情況討論）（2）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立（3）當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.（4）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立(5)當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.雙曲線，最早由門奈赫莫斯發(fā)現(xiàn)，后來阿波羅尼茲進行了總結(jié)和完善.在他的著作中，雙曲線也被稱作“超曲線”.已知雙曲線的實半軸長為2，左?右頂點分別為，經(jīng)過點的直線與的右支分別交于兩點，其中點在軸上方.(1)若軸時，，設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.設(shè)拋物線方程為，過點的直線分別與拋物線相切于兩點，且點在軸下方，點在軸上方.(1)當(dāng)點的坐標為時，求；(2)點在拋物線上，且在軸下方，直線交軸于點，直線交軸于點，且.若的重心在軸上，求的最大值.（注：表示三角形的面積）已知橢圓C：過點A（2，），且C的離心率為.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l交C于不同于點A的M，N兩點，直線AM，AN的傾斜角分別為，，若，求面積的最大值.1．設(shè)點、分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，且的最小值為．(1)求橢圓的方程；(2)求橢圓的外切矩形的面積的最大值．2．在橢圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足，點在線段上，且滿足.(1)當(dāng)點在橢圓上運動時，求點的軌跡的方程；(2)若曲線與，軸的正半軸分別交于點，，點是上第三象限內(nèi)一點，線段與軸交于點，線段與軸交于點，求四邊形的面積.3．在橢圓(雙曲線)中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，該圓的圓心是橢圓(雙曲線)的中心，半徑等于橢圓(雙曲線)長半軸(實半軸)與短半軸(虛半軸)平方和(差)的算術(shù)平方根，則這個圓叫蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓的面積為，該橢圓的上頂點和下頂點分別為，且，設(shè)過點的直線與橢圓交于兩點（不與兩點重合）且直線.(1)證明：，的交點在直線上;(2)求直線圍成的三角形面積的最小值.4．已知橢圓的方程，右焦點為，且離心率為(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是橢圓的左、右頂點，過的直線交于兩點（其中點在軸上方），求與的面積之比的取值范圍.5．已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為．點在直線上運動，且直線的斜率與直線的斜率之商為2．(1)求的方程；(2)若點A、B在橢圓上，為坐標原點，且，求面積的最小值．6．已知橢圓的下、上頂點分別為，左、右頂點分別為，四邊形的面積為，若橢圓上的點到右焦點距離的最大值和最小值之和為6.(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與交于（異于兩點，設(shè)直線與直線交于點，探究三角形的面積是否為定值，請說明理由.7．已知橢圓經(jīng)過，兩點．(1)求的方程；(2)若圓的兩條相互垂直的切線均不與坐標軸垂直，且直線分別與相交于點A，C和B，D，求四邊形面積的最小值．8．已知橢圓的方程為，由其個頂點確定的三角形的面積為，點在上，為直線上關(guān)于軸對稱的兩個動點，直線與的另一個交點分別為.(1)求的標準方程；(2)證明：直線經(jīng)過定點；(3)為坐標原點，求面積的最大值.題型4圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題定點問題1.求解(或證明)直線和曲線過定點的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量，視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點，那么這個方程就是對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于，的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．2.常用方法：一是引進參數(shù)法，引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點；二是特殊到一般法，根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).定值問題1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值．常見定值問題的處理方法：（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示（2）將所求表達式用核心變量進行表示，然后進行化簡，看能否得到一個常數(shù).2.定值問題的處理技巧：（1）對于較為復(fù)雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進而給后面一般情況的處理提供一個方向.（2）在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算定直線問題定直線問題是證明動點在定直線上，其實質(zhì)是求動點的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．已知拋物線C：y2=2px（p>0），M是其準線與x軸的交點，過點M的直線l與拋物線C交于A，B兩點，當(dāng)點A的坐標為（4，y0）時，有．(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為點P，證明：直線BP過定點，并求出該定點坐標．已知斜率為的直線與拋物線相交于兩點．(1)求線段中點縱坐標的值；(2)已知點，直線分別與拋物線相交于兩點（異于）．求證：直線恒過定點，并求出該定點的坐標．已知雙曲線，點是雙曲線的左頂點，點坐標為.(1)過點作的兩條漸近線的平行線分別交雙曲線于，兩點.求直線的方程；(2)過點作直線與橢圓交于點，，直線，與雙曲線的另一個交點分別是點，.試問：直線是否過定點，若是，請求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由.1．已知橢圓的左?右焦點分別為過點，且的長軸長為8.(1)求的方程.(2)設(shè)的右頂點為點，過點的直線與交于兩點（異于），直線與軸分別交于點，試問線段的中點是否為定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.2．已知橢圓的上下頂點分別為，左右頂點分別為，四邊形的面積為，若橢圓上的點到右焦點距離的最大值和最小值之和為6.(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與交于（異于）兩點，設(shè)直線與直線交于點，證明：點在定直線上.3．如圖，已知橢圓的短軸長為，焦點與雙曲線的焦點重合.點，斜率為的直線與橢圓交于兩點.

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進行解答)極點與極線是法國數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對于橢圓，極點（不是原點）對應(yīng)的極線為，且若極點在軸上，則過點作橢圓的割線交于點，則對于上任意一點，均有（當(dāng)斜率均存在時）.已知點是直線上的一點，且點的橫坐標為2.連接交軸于點.連接分別交橢圓于兩點.①設(shè)直線、分別交軸于點、點，證明：點為、的中點；②證明直線：恒過定點，并求出定點的坐標.4．已知橢圓的左?右焦點分別為，過點，且.(1)求的方程.(2)設(shè)的右頂點為點，過點的直線與交于兩點（異于），直線與軸分別交于點，試問線段的中點是否為定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.5．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點且不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于兩點，過分別作軸的垂線，垂足為點，求證：直線與的交點在某條定直線上，并求該定直線的方程.6．已知橢圓的左頂點和下頂點B，焦距為，直線l交橢圓L于C，D（不同于橢圓的頂點）兩點，直線AD交y軸于M，直線BC交x軸于N，且直線MN交l于P.(1)求橢圓L的標準方程；(2)若直線AD，BC的斜率相等，證明：點P在一條定直線上運動.7．在平面直角坐標系xOy中，動點M到點的距離與到直線的距離之比為．(1)求動點M軌跡W的方程；(2)過點F的兩條直線分別交W于A，B兩點和C，D兩點，線段AB，CD的中點分別為P，Q．設(shè)直線AB，CD的斜率分別為，，且，試判斷直線PQ是否過定點．若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．8．已知動圓經(jīng)過定點，且與圓：內(nèi)切.(1)求動圓圓心的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡與軸從左到右的交點為，，點為軌跡上異于，的動點，設(shè)交直線于點，連接交軌跡于點，直線，的斜率分別為，.①求證：為定值；②證明：直線經(jīng)過軸上的定點，并求出該定點的坐標.題型5圓錐曲線中的極點與極線圓錐曲線的極點與極線已知橢圓（a＞b＞0），則稱點和直線為橢圓的一對極點和極線．極點和極線是成對出現(xiàn)的．我們先從幾何的角度來研究圓錐曲線的極點與極線．從幾何角度看極點與極線如圖，設(shè)是不在圓錐曲線上的一點，過點引兩條割線依次交圓錐曲線于四點，，，，連接，交于，連接，交于，則直線為點對應(yīng)的極線．若為圓錐曲線上的點，則過點的切線即為極線．由圖同理可知，為點對應(yīng)的極線，為點所對應(yīng)的極線．因而將稱為自極三點形．設(shè)直線交圓錐曲線于點，兩點，則，恰為圓錐曲線的兩條切線．定理：（1）當(dāng)在圓錐曲線上時，則點的極線是曲線在點處的切線；（2）當(dāng)在外時，過點作的兩條切線，設(shè)其切點分別為，，則點的極線是直線（即切點弦所在的直線）；（3）當(dāng)在內(nèi)時，過點任作一割線交于，，設(shè)在，處的切線交于點，則點的極線是動點的軌跡．已知拋物線的焦點為，且與圓上的點的距離的最小值4．(1)求；(2)若點在圓上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．已知F為拋物線的焦點，直線與C交于A，B兩點且.（1）求C的方程.（2）若直線與C交于M，N兩點，且與相交于點T，證明：點T在定直線上.若雙曲線與橢圓共頂點，且它們的離心率之積為．（1）求橢