高一數(shù)學(xué)必修2第二章測試題及答案解析

其次章綜合檢測題一、選擇題1．若直線a和b沒有公共點(diǎn)，則a與b的位置關(guān)系是()A．相交B．平行C．異面 D．平行或異面2．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1A．3B．4C．5D．63．已知平面α和直線l，則α內(nèi)至少有一條直線與l()A．平行B．相交C．垂直D．異面4．長方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線AB，A1D1A．30°B．45°C．60°D．90°5．對兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面α，使得()Aa?α，b?αBa?α，b∥αCa⊥α，b⊥α Da?α，b⊥α6．下面四個命題：①若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面；②若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交；③若a∥b，則a，b與c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，則a∥c.其中真命題的個數(shù)為()A．4B．3C．2D．17．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段A1B1，B1C1上的不與端點(diǎn)重合的動點(diǎn)，假如A1E＝B①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF與AC異面；④EF∥平面ABCD.其中肯定正確的有()A．①②B．②③C．②④D．①④8．設(shè)a，b為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，下列命題中為真命題的是()A．若a，b與α所成的角相等，則a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥bC．若a?α，b?β，a∥b，則α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，n∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不肯定成立的是A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β10已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CC1的中點(diǎn)，則直線AE與D1A．－eq\f(4,5)B..eq\f(3,5)C.eq\f(3,4)D．－eq\f(3,5)11．已知三棱錐D－ABC的三個側(cè)面與底面全等，且AB＝AC＝eq\r(3)，BC＝2，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(1,3)C．0D．－eq\f(1,2)12．如圖所示，點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，則PB與AC所成的角是()A．90°B．60°C．45° D．30°二、填空題13．下列圖形可用符號表示為________．14．正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C15．設(shè)平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點(diǎn)S，且點(diǎn)S位于平面α，β之間，AS＝8，BS＝6，CS＝12，則SD＝________.16．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下四個結(jié)論：①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與平面BCD成60°的角；④AB與CD所成的角是60°.其中正確結(jié)論的序號是________．三、解答題17．如下圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC與△A1B1C1都為正三角形且AA1⊥面ABC，F(xiàn)、F1分別是AC，A1求證：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC118如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中點(diǎn)．(1)證明：CD⊥平面PAE；(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P－ABCD的體積．19如圖所示，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2eq\r(2)，M為BC的中點(diǎn)．(1)證明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大?。?0如圖，棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1(1)證明：平面AB1C⊥平面A1BC1(2)設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B∥平面B1CD，求A1DDC121如圖，△ABC中，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，ABED是邊長為1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)．(1)求證：GF∥底面ABC；(2)求證：AC⊥平面EBC；(3)求幾何體ADEBC的體積V.22如下圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點(diǎn)D是AB(1)求證：AC⊥BC1；(2)求證：AC1∥平面CDB1；(3)求異面直線AC1與B1C詳解答案1[答案]D2[答案]C[解析]AB與CC1為異面直線，故棱中不存在同時(shí)與兩者平行的直線，因此只有兩類：第一類與AB平行與CC1相交的有：CD、C1D1與CC1平行且與AB相交的有：BB1、AA1，其次類與兩者都相交的只有BC，故共有5條．3[答案]C[解析]1°直線l與平面α斜交時(shí)，在平面α內(nèi)不存在與l平行的直線，∴A錯；2°l?α?xí)r，在α內(nèi)不存在直線與l異面，∴D錯；3°l∥α?xí)r，在α內(nèi)不存在直線與l相交．無論哪種情形在平面α內(nèi)都有多數(shù)條直線與l垂直．4[答案]D[解析]由于AD∥A1D1，則∠BAD是異面直線AB，A1D1所成的角，很明顯∠BAD＝90°.5[答案]B[解析]對于選項(xiàng)A，當(dāng)a與b是異面直線時(shí)，A錯誤；對于選項(xiàng)B，若a，b不相交，則a與b平行或異面，都存在α，使a?α，b∥α，B正確；對于選項(xiàng)C，a⊥α，b⊥α，肯定有a∥b，C錯誤；對于選項(xiàng)D，a?α，b⊥α，肯定有a⊥b，D錯誤．6[答案]D[解析]異面、相交關(guān)系在空間中不能傳遞，故①②錯；依據(jù)等角定理，可知③正確；對于④，在平面內(nèi)，a∥c，而在空間中，a與c可以平行，可以相交，也可以異面，故④錯誤．7[答案]D[解析]如圖所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，則EF⊥AA1，所以①正確；當(dāng)E，F(xiàn)分別是線段A1B1，B1C1的中點(diǎn)時(shí)，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，則EF∥AC，所以③不正確；當(dāng)E，F(xiàn)分別不是線段A1B1，B1C1的中點(diǎn)時(shí)，EF與AC異面，所以②不正確；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF?平面A1B1C1D18[答案]D[解析]選項(xiàng)A中，a，b還可能相交或異面，所以A是假命題；選項(xiàng)B中，a，b還可能相交或異面，所以B是假命題；選項(xiàng)C中，α，β還可能相交，所以C是假命題；選項(xiàng)D中，由于a⊥α，α⊥β，則a∥β或a?β，則β內(nèi)存在直線l∥a，又b⊥β，則b⊥l，所以a⊥b.9[答案]C[解析]如圖所示：AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β.10[答案]eq\f(3,5)命題意圖]本試題考查了正方體中異面直線的所成角的求解的運(yùn)用．[解析]首先依據(jù)已知條件，連接DF，然后則角DFD1即為異面直線所成的角，設(shè)邊長為2，則可以求解得到eq\r(5)＝DF＝D1F，DD1＝2，結(jié)合余弦定理得到結(jié)論．11[答案]C[解析]取BC中點(diǎn)E，連AE、DE，可證BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED為二面角A－BC－D的平面角又AE＝ED＝eq\r(2)，AD＝2，∴∠AED＝90°，故選C.12[答案]B[解析]將其還原成正方體ABCD－PQRS，顯見PB∥SC，△ACS為正三角形，∴∠ACS＝60°.13[答案]α∩β＝AB14[答案]45°[解析]如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，則∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，則∠C1BC15[答案]9[解析]如下圖所示，連接AC，BD，則直線AB，CD確定一個平面ACBD.∵α∥β，∴AC∥BD，則eq\f(AS,SB)＝eq\f(CS,SD)，∴eq\f(8,6)＝eq\f(12,SD)，解得SD＝9.16[答案]①②④[解析]如圖所示，①取BD中點(diǎn)，E連接AE，CE，則BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC?平面AEC，故AC⊥BD，故①正確．②設(shè)正方形的邊長為a，則AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a.由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，∴△ACD是等邊三角形，故②正確．③由題意與①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB與平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正確．④分別取BC，AC的中點(diǎn)為M，N，連接ME，NE，MN.則MN∥AB，且MN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)a，ME∥CD，且ME＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)a，∴∠EMN是異面直線AB，CD所成的角．在Rt△AEC中，AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a，AC＝a，∴NE＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正確．17[證明](1)在正三棱柱ABC－A1B1C1∵F、F1分別是AC、A1C1∴B1F1∥BF，AF1∥C1又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝∴平面AB1F1∥平面C1BF(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB∴平面AB1F1⊥平面ACC1A18[解析](1)如圖所示，連接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.又AD＝5，E是CD的中點(diǎn)，所以CD⊥AE.∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.而PA，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE.(2)過點(diǎn)B作BG∥CD，分別與AE，AD相交于F，G，連接PF.由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BG⊥AE.由PA⊥平面ABCD知，∠PBA為直線PB與平面ABCD所成的角．AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由題意，知∠PBA＝∠BPF，因?yàn)閟in∠PBA＝eq\f(PA,PB)，sin∠BPF＝eq\f(BF,PB)，所以PA＝BF.由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四邊形BCDG是平行四邊形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2.在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以BG＝eq\r(AB2＋AG2)＝2eq\r(5)，BF＝eq\f(AB2,BG)＝eq\f(16,2\r(5))＝eq\f(8\r(5),5).于是PA＝BF＝eq\f(8\r(5),5).又梯形ABCD的面積為S＝eq\f(1,2)×(5＋3)×4＝16，所以四棱錐P－ABCD的體積為V＝eq\f(1,3)×S×PA＝eq\f(1,3)×16×eq\f(8\r(5),5)＝eq\f(128\r(5),15).19[解析](1)證明：如圖所示，取CD的中點(diǎn)E，連接PE，EM，EA，∵△PCD為正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝eq\r(3).∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM.∵四邊形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均為直角三角形，由勾股定理可求得EM＝eq\r(3)，AM＝eq\r(6)，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．∴tan∠PME＝eq\f(PE,EM)＝eq\f(\r(3),\r(3))＝1，∴∠PME＝45°.∴二面角P－AM－D的大小為45°.20[解析](1)因?yàn)閭?cè)面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C?平面所以平面AB1C⊥平面A1BC1(2)設(shè)BC1交B1C于點(diǎn)E，連接DE，則DE是平面A1BC1B1CD的交線．因?yàn)锳1B∥平面B1CD，A1B?平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，所以A1B∥DE.又E是BC1的中點(diǎn)，所以D為A1C1即A1DDC1＝1.21[解](1)證明：連接AE，如下圖所示．∵ADEB為正方形，∴AE∩BD＝F，且F是AE的中點(diǎn)，又G是EC的中點(diǎn)，∴GF∥AC，又AC?平面ABC，GF?平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)證明：∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB，又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB?平面ABED，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.又∵AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，∴CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.(3)取AB的中點(diǎn)H，連GH，∵BC＝AC＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)，∴CH⊥AB，且CH＝eq\f(1,2)，又平面ABED⊥平面ABC∴GH⊥平面ABCD，∴V＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).22[解析](1)證明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1∵BC1?平面BCC1B，∴AC⊥BC1.(2)