信號(hào)與系統(tǒng)課件10-采樣定理

三、頻率響應(yīng)H(j

)的求法1.H(j

)=F[h(t)]

2.H(j

)=Y(j

)/F(j

)由微分方程求，對(duì)微分方程兩邊取傅里葉變換。由電路直接求出。2021/10/10星期日1三、頻率響應(yīng)H(j

)的求法例1：某系統(tǒng)的微分方程為y′(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tε(t)時(shí)的響應(yīng)y(t)。解：微分方程兩邊取傅里葉變換j

Y(j

)+2Y(j

)=F(j

)f(t)=e-tε(t)←→Y(j

)=H(j

)F(j

)y(t)=(e-t–e-2t)ε(t)2021/10/10星期日2四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波2021/10/10星期日3線性失真: 1、振幅失真:系統(tǒng)對(duì)信號(hào)中各頻率分量的幅度產(chǎn)生不同程度的衰減（放大），使各頻率分量之間的相對(duì)振幅關(guān)系發(fā)生了變化。

2、相位失真：系統(tǒng)對(duì)信號(hào)中各頻率分量產(chǎn)生的相移與頻率不成正比，使各頻率分量在時(shí)間軸上的相對(duì)位置發(fā)生了變化。這兩種失真都不會(huì)使信號(hào)產(chǎn)生新的頻率分量。

非線性失真:

由信號(hào)通過非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的，特點(diǎn)是信號(hào)通過系統(tǒng)后產(chǎn)生了新的頻率分量。2021/10/10星期日4四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波

系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用大體可分為兩類：

信號(hào)的傳輸

濾波 傳輸要求信號(hào)盡量不失真，而濾波則要求濾去或削弱不需要的成分，必然伴隨著失真。2021/10/10星期日5四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波1、無失真?zhèn)鬏?/p>

（1）定義：信號(hào)無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，而沒有波形上的變化。即 輸入信號(hào)為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信?hào)應(yīng)為 其頻譜關(guān)系為2021/10/10星期日6系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，?duì)系統(tǒng)h(t)，H(j

)的要求是：

上述是信號(hào)無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號(hào)是，只要在信號(hào)占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。(2)無失真?zhèn)鬏敆l件：2021/10/10星期日7(2)無失真?zhèn)鬏敆l件：對(duì)一個(gè)沖擊響應(yīng)系統(tǒng)，要實(shí)現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，則

即2021/10/10星期日8無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅頻特性和相頻特性理想條件。實(shí)際中，傳輸有限帶寬的信號(hào)，只要在信號(hào)占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。2021/10/10星期日9例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(jω)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號(hào)通過該系統(tǒng)時(shí)，不產(chǎn)生失真的是(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)2021/10/10星期日10例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(jω)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號(hào)通過該系統(tǒng)時(shí)，不產(chǎn)生失真的是(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)該系統(tǒng)是個(gè)失真的系統(tǒng)振幅不失真，相位失真振幅不失真，相位不失真振幅不失真，相位失真振幅不失真，相位失真2021/10/10星期日112、理想低通濾波器

具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。

c稱為截止角頻率。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為：在0~

c

的低頻段內(nèi)，傳輸信號(hào)無失真（通帶內(nèi)不失真）。2021/10/10星期日12沖激響應(yīng)2、理想低通濾波器

2021/10/10星期日132021/10/10星期日14實(shí)際上是不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)(why?)。2021/10/10星期日15

由圖可見理想低通濾波器的沖激響應(yīng)延遲了秒，而且輸出脈沖在其建立之前和建立之后都出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，這種振蕩一直延伸到。實(shí)際上,當(dāng)t<0

時(shí),輸入信號(hào)尚未接入，對(duì)于現(xiàn)實(shí)的物理系統(tǒng)，當(dāng)然不可能有輸出。這里的結(jié)果是由于采用了實(shí)際上不可能實(shí)現(xiàn)的理想化傳輸特性所致。

2021/10/10星期日163、物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件

就時(shí)域特性而言，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在t<0時(shí)必須為0， 即h(t)=0，t<0響應(yīng)不應(yīng)在激勵(lì)作用之前出現(xiàn)。

就頻域特性來說，佩利（Paley)和維納（Wiener)證明了物理可實(shí)現(xiàn)的幅頻特性必須滿足并且

稱為佩利-維納準(zhǔn)則。（必要條件）從該準(zhǔn)則可看出，對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點(diǎn)上為0，但不能在某個(gè)有限頻帶內(nèi)為0。2021/10/10星期日174.9取樣定理

取樣定理論述了在一定條件下，一個(gè)連續(xù)信號(hào)完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號(hào)的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號(hào)。 可以說，取樣定理在連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。信號(hào)的取樣采樣定理2021/10/10星期日184.9取樣定理一、信號(hào)的取樣

所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程。這樣得到的離散信號(hào)稱為取樣信號(hào)。它是對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)字處理的第一個(gè)環(huán)節(jié)。2021/10/10星期日19信號(hào)抽樣也稱為取樣或采樣，是利用抽樣脈沖序列p(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中抽取一系列的離散樣值，通過抽樣過程得到的離散樣值信號(hào)稱為抽樣信號(hào)，用fs(t)表示。2021/10/10星期日20抽樣的原理方框圖:連續(xù)信號(hào)經(jīng)抽樣后變成抽樣信號(hào)，往往還需要再經(jīng)量化、編碼等步驟變成數(shù)字信號(hào)。這種數(shù)字信號(hào)經(jīng)傳輸、處理等步驟后，再經(jīng)過上述過程的逆過程就可恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。周期信號(hào)需要解決兩個(gè)問題：抽樣信號(hào)fs(t)的頻譜Fs(ω)與原連續(xù)信號(hào)f(t)的頻譜F(ω)的關(guān)系；2.在什么條件下可從抽樣信號(hào)fs(t)中無失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)

f(t)。2021/10/10星期日21頻譜是原連續(xù)信號(hào)的頻譜以抽樣角頻率為間隔周期地延拓，頻譜幅度受抽樣脈沖序列的傅立葉系數(shù)加權(quán)。

為抽樣角頻率，為抽樣頻率

為抽樣間隔，

假設(shè)原連續(xù)信號(hào)f(t)的頻譜為F(ω)，即抽樣脈沖p(t)是一個(gè)周期信號(hào)，它的頻譜為所以抽樣信號(hào)的頻譜為在時(shí)域抽樣（離散化）相當(dāng)于頻域周期化2021/10/10星期日22沖激取樣2021/10/10星期日23如圖一連續(xù)信號(hào)f(t)用取樣脈沖序列s(t)(開關(guān)函數(shù)）進(jìn)行取樣，取樣間隔為TS，fS=1/TS稱為取樣頻率。得取樣信號(hào)

fS(t)=f(t)s(t)取樣信號(hào)fS(t)的頻譜函數(shù)為

FS(j

)=(1/2

)F(j

)*S(j

)沖激取樣信號(hào)的頻譜2021/10/10星期日24s(t)是周期為Ts的沖激函數(shù)序列

Ts(t)

帶限信號(hào)：

f(t)的頻譜只在區(qū)間（-

m，

m)為有限值，其余區(qū)間為0。沖激取樣信號(hào)的頻譜2021/10/10星期日25沖激取樣信號(hào)的頻譜2021/10/10星期日26沖激取樣信號(hào)的頻譜×=*=

在畫取樣信號(hào)fS(t)的頻譜時(shí)，設(shè)定ωS≥2ωm

（頻譜不發(fā)生混疊），因此能設(shè)法(如利用低通濾波器)從FS(j

)中取出F(j

)，即從fS(t)中恢復(fù)原信號(hào)f(t)。 否則將發(fā)生混疊，而無法恢復(fù)原信號(hào)。2021/10/10星期日27當(dāng)時(shí)各相鄰頻譜相互分開當(dāng)時(shí)各相鄰頻譜相互重疊沖激取樣信號(hào)的頻譜2021/10/10星期日28

如何從抽樣信號(hào)中恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)，以及在什么條件下才可以無失真地由抽樣信號(hào)恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。著名的抽樣定理對(duì)此作了明確而精辟的回答。抽樣定理在通信系統(tǒng)、信息傳輸理論、數(shù)字信號(hào)處理等方面占有十分重要的地位，該定理在連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)和離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)、數(shù)字信號(hào)與系統(tǒng)之間架起了一座橋梁。該定理從理論上回答了為什么可以用數(shù)字信號(hào)處理手段解決連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)問題。二、時(shí)域取樣定理2021/10/10星期日29二、時(shí)域取樣定理當(dāng)ωS≥2ωm

時(shí)，將取樣信號(hào)通過下面的低通濾波器其截止角頻率ωC取ωm

<ωC<ωS-ωm

。即可恢復(fù)原信號(hào)。由于fs(t)=f(t)s(t)=f(t)H(j

)←→h(t)=為方便，選ωC=0.5ωS，則TsωC/π=12021/10/10星期日30所以根據(jù)f(t)=fS(t)*h(t)，有只要已知各取樣值，就可唯一地確定出原信號(hào)f(t)。時(shí)域取樣定理：

一個(gè)頻譜在區(qū)間（-

m，

m)以外為0的帶限信號(hào)f(t),可唯一地由其在均勻間隔Ts[Ts<1/(2fm)]上的樣值點(diǎn)確定。注意：為恢復(fù)原信號(hào)，必須滿足兩個(gè)條件：（1）f(t)必須是帶限信號(hào)；（2）取樣頻率不能太低，必須fs>2fm，或者說，取樣間隔不能太大，必須Ts<1/(2fm);否則將發(fā)生混疊。2021/10/10星期日31最低允許的取樣頻率fs=2fm

奈奎斯特頻率最大允許的取樣間隔Ts=1/(2fm)奈奎斯特間隔2021/10/10星期日32時(shí)域抽樣定理的圖解：假定號(hào)f(t)的頻譜只占據(jù)的范圍，若以間隔對(duì)f(t)進(jìn)行抽樣，抽樣信號(hào)fs(t)的頻譜FS(ω)是以ωS

為周期重復(fù)，在此情況下，只有滿足各頻移的頻譜才不會(huì)相互重疊。這樣，抽樣信號(hào)fs(t)保留了原連續(xù)信號(hào)f(t)的全部信息，完全可以用fs(t)唯一地表示f(t)

，或者說，f(t)完全可以由恢復(fù)出fs(t)

。二、時(shí)域抽樣定理

如果，那么原連續(xù)信號(hào)頻譜在周期重復(fù)過程中，各頻移的頻譜將相互重疊，就不能從抽樣信號(hào)中恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。頻譜重疊的這種現(xiàn)象稱為頻率混疊現(xiàn)象。2021/10/10星期日33二、時(shí)域抽樣定理

2021/10/10星期日34

在滿足抽樣定理的條件下，可用一截止頻率為的理想低通濾波器，即可從抽樣信號(hào)fs(t)中無失真恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)f(t)。連續(xù)時(shí)間信號(hào)的重建

2021/10/10星期日35假設(shè)連續(xù)頻譜函數(shù)為F(ω)，抽樣頻譜函數(shù)為FS(ω)，即在頻域抽樣有三、頻域抽樣與頻域抽樣定理

說明：信號(hào)在頻率域抽樣（離散化）等效于在時(shí)間域周期化。頻域抽樣定理：頻域抽樣定理表明，一個(gè)時(shí)間受限的信號(hào)f(t)

，如果時(shí)間只占據(jù)的范圍，則信號(hào)f(t)可以用等間隔的頻率抽樣值唯一地表示，抽樣間隔為，它必須滿足條件，其中設(shè)FS(ω)對(duì)應(yīng)的時(shí)間信號(hào)為fs(t)，則有

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