2023年考研數(shù)學(二)真題(試卷+答案)

2023年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

2023年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學（-）試題

一、選擇題：1?10小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項

是符合題目要求的.

（1）函數(shù)y=xln（e+」-）的漸近線為（）

x-1

（A）y=x+e.

（B）y=x+—.

e

（C）y=x.

（D）y=x--.

e

i-------,x?0

(2)/(X)=<Jl+f的一個原函數(shù)為()

(x+1)cosx,x>0

1H(A/1+x2-x),x<01H(A/1+x2-x)+1,x<0

(A)F(x)=(B)F(x)=■

(x+1)cosx-sinx,x>0(x+l)cosx-sinx,x>Q

+x2-x),x<0ln(Jl+%之+%)+1,%<0

(C)F(x)=(D)R(x)=<

(x+1)sinx+cosx,x>Q(x+1)sinx+cosx,x>0

（3）設數(shù)列{%},{%}滿足=%+i=sinx“，以+1=才，當"f8時（

（A）無“是先的高階無窮小

（B）y”是的高階無窮小

（C）尤“是力的等價無窮小

（D）乙是%的同階但非等價無窮小

（4）微分方程y"+ay'+勿=0的解在（-0。,+8）有界，則。力的取值范圍為（）

(A)a<0,b>0

(B)a>0,b>0

數(shù)學（二）試題第1頁（共4頁）

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(C)

(D)a=0,b<0

.、(x=2t+\t\

(5)〃/)由〈3」確定，則()

[y=Iqsmi

(A)/(%)連續(xù)，/'(0)不存在

(B)/'⑼存在，/'(x)在x=0處不連續(xù)

(C)/'(%)連續(xù)，/“(0)不存在

(D)尸⑼存在，尸⑺在x=0處連續(xù)

(6)若函數(shù)-------在若a=4處取得最大值，則為是()

x(\nx)a+

(A)-

InIn2

(B)-InIn2

(C)，

In2

(D)In2

(7)設函數(shù)f(%)=(%2+a)e[若/(%)無極值點，但有拐點，則a的取值范圍為(

(A)[0,1)

(B)[1,+co)

(C)[1,2)

(D)[2,+00)

(8)已知4,5都為〃階矩陣，E為〃階單位矩陣，M*為矩陣M的伴隨矩陣，貝日人刊

(0B

為()

數(shù)學(二)試題第2頁(共4頁)

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1A|B*-BA1A|B*-AB

(A)(B)

|B|A*|B|A*

<°7<°

\\

1B[A*-BA[B|A*-AB

(C)(D)

|A|B*|A|B*

<°7<°7

（9）設二次型/（占,々,當）=（七+々）2+（為+%3）2一4（々—％3）2,則該二次型的規(guī)范形為

（）

（A）式+￡

⑻片-￡

（C）片+只一4%

（D）片+￡-￥

,7既可由藥、%線性表示，也可由

用、分線性表示，則/為（）

，3、

(B)k5,keR

J。，

卜1)

(C)k1,keR

2

數(shù)學（二）試題第3頁（共4頁）

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二、填空題：11?16小題,每小題5分，共30分.

(11)設f(x)=ax+bx2+ln(l+x),g(x)=ex-cos%,且/(%)與g(%)為等價

無窮小，則aZ?=.

(12)設y(%)=用-干出,則此曲線的弧長為_________.

J-小

(14)3%2=29+確定y=>(%),則y=y(%)在％=1處的法線斜率為.

f2-3

(15)函數(shù)y(x)滿足"％+2)—/(x)=x，L"x)6左=0,則］/(x)dx=L

ax+$=1

xa011a1

x+ax,+電=0-

(16)方程組<123有解，已知1a1=4,貝ij12a

玉+2X+ax=0

2312aab0

axx+bx2=2

三、解答題：17?22小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(17)(本題目滿分10分)

設曲線L:y=y(x)(x>e)經(jīng)過點(e?,。)，L上任一點P(x,y)到y(tǒng)軸距離等于該點處的切

線在y軸上的截距.

⑴求y(x)；

(2)在L上求一點使該點處的切線與兩坐標軸所圍三角形的面積最小并求此最小面積.

(18)(本題滿分12分)

r2

求函數(shù)f(x,y)=xecosy+—的極值.

(19)(本題滿分12分)

己知平面區(qū)域D={(x,y)|0<y<—

xy/1+x2

(1)求平面區(qū)域。的面積；

(2)求。繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積.

(20)(本題滿分12分)

設平面有界區(qū)域D位于第一象限，曲線必+/—孫=1,f+,2—孫=2,〉=氐，y=0

數(shù)學(二)試題第4頁(共4頁)

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圍成，求PSI，

（21）（本題滿分12分）

函數(shù)/'（X）在［-①刈上具有二階連續(xù)導數(shù).證明：

（1）若/'（0）=0,則存在Je（—。,。）使得了〃（專）=，［/'（。）+/'（—。）］.

（2）若/'（x）在（―。,。）取極值，則存在776（—0,。）使得了（〃）卜..』？|/'（4）+了（—。）|.

（22）（本題滿分12分）

(X]+%+%、

己知Ax2=2x1-x2+x3對所有x均成立.

（1）求矩陣A;

（2）求可逆矩陣尸和對角陣A,使得pTAP=A.

數(shù)學（二）試題第5頁（共4頁）

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參考答案

一、選擇題

12345678910

BDBCCACDBD

二、填空題

(11)【答案】—2

(12)【答案】-7r+y/3

3

(13)【答案】

2

(14)【答案】—口

9

(15)【答案】1

2

(16)【答案】8

三、解答題

212

22

(17)【答案】(1)y(x)=-xinx+2x,(2)(e,—e),Smin=e