2023-2024學年河北保定雄縣九年級數(shù)學第一學期期末調(diào)研試題含解析

2023-2024學年河北保定雄縣九年級數(shù)學第一學期期末調(diào)研試題

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.如圖所示，已知AC為的直徑，直線Q4為圓的一條切線，在圓周上有一點3,且使得BC=OC,連接A3,

則NBAP的大小為（）

2.下列敘述，錯誤的是（）

A.對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形

B.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

C.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

D.對角線相等的四邊形是矩形

3.如圖，矩形。43。的。4邊在x軸的正半軸上，點3的坐標為（4,2）,反比例函數(shù)y=丄的圖象經(jīng)過矩形對角線的

X

交點P,則人的值是（）

A.8B.4C.2D.1

4.如圖，正方形ABC。的邊長為4,點E是A3的中點，點夕從點七出發(fā)，沿EfC移動至終點C,設

P點經(jīng)過的路徑長為無，ACPE的面積為丁，則下列圖象能大致反映丁與x函數(shù)關系的是（）

APD

5.在平面直角坐標系中，把點P(3,-2)繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)180,所得到的對應點P'的坐標為()

A.(3,2)B.(2,-3)C.(-3,2)D.(3,-2)

6.關于x的一元二次方程(3—a)f—x+4=0,則”的條件是()

A.awlB.aw2C.D.

7.已知x卜X2是關于x的方程x2-ax-l=0的兩個實數(shù)根，下列結(jié)論一定正確的是()

11

A.xirX2B.xi+x2>0C.xi-X2>0D.—+—>0

X]x2

8.有甲、乙、丙、丁四架機床生產(chǎn)一種直徑為20mm圓柱形零件，從各自生產(chǎn)的零件中任意抽取10件進行檢測，得

出各自的平均直徑均為20mm,每架機床生產(chǎn)的零件的方差如表:

機床型號甲乙丙T

方差mm20.0120.0200.0150.102

則在這四臺機床中生產(chǎn)的零件最穩(wěn)定的是().

A.甲B.乙C.丙D.T

9.關于拋物線)，=；必一6%+21的說法中,

正確的是()

A.開口向下B.與y軸的交點在％軸的下方

C.與x軸沒有交點D.)'隨x的增大而減小

10.下列函數(shù)中，是x反比例函數(shù)的是()

1,2,

A.y=-B.y=C.y=------D.y=x2+2x-3

xx+3

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.已知反比例函數(shù)〉=匕（》/0）的圖象經(jīng)過點（2,3）,若點（-3,〃）在此反比例函數(shù)的圖象上，則〃=.

x

12.小剛要測量一旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿的影子恰好落在一棟樓上，如圖，此時測得地面上的影長為8米，樓面上

的影長為2米.同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米，則旗桿的高度為

米.

13.如圖，某小型水庫欄水壩的橫斷面是四邊形4BC。，DC//AB,測得迎水坡的坡角a=30。，已知背水坡的坡比為

1.2：1,壩頂部DC寬為2m，壩高為6m，則壩底A8的長為m.

14.圓錐的側(cè)面展開的面積是12ncn?,母線長為4cm,則圓錐的底面半徑為（

15.如圖，AD：DB=AE：EC,若NADE=58。，則NB=.

16.如圖，△ABC中，ZACB=90°,ZBAC=20°,點O是AB的中點，將OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)a角時（0YaV180。）,

得到OP,當△ACP為等腰三角形時，a的值為.

18.2sin45+2cos60-tan60=.

三、解答題（共66分）

19.（10分）如圖是由兩個長方體組成的幾何體，這兩個長方體的底面都是正方形，畫出圖中幾何體的主視圖、左視

圖和俯視圖.

20.（6分）已知f—x—5=O,求代數(shù)式（》+1）2-雙2%+1）的值.

21.（6分）“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，網(wǎng)上購物備受消費者青睞，某網(wǎng)店專售一款休閑褲，其成本為每條40元，當售價為

每條80元時，每月可售價100條.為了吸引更多顧客，該網(wǎng)店采取降價措施.據(jù)市場調(diào)查反映：銷售單價每降1元，

則每月可多銷售5條.設每條褲子的售價為x元”為正整數(shù)），每月的銷售量為）'條.

（1）直接寫出〉與x的函數(shù)關系式；

（2）設該網(wǎng)店每月獲得的利潤為w元，當銷售單價為多少元時，每月獲得的利潤最大，最大利潤是多少？

（3）該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè)，決定每月從利潤中捐出200元資助貧困學生，為了保證捐款后每月利潤不低于3800

元，且讓消費者得到最大的實惠，該如何確定休閑褲的銷售單價？

22.（8分）正方形ABCD的邊長為6,E,F分別是AB,BC邊上的點，且NEDF=45°,將4DAE繞點D逆時針旋

轉(zhuǎn)90°,得到aDCM.

（1）求證：EF=CF+AE；

（2）當AE=2時，求EF的長.

23.（8分）如圖，NMON=60。，O尸平分NMON,點A在射線OM上，P,。是射線ON上的兩動點，點尸在點。

的左側(cè)，且尸。=04,作線段。。的垂直平分線，分別交OM,OF,ON于點。，B,C,連接AB,PB.

NO備用圖

(1)依題意補全圖形；

(2)判斷線段48,PB之間的數(shù)量關系，并證明；

A尸

(3)連接AP,設而=左，當尸和。兩點都在射線ON上移動時，攵是否存在最小值？若存在，請直接寫出攵的最

小值；若不存在，請說明理由.

24.(8分)某食品代理商向超市供貨，原定供貨價為120元/件，超市售價為190元/件.為打開市場超市決定在第一季度

對產(chǎn)品打八折促銷，第二季度再回升10個百分點，為保證超市利潤，代理商承諾在供貨價基礎上向超市返點試問平均

每季度返多少個百分點，半年后超市的銷售利潤回到開始供貨時的水平？

25.(10分)如圖，在平行四邊形ABCD中，AE丄BC于點E.若一個三角形模板與4ABE完全重合地疊放在一起，現(xiàn)

將該模板繞點E順時針旋轉(zhuǎn).要使該模板旋轉(zhuǎn)60°后，三個頂點仍在平行四邊形ABCD的邊上，請?zhí)骄科叫兴倪呅?/p>

ABCD的角和邊需要滿足的條件.

26.(10分)如圖，已知拋物線y=-*2+-1)x+帆的對稱軸為請你解答下列問題:

(1)m=,拋物線與x軸的交點為.

(2)》取什么值時，y的值隨x的增大而減??？

(3)x取什么值時，j<0?

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1、C

【分析】連接OB,由題意可知，ACOB是等邊三角形，即可求得NC,再由三角形內(nèi)角和求得NBAC,最后根據(jù)切線

的性質(zhì)和余角的定義解答即可.

【詳解】解：如圖：連接OB

TAC為。的直徑

:.ZACB=90°

XVAO=OC

.,.OB=-AC=OC

2

.*.OC=OB=BC

/.△COB是等邊三角形

:.4=60。

.?.ZBAC=90°-ZC=30°

又；直線Q4為圓的一條切線

:.ZCAP=90°

:.Zfi4P=ZCAP-ZBAC=60°

故答案為C.

【點睛】

本題主要考查了圓的性質(zhì)、等邊三角形以及切線的性質(zhì)等知識點，根據(jù)題意說明△COB是等邊三角形是解答本題的關

鍵.

2、D

【分析】根據(jù)菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法，平行四邊形的判定方法分別分析即可得出答案.

【詳解】解：4、根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形可判定為菱形，再有對角線且相等可判定為正方形，此選項正確，

不符合題意；

5、根據(jù)菱形的判定方法可得對角線互相垂直平分的四邊形是菱形正確，此選項正確，不符合題意；

C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是判斷平行四邊形的重要方法之一，此選項正確，不符合題意；

。、根據(jù)矩形的判定方法：對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，因此只有對角線相等的四邊形不能判定是矩形，

此選項錯誤，符合題意；

選：D.

【點睛】

此題主要考查了菱形，矩形，正方形，平行四邊形的判定，關鍵是需要同學們準確把握矩形、菱形正方形以及平行四

邊形的判定定理之間的區(qū)別與聯(lián)系.

3、C

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)求出點P的坐標，將點P的坐標代入y=丄中，求出厶的值即可.

x

【詳解】1?點P是矩形。WC的對角線的交點，點8的坐標為（4,2）

.?.點P（2,l）

k

將點P（2,l）代入y=一中

X

2

解得左=2

故答案為：C.

【點睛】

本題考査了矩形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握代入求值法求出k的值是解題的關鍵.

4、C

【分析】結(jié)合題意分情況討論：①當點P在AE上時，②當點P在AD上時，③當點P在DC上時，根據(jù)三角形面積

公式即可得出每段的y與x的函數(shù)表達式.

【詳解】①當點P在AE上時，

???正方形邊長為4,E為A8中點，

二AE=2,

點經(jīng)過的路徑長為x,

PE=x>

y=S&CPE=~-PE-BC=<xxx4=2x,

②當點P在AD上時，

???正方形邊長為4,E為AB中點，

，AE=2,

???P點經(jīng)過的路徑長為x,

/.AP-x—2.)DP-6—x,

y=S^CPE=S正方形ABC。-S\BEC—^MPE-\PDC，

—16—4—x+2—12+2x,

=x+2,

③當點P在。C上時，

?.?正方形邊長為4,E為AB中點，

:.A￡=2,

???P點經(jīng)過的路徑長為x,

APD=x-6,PC=\O-x,

：.y=SACPE=1-PCBC=-x(10-x)x4=-2x+20,

綜上所述：y與x的函數(shù)表達式為：

2x(0<%<2)

y=<x+2(2<x<6).

-2x+20(6<x<10)

故答案為C.

【點睛】

本題考查動點問題的函數(shù)圖象，解決動點問題的函數(shù)圖象問題關鍵是發(fā)現(xiàn)y隨x的變化而變化的趨勢.

5、C

【分析】根據(jù)題意得點P點「關于原點的對稱，然后根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特點即可得解.

【詳解】TP點坐標為(3,-2),

.?.P點的原點對稱點『的坐標為(-3,2).

故選C.

【點睛】

本題主要考查坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，解此題的關鍵在于熟練掌握其知識點.

6、C

【解析】根據(jù)一元二次方程的定義即可得.

【詳解】由一元二次方程的定義得3

解得aw3

故選：C.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的定義，熟記定義是解題關鍵.

7、A

【解析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出△=歩+4>0,進而可得出XIWXI,此題得解.

【詳解】；△=(-a)>-4XlX(-1)=/+4>0,二方程x—ax-l=O有兩個不相等的實數(shù)根,

故選A.

【點睛】

本題考査了根的判別式，牢記“當厶〉。時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關鍵.

8、A

【分析】根據(jù)方差的意義，找出方差最小的即可.

【詳解】???這四臺機床的平均數(shù)相同，甲機床的方差是0.012,方差最小

.?.在這四臺機床中生產(chǎn)的零件最穩(wěn)定的是甲；

故選：A.

【點睛】

本題考查了方差和平均數(shù)的知識；解題的關鍵是熟練掌握方差的性質(zhì)，從而完成求解.

9、C

【分析】根據(jù)題意利用二次函數(shù)的性質(zhì)，對選項逐一判斷后即可得到答案.

【詳解】解：A.丄>0,開口向上，此選項錯誤；

2

B.與，軸的交點為(0,21),在x軸的上方，此選項錯誤；

C.與x軸沒有交點，此選項正確；

D.開口向上，對稱軸為x=6,x<6時)'隨x的增大而減小，此選項錯誤.

故選：C.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，熟練掌握并利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

10、B

【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的一般形式即可判斷.

【詳解】A、不符合反比例函數(shù)的一般形式丫=丄，（k￥0）的形式，選項錯誤；

X

B、y=是一次函數(shù)，正確；

k

C、不符合反比例函數(shù)的一般形式丫=一，（kWO）的形式，選項錯誤；

x

D、不符合反比例函數(shù)的一般形式丫=&,（kWO）的形式，選項錯誤.

x

故選：B.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)的定義，重點是將一般式y(tǒng)=V（k#0）轉(zhuǎn)化為y=kxT（kWO）的形式.

X

二、填空題（每小題3分，共24分）

11、-2

女+1

【分析】將點（L3）代入——即可求出無+1的值，再根據(jù)A+g盯解答即可.

x

【詳解】?反比例函數(shù)的圖象上有一點（1,3）,

:.k+l=lX3=6,

又點（一3,〃）在反比例函數(shù)的圖象上，

.,.6=-3X/i,

解得："=-L

故答案為：一1.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，只要點在函數(shù)的圖象上，則一定滿足函數(shù)的解析式.反之，只要滿足函

數(shù)解析式就一定在函數(shù)的圖象上.

12、1

【分析】直接利用已知構(gòu)造三角形，利用同一時刻，實際物體與影長成比例進而得出答案.

【詳解】如圖所示：由題意可得，DE=2米，

BE=CD=8米，

???同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米，

*AB_1

??—―,

82

解得：AB=4,

故旗桿的高度AC為1米.

故答案為：1.

【點睛】

此題主要考查了相似三角形的應用，正確構(gòu)造三角形是解題關鍵.

13、(7+673)

【解析】過點C作CE丄AB,DF1AB,垂足分別為：E,F,得到兩個直角三角形和一個矩形，在RtAAEF中利用

DF的長，求得線段AF的長；在RtABCE中利用CE的長求得線段BE的長，然后與AF、EF相加即可求得AB的長.

【詳解】解：如圖所示：過點C作CE丄AB,DF丄AB,垂足分別為：E,F,

,?,壩頂部寬為2m,壩高為6m,

.,.DC=EF=2m,EC=DF=6m,

Va=30°,

EC

.,.BE=-------=6j5(m),

tan30°

?.?背水坡的坡比為1.2：1,

?DF1.21.2

解得：AF=5(m),

貝!JAB=AF+EF+BE=5+2+6g=(7+673)m,

故答案為(7+6石)m.

【點睛】

本題考査了解直角三角形的應用，解題的關鍵是利用銳角三角函數(shù)的概念和坡度的概念求解.

14、1

【分析】由題意根據(jù)圓錐的側(cè)面積=加X底面半徑X母線長，把相應數(shù)值代入即可求解.

【詳解】解：設底面半徑為rem,12“=nrX4,

解得r=l.

故答案為：L

【點睛】

本題考查圓錐的計算，解題的關鍵是熟練掌握圓錐側(cè)面積的計算公式.

15、58°

【分析】根據(jù)已知條件可證明AADEs^ABC,利用相似三角形的性質(zhì)即可得NB的度數(shù).

【詳解】VAD：DB=AE：EC,

AAD：AB=AE：AC,

■:NA=NA,

.,.△ADE^AABC,

.*.ZADE=ZABC,

VZADE=58°,

.,.ZB=58°,

故答案為：58°

【點睛】

本題考査了相似三角形的判定和性質(zhì)，從相似求兩個三角形的相似比到對應角相等.

16、40?；?0?；?00。.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、

后的圖形全等.先連結(jié)AP,如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OP=OB,則可判斷點P、C在以AB為直徑的圓上，利用圓周角

定理得NBAP=LNBOP=，a,ZACP=ZABP=90°-—a,ZAPC=ZABC=70°,然后分類討論：當AP=AC時，

一222

ZAPC=ZACP,即90°-丄a=70。；當PA=PC時，ZPAC=ZACP,即丄(/+20。=90。-丄a,；當CP=CA時，

222

ZCAP=ZCAP,即;(1+20。=70。，再分別解關于a的方程即可.

【詳解】連結(jié)AP,如圖，

,?,點O是AB的中點，.\OA=OB,OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)a角時(0°<a<180°),得到OP,；.OP=OB,.?.點P在

以AB為直徑的圓上，AZBAP=—ZBOP=—a,ZAPC=ZABC=70°,VZACB=90°,.,.點P、C在以AB為直徑

22

的圓上，/.ZACP=ZABP=90°-—a,ZAPC=ZABC=70°,

2

當AP=AC時，NAPC=NACP,即90。-丄a=70。，解得a=40。；

2

當PA=PC時，ZPAC=ZACP,BP—a+20°=90°--a,解得a=70。；

22

當CP=CA時,NCAP=NCPA,即丄a+2（P=70。，解得a=100。,

2

綜上所述，a的值為40?；?0?；?00。.故答案為40?；?0?；?00。.

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

17、x=2

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解.

【詳解】解：去分母得：2+x-l=x2-L即x2-x-2=0,

分解因式得：（x-2）（x+1）=0,

解得：乂=2或x=-1,

經(jīng)檢驗x=-l是增根，分式方程的解為x=2,

故答案為：x=2

【點睛】

此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程時注意要檢驗.

18、—2

【分析】根據(jù)特殊角度的三角函數(shù)值sin45=顯,cos60tan60=石，代入數(shù)據(jù)計算即可.

22

B1

【詳解】Vsin45=-^，cos60=—,tan60=V3,

22

:.原式=2x+2x——>/3x^-6-2.

22

【點睛】

熟記特殊角度的三角函數(shù)值是解本題的關鍵.

三、解答題（共66分）

19、如圖所示見解析.

【分析】從正面看，下面一個長方形，上面左邊一個長方形：從左面看，下面一個長方形，上面左邊一個長方形；從

上面看，一個正方形左上角一個小正方形，依此畫出圖形即可.

【詳解】如圖所示.

主視圖左視圖

俯視圖

【點睛】

此題考查了三視圖，用到的知識點為：三視圖分為主視圖、左視圖、俯視圖，分別是從物體正面、左面和上面看，所

得到的圖形.

20、-4

【分析】首先對所求的式子進行化簡，把所求的式子化成d一％=5的形式，然后整體代入求解即可.

【詳解】解；(龍+1)2-x(2x+l)

=爐+2x+1—2x?—x

——%2+x+1?

,.?X2-X-5=0?

%2-x—5>

:.原式=—%2+x+1=-(x?—x)+1=—5+1-—4.

【點睛】

本題考查了整式的化簡求值.正確理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)，對所求的式子進行化解變形是關鍵.

21、(1)y=-5x+500；(2)當銷售單價為70元時，最大利潤4500元；(3)銷售單價定為60元.

【分析】(1)根據(jù)降價1元，銷量增加5條，則降價(80-x)元，銷量增加5(80-x)件，即可得出關系式；

(2)根據(jù)總利潤=每條利潤X銷量，可建立函數(shù)關系式，再根據(jù)二次函數(shù)最值的求法得到最大利潤；

(3)先求出利潤為(3800+200)元時的售價，取符合題意的價格即可.

【詳解】解：(1)由題意可得：y=100+5(80—x)

整理得,v=-5x+500

(2)w=(x-4())(-5x+500)

=-5%2+700JT-20000

=-5（X-70）2+4500

<7=-5<0

當x=70時，W般大值=4500

即當銷售單價為70元時，最大利潤4500元.

（3）由題意，得：

-5（x-70）2+4500=3800+200

解得：再=60,無2=80

拋物線開口向下，對稱軸為直線x=70

，當60WXW80時，符合該網(wǎng)店要求

而為了讓顧客得到最大實惠，故x=60

..?當銷售單價定為60元時，即符合網(wǎng)店要求，又能讓顧客得到最大實惠.

【點睛】

本題考査了二次函數(shù)的應用，熟練掌握銷售問題的等量關系建立二次函數(shù)模型是解題的關鍵.

22、（1）見解析；（2）1,詳見解析.

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得DE=DM,NEDM為直角，可得出NEDF+NMDF=90°,由NEDF=41°,得到NMDF

為41°,可得出NEDF=NMDF,再由DF=DF,利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形

的對應邊相等可得出EF=CF+AE；

（2）由（1）的全等得到AE=CM=2,正方形的邊長為6,用AB-AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長,

設EF=MF=x,可得出BF=BM-FM=BM-EF=8-x,在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關于x的方程,

求出方程的解得到x的值，即為EF的長.

【詳解】（1）證明

■:ADAE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM,

.,.ZFCM=ZFCD+ZDCM=180o,AE=CM,

F、C、M三點共線,

.,.DE=DM,ZEDM=90"，

.?.ZEDF+ZFDM=90"，

VZEDF=41°，

.,.ZFDM=ZEDF=41°,

在aDEF和△DMF中，

'DE=DM

V<ZEDF=NMDF,

DF=DF

.,.△DEF^ADMF(SAS),

；.EF=MF,

.,.EF=CF+AE；

(2)解：設EF=MF=x,

VAE=CM=2,且BC=6,

二BM=BC+CM=6+2=8,

.,.BF=BM-MF=BM-EF=8-x,

VEB=AB-AE=6-2=4,

在RtAEBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，

即42+(8-X)2=X2,

解得：x=l,

貝!)EF=1.

【點睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等及勾股定理，關鍵是根據(jù)半角旋轉(zhuǎn)得到三角形的全等，然后利

用勾股定理求得線段的長.

23、(1)補全圖形見解析；(2)AB=PB.證明見解析；(3)存在，k=~.

2

【分析】(1)根據(jù)題意補全圖形如圖b

(2)結(jié)論：AB=PB.連接BQ,只要證明AAOB纟△PQB即可解決問題；

APABAB

(3)連接BQ.只要證明AABPs/iOBQ,即可推出而=礪，由NAOB=30。，推出當BA丄OM時，—的值

最小，最小值為丄，由此即可解決問題.

2

【詳解】解：(1)如圖1,

圖1

(2)AB=PB.

證明：如圖，連接8。.

???〃C的垂直平分6Q,

：.OB=BQ,

:./BOP=NBQP.

又；。尸平分NMON,

:.ZAOB=Z.BOP.

：.Z.AOB=ZBQP.

又,；PQ=OA,

：.^AOB^APQB,

:?AB=PB.

(3))VAAOB^APQB,

AZOAB=ZBPQ,

VZOPB+ZBPQ=180°,

:.ZOAB+ZOPB=180°,ZAOP+ZABP=180°,

?INMON=60。，

AZABP=120°,

VBA=BP,

ZBAP=ZBPA=30°,

*/BO=BQ,

AZBOQ=ZBQO=30o,

/.△ABP^AOBQ,

?_A_P___A__B

??OQ~OB)

,.,ZAOB=30°,

4R1

.?.當BA丄OM時，的值最小，最小值為丄，

OB2

1

，k=一.

2

【點睛】

本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，

相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題.

24、代理商平均每個季度向超市返10個百分點，半年后超市的利潤回到開始供貨時的水平.

【分析】設代理商平均每個季度向超市返工個百分點，根據(jù)題意列出方程，解方程，即可得到答案.

【詳解】解：設代理商平均每個季度向超市返x個百分點，

由題意得：190x80%x(l+10%)—120(1—x%)?=190—120,

解得：f=10,巧=190(舍去).

...代理商平均每個季度向超市返1()個百分點，半年后超市的利潤回到開始供貨時的水平.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是找到題目的等量關系，列出方程.

25、詳見解析.

【分析】三角形模板繞點E旋轉(zhuǎn)60°后，E為旋轉(zhuǎn)中心，位置不變，仍在邊BC上，過點E分別做射線EM,EN,

EM,EN分別AB,CD于F,G使得NBEM=NAEN=60°,可證4BEF為等邊三角形，即EB=EF,故B的對應點為F.

根據(jù)SAS可證口EAF三GEC,即EA=GE

,故A的對應點為G.由此可得：要使該模板旋轉(zhuǎn)60°后，三個頂點仍在平行四邊形ABCD的邊上，平行四邊形ABCD

的角和邊需要滿足的條件是:NABC=60。，AB=BC.

【詳解】解：要使該模板旋轉(zhuǎn)60°后，三個頂點仍在ABCD的邊上，ABCD的角和邊需要滿足的條件是：

ZABC=60°,AB=BC

理由如下：

三角形模板繞點E旋轉(zhuǎn)60°后，E為旋轉(zhuǎn)中心，位置不變，仍在邊BC上，過點E分別做射線EM,EN,使得

ZBEM=ZAEN=60"，

VAE1BC,即NAEB=NAEC=90°,

.?.NBEMcNBEA

二射線EM只能與AB邊相交，記交點為F

在aBEF中，

VZB=ZBE