線性代數(shù)第三章 向量與向量空間及線性空間練習題

線性代數(shù)練習題第三章向量與向量空間系專業(yè)班姓名學號第一節(jié)n維向量第二節(jié)向量間的線性關系一．選擇題1．n維向量線性相關的充分必要條件是[D]（A）對于任何一組不全為零的數(shù)組都有（B）中任何個向量線性相關（C）設，非齊次線性方程組有無窮多解（D）設，A的行秩＜s.2．若向量組線性無關，向量組線性相關，則[C]（A）必可由線性表示（B）必不可由線性表示（C）必可由線性表示（D）比不可由線性表示二．填空題：設則設，其中，，則已知線性相關，則2設向量組線性無關，則滿足關系式abc=0三．計算題：設向量，，，，試問當為何值時（1）可由線性表示，且表示式是唯一？（2）可由線性表示，且表示式不唯一？（3）不能由線性表示？(向量組的秩ppt)設向量，，，，試問當為何值時，（1）不能由線性表示？（2）有的唯一線性表達式？并寫出表達式。a=-1,b≠0.a≠-1線性代數(shù)練習題第三章向量與向量空間系專業(yè)班姓名學號第三節(jié)向量組的秩一．選擇題：1．已知向量組線性無關，則下列向量組中線性無關的是[C]（A）（B）（C）（D）過渡矩陣滿秩2．設向量可由向量組線性表示，但不能由向量組（Ⅰ）：線性表示，記向量組（Ⅱ）：，則[B]（A）不能由（Ⅰ）線性表示，也不能由（Ⅱ）線性表示（B）不能由（Ⅰ）線性表示，但可由（Ⅱ）線性表示（C）可由（Ⅰ）線性表示，也可由（Ⅱ）線性表示（D）可由（Ⅰ）線性表示，但不可由（Ⅱ）線性表示3．設n維向量組的秩為3，則[C]（A）中任意3個向量線性無關（B）中無零向量（C）中任意4個向量線性相關（D）中任意兩個向量線性無關4．設n維向量組的秩為，則[C]（A）若，則任何n維向量都可用線性表示（B）若，則任何n維向量都可用線性表示（C）若，則任何n維向量都可用線性表示（D）若，則二．填空題：1．已知向量組的秩為2，則t=32．已知向量組，，，，則該向量組的秩為2向量組，，，的秩為2，則a=2b=5三．計算題：1．設，，，，（1）試求的極大無關組（2）d為何值時，可由的極大無關組線性表示，并寫出表達式（1）（2）2．已知3階矩陣A有3維向量x滿足，且向量組線性無關。（1）記，求3階矩陣，使；（2）求|A|線性代數(shù)練習題第三章向量與向量空間系專業(yè)班姓名學號第四節(jié)向量空間綜合練習一．選擇題：1．設向量組線性無關，則下列向量組中，線性無關的是[C]（A）（B）（C）（D）2．設矩陣A的秩，Em為m階單位矩陣，下列結論中正確的是[D]（A）A的任意m個列向量必線性無關（B）A通過初等行變換，必可以化為（Em0）的形式（C）A的任意m階子式不等于零（D）非齊次線性方程組一定有無窮多組解二．填空題：1．設，三維列向量，已知與線性相關，則a=-12．從的基，到基，的過渡矩陣為三．計算題：1．設，試用施密特正交化方法將向量組標準正交化。參考課本P107頁例2．已知的兩個基為，，及，，求由基到基的過渡矩陣P。則線性空間練習題一、單項選擇題R3中下列子集（）不是R3的子空間．A．B．C．D．二、判斷題1.設則是的子空間.2、已知為上的線性空間，則維(）＝2.3、設線性空間V的子空間W中每個向量可由W中的線性無關的向量組線性表出，則維(W)＝s4、設是線性空間V的子空間，如果則必有三、1．已知,是的兩個子空間，求的一個基和維數(shù)．2．已知關于基的坐標為（1，0，2），由基到基的過渡矩陣為，求關于基的坐標．四、設是數(shù)域P上的n維列向量空間，記1.證明：都是的子空間；2.證明：.線性變換練習題一、填空題1．設是線性空間的一組基，的一個線性變換在這組基下的矩陣是則在基下的矩陣＝_________，而可逆矩陣T＝_________滿足在基下的坐標為_________.2．設為數(shù)域上秩為的階矩陣，定義維列向量空間的線性變換：,則＝_______，＝______，＝_____.3．復矩陣的全體特征值的和等于________，而全體特征值的積等于_______.4．設是維線性空間的線性變換，且在任一基下的矩陣都相同，則為________變換.5．數(shù)域上維線性空間的全體線性變換所成的線性空間為_______維線性空間，它與________同構.6．設階矩陣的全體特征值為，為任一多項式，則的全體特征值為________.二、判斷題1．設是線性空間的一個線性變換，線性無關，則向量組也線性無關.（）2．設為維線性空間的一個線性變換，則由的秩＋的零度＝，有（）3．在線性空間中定義變換：，則是的一個線性變換.（）4．若為維線性空間的一個線性變換，則是可逆的當且僅當＝｛0｝.（）5．設為線性空間的一個線性變換，為的一個子集，若是的一個子空間，則必為的子空間.（）三、計算與證明1．設，問為何值時，矩陣可對角化?并求一個可逆矩陣，使.2．在線性空間中定義變換：（1）證明：是的線性變換.（2）求與（3）3．若是一個階矩陣，且，則的特征值只能是0和1.歐氏空間練習題一、填空題1．設是一個歐氏空間，，若對任意都有，則＝_________．2．在歐氏空間中，向量，，那么＝_________，＝_________．3．在維歐氏空間中，向量在標準正交基下的坐標是，那么＝_________，＝_________．4．兩個有限維歐氏空間同構的充要條件是__________________．5．已知是一個正交矩陣，那么＝_________，＝_________．二、判斷題1．在實線性空間中，對于向量，定義，那么構成歐氏空間。()2．在維實線性空間中，對于向量，定義，則構成歐氏空間。()3．是維歐氏空間的一組基，與分別是V中的向量在這組基下的坐標，則。()4．對于歐氏空間中任意向量，是中一個單位向量。()5．是維歐氏空間的一組基，矩陣，其中，則A是正定矩陣。()6．設是一個歐氏空間，，并且，則與正交。()7．設是一個歐氏空間，,并且，則線性無關。()8．若都是歐氏空間的對稱變換，則也是對稱變換。()三、計算題1．把向量組，擴充成中的一組標準正交基.2．求正交矩陣，使成對解角形。四、證明題1．設，為同級正交矩陣，且，證明：．2．設為半正定矩陣，且，證明：．3．證明：維歐氏空間與同構的充要條件是，存在雙射，并且有小測驗九一、填空題1、已知三維歐式空間中有一組基，其度量矩陣為，則向量的長度為。2、設在此內(nèi)積之下的度量矩陣為。3、在n維歐幾里德空間中，一組標準正交基的度量矩陣為。4、在歐氏空間中，已知，則，與的夾角為（內(nèi)積按通常的定義）。5、設為歐氏空間，則有柯西-施瓦茨不等式：。二、已知二次型（1）t為何值時二次型f是正定的？（2）取，用正交線性替換化二次型f為標準形三、設是3維歐氏空間V的一組基，這組基的度量矩陣為（1）令，證明是一個單位向量；（2）若與正交，求四、設為n維歐氏空間V中一個單位向量，定義V的線性變換A如下：證明：（1）A為第二類的正交變換（稱為鏡面反射）。（2）V的正交變換B是鏡面反射的充要條件為1是B的特征值，且對應的特征子空間的維數(shù)為n-1.五、已知是對稱變換，證明：的不變子空間的正交補也是的不變子空間．小測驗(六)一、填空題1、已知是的一個子空間，則維（V）＝，V的一組基是.2、在P4中，若線性無關，則k的取值范圍是.3、已知a是數(shù)域P中的一個固定的數(shù)，而是Pn+1的一個子空間，則a＝，而維(W)＝.4、設Pn是數(shù)域P上的n維列向量空間，記則W1、W2都是Pn的子空間，且W1＋W2＝，＝.5、設是線性空間V的一組基，，則由基到基的過渡矩陣T＝，而在基下的坐標是.二