2024年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷01（乙卷理科專用）（含答案與解析）

第第頁試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁2024年高考考前信息必刷卷（乙卷理科專用）01數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）全國甲卷的使用將接近于尾聲，往后會是新高考的題型。全國甲卷的題型會相對穩(wěn)定，考試題型為12（單選題）＋4（填空題）＋6（解答題），2024年的對于三視圖、線性規(guī)劃及程序框圖圖的考察也將近有尾聲，題目難度變化不大，但側(cè)重于考察學(xué)生運(yùn)算能力與分析能力。1.2023年的真題中就有開放性的題目，重在提升學(xué)生的創(chuàng)新能力，如本卷第15題2.加強(qiáng)知識間的綜合考察仍將是2024的熱點(diǎn)，如本卷第7題3.同時應(yīng)特別注意以數(shù)學(xué)文化為背景的新情景問題，此類試題蘊(yùn)含濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息，將數(shù)學(xué)知識、方法等融為一體，注意歸納題目意思。對于數(shù)學(xué)文化的知識會結(jié)合排列組合、數(shù)列及對數(shù)（指數(shù)）函數(shù)知識進(jìn)行考察，難度不大，但計(jì)算能力為考察重點(diǎn)。如第5題，《九章算術(shù)》與古典概型結(jié)合，第8題，數(shù)學(xué)文化與排列組合結(jié)合，第10題，《數(shù)學(xué)名人》與數(shù)列相結(jié)合，將中國的航天事業(yè)與排列組合有機(jī)結(jié)合，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D． 2．已知，集合，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．3．如圖是一個幾何體三視圖，正視圖是等腰直角三角形，側(cè)視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何體的表面積是（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A．-1 B．-2 C．2 D．15．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自內(nèi)切圓的概率是（）A． B． C． D．6．若，，則（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的相鄰的兩個零點(diǎn)之間的距離是，且直線是圖象的一條對稱軸，則（

）A． B． C． D．8．為了提高同學(xué)們對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，某高中數(shù)學(xué)老師把《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》這4本數(shù)學(xué)著作推薦給學(xué)生進(jìn)行課外閱讀，若該班A，B，C三名同學(xué)有2名同學(xué)閱讀其中的2本，另外一名同學(xué)閱讀其中的1本，若4本圖書都有同學(xué)閱讀（不同的同學(xué)可以閱讀相同的圖書），則這三名同學(xué)選取圖書的不同情況有（

）A．144種 B．162種 C．216種 D．288種9．如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個圓錐的體積為（

）A． B． C． D．10．洛卡斯是十九世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，他以研究斐波那契數(shù)列而著名.洛卡斯數(shù)列就是以他的名字命名，洛卡斯數(shù)列為：、、、、、、、、、、，即，，且.則洛卡斯數(shù)列的第項(xiàng)除以的余數(shù)是（

）A． B． C． D．11．已知點(diǎn)，是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)是，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．12．中，，O是外接圓圓心，是的最大值為（）A．0 B．1 C．3 D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知拋物線，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則拋物線上縱坐標(biāo)為3的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．14．已知滿足約束條件，則的取值范圍為.15．若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，寫出一個滿足題意的通項(xiàng)公式.16．已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是．解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．（本小題滿分12分）某蛋糕店計(jì)劃按天生產(chǎn)一種面包，每天生產(chǎn)量相同，生產(chǎn)成本每個6元，售價每個8元，未售出的面包降價處理，以每個5元的價格當(dāng)天全部處理完.（1）若該蛋糕店一天生產(chǎn)30個這種面包，求當(dāng)天的利潤y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：個，）的函數(shù)解析式；（2）蛋糕店記錄了30天這種面包的日需求量（單位：個），整理得表：日需求量n282930313233頻數(shù)346674假設(shè)蛋糕店在這30天內(nèi)每天生產(chǎn)30個這種面包，求這30天的日利潤（單位：元）的平均數(shù)及方差；（3）蛋糕店規(guī)定：若連續(xù)10天的日需求量都不超過10個，則立即停止這種面包的生產(chǎn)，現(xiàn)給出連續(xù)10天日需求量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為“平均數(shù)為6，方差為2”，試根據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)決策是否一定要停止這種面包的生產(chǎn)？并給出理由.18．（本小題滿分12分）如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，且，，.

(1)求；(2)求的面積.19．（本小題滿分12分）如圖，AB是的直徑，C是圓周上異于A，B的點(diǎn)，P是平面ABC外一點(diǎn)，且

(1)求證：平面平面ABC；(2)若，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且與C在直徑AB同側(cè)，求平面PCD與平面ABC所成的銳二面角的正切值．20．（本小題滿分12分）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)是，一個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是．(1)求C的方程．(2)設(shè)動直線與橢圓C相切于點(diǎn)P，且與直線交于點(diǎn)Q，證明：以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M，并求出M的坐標(biāo)．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：在上存在唯一的極大值點(diǎn)．選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，(參數(shù))，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若，當(dāng)曲線與曲線有兩個公共點(diǎn)時，求的取值范圍.23．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．已知，．(1)若，求不等式的解集；(2)，若圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積不大于2，求正數(shù)m的取值范圍．

2024年高考考前信息必刷卷（乙卷理科專用）01數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）全國甲卷的使用將接近于尾聲，往后會是新高考的題型。全國甲卷的題型會相對穩(wěn)定，考試題型為12（單選題）＋4（填空題）＋6（解答題），2024年的對于三視圖、線性規(guī)劃及程序框圖圖的考察也將近有尾聲，題目難度變化不大，但側(cè)重于考察學(xué)生運(yùn)算能力與分析能力。1.2023年的真題中就有開放性的題目，重在提升學(xué)生的創(chuàng)新能力，如本卷第15題2.加強(qiáng)知識間的綜合考察仍將是2024的熱點(diǎn)，如本卷第7題3.同時應(yīng)特別注意以數(shù)學(xué)文化為背景的新情景問題，此類試題蘊(yùn)含濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息，將數(shù)學(xué)知識、方法等融為一體，注意歸納題目意思。對于數(shù)學(xué)文化的知識會結(jié)合排列組合、數(shù)列及對數(shù)（指數(shù)）函數(shù)知識進(jìn)行考察，難度不大，但計(jì)算能力為考察重點(diǎn)。如第5題，《九章算術(shù)》與古典概型結(jié)合，第8題，數(shù)學(xué)文化與排列組合結(jié)合，第10題，《數(shù)學(xué)名人》與數(shù)列相結(jié)合，將中國的航天事業(yè)與排列組合有機(jī)結(jié)合，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D． 【答案】B【解析】∵,可得：，所以.故選：B.2．已知，集合，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，故A不正確；，所以B不正確；=，=或，所以，所以C不正確，D正確.故選：D.3．如圖是一個幾何體三視圖，正視圖是等腰直角三角形，側(cè)視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何體的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三視圖可知，該幾何體為三棱柱，其表面積為.故選：B4．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A．-1 B．-2 C．2 D．1【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，，，所以，即得可得，成立，所以.故選：A.5．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自內(nèi)切圓的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】直角三角形的直角邊分別是5和12，則內(nèi)切圓半徑為，所求概率為，故選C．6．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，即，解得或（舍），又因?yàn)?，所?故選：B.7．已知函數(shù)的相鄰的兩個零點(diǎn)之間的距離是，且直線是圖象的一條對稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橄噜彽膬蓚€零點(diǎn)之間的距離是，所以，，所以，又，且，則，所以，則.故選：D.8．為了提高同學(xué)們對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，某高中數(shù)學(xué)老師把《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》這4本數(shù)學(xué)著作推薦給學(xué)生進(jìn)行課外閱讀，若該班A，B，C三名同學(xué)有2名同學(xué)閱讀其中的2本，另外一名同學(xué)閱讀其中的1本，若4本圖書都有同學(xué)閱讀（不同的同學(xué)可以閱讀相同的圖書），則這三名同學(xué)選取圖書的不同情況有（

）A．144種 B．162種 C．216種 D．288種【答案】A【解析】分兩種情況：第一種情況，先從4本里選其中2本，作為一組，有種，第二組從第一組所選書籍中選1本，再從另外2本中選取1本作為一組，剩余一本作為一組，再分給3名同學(xué)，共有方法；第二種情況：從4本里任選2本作為一組，剩余的兩本作為一組，有種分法，分給3名同學(xué)中的2名同學(xué)，有種分法，剩余1名同學(xué)，從這4本中任選一本閱讀，有種分法，共有種方法.故這三名同學(xué)選取圖書的不同情況有種.故選：A.9．如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，以母線為軸可作出圓錐側(cè)面展開圖如下圖所示，小蟲爬行的最短路程為，，又，，，設(shè)圓錐底面半徑為，高為，則，解得：，，圓錐體積.故選：A.10．洛卡斯是十九世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，他以研究斐波那契數(shù)列而著名.洛卡斯數(shù)列就是以他的名字命名，洛卡斯數(shù)列為：、、、、、、、、、、，即，，且.則洛卡斯數(shù)列的第項(xiàng)除以的余數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)數(shù)列各項(xiàng)除以所得余數(shù)所形成的數(shù)列為，則數(shù)列為：、、、、、、、、、、，由上可知，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，即對任意的，，因?yàn)?，所?故選：D.11．已知點(diǎn)，是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)是，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，則，兩式相減得，即，∴.故選D.12．中，，O是外接圓圓心，是的最大值為（）A．0 B．1 C．3 D．5【答案】C【解析】過點(diǎn)O作，垂足分別為D，E，如圖，因O是外接圓圓心，則D，E分別為AC，的中點(diǎn)，在中，，則，即，，同理，因此，，由正弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以的最大值為3.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知拋物線，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則拋物線上縱坐標(biāo)為3的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．【答案】5【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，所以，解得，故拋物線方程為.令，得.所以拋物線上縱坐標(biāo)為3的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.14．已知滿足約束條件，則的取值范圍為.【答案】【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，可化簡為，即斜率為的平行直線，結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時，取最小值，當(dāng)直線過點(diǎn)時，取最大值，由，解得，所以，則,由，解得，所以，則，所以可求得的取值范圍為，15．若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，寫出一個滿足題意的通項(xiàng)公式.【答案】（答案不唯一）【解析】由，得，即，即，所以.令，所以，所以可?。ù鸢覆晃ㄒ唬?6．已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是．【答案】【解析】對求導(dǎo)，得．∵在上單調(diào)遞減，∴在上恒成立，即在上恒成立．令，則．設(shè)，則，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴當(dāng)時，取得最小值，∴．解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．（本小題滿分12分）某蛋糕店計(jì)劃按天生產(chǎn)一種面包，每天生產(chǎn)量相同，生產(chǎn)成本每個6元，售價每個8元，未售出的面包降價處理，以每個5元的價格當(dāng)天全部處理完.（1）若該蛋糕店一天生產(chǎn)30個這種面包，求當(dāng)天的利潤y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：個，）的函數(shù)解析式；（2）蛋糕店記錄了30天這種面包的日需求量（單位：個），整理得表：日需求量n282930313233頻數(shù)346674假設(shè)蛋糕店在這30天內(nèi)每天生產(chǎn)30個這種面包，求這30天的日利潤（單位：元）的平均數(shù)及方差；（3）蛋糕店規(guī)定：若連續(xù)10天的日需求量都不超過10個，則立即停止這種面包的生產(chǎn)，現(xiàn)給出連續(xù)10天日需求量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為“平均數(shù)為6，方差為2”，試根據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)決策是否一定要停止這種面包的生產(chǎn)？并給出理由.【解】（1）由題意可知，當(dāng)天需求量時，當(dāng)天的利潤，當(dāng)天需求量時，當(dāng)天的利潤.故當(dāng)天的利潤y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式為:，.（2）由題意可得：日需求量n282930313233日利潤545760606060頻數(shù)346674所以這30天的日利潤的平均數(shù)為（元），方差為.（3）根據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，一定要停止這種面包的生產(chǎn).理由如下：由，可得，所以（，，），所以，由此可以說明連續(xù)10天的日需求量都不超過10個，即說明一定要停止這種面包的生產(chǎn).18．（本小題滿分12分）如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，且，，.

(1)求；(2)求的面積.【解】（1）∵，∴由正弦定理得，即，∴由余弦定理，，又∵，∴.（2）∵，∴，由第（1）問，，∴，又∵，∴，∴在中，由正弦定理，，∴，又∵，∴，∴的面積.19．（本小題滿分12分）如圖，AB是的直徑，C是圓周上異于A，B的點(diǎn)，P是平面ABC外一點(diǎn)，且

(1)求證：平面平面ABC；(2)若，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且與C在直徑AB同側(cè)，求平面PCD與平面ABC所成的銳二面角的正切值．【解】（1）連結(jié)OC，，，又是以AB為直徑的圓周上一點(diǎn)，，≌，，又，OB，平面ABC，平面ABC，平面PAB，平面平面ABC；（2）取CD的中點(diǎn)E，連接PE，OE，則，因?yàn)槠矫鍭BC，平面，則，又，平面，所以平面，又平面，則，

∴是平面PCD與平面ABC所成的銳二面角的平面角.∵，，∴.∵∴，是邊長為1的正三角形，∴，又∵平面ABC，∴，∴平面PCD與平面ABC所成的銳二面角的正切值為.20．（本小題滿分12分）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)是，一個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是．(1)求C的方程．(2)設(shè)動直線與橢圓C相切于點(diǎn)P，且與直線交于點(diǎn)Q，證明：以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M，并求出M的坐標(biāo)．【解】（1）由焦點(diǎn)是，可知焦點(diǎn)在軸上，故設(shè)橢圓方程為，有題意可知，故，故C的方程為（2）聯(lián)立，故，化簡得，設(shè)，則，，故，，設(shè)，則，化簡得對任意的恒成立，故滿足，故以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M,且,21．（本小題滿分12分）已