《函數(shù)的基本性質(zhì)》知識點總結

《函數(shù)的基本性質(zhì)》知識點總結 ⑵利用定義推斷函數(shù)奇偶性的格式步驟:.奇偶性〔1〕定義：假如對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(一x)=一f(x),則稱f(x)為奇函數(shù)；假如對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數(shù)。假如函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.假如函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。留意：①函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；②由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一jx，則一X也肯定是定義域內(nèi)的一個自變量〔即定義域關于原點對稱〕。①首先確定函數(shù)的定義域，并推斷其定義域是否關于原點對稱；②確定f(-x)與f(x)的關系；③作出相應結論：若f(—x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù)；若f(-x)=-f(x)或f(—x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù)?！?〕簡潔性質(zhì)：①圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點成中心對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于y軸成軸對稱；②設f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,那么在它們的公共定義域上：奇+奇二奇，奇奇二偶，偶+偶二偶，偶偶二偶，奇偶二奇.單調(diào)性〔1〕定義：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I,假如對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2,當x1x2時，都有f(x1)f(x2)〕，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)〔減函數(shù)〕；留意：①函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；②必需是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2；當x1x2時，總有f(x1)f(x2)?！?〕假如函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有〔嚴格的〕單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的'單調(diào)區(qū)間。〔3〕設復合函數(shù)y=f[g(x)],其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定義域的某個區(qū)間，B是映射g:x-u=g(x)的象集：①若u=g(x)在A上是增〔或減〕函數(shù)，y=f(u)在B上也是增〔或減〕函數(shù)，則函數(shù)y=f[g(x)在A上是增函數(shù)；②若u=g(x)在A上是增〔或減〕函數(shù)，而y=f(u)在B上是減〔或增〕函數(shù)，則函數(shù)y=f[g(x)]在A上是減函數(shù)?！?〕推斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：①任取x1,x2￡D,且x1x2；②作差f(x1)—f(x2)；③變形〔通常是因式分解和配方〕；④定號〔即推斷差1&1)—1&2)的正負〕；⑤下結論〔即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性〕?！?〕簡潔性質(zhì)①奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；②偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；③在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)f(x)增函數(shù)g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)f(x)減函數(shù)g(x)是減函數(shù)；增函數(shù)f(x)減函數(shù)g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)f(x)增函數(shù)g(x)是減函數(shù)。④若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)..函數(shù)的周期性假如函數(shù)y=f(x)對于定義域內(nèi)任意的x,存在一個不等于0的常數(shù)「使得1?+1)=以外恒成立，則稱函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個周期.性質(zhì)：①假如T是函數(shù)f(x)的周期，則kT(k￡N+)也是f(x)的周期.②若周期函數(shù)f(x)的周期為T,則f(x)〔0〕是周期函數(shù)，且周期為T|1。③若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關于點(,0)對稱；若a2f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).例題：1.y1x2的遞減區(qū)間是；ylog1(x3x2)的單調(diào)遞增區(qū)間是。1x22.函數(shù)f(x)lg(21)的圖象〔〕1xA.關于x軸對稱B.關于y軸對稱C.關于原點對稱D.關于直線yx對稱.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當x0時，f(x)log3(1x),則f(2)。.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x2)，若f(x)在［2,0］上遞增，則〔〕A.f(1)f(5.5)B.f(1)f(5.5)C.f(1)f(5.5)D.以上都不對.商量函數(shù)f(x)x1的單調(diào)性。.已知奇函數(shù)f(x)是定義在(2,2)上的減函數(shù)，若f(m1)f(2m1)0,求實數(shù)m的取值范圍。.已知函數(shù)f(x)的定義域為N,且對任意正整數(shù)x,都有f(x)f(x1)f(x1)。若f(0)2021,求f(2021)。習題：題型一：推斷函數(shù)的奇偶性.以下函數(shù)：〔1〕y1(x0)；〔2〕yx1；〔3〕y2；〔4〕ylog2x；⑸x4xx2；其中奇函數(shù)是，偶函數(shù)是,ylog2(xx1),(6)f(x)x222非奇非偶函數(shù)是。.已知函數(shù)f(x)=xx,那么f(x)是()A.奇函數(shù)而非偶函數(shù)B.偶函數(shù)而非奇函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)題型二：奇偶性的應用.已知偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)的定義域都是(-4,4),它們在4,0上的圖像分別如圖〔2-3〕所示，則關于x的不等式f(x)g(x)0的解集是。圖(2-3).已知f(x)ax7bx5cx3dx5，其中a,b,c,d為常數(shù)，若f(7)7，則f⑺ .以下函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間1,1上單調(diào)遞減的是〔〕A.f(x)sinxB.f(x)xC.f(x)1x2xaaxD.f(x)ln22x.已知函數(shù)yf(x)在R是奇函數(shù)，且當x0時，f(x)x22x，則x0時，f(x)的解析式為。.若fx是偶函數(shù)，且當x0,時，fxx1,則fx10的解集是〔〕A.x1x0B.xx0或1x2C.x0x2D.x1x2題型三：推斷證明函數(shù)的單調(diào)性1.推斷并證明f(x)22在(0在上的單調(diào)性x12.推斷f(x)2x2x1在(,0)上的單調(diào)性題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.求函數(shù)ylog0.7(x23x2)的單調(diào)區(qū)間。.以下函數(shù)中，在(,0)上為增函數(shù)的是〔〕A.yx24x8B.yax3(a0)C.y2D.ylog1(x)x12.函數(shù)f(x)xA.0,1的一個單調(diào)遞增區(qū)間是〔〕xB.,0C.0,1D.1,.以下函數(shù)中，在(0,2)上為增函數(shù)的是()A.y=-3x+1B.y=|x+2]C.y=.函數(shù)y=54xx2的遞增區(qū)間是()A.(-8,-2)B.[-5,-2]C.[-2,1]D.[1,+8)題型五：單調(diào)性的應用.函數(shù)f(x)=x+2(a-1)x+2在區(qū)間(-8,4)上是減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是()A.[3,+8)B.(-8,-3]c.{-3}d.(-8,5].已知函數(shù)f(x)=2x-mx+3,當x￡(-2,+8)時是增函數(shù)，當x￡(-8,-2)時是減函數(shù)，則f(1)等于()A.-3B.13C.7D.由m而確定的常數(shù).2242D.y=x-4x+3x.若函數(shù)f(x)x3ax2bx7在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a,b肯定滿足的條件是〔〕A.a3b0B.a3b022C.a3b02D.a3b12.函數(shù)f(x)3ax2b2a,x[1,1],若f(x)1恒成立，則b的最小值為。.已知偶函數(shù)f(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，且f(2)=0,解不等式f[log2(x2+5x+4)]三0。題型六：周期問題.奇函數(shù)f(x)以3為最小正周期，f(1)3,則f(47)為()A.3B.6C.-3D.-6.設f(x)是定義在R上以6為周期的函數(shù)，f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞增，且y=f(x)的圖象關于直線x=3對稱，則下面正確的結論是()A.f(1.5)f(3