《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》高教版PPT

國家級“十五”規(guī)劃教材

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》

高等教育出版社

茆詩松、程依明、濮曉龍數(shù)理統(tǒng)計：

第五章

……第八章概率論：

第一章

.…..第四章兩大內(nèi)容參考書目概率論與數(shù)理統(tǒng)計：陳希孺科學出版社，2000.3概率論與數(shù)理統(tǒng)計：

李賢平等復旦大學出版社2003.5簡要

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是一門從數(shù)量側(cè)面研究自然界中隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的學科?！?.1隨機事件及其運算§1.2概率的定義及其確定方法§1.3概率的性質(zhì)§1.4條件概率§1.5獨立性

第一章隨機事件與概率2.

隨機現(xiàn)象1.1.1隨機現(xiàn)象：自然界中的有兩類現(xiàn)象1.

確定性現(xiàn)象

每天早晨太陽從東方升起;

水在標準大氣壓下加溫到100oC沸騰;

擲一枚硬幣，正面朝上？反面朝上？

一天內(nèi)進入某超市的顧客數(shù);

某種型號電視機的壽命;§1.1

隨機事件及其運算1.1.1隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象：在一定的條件下，并不總出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.特點：1.結(jié)果不止一個;2.事先不知道哪一個會出現(xiàn).隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性：隨機現(xiàn)象的各種結(jié)果會表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，這種規(guī)律性稱之為

統(tǒng)計規(guī)律性.1.

隨機試驗

(E)——

對隨機現(xiàn)象進行的實驗與觀察.

它具有兩個特點：隨機性、重復性.2.

樣本點

——隨機試驗的每一個可能結(jié)果.3.

樣本空間(Ω)

——

隨機試驗的所有樣本點構(gòu)成的集合.

4.

兩類樣本空間：

離散樣本空間

樣本點的個數(shù)為有限個或可列個.

連續(xù)樣本空間

樣本點的個數(shù)為無限不可列個.1.1.2樣本空間1.

隨機事件

——

某些樣本點組成的集合,Ω的子集，常用A、B、C…表示.

3.

必然事件

(Ω)4.

不可能事件

(φ)——

空集.2.根本領(lǐng)件——Ω的單點集.1.1.3隨機事件表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量.常用大寫字母X、Y、Z…表示.1.1.4隨機變量在試驗中，A中某個樣本點出現(xiàn)了，就說A

出現(xiàn)了、發(fā)生了，記為A.維恩圖

(Venn).事件的三種表示用語言、用集合、用隨機變量.事件的表示包含關(guān)系：

A

B,

A

發(fā)生必然導致

B

發(fā)生.相等關(guān)系:

A

=

B

A

B

而且

B

A.

互不相容：

A

和B不可能同時發(fā)生.

事件間的關(guān)系解：1)顯然，B發(fā)生必然導致A發(fā)生，所以B

A;.

2)又因為A發(fā)生必然導致B發(fā)生，所以A

B，由此得A=B.例

口袋中有a個白球、b個黑球，從中一個一個不返回地取球。A=“取到最后一個是白球”，

B=“取到最后一段是白球”。問A

與B

的關(guān)系？并：

A

B

A

與

B

至少有一發(fā)生

交：

A

B=AB

A

與

B

同時發(fā)生

差：

A

B

A發(fā)生但

B不發(fā)生

對立：

A

不發(fā)生

事件的運算事件運算的圖示

A

B

A

B

A

B

德莫根公式

記號

概率論

集合論

Ω

樣本空間,必然事件空間

φ

不可能事件空集

樣本點

元素

A

B

A發(fā)生必然導致B發(fā)生A是B的子集

AB=φ

A與B互不相容A與B無相同元素

A

B

A與B至少有一發(fā)生A與B的并集

AB

A與B同時發(fā)生

A與B的交集

A

B

A發(fā)生且B不發(fā)生A與B的差集

A不發(fā)生、對立事件A的余集根本領(lǐng)件互不相容，根本領(lǐng)件之并=Ω注意點(1)注意點(2)假設(shè)A1，A2，……，An有1.Ai互不相容；2.A1A2……An=Ω那么稱A1，A2，……，An為Ω的一組分割.樣本空間的分割1.假設(shè)A是B的子事件，那么AB=()，AB=()2.設(shè)A與B同時出現(xiàn)時C也出現(xiàn)，那么()①AB是C的子事件；②C是AB的子事件；③AB是C的子事件；④C是AB的子事件.課堂練習③BA3.設(shè)事件A=“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，那么A的對立事件為〔〕①甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷；②甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷；③甲種產(chǎn)品滯銷；④甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.4.設(shè)x表示一個沿數(shù)軸做隨機運動的質(zhì)點位置，試說明以下各對事件間的關(guān)系①A={|xa|＜σ}，B={xa＜σ}②A={x＞20}，B={x≤22}③A={x＞22}，B={x＜19}④A

B相容不相容5.試用A、B、C表示以下事件：①A出現(xiàn)；②僅A出現(xiàn)；③恰有一個出現(xiàn)；④至少有一個出現(xiàn)；⑤至多有一個出現(xiàn)；⑥都不出現(xiàn)；⑦不都出現(xiàn)；⑧至少有兩個出現(xiàn)；設(shè)Ω為樣本空間，F(xiàn)是由Ω的子集組成的集合類，假設(shè)F滿足以下三點,那么稱F為事件域

事件域1.Ω

F

;2.假設(shè)AF，那么F;3.假設(shè)AnF，n=1,2,…,那么F.§1.1習題3，4，5，6，9.直觀定義

——

事件A出現(xiàn)的可能性大小.統(tǒng)計定義

——

事件A在大量重復試驗下出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值稱為該事件的概率.古典定義；幾何定義.§1.2

概率的定義及其確定方法非負性公理：P(A)0;正那么性公理：P(Ω)=1;可列可加性公理：假設(shè)A1,A2,……,An……互不相容，那么

概率的公理化定義從n

個元素中任取r

個，求取法數(shù).排列講次序，組合不講次序.全排列：Pn=n!0!=1.重復排列：nr選排列：

排列與組合公式組合組合：重復組合：求排列、組合時，要掌握和注意：加法原那么、乘法原那么.注意加法原理完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中有m1種方法，在第二類途徑中有m2種方法，依次類推，在第n類途徑中有mn種方法，那么完成這件事共有m1+m2+…+mn種不同的方法.乘法原理完成某件事情需先后分成n個步驟，做第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，依次類推，第n步有mn種方法，那么完成這件事共有m1×m2×…×mn種不同的方法.隨機試驗可大量重復進行.

確定概率的頻率方法進行n次重復試驗，記n(A)為事件A的頻數(shù)，稱為事件A的頻率.頻率fn(A)會穩(wěn)定于某一常數(shù)(穩(wěn)定值).用頻率的穩(wěn)定值作為該事件的概率.頻率穩(wěn)定性的例子P14表1.2.1.P15表1.2.2.P15表1.2.3.古典方法設(shè)為樣本空間，假設(shè)①只含有限個樣本點;②每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，那么事件A的概率為:P(A)=A中樣本點的個數(shù)/樣本點總數(shù)

確定概率的古典方法拋一枚硬幣三次

拋三枚硬幣一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}

此樣本空間中的樣本點等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}

此樣本空間中的樣本點不等可能.注意古典方法確定概率的幾種計算手段1.用排列組合直接計算2.用對立事件公式計算3.用加法公式計算4.利用對稱性計算

特別注意掌握一些常見模型和問題例

六根草，頭兩兩相接、尾兩兩相接。求成環(huán)的概率.解：用乘法原那么直接計算所求概率為P28習題1.2(16)n個人圍一圓桌坐，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.解：考慮甲先坐好，那么乙有n-1個位置可坐，而“甲乙相鄰”只有兩種情況，所以P(A)=2/(n-1)。例1.2.2P28習題1.2(14)n個人坐成一排，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.(注意：請與上一題作比較)解：1)先考慮樣本空間的樣本點數(shù)：甲先坐、乙后坐，那么共有n(n1)種可能.2)甲在兩端，那么乙與甲相鄰共有2種可能.3)甲在中間(n2)個位置上，那么乙左右都可坐，所以共有2(n2)種可能。由此得所求概率為：例

性質(zhì)

P(

)=0.

注意:

逆不一定成立.§1.3

概率的性質(zhì)性質(zhì)1.3.2(有限可加性)假設(shè)AB=，那么P(AB)=P(A)+P(B).可推廣到n個互不相容事件.性質(zhì)1.3.3(對立事件公式)P()=1P(A).

概率的可加性性質(zhì)1.3.4假設(shè)AB，那么P(AB)=P(A)P(B)；假設(shè)AB，那么P(A)P(B).性質(zhì)P(AB)=P(A)P(AB).

概率的單調(diào)性(6)P(A

B)=P(A)+P(B)

P(AB)

P(A

B

C)=P(A)+P(B)+P(C)

P(AB)

P(AC)

P(BC)+P(ABC)

概率的加法公式

AB=φ，P(A)=0.6，P(A

B)=0.8，求B

的對立事件的概率。解：由P(A

B)=P(A)+P(B)

P(AB)=P(A)+P(B)例

得P(B)=P(A

B)

P(A)=0.8

0.6=0.2，

所以P()=1

0.2=0.8.例解：因為P(A

B)=P(A)

P(AB)，所以先求P(AB)

由加法公式得P(AB)=P(A)+P(B)

P(A

B)=0.4+0.3

0.6=0.1

所以P(A

B)=P(A)

P(AB)=0.3P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A

B)=0.6，求

P(A

B).

例解：因為A、B、C

都不出現(xiàn)的概率為=1

P(A)

P(B)

P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)

P(ABC)=1

1/4

1/4

1/4+0+1/16+1/16

0=15/8=3/8P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/16,求A、B、C

都不出現(xiàn)的概率.口袋中有n

1個黑球、1個白球，每次從口袋中隨機地摸出一球，并換入一只黑球.求第k次取到黑球的概率.利用對立事件解：記A為“第k次取到黑球”，那么A的對立事件為“第k次取到白球”.而“第k次取到白球”意味著：“第1次……第k

1次取到黑球，而第k次取到白球”思考題

口袋中有2個白球，每次從口袋中隨機地摸出一球，并換入一只黑球.

求第k次取到黑球的概率.例解：用對立事件進行計算,記A=“至少出現(xiàn)一次6點”，那么所求概率為

一顆骰子擲4次，求至少出現(xiàn)一次6點的概率.例解：記B=“至少出現(xiàn)一次雙6點”，那么所求概率為

兩顆骰子擲24次，求至少出現(xiàn)一次雙6點的概率.從1,2,……,9中返回取n次，求取出的n個數(shù)的乘積能被10整除的概率.利用對立事件和加法公式解：因為“乘積能被10整除”意味著：

“取到過5”(記為A)且“取到過偶數(shù)”(記為B)。因此所求概率為P(AB).利用對立事件公式、德莫根公式和加法公式甲擲硬幣n+1次，乙擲n次.(習題1.3第10題)求甲擲出的正面數(shù)比乙擲出的正面數(shù)多的概率.

利用對稱性解：記甲正=甲擲出的正面數(shù)，乙正=乙擲出的正面數(shù).

甲反=甲擲出的反面數(shù)，乙反=乙擲出的反面數(shù).因為

P(甲正>乙正)=P(n+1-甲反>n-乙反)=P(甲反-1<乙反)=P(甲反

乙反)=1

P(甲正>乙正)(對稱性)所以2P(甲正>乙正)=1,由此得P(甲正>乙正)=1/2N個產(chǎn)品，其中M個不合格品、N

M個合格品.(口袋中有M個白球，N

M個黑球)常見模型(1)

——

不返回抽樣從中不返回任取n個,那么此n個中有m個不合格品的概率為：此模型又稱超幾何模型.

n

N,mM,

n

m

N

M.口袋中有5

個白球、7個黑球、4個紅球.從中不返回任取3

個.求取出的3

個球為不同顏色的球的概率.思考題購置：從01，……，35中選7個號碼.開獎：7個根本號碼，1個特殊號碼.彩票問題——幸運35選7中獎規(guī)那么1)7個根本號碼2)6個根本號碼+1個特殊號碼3)6個根本號碼4)5個根本號碼+1個特殊號碼5)5個根本號碼6)4個根本號碼+1個特殊號碼7)4個根本號碼，或3個根本號碼+1個特殊號碼中獎概率

中所含樣本點個數(shù)：將35個號分成三類：7個根本號碼、1個特殊號碼、27個無用號碼記pi為中i等獎的概率。利用抽樣模型得：

中獎概率如下：不中獎的概率為：

p0=1

p1

p2

p3

p4

p5

p6

p7N個產(chǎn)品，其中M個不合格品、NM個合格品.從中有返回地任取n個.那么此n個中有m個不合格品的概率為：常見模型(2)——返回抽樣條件：

m

n,即

m=0,1,2,……,n.n個不同球放入N個不同的盒子中.每個盒子中所放球數(shù)不限.求恰有n個盒子中各有一球的概率(n

N)

常見模型(3)

——

盒子模型求n個人中至少有兩人生日相同的概率.看成n個球放入N=365個盒子中.P(至少兩人生日相同)=1

P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少兩人生日相同)=生日問題p20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.9922

n個人、n頂帽子，任意取，至少一個人拿對自己帽子的概率.記Ai

=“第i

個人拿對自己的帽子”，i=1,…,n.求P(A1

A2

……

An)，不可用對立事件公式.用加法公式：常見模型(4)——

配對模型P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n

1),P(AiAjAk)=1/n(n

1)(n

2),……P(A1A2……An)=1/n!P(A1

A2

……

An)=

配對模型(續(xù))§1.2

習題4，5，直接計算

7，8，9，10，11，抽樣模型

12，事件差公式

13，直接計算

15，盒子模型§1.3

習題6，對立事件、抽樣模型

12，13，盒子模型

確定概率的幾何方法假設(shè)①樣本空間充滿某個區(qū)域，其度量(長度、面積、體積)為S；②落在中的任一子區(qū)域A的概率，只與子區(qū)域的度量SA有關(guān)，而與子區(qū)域的位置無關(guān)(等可能的).那么事件A的概率為:P(A)=SA/S幾何方法的例子

例

蒲豐投針問題平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一枚長為l的針，求針與平行線相交的概率.蒲豐投針問題(續(xù)1)解：以x表示針的中點與最近一條平行線的距離，又以

表示針與此直線間的交角.

易知樣本空間

滿足：0

x

d/2;0

.

形成x--

平面上的一個矩形，其面積為：S

=d

/2.

蒲豐投針問題(續(xù)2)

A=“針與平行線相交”的充要條件是:

x

(l/2)sin

.

針是任意投擲的，所以這個問題可用幾何方法求解得由蒲豐投針問題知：長為l的針與平行線相交的概率為:2l/d.而實際去做N次試驗，得n次針與平行線相交，那么頻率為:n/N.用頻率代替概率得：2lN/(dn).歷史上有一些實驗數(shù)據(jù).

的隨機模擬蒲豐投針問題的推廣平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一個邊長為a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形與平行線相交的概率．(習題1.2

第25題)分析：三角形與平行線相交有以下三種情況：

1)

一個頂點在平行線上;

2)

一條邊與平行線重合;

3)

兩條邊與平行線相交.前兩種情況出現(xiàn)的概率為零.所以只要去確定兩條邊與平行線相交的概率.解：記Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分別為邊ab,ac,bc,a,b,c與平行線相交的概率，那么所求概率為p=P(三角形與平行線相交)=Pab+Pac+Pbc.由蒲豐投針問題知Pa=2a/(d),Pb=2b/(d),Pc=2c/(d).因為Pa=Pab+Pac,Pb=Pab+Pbc,Pc=Pac+Pbc所以Pa+Pb+Pc=2(Pab+Pac+Pbc),由此得p=Pab+Pac+Pbc=(Pa+Pb+Pc)/2=(a+b+c)/(d).§1.2

習題23，27，28。因為概率是事件(集合)的函數(shù)，所以先討論事件(集合)的“極限”

.本節(jié)給出可列可加性的充要條件.

概率的連續(xù)性假設(shè)事件序列{Fn}滿足：F1F2…Fn…那么稱{Fn}為單調(diào)不減事件序列，其極限事件為事件序列的極限假設(shè)事件序列{Fn}滿足：F1F2…Fn…那么稱{Fn}為單調(diào)不增事件序列，其極限事件為設(shè)P(·)是一個集合函數(shù)，(1)假設(shè)任對單調(diào)不減集合序列{Fn}，有

那么稱P(·)是下連續(xù)的.集合函數(shù)的連續(xù)性(2)假設(shè)任對單調(diào)不增集合序列{Fn}，有

那么稱P(·)是上連續(xù)的.性質(zhì)假設(shè)P(·)是事件域F上的一個概率函數(shù)，那么P(·)既是下連續(xù)的，又是上連續(xù)的.概率的連續(xù)性性質(zhì)假設(shè)P(·)是事件域F上滿足：非負、正那么的集合函數(shù)，那么P(·)有可列可加性的充要條件是它具有有限可加性和下連續(xù)性.可列可加性的充要條件§1.3習題2，3，15，16，17，18.問題的提出：1)10個人摸彩，有3張中彩.問：第1個人中彩的概率為多少？第2個人中彩的概率為多少？2)10個人摸彩，有3張中彩.問：第l個人沒摸中，第2個人中彩的概率為多少？§1.4

條件概率定義對于事件A、B，假設(shè)P(B)>0，那么稱P(A|B)=P(AB)/P(B)為在B出現(xiàn)的條件下，A出現(xiàn)的條件概率.

條件概率的定義

1)

縮減樣本空間：將

縮減為

B=B.

2)

用定義：

P(A|B)=P(AB)/P(B).條件概率P(A|B)的計算10個產(chǎn)品中有7個正品、3個次品，從中不放回地抽取兩個，第一個取到次品，求第二個又取到次品的概率.

P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9解：設(shè)A={第一個取到次品}，

B={第二個取到次品}，例條件概率P(A|B)滿足概率的三條公理.由此得：P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)；假設(shè)A與B互不相容，那么P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)；P(|B)=1P(A|B).條件概率是概率P(

|B)=1;P(B|

)

1;P(A|

)=P(A);P(A|A)=1.注意點(1)設(shè)P(B)＞0，且AB，那么以下必然成立的是()①P(A)<P(A|B)②P(A)≤P(A|B)③P(A)>P(A|B)④P(A)≥P(A|B)(2)P(A)=0.6,P(AB)=0.84,P(B|A)=0.4,那么P(B)=().課堂練習§1.4

習題2，3，5，6，7，9，10。乘法公式;全概率公式；貝葉斯公式.條件概率的三大公式性質(zhì)(1)假設(shè)P(B)>0，那么P(AB)=P(B)P(A|B)；假設(shè)P(A)>0，那么P(AB)=P(A)P(B|A).(2)假設(shè)P(A1A2······An1)>0，那么P(A1A2······An)=P(A1)P(A2|A1)······P(An|A1A2······An1)

乘法公式乘法公式主要用于求幾個事件同時發(fā)生的概率.一批零件共有100個，其中10個不合格品。從中一個一個不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：記Ai=“第i次取出的是不合格品”

Bi=“第i次取出的是合格品”,目的求P(B1B2A3)

用乘法公式

P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=乘法公式的應用性質(zhì)假設(shè)事件B1,B2,······,Bn是樣本空間的一組分割，且P(Bi)>0，那么

全概率公式全概率公式用于求復雜事件的概率.使用全概率公式關(guān)鍵在于尋找另一組事件來“分割”樣本空間.全概率公式最簡單的形式：注意點(1)假設(shè)事件B1,B2,······,Bn是互不相容的，且P(Bi)>0，注意點(2)那么由可得

設(shè)10件產(chǎn)品中有3件不合格品，從中不放回地取兩次，每次一件，求取出的第二件為不合格品的概率。解：設(shè)A=“第一次取得不合格品”，

B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得：=(3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9)

=3/10例n張彩票中有一張中獎，從中不返回地摸取，記Ai為“第i次摸到中獎券”，那么(1)P(A1)=1/n.(2)可用全概率公式計算得P(A2)=1/n.(3)可用歸納法計算得P(Ai)=1/n,i=1,2,……,n.摸彩模型n張彩票中有k張中獎，從中不返回地摸取，記Ai為“第i次摸到獎券”，那么P(Ai)=k/n,i=1,2,……,n結(jié)論：不管先后，中彩時機是一樣的.摸彩模型(續(xù))口袋中有a只白球、b只黑球。在以下情況下，求第k次取出的是白球的概率：(1)從中一只一只返回取球；(2)從中一只一只不返回取球；(3)從中一只一只返回取球，且返回的同時再參加一只同色球.思考題罐中有b個黑球、r個紅球，每次從中任取一個，取出后將球放回，再參加c個同色球和d個異色球.(1)當c=1,d=0時，為不返回抽樣.(2)當c=0,d=0時，為返回抽樣.(3)當c>0,d=0時，為傳染病模型.(4)當c=0,d>0時，為平安模型.波利亞罐子模型見教材P43〔老P41〕波利亞罐子模型(續(xù))甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、

m只黑球.從甲口袋任取一球放入乙口袋，然后從乙口袋中任取一球，求從乙口袋中取出的是白球的概率.概率為：全概率公式的例題甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、m只黑球.從甲口袋任取兩球放入乙口袋，然后從乙口袋中任取一球，求從乙口袋中取出的是白球的概率.以上是甲、乙兩口袋的球數(shù)不同，如果兩口袋裝的黑、白球個數(shù)都相同，那么情況又如何？思考題乘法公式是求“幾個事件同時發(fā)生”的概率；全概率公式是求“最后結(jié)果”的概率；貝葉斯公式是“最后結(jié)果”，求“原因”的概率.

貝葉斯公式某人從甲地到乙地，乘飛機、火車、汽車遲到的概率分別為0.1、0.2、0.3，他等可能地選擇這三種交通工具。假設(shè)他最后遲到了，求他分別是乘飛機、火車、汽車的概率.〔1/6，2/6，3/6〕“結(jié)果”，求“原因”假設(shè)事件B1,B2,······,Bn是樣本空間的一組分割，且P(A)>0,P(Bi)>0，那么貝葉斯〔Bayes〕公式

1)B1,B2,...,Bn可以看作是導致A發(fā)生的原因;

2)

P(Bj|A)是在事件A發(fā)生的條件下,

某個原因Bj

發(fā)生的概率,

稱為“后驗概率”;

3)Bayes公式又稱為“后驗概率公式”或“逆概公式”;4)稱P(Bj)為“先驗概率”.注意點例1.4.3某商品由三個廠家供給，其供給量為：甲廠家是乙廠家的2倍；乙、丙兩廠相等。各廠產(chǎn)品的次品率為2%,2%,4%.假設(shè)從市場上隨機抽取一件此種商品，發(fā)現(xiàn)是次品，求它是甲廠生產(chǎn)的概率?解：用1、2、3分別記甲、乙、丙廠，設(shè)

Ai

=“取到第i

個工廠的產(chǎn)品”，B=“取到次品”，由題意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25；

P(B|A1)=P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.=0.4由Bayes公式得:

口袋中有一只球，不知它是黑的還是白的?，F(xiàn)再往口袋中放入一只白球，然后從口袋中任意取出一只，發(fā)現(xiàn)是白球。試問口袋中原來的那只球是白球的可能性多大？課堂練習

(習題1.4第20題)

2/3B1=“患肝癌”，B2=“未患肝癌”，肝癌發(fā)病率為0.0004，即P(B1)=0.0004,P(B2)=0.9996.用甲胎蛋白化驗：A=“呈陽性”，P(A|B1)=0.99,P(A|B2)=0.001.求P(B1|A).見教材P49〔老P45〕例§1.4

習題11,15,16,19,20

事件的獨立性直觀說法：對于兩事件，假設(shè)其中任何一個事件的發(fā)生不影響另一個事件的發(fā)生，那么這兩事件是獨立的.P(A|B)=P(A)P(AB)/P(B)=P(A)P(AB)=P(A)P(B)§1.5

獨立性定義假設(shè)事件A與B滿足：P(AB)=P(A)P(B),那么稱A與B相互獨立，簡稱A與B獨立.結(jié)論A、B為兩個事件，假設(shè)P(A)>0,那么A與B獨立等價于P(B|A)=P(B).性質(zhì)假設(shè)事件A與B獨立，那么A與獨立、與B獨立、與獨立.

兩個事件的獨立性

實際應用中，往往根據(jù)經(jīng)驗來判斷兩個事件的獨立性：例如

返回抽樣、甲乙兩人分別工作、重復試驗等.事件獨立性的判斷

多個事件的相互獨立性對于A、B、C三個事件，稱滿足：

P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)

為A、B、C兩兩獨立.稱滿足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

為A、B、C三三獨立.定義假設(shè)事件A1,A2,……,An滿足：兩兩獨立、三三獨立、……、nn獨立那么稱A1,A2,……,An相互獨立.假設(shè)A、B、C相互獨立，那么AB與C獨立,AB與C獨立,AB與C獨立.一些結(jié)論

例

兩射手獨立地向同一目標射擊一次，其命中率分別為0.9和0.8，求目標被擊中的概率.解:

設(shè)A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目標被擊中”,所以解法i)

P(C)=P(A

B)=P(A)+P(B)

P(A