傳動(dòng)軸的截面為何要做成圓形

一、扭轉(zhuǎn)的力學(xué)分析1.

扭轉(zhuǎn)形式（1）扭矩符號(hào)的約定圖1扭矩的方向與符號(hào)（2）圓截面桿的扭轉(zhuǎn)變形圓截面軸扭轉(zhuǎn)后截面仍保持為平面，其形狀和大小不變，半徑仍保持為軸線，各截面僅相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)一微小角度γ。圖2圓截面桿的扭轉(zhuǎn)變形（3）非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)圖3正方桿截面桿的扭轉(zhuǎn)變形自由扭轉(zhuǎn)：當(dāng)桿件截面為非圓截面時(shí)，在扭轉(zhuǎn)變形中橫截面要發(fā)生翹曲，相鄰截面翹曲程度均相同，則所有縱向纖維的長(zhǎng)度均未改變，橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力只有切應(yīng)力。自由扭轉(zhuǎn)只有在等直桿件兩端受外扭矩作用，且相鄰截面的翹曲不受外部約束的條件下才能實(shí)現(xiàn)。約束扭轉(zhuǎn)：非等直桿扭轉(zhuǎn)、扭矩沿桿長(zhǎng)變化或端面有約束不能自由翹曲時(shí)，相鄰截面的翹曲程度不同，在橫截面上不僅有切應(yīng)力還有正應(yīng)力。在實(shí)體截面桿中約束扭轉(zhuǎn)引起的正應(yīng)力通常比較小，可以忽略不計(jì)。但對(duì)于薄壁截面桿，這種正應(yīng)力往往很大而不能忽略。2.

基本假設(shè)（1）平面假設(shè)圓截面扭轉(zhuǎn)后仍保持為平面，其形狀和大小不變，半徑仍保持為軸線，截面間僅相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)一微小角度γ。該條假設(shè)只對(duì)圓截面軸成立，對(duì)非圓截面軸不成立。相鄰截面間距不變，截面上除τzx=τzy

外，無(wú)正應(yīng)力；σx=σy=σz=τxy=0。彈性力學(xué)模型如圖4所示。圖4直桿扭轉(zhuǎn)彈性力學(xué)模型（源于文獻(xiàn)[4]）（2）薄膜比擬薄膜（液膜）在均勻壓力下的垂度與等截面直桿扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中的應(yīng)力函數(shù)在數(shù)學(xué)上是相似的。用薄膜來(lái)比擬扭桿，有助于求得扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的解答。設(shè)有一塊均勻薄膜，張?jiān)谝粋€(gè)水平邊界上，如圖5所示。該水平邊界與某一扭桿的橫截面邊界具有同樣的形狀和大小。當(dāng)薄膜承受微小的均勻壓力時(shí)，薄膜的各點(diǎn)將產(chǎn)生微小的垂度。以邊界所在的平面為xy面，則垂度為z。由于薄膜的柔順性，可以假設(shè)它不承受彎矩、扭矩、剪力和壓力，而只承受均勻的拉力FT（類(lèi)似液膜的表面張力）。據(jù)此分析得出，在扭桿橫截面上某一點(diǎn)處的，沿任一方向的切應(yīng)力就等于該薄膜在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的垂直方向的斜率。由此可見(jiàn)，扭桿橫截面上最大切應(yīng)力等于薄膜的最大斜率。但須注意的是，最大切應(yīng)力的方向和最大斜率的方向是互相垂直的。利用該假設(shè)可以求得下文表1中非圓截面直桿的最大切應(yīng)力和相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。圖5薄膜比擬模型3.

扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力及扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算（1）實(shí)心圓形軸在假設(shè)1和假設(shè)2條件下，構(gòu)件材料在彈性范圍內(nèi)，塑性材料在純剪切時(shí)的力學(xué)性能：τ=Gγ，γ

為切應(yīng)變；γ=φR/L（γ

為相距為L(zhǎng)

的兩個(gè)截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角；φ

為扭轉(zhuǎn)端端面轉(zhuǎn)角，R

為圓外半徑，L

為兩截面的間距）。圖6實(shí)心圓截面桿件扭轉(zhuǎn)示意圖圓截面上ρ

處的切應(yīng)力為：一圓截面桿件在相同扭矩作用條件下，截面上τρ

與ρ

成正比，即ρ

越大時(shí)，τ

越大。當(dāng)ρ＝R

時(shí)，得到圓截面邊緣處的最大切應(yīng)力值。由于R

和IP

都是只與截面幾何尺寸有關(guān)的量，可以將其表示為Wp=IP/R，稱(chēng)作圓軸的抗扭截面模量，這樣τmax=T/WP。由此可見(jiàn)，對(duì)于桿件的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力而言，它不直接與其截面積的大小相關(guān)。圓截面實(shí)心軸的抗扭系數(shù)WP≈0.2D3。圓桿受扭時(shí)的扭轉(zhuǎn)角φ，GIP

為圓截面的扭轉(zhuǎn)剛度，反映軸抵抗變形的能力，相距為L(zhǎng)的兩個(gè)截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為：相對(duì)扭轉(zhuǎn)角圓軸的剛度條件（2）空心圓形軸空心圓形軸的截面抗扭系數(shù)約為：WP≈0.2D3（1-α4），0<α=d/D＜1。當(dāng)α=0.8時(shí)，WP

為實(shí)心圓截面的60%，即在相同扭矩作用下，強(qiáng)度降低40%，但在材料相同，長(zhǎng)度相同條件下，重量卻相差2.8倍。（3）閉口薄壁管對(duì)于圓管來(lái)講，當(dāng)圓管的壁厚δ

遠(yuǎn)小于半徑R0（一般認(rèn)為≤R0/10）時(shí)，稱(chēng)為薄壁圓管。這類(lèi)管件可以是任意形狀的等截面，由于是薄壁管，可以假設(shè)切應(yīng)力在整個(gè)壁厚（t）內(nèi)為均勻分布而得到近似解。根據(jù)切應(yīng)力互等可以得出，管截面上所有點(diǎn)的平均軸向切應(yīng)力與管壁的乘積相等，即剪切流q

相等。由于整個(gè)截面上q

值恒定，所以在最小壁厚處切應(yīng)力最大。當(dāng)管件截面為圓形時(shí)，Am=πR02，增大圓筒的直徑能夠大幅降低切應(yīng)力值。4.

軸橫截面的應(yīng)力分布圖6幾種常見(jiàn)截面的切應(yīng)力分布圖二、扭轉(zhuǎn)失效形式1.

破壞順序在扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)中，試樣在截面上的應(yīng)力分布不均勻，表面最大，越往心部越小。因此扭轉(zhuǎn)時(shí)，材料的破壞是由表及里的，裂紋首先從圓桿的最外層開(kāi)始。工程中，常用扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)材料表面缺陷及表面硬化層的性能。如圖7所示。圖7圓桿樣件扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)2.

塑性材料對(duì)于用低碳鋼一類(lèi)的塑性材料制成的圓軸，在受扭的過(guò)程中先是軸表面發(fā)生屈服，隨著扭轉(zhuǎn)變形的增大，最后圓周沿截面被剪斷。由于材料抗剪能力低于抗拉能力，且在橫截面上具有最大的切應(yīng)力，因此斷口發(fā)生在橫截面上并表現(xiàn)為剪斷破壞。工程上，一般把橫截面外邊緣上的最大切應(yīng)力達(dá)到材料的剪切屈服極限τs

作為危險(xiǎn)狀態(tài)，并以此來(lái)建立強(qiáng)度條件。然而，當(dāng)邊緣上的切應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，其他部分仍處于線彈性工作狀態(tài)，圓桿不會(huì)發(fā)生明顯的塑性變形，即扭矩還可以繼續(xù)增加?？紤]材料塑性時(shí)，實(shí)心圓桿的極限扭矩（塑性扭矩）比屈服扭矩大了1/3（工程簡(jiǎn)化計(jì)算結(jié)果）。當(dāng)材料橫截面邊緣處的切應(yīng)力達(dá)到材料的剪切屈服極限τs

時(shí)，隨著扭轉(zhuǎn)力偶矩的增大，塑性區(qū)域逐漸向內(nèi)擴(kuò)展，同時(shí)橫截面邊緣處的材料開(kāi)始強(qiáng)化，若繼續(xù)加大扭轉(zhuǎn)力偶矩，則裂紋首先從圓桿的最外層開(kāi)始，最終沿橫截面被剪斷。如圖8所示。圖8塑性材料圓桿樣件扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)3.

脆性材料對(duì)于抗拉能力低于抗剪能力的脆性材料（如鑄鐵）所制成的圓軸在扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，變形很小，并在與軸線大約成45°傾角的螺旋面發(fā)生斷裂。由于與軸線成135°的斜面上具有最大的拉應(yīng)力，當(dāng)該截面上的最大拉應(yīng)力超過(guò)材料抗拉強(qiáng)度極限時(shí)，就在該截面發(fā)生拉斷破壞。如圖9所示。圖9

脆性材料圓桿樣件扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)4.

圓木扭轉(zhuǎn)破壞圓木桿件所受到的內(nèi)扭矩T

不僅在橫截面上產(chǎn)生一個(gè)徑向線性分布的切應(yīng)力，沿軸平面上還產(chǎn)生一個(gè)相應(yīng)的切應(yīng)力，發(fā)生沿軸平面的開(kāi)裂。由于木材是各向異性材料，其沿軸向與纖維平行的剪切力要遠(yuǎn)小于垂直于纖維截面內(nèi)的抗剪切力，從而表現(xiàn)出如圖10所示的開(kāi)裂形式。圖10

圓木扭轉(zhuǎn)破壞三、軸的抗扭設(shè)計(jì)1.不同截面桿件的抗扭性能根據(jù)彈性理論分析得出正方形截面，三角形截面和橢圓形截面的最大應(yīng)力及扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式如圖示。在所有情況中，最大切應(yīng)力存在于截面邊界線上與中心軸最接近的位置。從封閉薄壁管的觀點(diǎn)來(lái)看，相對(duì)于中心軸壁厚最薄的位置切應(yīng)力最大。圖11

不同截面扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力及相對(duì)扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式設(shè)圓形、正方形、正三角形、橢圓形的面積都為S，受相同的扭矩T

作用。那么，正方形的邊長(zhǎng)a=S

1/2，正三角形的邊長(zhǎng)a≈2.3S

1/2，由圖中給出的最大應(yīng)力計(jì)算公式可以看出，在截面積和扭矩相同情況下，正三角形截面上的最大切應(yīng)力約為正方形的1.8倍；對(duì)于橢圓形，當(dāng)a=b

時(shí)為圓形，a=0.56S

1/2，正方形的最大切應(yīng)力約為圓形的1.32倍；當(dāng)a≠b

時(shí)為橢圓，1＞b/a=λ＞0，橢圓的最大切應(yīng)力與圓的最大切應(yīng)力之比就為λS

-2，這樣λ

越小，其切應(yīng)力就比圓形時(shí)越大。通過(guò)上述比較可以得出：在相同截面和承受相同扭矩條件下，圓截面上的最大切應(yīng)力最小，扭轉(zhuǎn)角也比非圓截面軸的小，因此將傳動(dòng)軸做成圓形，其在抗扭力學(xué)性能上具有天然的比較優(yōu)勢(shì)。將上述結(jié)果推廣到任意形狀的截面，可以證明圓截面軸效率最高。2.

根據(jù)扭矩估計(jì)軸的直徑當(dāng)軸的長(zhǎng)度及跨距未定時(shí)，支座反力及彎矩?zé)o法求得，多支點(diǎn)或不太重要的軸，常根據(jù)軸所承受的轉(zhuǎn)矩來(lái)估算軸徑，見(jiàn)表1。A

值是與材料有關(guān)的系數(shù)，可查閱文獻(xiàn)[7]獲取。表1軸徑的扭矩校核公式3.

空心軸由于圓截面軸在承受扭轉(zhuǎn)載荷時(shí)，表面切應(yīng)力較大，心部相對(duì)較小。因此，去掉部分心部這些沒(méi)有充分發(fā)揮作用的材料可以有效減輕軸的重量，提高軸的抗彎性能。但軸類(lèi)零件是否一定要做成空心，則不僅需要從力學(xué)上考慮，還需要考慮其工藝性和制造成本。同時(shí)，壁厚也不能過(guò)薄，否則會(huì)發(fā)生局部褶皺而喪失承載能力。當(dāng)圓筒的壁厚δ

遠(yuǎn)小于半徑R0（一般認(rèn)為≤R0/10）時(shí)，稱(chēng)為薄壁圓筒。但若薄壁管上有沿軸線的縱向開(kāi)口則會(huì)顯著降低其抗扭性能。對(duì)此，通常采用加設(shè)橫隔板等措施，以提高其扭轉(zhuǎn)剛度和強(qiáng)度。4.

應(yīng)力集中一根軸通常由不同的截面組成，在截面過(guò)渡位置，空間突變會(huì)造成應(yīng)力集中，該部位也是軸類(lèi)零件常見(jiàn)的失效形式。如何選擇并確定相鄰兩截面的大直徑大小以及過(guò)渡圓角，可以參閱文獻(xiàn)[7,8]。5.圓柱螺旋彈簧圓柱螺旋彈簧是機(jī)械工程中常見(jiàn)的一類(lèi)零件，其基本特點(diǎn)是受力后彈性變形大，軸線為螺旋形。在設(shè)計(jì)上對(duì)于受荷載大的彈簧，通常考慮其強(qiáng)度；但對(duì)于受荷載不大的彈簧一般是考慮其變形；一般不重要的彈簧，只需要根據(jù)結(jié)構(gòu)尺寸查看規(guī)范選取。有關(guān)彈簧的設(shè)計(jì)計(jì)算方法可查閱文獻(xiàn)[8]，也可以參閱GB/T1239系列標(biāo)準(zhǔn)，GB/T2089、DIN2089等標(biāo)準(zhǔn)。四、材料的剪切性能與拉伸性能