正弦定理余弦定理課件高一下學期數(shù)學人教A版2

6.4.3正弦定理、余弦定理人教2019A版必修第二冊第一課時余弦定理2

一個三角形含有各種各樣的幾何量，例如三邊邊長、三個內(nèi)角的度數(shù)、面積等，它們之間存在著確定的關系，例如，在初中，我們得到過勾股定理、銳角三角函數(shù)，這是直角三角形中的邊、角定量關系.對于一般三角形，我們已經(jīng)定性地研究過三角形的邊、角關系，得到了SSS,SAS,ASA,AAS等判定三角形全等的方法，這些判定方法表明，給定三角形的三個角、三條邊這六個元素中的某些元素，這個三角形就是唯一確定的。那么三角形的其他元素與給定的某些元素有怎樣的數(shù)量關系？下面我們利用向量方法研究這個問題．創(chuàng)設情境，引入課題若已知三角形的兩邊及其夾角，如何求其他的邊角呢？下面我們來研究一下這個問題。CABabCABabc

我們知道，兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.這說明，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的.也就是說，三角形的其他邊、角都可以用這兩邊及其夾角來表示.探究新知

問題1

已知三角形的兩邊a，b及它們的夾角C，如何求第三邊c？設，那么∴

①把幾何元素用向量表示：②進行恰當?shù)南蛄窟\算：③向量式化成幾何式：同理可得于是，我們就得到了三角形中邊角關系的一個重要定理—余弦定理.探究：還有其他的方法證明上述關系式的成立嗎？

法2：幾何法（作高法）

余弦定理1坐標法

余弦定理的文字描述：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.即思考：利用余弦定理可以解決三角形的哪類問題？已知兩邊及其夾角求第三邊（SAS型）符號語言：

a

c1、余弦定理2、余弦定理的推論

余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系.應用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題.怎么確定呢？已知三邊求任意一個角（SSS型）從余弦定理及其推論可以看出，三角函數(shù)把幾何中關于三角形的定性結(jié)論變成了可定量計算的公式.思考：利用余弦定理的推論可以解決三角形的哪類問題？歸納總結(jié)：已知三條邊求任意角（SSS）余弦定理：推論：已知兩邊夾一角求第三邊【對邊】（SAS）問題1公式的結(jié)構特征怎樣？（1）輪換對稱，簡潔優(yōu)美;（2）每個等式中有同一個三角形中的四個元素，知三求一.（方程思想）

a

c思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中一個角之間的關系．你能說說這兩個定理之間的關系嗎？余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例．3、余弦定理與勾股定理的關系在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，則cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，這便是勾股定理.bca

c2＝a2＋b2AaBCbcAcbAbc=探究：當角C為直角時，有c2=a2+b2，當角C為銳角時，這三者的關系是什么？鈍角呢？推論：當C為銳角時，c2

a2+b2當C為鈍角時，c2

a2+b2當C為直角時，c2

a2+b2

><角A的對邊邊長：a角B的對邊邊長：b角C的對邊邊長：c把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊邊長a,b,c叫三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.“解三角形”的含義大邊對大角，小邊對小角題型分析舉一反三【跟蹤訓練1】例2.在中，已知a=7，b=8，銳角C滿足，求B。（精準到)解：因為，且C為銳角。所以由余弦定理，得所以c=3進而利用計算器可得【跟蹤訓練2】C達標檢測等腰三角形這節(jié)課你的收獲是什么請?zhí)钜惶?

余弦定理文字表述三角形中任何一邊的平方，等于

減去這兩邊與它們的

的兩倍.公式表達a2＝

，b2＝

，c2＝

.應用判斷三角形的形狀：c2＝a2＋b2?C為

；c2>a2＋b2?C為

；c2<a2＋b2?C為