2023-2024學(xué)年眉山市仁壽一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年眉山市仁壽一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷

（試卷滿分為150分，時(shí)間為120分鐘）2023.10.4

一、單選題

1.若向量”（2，°T）,向量Im）,則2T=（）

A（-4,1,0）B（-4,1,-4）c（4,-1,0）D（4,-1,-4）

2.從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）

A.至少有一本政治與都是數(shù)學(xué)B.至少有一本政治與都是政治

C.至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué)D.恰有1本政治與恰有2本政治

3.已知M、N分別是四面體OABC的棱OA,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段MN上，且MP=2PN,設(shè)向量°A=",

OB=b,OC=ct則。P=（）

11,111,111,111,1

—c—a+—b+-c—a+—0+—c—〃+—〃+—c

A.666B.333c.633D.366

4.已知”=（231）,%=。，-2,-2）,貝W在b上的投影向量為（）

-b2b

A.2bB.々bc.3D.3

5.設(shè)〃?，〃是兩條不同的直線，區(qū)夕是兩個(gè)不同的平面，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若相_L",mLat■尸，則?4B.若mHn,mA.at,則C4

C.若mlla,〃///，則。D.若"?〃"，mLa,nA.。，則a//萬

6.某省在新的高考改革方案中規(guī)定：每位考生的高考成績(jī)是按照3（語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)）+2（物理、

歷史）選1+4（化學(xué)、生物、地理、政治）選2的模式設(shè)置的，則某考生選擇物化生組合的概率是（）

_3_32.±

A.WB.5c.WD.12

7.在四棱錐P-ABCO中，平面ABCO,四邊形A8CO為菱形，PD=AB,/ZMB=60。，點(diǎn)E為

的中點(diǎn)，則異面直線CE與尸8所成角的余弦值為（）

2石屈M26

A.5B.5c.5D.5

8.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體48CD-A蜴GA中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在底面A8C￡＞上移動(dòng)，且滿足

B/'RE,則線段的長(zhǎng)度的最大值為（）

4＞/5

A.5B.2C.2&D.3

二、多選題

9.下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）

A.向量幽"。"。）,若則＞%=0.

13

DARCPC=—PA+」PBR「

B.若空間四個(gè)點(diǎn)R4B，C,44,則ABC三點(diǎn)共線.

3

C,已知向量“=（LLx）,"=（Tx，9）,若歷，則,⑷為鈍角.

D.已知｛"'"'4是空間的一組基底，若加="+c,貝也是空間的一組基底；

10.加26是空氣質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，我國(guó)？”2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即°知2.5日均值在

35圈/0?以下空氣質(zhì)量為一級(jí)，在35Ng/m、~75叫/0?之間空氣質(zhì)量為二級(jí)，在75ng/m5以上空氣質(zhì)量為超

標(biāo).如圖是某地11月1日到10日PM25日均值（單位:照/m,）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，則下列敘述不正確的是（）

A.從5日到9日,2用25日均值逐漸降低

B.這10天中刊肛.5日均值的平均數(shù)是49.3

2

C.這10天的PM2.5日均值的中位數(shù)是45

2

D.從這10天的日均尸時(shí)25監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽出一天的數(shù)據(jù),空氣質(zhì)量為一級(jí)的概率是二

11.下列敘述正確的是（）

A.互斥事件不一定是對(duì)立事件，但是對(duì)立事件一定是互斥事件

112

B.甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率為2,甲獲勝的概率是3,則甲不輸?shù)母怕蕿?

C.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球是兩個(gè)互斥而不

對(duì)立的事件

7

D.在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率為10

12.已知三棱柱"8C-ABC為正三棱柱，且4A=2,AB=2也，。是MG的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段4。上

的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.正三棱柱ABC'ABC外接球的表面積為20萬

B.若直線總與底面A8C所成角為。，則sin。的取值范圍為L(zhǎng)'」

71

C.若4P=2,則異面直線AP與BG所成的角為7

D.若過且與心垂直的截面a與心交于點(diǎn)E,則三棱錐P-8CE的體積的最小值為2

三、填空題

13.用分層抽樣的方法從某校高中學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，其中高二年級(jí)有學(xué)生600人，抽取

了15人.則該校高中學(xué)生總數(shù)是人.

14,已知事件A,B,C兩兩互斥,且尸（4）=吃雁）=°￡P(guān)（C）=O2,則P（—C）=.

AN=-NCAP=mAB+-AC

15.在△ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)，且2,P是8N上的一點(diǎn)，若9,則實(shí)

數(shù)機(jī)的值為

16.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M,N分別在正

方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且CM=BN=a（0<a<正）.則下列結(jié)論：

①當(dāng)a=5時(shí)，ME與CN相交;

3

②MN始終與平面BCE平行；

③異面直線AC與BF所成的角為45。；

④MN的最小值為2.

正確的序號(hào)是

四、解答題

17.設(shè)A,B,C,D為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且A(1,3),B(2,-2),C(4,1)

(1)若=求D點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵設(shè)向量"=A8,"=8C,若向量X-人與〃+3力平行，求實(shí)數(shù)k的值.

18二棱臺(tái)A4G中，若AA面ABC,A3_LAC,AB=AC=A4|=2,AG=1,M,N分別是3C,3A

中點(diǎn).

⑴求證：AM/平面GM4；

⑵求點(diǎn)C到平面GMA的距離.

19.某校從高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分100分，成績(jī)均為不

低于40分的整數(shù))分成六段：［物50),［50,60),［90,100］后得到如圖的頻率分布直方圖.

⑴求抽取的40名學(xué)生同學(xué)的成績(jī)的中位數(shù)；

(2)若該校高二年級(jí)共有學(xué)生560人，試估計(jì)該校高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分的人數(shù)；

(3)若從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢壑獞簪倥c兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成

績(jī)之差的絕對(duì)值不小于10的概率.

20.某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績(jī)只記“通過”與“不通過”，兩部分考試都“通

過''者，則考試“通過”，并給予錄取.甲、乙兩人在筆試中“通過”的概率依次為05°6,在面試中“通過”的

概率依次為04。3,筆試和面試是否“通過”是獨(dú)立的，那么

4

(1)甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，誰(shuí)獲得錄取的可能性大？

(2)甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，求恰有一人獲得錄取的概率.

21.如圖所示，在四棱錐尸—A3C。中，尸A_L平面ABC。，AD//BC,,且=AP=2,BC=1,

4)=5,E為PC上一點(diǎn).

(1)求證：AEYCD.

⑵若E為PC的中點(diǎn)，求。與平面血*所成角的正弦值.

22.如圖，在四棱錐S-MC。中，四邊形A88是矩形，也是正三角形，且平面平面A8CO,

2-

AB=l,P為棱A。的中點(diǎn)，四棱錐S-ABCD的體積為亍.

⑴若E為棱M的中點(diǎn)，求證：PE”平面SCD；

26

(2)在棱以上是否存在點(diǎn)使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為丁?若存在，指出點(diǎn)

用的位置并給以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

1.C

【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示計(jì)算.

【詳解】向量a=(2，°I),向量'=(°爪一2),

則為一。=2(2,0,—1)-(0,1,—2)=(4,-1,0)

故選：C

2.D

【分析】總的可能的結(jié)果為“兩本政治”，"兩本數(shù)學(xué)”，"一本數(shù)學(xué)一本政治”，然后寫出各個(gè)事件包含的

5

事件，結(jié)合互斥事件與對(duì)立事件的概念，即可得出答案.

【詳解】從裝有2本數(shù)學(xué)和2本政治的四本書內(nèi)任取2本書，

可能的結(jié)果有：“兩本政治”，“兩本數(shù)學(xué)”，"一本數(shù)學(xué)一本政治”，

“至少有一本政治'’包含事件：“兩本政治”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”.

對(duì)于A,事件“至少有一本政治”與事件"都是數(shù)學(xué)”是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，兩個(gè)事件是包含關(guān)系，不是互斥事件，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,事件“至少有一本數(shù)學(xué)”包含事件：“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，因此兩個(gè)事件都包含事

件“一本數(shù)學(xué)一本政治“，不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,“恰有1本政治”表示事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”，與事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不對(duì)

立，故D正確.

故選:D.

3.C

....?2

OP=OM+MP=OM+-MN=OM—(ON-OM),

【分析】由空間向量的線性運(yùn)算，33，再轉(zhuǎn)化為用“，b，c

表示即得解

【詳解】由題意，

22

OP=OM+MP=OM+mMN=OM+q（ON-OM）

21

-ON-0M21"L+"c

=3+3=3x5（08+。。）+3x2=633

故選：C

4.D

【分析】根據(jù)空間向量的投影向量公式進(jìn)行求解.

a-b_（2,3J）,（h—2,—2）_2—6—22

「2+（_2）2+（一2廠-^3

【詳解】

2

,=一.

故。在。上的投影向量為11

故選：D

5.C

【分析】A選項(xiàng)，分〃<=a和〃兩種情況，結(jié)合線面垂直得到面面垂直；B選項(xiàng)，作出輔助線，得到

線面垂直，得到面面垂直；C選項(xiàng)，舉出反例；D選項(xiàng)，證明出結(jié)合“工尸，所以尸，D正

確.

【詳解】A選項(xiàng)，如圖1,當(dāng)“ua,時(shí)，因?yàn)椤?廣，所以￡,尸,

如圖2,當(dāng)時(shí)，因?yàn)椤╥_L〃，

設(shè)加a=0,過點(diǎn)0作C"http://〃，則。4ua,且。

因?yàn)樗苑?6,所以a，尸，A正確；

6

B選項(xiàng)，如圖3,若mLa，所以〃_La,

因?yàn)椤ā?，故存在7,使得〃u/,且尸「7=。，則”〃0,

因?yàn)椤╛La,所以c，a,

因?yàn)閏u尸，故B正確；

則

C選項(xiàng)，如圖4,滿足山?!"”,機(jī)〃〃〃夕,

但不滿足a〃尸，C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，如圖5,因?yàn)椤ā?〃，mla9

7

所以

又〃，0,

所以e〃尸，故D正確.

圖5

故選：C

6.D

【分析】列舉法求得選物理和歷史的所有種數(shù)，再利用古典概型求解

【詳解】在2（物理，歷史）選1+4（化學(xué)、生物、地理、政治）選2中，

選物理的有6種，分別為：

物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，

同時(shí)，選歷史的也有6種，共計(jì)12種，

其中選擇物化生的有1種，

P=—

，某考生選擇物化生的概率是12.

故選：D

7.B

【分析】連接AC8。交于點(diǎn)0,連接E°,得到NCE0（補(bǔ)角）是異面直線CE與總所成角求解.

【詳解】解：如圖所示：

連接AC，8“交于點(diǎn)。,連接E0,

因?yàn)镋0//PB,

所以/CEO（補(bǔ)角）是異面直線CE與必所成角.

因?yàn)槠矫鍭8C。，ACu平面ABC。，

所以W4C,

又因?yàn)樗倪呅蜛8CO為菱形,

8

所以80_LAC,又BDPD=D,

所以AC_L平面PBD,

又EOu平面PBD,

所以ACLEO,則△￡'℃為直角三角形，

設(shè)PD=AB=2a,

在△￡1OC中,EO=\fla.OC=6a,EC=小a

EOVio

所以EC5,

故選：B.

8.D

【解析】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，1必、DC、OR所在直線分別為x、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)

p（x，y，°）,根據(jù)aP,AE=°得出x、y滿足的關(guān)系式，并求出y的取值范圍，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)

求得任耳的最大值.

【詳解】如下圖所示，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4、OC、OQ所在直線分別為X、V、z軸建立空間直角

坐標(biāo)系D--z,

則點(diǎn)812,2,2）、卬0,0,2）、￡（1,2,0）設(shè)點(diǎn)P（x,y0）（04x42,04^42）,

*=(1,2,-2)4P=(x-2,y-2,-2)

D[E上B[P/.B1PD1E=x-2+2(y-2)4-4=x+2y-2=0得x=2-2y

f0<x<2j0<2-2y<2

由得i()7K2,W0<y<l

9

??.網(wǎng)尸卜J(x-2『+(y-2)2+4=J5y2-4)，+8

OVyVl,當(dāng)？=1時(shí)，取得最大值3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線段長(zhǎng)度最值的計(jì)算，涉及利用空間向量法處理向量垂直問題，考查計(jì)算

能力，屬于中等題.

9.ABD

【分析】由空間向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)可判斷AC,由空間向量的基本定理與共線定理以及向量基

底可判斷BD.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)閍lb,則。加=0,

故A正確；

131133

PC=-PA+」PB-PC一一PA=-PB--PC

對(duì)于B：因?yàn)?4,則4444,

即AC=3C8,又AC與C3有公共點(diǎn)，所以AdC三點(diǎn)共線，故B正確；

對(duì)于C:若\'/為鈍角：則且〃與6不共線,

X<—

由。北<。得10,

1———1—_X”x——3c

當(dāng)時(shí)。與b平行時(shí)，一3X9-，

由。與〃不共線得…，于是得當(dāng)“,歷且…時(shí)，W為鈍角,

故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：3'"'，｝是空間的一組基底，則向量a/，。不共面，

由機(jī)=a+c,所以a，兒機(jī)也不共面，

故也是空間的一組基底，故D正確，

故選：ABD

10.C

【分析】根據(jù)折線圖可知選項(xiàng)A正確，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式可知選項(xiàng)B正確，將10天的日均值從小到大

排列，取中間兩數(shù)的平均數(shù)可知選項(xiàng)C錯(cuò)誤，數(shù)出PM”日均值在35四/1/以下的天數(shù)，根據(jù)概率計(jì)算公式

可知選項(xiàng)D正確.

【詳解】解:由圖可知從5日到9日,「“2.5日均值逐漸降低，故選項(xiàng)A正確；

30+32+33+34+45+49+57+58+73+82C、

------------------------------=493

由圖平均數(shù)為1。,故選項(xiàng)B正確；

45+49仃

------=47

由圖可知這10天的數(shù)據(jù)從小到大排列為：30,32,33,34,45,49,57,58,73,82,故中位數(shù)為：2,故選

10

項(xiàng)C錯(cuò)誤;

_4_2

由數(shù)據(jù)可知,10天中日均值35Ng/m’以下有4天，故空氣質(zhì)量為一級(jí)的概率是正一二，故選項(xiàng)D正

確.

故選：C

11.ABD

【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義判斷AC選項(xiàng)，根據(jù)概率的基本性質(zhì)求BD選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，它可以同時(shí)不發(fā)生，

對(duì)立事件是必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件，A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)：甲不輸?shù)氖录窍鲁珊推宓氖录c甲獲勝的事件和，它們互斥，

_1_P-1=一5

則甲不輸?shù)母怕蕿?36,B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)：由給定條件知，至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球這兩個(gè)事件都含有一紅一黑的兩個(gè)球這

一基本事件，即它們不互斥，C錯(cuò)誤：

對(duì)于D選項(xiàng)：5件產(chǎn)品中任取兩件有10個(gè)基本事件，它們等可能，

其中“至多一件一等品，，的對(duì)立事件為“恰兩件一等品，，，有3個(gè)基本事件，

,37

1----------

從而所求概率為1010,D正確.

故選：ABD.

12.AD

【分析】選項(xiàng)A：先求外接圓的半徑，根據(jù)勾股定理求外接球的半徑，從而求表面積；

選項(xiàng)8：確定出點(diǎn)P與4重合時(shí)，°最小；點(diǎn)尸與。重合時(shí)，0最大，然后在直角三角形中求其正弦值;

選項(xiàng)C：將正三棱柱補(bǔ)成直四棱柱，然后找異面直線赫與8G所成的角；

選項(xiàng)。：把三棱錐「一BCE的體積最小，轉(zhuǎn)化為三棱錐E-ABC的體積最大，然后根據(jù)E到平面A8C距

離的最大值求三棱錐P-BCE的體積的最小值.

r=x2y/3=2

【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)橥饨訄A的半徑一3,M=2,所以正三棱柱ABC-"MG外接

球的半徑R=Hi=逐，所以外接球的表面積為4萬川=20萬，故A項(xiàng)正確；

選項(xiàng)8：取8c的中點(diǎn)尸，連接OF,AF,BD,AR,由正三棱柱的性質(zhì)可知平面私刀尸,平面人口。，

.A「12H

smc/G—,------

所以當(dāng)點(diǎn)尸與A重合時(shí)，，最小，當(dāng)點(diǎn)尸與。重合時(shí)，，最大，所以L27J,故8錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：將正三棱柱補(bǔ)成如圖所示的直四棱柱，則NG4尸（或其補(bǔ)角）為異面直線.與BG所成的角，易

廠4GAp*三八

得AG=GP=4,AP=2五,所以4,故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

11

匕…「=_x2x&(2⑹-=26

選項(xiàng)。：如圖所示，因?yàn)?34V>,所以要使三棱錐P-8CE的體積最小，則三

棱錐E-4JC的體積最大，設(shè)BC的中點(diǎn)為尸，作出截面如圖所示,

因?yàn)锳PLc,所以E在以版為直徑的圓上,

2任；=|

-6------X

所以點(diǎn)E到底面4BC距離的最大值為2

26-丹吟R百F咚,故。項(xiàng)正確.

所以三棱錐P-BCE的體積的最小值為

故選：AD.

【點(diǎn)睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題

化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；

④取舍:由異面直線所成的角的取值范圍是,當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面

直線所成的角.

13.1800

【分析】利用比例求出學(xué)生總數(shù).

45

—x600=1800

【詳解】15,故該校高中學(xué)生總數(shù)是1800人.

故答案為：1800

9

14.0.9##1°

【分析】由互斥事件與對(duì)立事件的相關(guān)公式求解

【詳解】由題意得P(8)=l-P(B)=0.4,則P(A°'DC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.9

故答案為：0.9

1

15.3

12

AN=-NC

【詳解】分析：根據(jù)向量的加減運(yùn)算法則，通過2，把”用A8和AN表示出來，可得m的值.

AN=-NC

詳解：如圖：?；2,

AN=-AC

：.3,

22

AP=mAB+-AC=mAB+-AN

則93,

又：B,P,N三點(diǎn)共線，

2,

m+—=1

???3,

J_

故得m=3.

j_

故答案為§.

點(diǎn)睛：點(diǎn)0是直線1外一點(diǎn)，點(diǎn)A,B是直線1上任意兩點(diǎn)，求證：直線上任意一點(diǎn)P,存在實(shí)數(shù)3使

得0P關(guān)于基底｛OA.OB）的分析式為OP=（1T）°A+,OB

反之，若。尸=（IT）°A+'°B則A,P,B三點(diǎn)共線

1OP=-OA+-OB

（特別地令t=2,22稱為向量中點(diǎn)公式）

16.②④

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.

【詳解】由題意，以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，84BE,8c所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角

坐標(biāo)系，

由正方形鉆8,AB莊的邊長(zhǎng)1,

所以71（1,0,0）,B（0,0,0）,C（0,0,l）,￡＞（1,0,1）,￡（0,1,0）,尸（1,1,0）,

因?yàn)镃M=BN=a,所以V2V2V2V2,

若ME與CN相交，則四點(diǎn)共面，又M、C、E在平面ACE,

所以當(dāng)且僅當(dāng)N在平面ACE時(shí)，用￡與CN相交，此時(shí)“-2,故①錯(cuò)誤;

13

MN=(o,________1)

平面BCE的法向量為8A=(1,0,0),41&,

BAMN=Q,AB1MN,所以MN始終與平面BCE平行，故②正確;

AC=(-1,0,1),BF=(1,1,0),設(shè)異面直線AC與BF所成的角為°,

〃IAC-FI]1

COSu)=________=_______=

lACIIB/qV2XV22,所以異面直線AC與BF所成的角為60。，故③錯(cuò)誤;

,故④

故答案為:②④

17.⑴°(51)；⑵3

【分析】(1)求出向量坐標(biāo)，再利用相等向量列出方程組，求解作答.

(2)求出“力的坐標(biāo)，再利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，及共線向量的坐標(biāo)表示求解作答.

［詳解］(1)設(shè)O(X)')，因?yàn)锳B=C￡>,于是(2,-2)-(l,3)=(x,y)-(4,l),整理得(1,-5)=(》-4,〉一1),

(x-4=l卜=5

即有=解得［y=-4,所以。(5,~4)

1UUU1UUU

(2)因?yàn)椤?A'=(1,-5),Z?==(4,1)-(2,-2)=(2,3),

所以焉-Z=攵(1,一5)—(2,3)=(女一2,一5女-3),：+3,=(1,-5)+3(2,3)=(7,4),

k=--

因?yàn)橄蛄?-力與4+36平行，因此7(-54-3)-4(&-2)=0,解得3,

所以實(shí)數(shù)k的值為3.

4

18.(1)證明見解析(2)3

14

【分析】（1）連接MN、CA,即可得到四邊形"NAG是平行四邊形，從而得到AN〃/C、即可得證;

（2）方法一：幾何法，過G作CfAC,垂足為尸，作CQ,AM,垂足為Q,連接尸Q,PM,過戶作

PR"。，垂足為R,由線面垂直的性質(zhì)得到dAM,再由從而得到AM/平面G”

再證明PR,平面CMA,從而求出心，最后由點(diǎn)C到平面GM*的距離是2到平面GMA的距離的兩倍,

即可得解；

方法二：利用等體積法計(jì)算可得.

【詳解】（1）連接加、GA,由M，N分別是BC,BA的中點(diǎn)，

MN=—=\

根據(jù)中位線性質(zhì)，MNHAC,且2,

由棱臺(tái)性質(zhì)，ACJ/4C,于是MN//AG,

又由MN=AG=1可知，四邊形MNA?是平行四邊形，則AN//MC、,

又4"2平面。]屁4,MC]U平面GM4,于是AN〃平面C]MA

（2）方法一：過6作。/,”。，垂足為尸，作CQ4M,垂足為Q,連接PQ,PM,過戶作

垂足為R.

由題干數(shù)據(jù)可得，C*GC=&,田心5:下,八乂=加=^^^,

物力考

根據(jù)勾股定理，V7,

因?yàn)锳A，面ABC,ACu面ABC,所以AA，4C,所以a尸/從兒，

所以C/，平面AMC,又4WU平面AMC,則GP，AM,

又GQ-LAM,GOC/=G,GQ，GPU平面GPQ,于是AW/平面的尸2

又「Ru平面GPQ,則依_LAM,

又PR工CiQ,C]QAM=Q,C}Q9AMu平面GMA,故P/?_L平面GMA

15

2x也

PR=PC】?PQ2_2

QG一3上一3

在Rt<PQ中,2

又CA=2PA,故點(diǎn)C到平面GMA的距離是「到平面C'MA的距離的兩倍,

4

即點(diǎn)C到平面GK4的距離是3.

方法二：過G作GP'AC,垂足為尸，作垂足為。,

因?yàn)锳A，面ABC,ACu面A8C,所以AALAC,所以GP//4A,

所以C/_L平面A8C,

22AM=-BC=-y/22+22=41

由題干數(shù)據(jù)可得，GA=GC=4,CtM=y]CtP+PM=4522

逑

GQ=

~2~

根據(jù)勾股定理，

設(shè)點(diǎn)C到平面GMA的距離為h,

.^q-AMC=1xClPx5AMC=7X2X5'X(^)=|

yjIIO乙J

%-GMA=§X〃XSAMQ

h24

,匕1Z-AMC=匕1Z-GAM^>-=7工

由23,解5得,"=3.

19.(1)75分；(2)196；(3)15.

【分析】（1）由各組的頻率和為1,求出〃，再利用中位數(shù)的定義可求得結(jié)果;

16

(2)根據(jù)頻率分布直方圖求出成績(jī)不低于80分的頻率，再乘以560可乘以所求的人數(shù)；

(3)根據(jù)頻率分布直方圖求出數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢鄣那散倥c兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生的頻率，從而可求出

各段上的人數(shù)，然后列出所有的情況，以及兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不小于10的情況，再利用

古典概型的概率公式求解即可.

【詳解】⑴由頻率分布直方圖可得l()x(0.005+2x0.010+0.020+“+0.025)=l,

解得a=0.030,

因?yàn)榍?組的頻率和10x(0.005+0.010+0.020)=0.35<0.5,前4組的頻率和

1()X(O.(X)5+0.010+0.020+0.030)=0.65>0.5

所以中位數(shù)在第4組，

設(shè)中位數(shù)為x,則035+0.03。-70)=0.5,解得…，

所以中位數(shù)為75分；

(2)由頻率分布直方圖可得成績(jī)不低于80分的頻率為10x(0.025+0.01)=0.35,

因?yàn)樵撔８叨昙?jí)共有學(xué)生560人，

所以該校高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分的人數(shù)約為035x560=196(人)；

(3)由頻率分布直方圖可得成績(jī)?cè)冢?°，5°)內(nèi)的人數(shù)為40x10x0.005=2人，記為從巴

成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)的人數(shù)為40x10x0.010=4人，記為C,D,E,F,

若從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?4°，5°)與I90/001兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生的所有情況有：

(A,8),(AC),(A￡>),(A,E),(A,F),(5,C),(B,O),(8,E),(8,F),(C,D),(C,E),(C,尸)，(D,E),(D,F),(E,F),

共15種情況，

其中兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不小于10的有：(A,C),(AO),(AE),(AF),

(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),共8種，

8

所以所求概率為15.

20.⑴甲獲得錄取的可能性大；(2)0308.

【分析】(1)利用獨(dú)立事件的乘法公式求出甲、乙兩人被錄取的概率并比較大小，即得結(jié)果.

(2)應(yīng)用對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率求法，結(jié)合互斥事件的加法公式求恰有一人獲得錄取的概率.

【詳解】(1)記“甲通過筆試”為事件4,“甲通過面試”為事件為,“甲獲得錄取”為事件A,“乙通過筆

17

試”為事件可，“乙通過面試”為事件層，“乙獲得錄取”為事件B,則

P（A）=P（A）*4）=0.5x0.4=0.2P（3）=P（4）P（鳥）=0.6x0.3=0.18,即p（A）＞P（B）（

所以甲獲得錄取的可能性大.

（2）記“甲乙兩人恰有一人獲得錄取”為事件c,則尸（。=次4豆）+P*B）=P（4）尸（豆）+P（給尸（B）

=0.2x0.82+0.8x0.18=0.308.

21.（1）證明見解析（2）10.

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理分析證明；

（2）建系，求出C。及平面AED的法向量，利用線面角的計(jì)算公式計(jì)算即可.

【詳解】⑴因?yàn)锳8=AP=2,BC=\,所以AC=J22+f=石,CD=d2』2=2石,

又因?yàn)?）=5,則AC?+。。。=加二所以AC，8,

因?yàn)镻4JL平面ABC。，CDu平面ABCD,所以PAJ_CD,

且ACcE4=A,4（：,如:=平面210,所以C￡＞_L平面PAC,

由AEu平面PAC,所以AEJ.C。.

（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,AD,AP所在的直線為x軸，V軸，z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

則A（0,0,0）,0（