2022-2023學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)人教A版含參數(shù)單調(diào)性一講義

含參數(shù)單調(diào)性(一)

知識(shí)精講

導(dǎo)數(shù)"一次型"

1.基本特征

導(dǎo)函數(shù)"一次型”的基本特征是，導(dǎo)函數(shù)中能夠影響原函數(shù)單調(diào)性的部分是"一次型"函數(shù)

例如：①尸(%)=◎+匕;?f'(x)^a\nx+b；@f\x)=(ax+b)ex;

?7Y+b

⑤/'(x)=—T(x>0)等，其中。力至少有一個(gè)為參數(shù).

2.求解步驟

對(duì)"一次型”導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論，求解原函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟如下：

第一步：求定義域

第二步：求導(dǎo)，例如/(耳="+匕

⑴。=0一/("=匕，則轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題

⑵a>0,此時(shí)令尸(x)=0，解得x=x()

①若玉在定義域內(nèi)，

則定義域內(nèi)x>x。的部分，/(x)單調(diào)遞增；定義域內(nèi)無(wú)的部分，/(“單調(diào)遞減

②若與不在定義域內(nèi)，則轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題

(3)?<0,此時(shí)令尸(x)=0,解得X=X。

①若「在定義域內(nèi)，

則定義域內(nèi)X>x0的部分，/(X)單調(diào)遞減；定義域內(nèi)X<x°的部分，/(X)單調(diào)遞增

②若與不在定義域內(nèi)，則轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題

歸納口訣：/(x)=o,

一解分三樣(a=0,a>0,a<0),兩解比大小(％=々,玉>x2,x,<x2),

3.典例精煉

1.已知函數(shù)/(力=/一2辦(。彳0).討論“X)的單調(diào)性;

2.已知函數(shù)/(x)=lnx-gaf2.討論/(x)的單凋性;

3.已知函數(shù)/(x)=2x3—以2+2,討論/(力的單調(diào)性.

4.已知函數(shù)"x)=ax-l—lnx(aeR)，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

5.已知函數(shù)/(同=(2。-1)1111一^—2依(aeR).當(dāng)awO時(shí)，討論函數(shù)/(x)的單

調(diào)區(qū)間.

6.已知函數(shù)/(》)=以2一(a+2)x+lnx+2.討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性.

答案和解析

1.【答案】解:/'(X)=3x2-2a(a*0),

當(dāng)a<0時(shí)，/(￡)>0恒成立，故f(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，由/'。)>0得，x<—萼，或x>手，

由/'。)<0得，一萼<x<竽，

故此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-乎)，(子,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(—萼，背馬:

綜上，當(dāng)a<0時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，/(乃的單調(diào)遞增區(qū)間為

(_8,_手)，(等,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(一手，子).

2.【答案】解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)/0)=111%-3b2,

所以f(x)的定義域?yàn)?0,+8),

所以1(%)=：-ax=

①當(dāng)aW0時(shí),f(%)>0,所以函數(shù)f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

,f(x)>0,當(dāng)xe[/,+8]時(shí)，fix')<0,

②當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)時(shí)

3.【答案】解：由題可得:/'(%)=6%2—2ax=2x(3x—a)

當(dāng)aV0時(shí)，

在(-8譚),(0,+8)上,f(x)>0,

即f(X)在(一8,今,(0,+8)上單調(diào)遞增；

在?,0)上，f(x)<0,

即/(x)在G，0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)Q=0時(shí),

在(-8,+8)上，f(X)>0,

即在R上單調(diào)遞增;

當(dāng)a>0時(shí)，

在(-8,0),?,+8)上，f(x)>0,

即/㈤在(-8,0),(1,+8)上單調(diào)遞增;

在(0,今上，f(x)<0,

即/(%)在(0譚)上單調(diào)遞減.

4.【答案】解：???函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?0,+8),/Q)=a-；=『，

當(dāng)a40時(shí)，ax-1<0,從而/'(x)VO,故函數(shù)/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減;

當(dāng)a>0時(shí)，若0cx<：,貝Uax-l<0,從而/'(x)<0；

若x>：,貝iJax-l>0,從而/''(X)>0,

故函數(shù)在(0,；)上單調(diào)遞減，在G，+8)上單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)a40時(shí)，函數(shù)八x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(x)在(0,，)上單調(diào)遞減，在+8)上單調(diào)遞增.

2

5.【答案】解：f'(x)=2^1+-1-2a=-2ax+(2a-l)x+l

_一(2ax+l)(x-l)、n

XL

①當(dāng)a20時(shí)，2ax+l>0,

令［(x)>0,得0cx<1；令f'(x)<0,得x>1.

所以/(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(L+8)；

②當(dāng)a<0時(shí)，/'(X)=々就計(jì)鈔x-1).x>o,

1。若白=-1,則a=-p八乃=與f>0恒成立，

所以的增區(qū)間為(0,+oo),無(wú)減區(qū)間；

2°若0<―；<1>則a<—：,

2a2

令/(x)>0>得。<xV—■或x>1；令f'(x)<0,得—;<X<1；

2a2a

所以f(x)的增區(qū)間為(0,-》(L+8),減區(qū)間為(_,1)；

1-1

3°若一:5->1,則一5<a<0,

2a2

令((%)>0,得0<X<1或%>一9令/(工)<0,得1<X<—

所以/(%)的增區(qū)間為(0,1),(—/，+8)，減區(qū)間為(1,一2).

6.【答案】解：由題知f(x)=ax2一(a+2)x+Inx+2,(%>0)

所以,(%)=2a、2(Q+2)X+I=(ax-l)(2x-l)=2蟲—；)卜一》.

①當(dāng)aWO時(shí)，若xe(0,g)，則/'(x)>0；若xeG，+8),則/(x)<0

所以f(x)在(0,打上單調(diào)遞增，在a+8)上單調(diào)遞減；

②當(dāng)0<a<2時(shí),，>義,若xe(嗎)，則［(x)>0；若x€&!),則/'(?<0；若x6&+8),

則(Q)>0,

所以f(x)在(0,號(hào)上單調(diào)遞增，在0,上單調(diào)遞減，在+8)上單調(diào)遞增；

③當(dāng)a=2時(shí)，f(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

④當(dāng)a>2時(shí),；<若xe(*)，則/'(%)>0；若％6(另)則f'(x)<0；若無(wú)6&+8)，

則廣>0,

所以/。)在(0,￡)上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在(；,+8)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)aW0時(shí)，/(x)在(03)上單調(diào)遞