2022-2023學年北京市東城區(qū)匯文中學九年級（上）期中數(shù)學試卷

2022-2023學年北京市東城區(qū)匯文中學九年級（上）期中數(shù)學試

卷

一、選擇題（共16分，每題2分）第1~8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

C為。。上的點，/AOB=60°,貝（

30°C.40°D.60°

2.（2分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線＞=2?向上平移3個單位長度得到的拋物線

為（）

A.y=2（x+3）2B.y=2（x-3）2C.y=2^-3D.y=2x2+3

3.（2分）將一元二次方程/-6x+5=0通過配方轉化為（x+a）2=匕的形式，下列結果中

正確的是（）

A.（x+3）2=1B.（x-6）2—1C.（x-3）2—4D.（x-6）2=4

4.（2分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線），=/+以+c（a^O）的示意圖如圖所示，下

列說法中正確的是（）

C.c>0D.△>0

5.（2分）下列所給方程中，沒有實數(shù)根的是（）

A.JT+2X=0B.5?-4x-2=0C.3/-4x+l=0D.4?-3x+2=0

6.（2分）如圖，O。是正方形ABC。的外接圓，若。。的半徑為4,則正方形ABC。的邊

長為（)

C.272D.啦

7.（2分）下列說法中，正確的是（）

A.“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是必然事件

B.事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1

C.某種彩票中獎的概率是1%,因此買100張該種彩票就一定會中獎

D.拋擲一枚圖釘，“針尖朝上”的概率可以用列舉法求得

8.（2分）如圖，點P是以。為圓心，AB為直徑的半圓上的動點，AB=2.設弦AP的長為

x,△APO的面積為y,則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關系的圖象大致是（）

9.（2分）在半徑為3c機的圓中，150°的圓心角所對弧的弧長是cm.

10.（2分）如圖，AB為。。的直徑，弦CO丄AB于點”，若48=10,CD=8,則的長

11.（2分）若點A（-1,yi）,B（3,”）在拋物線y=/上，則yi,”的大小關系為：y\

>>2（填”或

12.（2分）關于x的一元二次方程/+,冰+4=0有一個根為1,則的值為.

13.（2分）如圖，PA,P3是。。的切線，4,8是切點，點C為。。上一點，若NACB=

增加了2.5萬人，設參觀人數(shù)的月平均增長率為x,則可列方程

為.

15.（2分）已知二次函數(shù)y=a?+〃x+c（“W0）圖象上部分點橫坐標、縱坐標的對應值如下

表：

X…01234???

.?????

yT-405

直接寫出該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標.

16.（2分）拋物線y=a?+fec+c的頂點為A（2,機），且經(jīng)過點B（5,0）,其部分圖象如圖

所示，對于此拋物線有如下四個結論：?abc<0；②“-b+c>0；?4a+b—0；@m+9a—

0；⑤若此拋物線經(jīng)過點CC,“）.則L4一定是方程a?+瓜+c=〃的一個根.其中所

有正確結論的序號是.

三、解答題（總分68）

17.解方程：?-4x-5=0.

18.下面是小石設計的“過三角形一個頂點作其對邊的平行線”的尺規(guī)作圖過程.

已知I：如圖1,△ABC.

求作：直線BD,使得8Q〃AC.

作法：如圖2,

①分別作線段AC,BC的垂直平分線厶，12,兩直線交于點。；

②以點。為圓心，0A長為半徑作圓；

③以點4為圓心，BC長為半徑作弧，交標于點。；

④作直線BD.

所以直線BD就是所求作的直線.

根據(jù)小石設計的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明.

證明：連接AO,

?.?點A,B,C,力在。。上，AD=BC,

???AD=.

：.ZDBA=ZCAB()(填推理的依據(jù)).

J.BD//AC.

19.已知二次函數(shù))，=/-2x-3.

(1)求此函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標；

(2)畫出此函數(shù)的圖象(不需要列表)；

(3)若點A(0,yi)和B(〃?，”)都在此函數(shù)的圖象上，且yi<”，結合函數(shù)圖象,

直接寫出山的取值范圍.

20.已知關于x的一元二次方程x2-(Z+5)x+6+2Z=0.

(1)求證：此方程總有兩個實數(shù)根：

(2)若此方程恰有一個根小于-2,求厶的取值范圍.

21.有甲、乙兩個不透明的口袋，甲口袋中裝有兩個相同的球，它們分別寫有數(shù)-2,2；乙

口袋中裝有三個相同的球，它們分別寫有數(shù)-5,m,5.小明和小剛進行摸球游戲，規(guī)則

如下：先從甲口袋中隨機取出一個球，其上的數(shù)記為再從乙口袋中隨機取出一個球,

其上的數(shù)記為4若從小明勝；若a=b,為平局；若a>6,小剛勝.

(1)若，*=-2,用樹狀圖或列表法分別求出小明、小剛獲勝的概率；

(2)當相為何值時，小明和小剛獲勝的概率相同？直接寫出一個符合條件的整數(shù)機的

值.

22.如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立平面直角坐標系，一條圓弧經(jīng)過格點A(0,4)、8(-4,

4)、C(-6,2),若該圓弧所在圓的圓心為。點，請你利用網(wǎng)格圖回答下列問題：

(1)圓心。的坐標為；

(2)若扇形ADC是一個圓錐的側面展開圖，求該圓錐底面圓的半徑長(結果保留根號).

23.如圖，△4BC內接于高4。經(jīng)過圓心O.

(1)求證：AB=AC；

（2）若BC=16,。。的半徑為10.求△ABC的面積.

24.“母親節(jié)”前夕，我市某校學生積極參與“關愛貧困母親”的活動，他們購進了一批單

價為20元的“孝文化衫”在課余時間進行義賣，并將所得利潤捐給貧困母親，在義賣的

過程中發(fā)現(xiàn)，這種文化衫每天的銷售件數(shù)y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關系：

y=-3x+108（20<x<36）.如果義賣這種文化衫每天的利潤為p（元），

（1）求出p與x的關系式；

（2）當銷售單價定為多少元時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

25.如圖，A2是。。的直徑，四邊形ABCQ內接于。。，￡>是正的中點，DE丄BC交BC

的延長線于點E.

（1）求證：DE是OO的切線;

(2)若AB=10,BC=8,求BD的長.

a(x-厶)2-8〃的頂點為A,0</z<Z.

2

(1)若a=

①點A到x軸的距離為

②求此拋物線與x軸的兩個交點之間的距離;

（2）已知點A到x軸的距離為4,此拋物線與直線y=-2x+l的兩個交點分別為BGn,

yi）,C（X2,*）,其中X1<X2,若點￡>（XD,”>）在此拋物線上，當X1〈XD<X2時，yD

總滿足）2<yo<yi,求”的值和〃的取值范圍.

27.在△A8C中，NACB=90°,CA=CB,。是AB的中點，E為邊AC上一動點(不與點

A,C重合)，連接。E,點A關于直線8c的對稱點為F,過點F作FH丄OE于點H,交

射線8c于點G.

(1)如圖1,當AE<EC時，寫出/4OE與/3FG的大小關系；

(2)如圖1,當AEVEC時，用等式表示線段8G與AE的數(shù)量關系，并證明；

(3)如圖2.當AE>EC時，依題意補全圖2,用等式表示線段QE,CG,4c之間的數(shù)

量關系(不需證明).

28.對于平面直角坐標系X。)，中的圖形G和點P給出如下定義；。為圖形G上任意一點，

若P，。兩點間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，則稱點尸為

圖形G的“k分點、”.

已知點N(3,0),A(1,0),B(0,3),C(1,-1).

(1)①在點A,B,C中，線段ON的分點”是；

②點。(小0),若點C為線段。。的“二分點”，求。的值；

(2)以點。為圓心，r為半徑畫圖，若線段AN上存在。。的“二分點”，直接寫出r的

取值范圍.

2022-2023學年北京市東城區(qū)匯文中學九年級（上）期中數(shù)學試

卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共16分，每題2分）第1~8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.（2分）如圖，點A、B、C為。。上的點，乙408=60°,則（）

C

A.20°B.30°C.40°D.60°

【分析】根據(jù)圓周角定理即可解決問題.

【解答】解：：篇=篇，

，ZACB=XZAOB,

2

；NAO8=60°,

：.ZACB=30°,

故選：B.

【點評】本題考查圓周角定理，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

2.（2分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線＞=2?向上平移3個單位長度得到的拋物線

為（）

A.y=2（x+3）2B.y=2（x-3）2C.y=2?-3D.y=2?+3

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行求解.

【解答】解：拋物線y=2?向上平移3個單位長度得到的拋物線為y=2?+3,

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，掌握平移規(guī)律是解題的關鍵.

3.（2分）將一元二次方程/-6x+5=0通過配方轉化為（x+a）2=b的形式，下列結果中

正確的是（）

A.（x+3）--1B.Cx-6）2=1C.（x-3）2—4D.（%-6）2—4

【分析】先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊加上9,然后把方程作邊寫成完全平方

形式即可.

【解答】解：移項得，-6x=-5,

配方得x2-6x+9=-5+9,即（X-3）2=4.

故選：C.

【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：

（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；

（2）把二次項的系數(shù)化為1；

（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.

選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)是2

的倍數(shù).

4.（2分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線），=以2+/狀+。Q/o）的示意圖如圖所示，下

列說法中正確的是（）

A.a<0B.b<0C.c>0D.△20

【分析】根據(jù)圖象可知對稱軸大于0,開口向下，與y軸交于負半軸，與x軸無交點，據(jù)

此即可求解.

【解答】解：?.?拋物線開口向下，

."<0,

：拋物線對稱軸在y軸右側，

-旦>0,即b>0,

2a

:拋物線與y軸交點在x軸下方，

：.c<0,

；拋物線與x軸無交點，

A<0,

故選：A.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質,掌握二次函數(shù)圖象的性質是解題的關鍵.

5.（2分）下列所給方程中，沒有實數(shù)根的是()

A.X2+2X=0B.5X2-4x-2=0C.3X2-4x+l=0D.-3X+2=0

【分析】求出各選項方程根的判別式的值,判斷出正負即可確定一元二次方程是否有實

數(shù)根.

【解答】解：A.7+2%=0,

?"2-4ac=4>0,

...方程有實數(shù)根，故本選項不符合題意;

B.5X2-4A--2=0,

?"2-4収=16+40=56>0,

二方程有實數(shù)根，故本選項不符合題意;

C.3?-4.r+l=0,

V&2-4ac=16-12=4>0,

.?.方程有實數(shù)根，故本選項不符合題意;

D.4x2-3x+2=0,

,：b2-4ac=9-32=-23<0,

???方程沒有實數(shù)根，故本選項符合題意:

故選：D.

【點評】本題主要考查了根的判別式，熟記“當△<（）時，一元二次方程沒有實數(shù)根”是

解本題的關鍵.

6.（2分）如圖，OO是正方形的外接圓，若。。的半徑為4,則正方形48C。的邊

C.272D.472

【分析】連接BD.由題意，△8C。是等腰直角三角形，故可得出結論.

【解答】解：如圖，連接B。.

B

由題意，厶臺。。是等腰直角三角形,

VBD=8,/CBD=45°,ZBCD=90°,

.?.8。=亞8。=4衣.

2

故選：D.

【點評】本題考查的是圓周角定理、垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造

出等腰直角三角形是解答此題的關鍵.

7.（2分）下列說法中，正確的是（）

A.“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是必然事件

B.事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1

C.某種彩票中獎的概率是1%,因此買100張該種彩票就一定會中獎

D.拋擲一枚圖釘，“針尖朝上”的概率可以用列舉法求得

【分析】根據(jù)必然事件，隨機事件，不可能事件的特點，以及列表法與樹狀圖法逐一判

斷即可.

【解答】解：A.“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是隨機事件，故A不符合題意；

B.事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1,故B符合題意；

C.某種彩票中獎的概率是1%,因此買100張該種彩票就可能會中獎，故C不符合題意:

D.拋擲一枚圖釘，“針尖朝上”的概率不可以用列舉法求得，故。不符合題意；

故選:B.

【點評】本題考查了概率的意義，隨機事件，概率公式，列表法與樹狀圖法，熟練掌握

這些數(shù)學概念是解題的關鍵.

8.（2分）如圖，點P是以。為圓心，AB為直徑的半圓上的動點，48=2.設弦AP的長為

x,厶厶2。的面積為y,則下列圖象中，能表示y與尤的函數(shù)關系的圖象大致是（）

【分析】作0C丄AP，根據(jù)垂徑定理得AC=2AP=L,再根據(jù)勾股定理可計算出OC=

22

/U，然后根據(jù)三角形面積公式得到X?(0WxW2),再根據(jù)解析式對

四個圖形進行判斷.

【解答】解：作OC丄AP,如圖，則AC=14P=1,

22

22=2=

在Rt^4℃中，04=1,OC=VOA-AC-J1-1X1V4^?-

所以y=丄℃?AP=1?J4-V2(0WxW2),

-24V&x

所以y與x的函數(shù)關系的圖象為A選項.

故選：A.

排除法：

很顯然，并非二次函數(shù)，排除8選項;

采用特殊位置法；

當尸點與A點重合時，此時AP=x=O,S△以。=0；

當P點與B點重合時，此時AP=x=2,S△用o=0；

當AP=x=l時，此時△AP。為等邊三角形，&%o=義3

4

排除8、C、O選項，

【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象：先根據(jù)幾何性質得到與動點有關的兩變量之

間的函數(shù)關系，然后利用函數(shù)解析式和函數(shù)性質畫出其函數(shù)圖象，注意自變量的取值范

圍.

二、填空題（共16分，每題2分）

9.（2分）在半徑為3c，”的圓中，150°的圓心角所對弧的弧長是_5匚。外

【分析】根據(jù)弧長公式進行計算即可求解.

【解答】解：半徑為3cm的圓中，150°的圓心角所對弧的弧長是膽兀x3=5兀.

1802

故答案為：?兀.

2

【點評】本題考查了求弧長，掌握弧長公式是解題的關鍵.

10.（2分）如圖，A8為。。的直徑，弦CD丄AB于點4,若A8=10,C￡>=8,則8H的長

度為2.

【分析】根據(jù)垂徑定理得到CH=4,再根據(jù)勾股定理計算出OH=3,進而得出答案.

【解答】解：連接OC,

'：CD±AB,CD=S,

；.CH=DH=LCD=4,NOHC=90°,

?.?直徑AB=10,

OB=OC=5,

在Rt4OCH中，OH—40c2H2=，§2_a2=3,

：.BH=OB-OH=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查了垂徑定理與勾股定理，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理求出。，的

長是解題的關鍵.

11.（2分）若點A（-1,yi）,B（3,y2）在拋物線y=/上，則yi,”的大小關系為：yi

<V2（填”或

【分析】由拋物線開口向上可得距離對稱軸越遠的點y值越大，從而求解.

【解答】解：由y=/可得拋物線開口向上，對稱軸為y軸，

VI-1|<|3|,

?'?yi<y2>

故答案為：<.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握

二次函數(shù)與不等式的關系.

12.（2分）關于x的一元二次方程/+,〃匹+4=0有一個根為1,則，〃的值為-5.

【分析】把x=l代入方程/+g+4=0得1+〃?+4=0,然后解關于機的方程.

【解答】解：把x=l代入方程/+"a+4=0得1+加+4=0,

解得m=-5.

故答案為：-5.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解.

13.（2分）如圖，PA,PB是。。的切線，A,B是切點，點C為OO上一點，若N4CB=

70°,則/P的度數(shù)為40°.

【分析】連接。4、08,先根據(jù)圓周角定理求出NAOB,根據(jù)切線的性質得到NOAP=

NOBP=90°,然后根據(jù)四邊形內角和可計算出NP的度數(shù).

【解答】解：連接OA、OB,如圖，

VZACB=70°,

AZAOB=2ZACB=]40°,

'：PA,PB是0。的切線，

：.OALPA,OB丄PB,

...NOAP=/O8P=90°,

Z.ZP=360°-90°-90°-140°=40°,

【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了圓周角定

理.

14.(2分)據(jù)了解，2022年9月，某展覽中心參觀人數(shù)為12.5萬人，比7月份的參觀人數(shù)

增加了2.5萬人，設參觀人數(shù)的月平均增長率為x,則可列方程為(12.5-2.5)(1+x)

2=12.5.

【分析】利用某展覽中心2022年9月參觀人數(shù)=某展覽中心2022年7月參觀人數(shù)X(1+

參觀人數(shù)的月平均增長率)2,即可得出關于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：根據(jù)題意得(12.5-2.5)(1+x)2=12.5,

故答案為：(12.5-2.5)(1+x)2=12.5.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二

次方程是解題的關鍵.

15.(2分)已知二次函數(shù)yn/+bx+c(ar0)圖象上部分點橫坐標、縱坐標的對應值如下

表：

X…01234???

y…-3-4T05…

直接寫出該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(-1,0),(3,0).

【分析】利用表中數(shù)據(jù)和拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x=l,再利用拋物

線的對稱性寫出點(3,0)關于直線x=l的對稱點即可.

【解答】解：：拋物線經(jīng)過點(0，-3),(2,-3),

拋物線的對稱軸為直線x=1,

?.?拋物線與x軸的一個交點坐標為(3,0),

.?.拋物線與x軸的另一個交點坐標為(-1,0),

即該二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標為(-1,0),(3,0).

故答案為：(-1,0),(3,0).

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：二次函數(shù)y=o?+bx+c(“，b,c是常數(shù)，a

WO)的圖象與x軸的交點為二次函數(shù)圖象的上的對稱點.也考查了二次函數(shù)的性質.

16.(2分)拋物線、=/+笈+<:的頂點為A(2,m),且經(jīng)過點B(5,0),其部分圖象如圖

所示，對于此拋物線有如下四個結論：?abc<0；②“-b+c>0；③4a+/?=0；@m+9a=

0；⑤若此拋物線經(jīng)過點C"則L4一定是方程a^+bx+c^n的一個根.其中所

有正確結論的序號是③④.

【分析】由拋物線開口和拋物線與y軸交點，對稱軸，判斷①，由拋物線的對稱性及經(jīng)

過點B(5,0)可判斷②，由對稱軸為x=2,得出b=-4a,即可判斷③，由拋物線對

稱軸為直線x=2可得6=-4”，由a-6+c=0可得c=-5"，從而判斷④，點C對稱點

橫坐標為4-可判斷⑤.

【解答】解：?.?拋物線開口向下,

,?a<0,

M<0,

/拋物線與y軸交點在x軸上方，

\c>0,

,.abc>0,①錯誤.

.?拋物線)，=〃/+灰+。的頂點為A(2,m),

?.對稱軸為x=2

?,拋物線過點B(5,0),

?.由對稱性可得拋物線經(jīng)過點(-1,0),

'.a-b+c=O,②錯誤，

\b--4a,BP4a+b=0,故③正確

，5〃+c=0,

.*?c-—5a

VA（2,m）為拋物線頂點，

，4a+2b+c=m,

.,.4a-8iz-5a=m,即〃?+9a=0,④正確，

?點C（6n）在拋物線上,

...點C關于對稱軸對稱點（4-6〃）在拋物線上，

.,.4-t為ajr+bx+c=n的一個根，⑤錯誤.

故答案為：③④.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解題關鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等

式的關系.

三、解答題（總分68）

17.解方程：4x7=0.

【分析】因式分解法求解可得.

【解答】解：（x+1）G-5）=0,

貝!]x+l=0或x-5=0,

；.x=-1或x=5.

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的

方法是解題的關鍵

18.下面是小石設計的“過三角形一個頂點作其對邊的平行線”的尺規(guī)作圖過程.

己知：如圖1,/XABC.

求作：直線8￡>,使得B￡>〃AC.

作法：如圖2,

①分別作線段AC,BC的垂直平分線厶，12,兩直線交于點。；

②以點。為圓心，0A長為半徑作圓；

③以點A為圓心，8c長為半徑作弧，交忘于點。；

④作直線BD.

所以直線BD就是所求作的直線.

根據(jù)小石設計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：連接A￡）,

;點A,B,C,。在上，AD^BC,

???AD=_BC_.

：.ZDBA^ZCAB（在同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等）（填推理的依據(jù)）.

J.BD//AC.

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可.

（2）根據(jù)圓周角定理和平行線的判定證明即可.

【解答】解：（1）如圖，即為補全的圖形；

（2）證明：連接AD,

:點4,B,C,。在。。上，AD=BC,

AAD=BC.

：.ZDBA=ZCAB(在同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等).

C.BD//AC.

故答案為：BC.在同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等.

【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中

考?？碱}型.

19.已知二次函數(shù)y=/-2x-3.

(1)求此函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標；

(2)畫出此函數(shù)的圖象(不需要列表)；

(3)若點A(0,)“)和8Cm,”)都在此函數(shù)的圖象上，且yi<”，結合函數(shù)圖象，

直接寫出，"的取值范圍.

【分析】(1)把拋物線解析式化為頂點式求解即可；

(2)先列表，然后描點、連線即可；

(3)由函數(shù)圖象過點(0,-3)和(2,-3),根據(jù)函數(shù)圖象求解即可.

【解答】解：(1)：拋物線解析式為y=/-2r-3=(x-1)2-4,

二對稱軸為直線x=l,頂點坐標為(1,-4)；

(2)列表得：

X…-10123…

y=j？-2x…0-3-4-30???

-3

函數(shù)圖象如下圖所示:

(3)由函數(shù)圖象可知，當yi<”時，，*V0或，”>2.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質，畫二次函數(shù)圖象，圖象法求自變量的取

值范圍，熟練掌握數(shù)形結合思想的應用是解題的關鍵.

20.已知關于x的一元二次方程x2-(k+5)x+6+2k=0.

(1)求證：此方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若此方程恰有一個根小于-2,求上的取值范圍.

【分析】(1)計算一元二次方程根的判別式，根據(jù)根的判別式進行判斷即可得證；

(2)根據(jù)公式法求得方程的解，得出xi=2,%2=k+3,根據(jù)題意列出不等式，解不等式

即可求解.

【解答】(1)證明：關于x的一元二次方程(H5)x+6+2A=0,

b--(Z+5),c=6+2Z,

'."b2-4ac=[-(R5)]2-4XlX(6+2、)

=必+10女+25-24-8k

=l^+2k+\

=(&+1)220,

此方程總有兩個實數(shù)根;

(2)解：/-(Z+5)x+6+2k=0,

'：A=(Jt+1)2,

?-bivb^~4ack+5i(k+1)

??二--------------＞

2a2

解得xi=2,x2—k+3,

???此方程恰有一個根小于-2,

：.k+3＜-2,

解得-5.

【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，熟練掌握一元二次方

程根的情況與判別式的關系是解題的關鍵.

21.有甲、乙兩個不透明的口袋，甲口袋中裝有兩個相同的球，它們分別寫有數(shù)-2,2；乙

口袋中裝有三個相同的球，它們分別寫有數(shù)-5,m,5.小明和小剛進行摸球游戲，規(guī)則

如下：先從甲口袋中隨機取出一個球，其上的數(shù)記為“；再從乙口袋中隨機取出一個球,

其上的數(shù)記為江若?！磧盒∶鲃?；若。=匕，為平局；若。＞兒小剛勝.

(1)若膽=-2,用樹狀圖或列表法分別求出小明、小剛獲勝的概率：

(2)當巾為何值時，小明和小剛獲勝的概率相同？直接寫出一個符合條件的整數(shù)機的

值.

【分析】(1)畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，其中。＜匕的結果有2種，。＞匕的結果

有3種，再由概率公式分別求解即可；

(2)畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，其中的結果有3種，〃＞匕的結果有3種,

再由概率公式得小明獲勝的概率=小剛獲勝的概率即可.

【解答】解：(1)畫樹狀圖如下：

開始

a-22

ZNZN

b-5-25-5-25

共有6種等可能的結果，其中的結果有2利的結果有3種,

小明獲勝的概率為2=丄，小剛獲勝的概率為旦=丄；

6362

(2)機為0時，小明和小剛獲勝的概率相同，理由如下：

畫樹狀圖如下：

開始

a-22

Zh\A\

b-505-505

共有6種等可能的結果，其中。＜6的結果有3種，〃＞匕的結果有3種，

，小明獲勝的概率=小剛獲勝的概率=旦=丄.

62

【點評】此題考查了樹狀圖法求概率.正確畫出樹狀圖是解題的關鍵，用到的知識點為:

概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

22.如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立平面直角坐標系，一條圓弧經(jīng)過格點A（0,4）、8（-4,

4）、C（-6,2）,若該圓弧所在圓的圓心為。點，請你利用網(wǎng)格圖回答下列問題：

（1）圓心J的坐標為（-2,0）；

（2）若扇形ADC是一個圓錐的側面展開圖，求該圓錐底面圓的半徑長（結果保留根號）.

【分析】（1）分別作AB、8c的垂直平分線，兩直線交于點。，則點。即為該圓弧所在

圓的圓心，可知點力的坐標為（-2,0）.

（2）連接AC、和CO,根據(jù)勾股定理的逆定理求出NCD4=90°,根據(jù)弧長公式和

圓的周長求出答案即可.

【解答】解：（1）分別作線段A8和線段BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點，就是

圓心。，如圖，

。點正好在x軸上，。點的坐標是（-2,0）,

故答案為：（-2,0）；

的半徑長=獺2+42=訴，AC=722+62=2710-

VAD2+C￡>2=20+20=40,AC2=40,

:.AD2+CD2^AC2,

：.ZADC=90°.

設圓錐的底面圓的半徑長為r,

則2兀片四兀X23

180

解得：巫，

r2_

所以該圓錐底面圓的半徑長為近■.

2

【點評】本題考查了坐標與圖形的性質，垂徑定理，圓錐的計算，勾股定理和勾股定理

的逆定理等知識點，能求出。點的坐標和求出NCZM=90°是解此題的關鍵.

23.如圖，△A8C內接于。0,髙AZ）經(jīng)過圓心O.

(1)求證：AB=AC；

(2)若BC=16,。。的半徑為10.求aABC的面積.

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理可得AB=AC，根據(jù)等弧所對的弦相等，即可證明;

(2)連接。8,勾股定理求得0￡>,繼而得出A。，根據(jù)三角形面積公式進行計算即可求

解.

【解答】(1)證明：丄BC,

?,?窟僉

；.AB=AC；

(2)解:連接OB,

'：ADLBC,

.*.BO=」8C=8,

2

在RtaOBO中，80=10,80=8,

1'?0D=VOB2-BD2=6，

：.AD=AO+OD=\0+6=\6,

.?.S/\ABC=^BCMD=AX16X16=128.

22

【點評】本題考查了垂徑定理，弧與弦的關系，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵.

24.“母親節(jié)”前夕，我市某校學生積極參與“關愛貧困母親”的活動，他們購進了一批單

價為20元的“孝文化衫”在課余時間進行義賣，并將所得利潤捐給貧困母親，在義賣的

過程中發(fā)現(xiàn)，這種文化衫每天的銷售件數(shù)y(件)與銷售單價x(元)滿足一次函數(shù)關系:

y=-3x+108(20<x<36).如果義賣這種文化衫每天的利潤為p(元),

(1)求出p與x的關系式；

(2)當銷售單價定為多少元時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

【分析】(1)根據(jù)題意得出每天獲得的利潤2=(-3x+IO8)(x-20)；

(2)對(1)中所求式子進行變形，0=-3(x-28)2+192,于是求出每天獲得的利潤0

最大時的銷售價格.

【解答】解：(1)根據(jù)題意得：

p=(-3x+108)(x-20)

=-3，+168x-2160.

(2)p=-37+168x-2160=-3(x-28)2+192.

■:a=-3<0,

...當x=28時，利潤最大=192元；

答：當銷售單價定為28元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是192元.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應用的知識點；解答本題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)

的性質以及最值得求法，此題難度不大.

25.如圖，48是的直徑，四邊形ABC。內接于。是面的中點，DE丄BC交BC

的延長線于點E.

(1)求證：OE是。。的切線；

(2)若AB=10,BC=8,求BD的長.

【分析】(1)要證明QE是00的切線，所以連接?！?gt;,求出NOOE=90°即可，根據(jù)已

知OE丄BC,可得NQEC=90",所以只要證明OO〃BEB卩可解答；

(2)由(1)可得8。平分/ABC,所以想到過點。作。尸丄AB,垂足為F,進而證明厶

ADF^/\CDE,可得AF=CE,易證△BOF絲可得BF=BE,然后進行計算即可

解答.

【解答】（1）證明：連接0。

E

；DE，BC,

ZDEC=90a,

是験的中點，

AAD=CD)

，NABD=NCBD,

'：0D=0B,

；.N0DB=N0BD,

：.N0DB=NCBD,

：.0D//BC,

.,.ZOZ)￡=180°-ZD￡C=90°,

0D±DE,

;on是00的半徑，

...QE是oo的切線；

(2)解：過點。作。FLAB,垂足為F,

由(1)得：/ABD=NCBD,

???8。平分N45C,

,：DFl.ABfDELBC,

：.DF=DEf

??,四邊形ABC。內接于OO,

AZA+ZDCB=180°,

VZDCB+Z￡>CE=180°,

???ZA=ZDCE,

VZDM=ZDEC=90°,

A/\ADF^/\CDE(A4S),

：?AF=EC,

■:NDFB=NDEC=9U0,BD=BD,

:.ABDF/ABDE(AAS),

：?BF=BE,

設AF=EC=x,則BE=Bb=8+x,

VAB=10,

：.AF+BF=\0f

**?x+8+x=10,

??x~~1,

:.BF=9,

TAB是OO的直徑，

AZADB=90°,

?NABD=/DBF,

:./\BFDs[\BDA,

：.BD1=BF'BA,

ABD2=90,

【點評】本題考查了切線的判定，圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，添加輔助線是解

題的關鍵.

26.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a2-8〃的頂點為40</?<2,

2

⑴若a—\,

①點A到x軸的距離為8；

②求此拋物線與x軸的兩個交點之間的距離；

(2)已知點A到x軸的距離為4,此拋物線與直線y=-2x+l的兩個交點分別為B(xi,

yi)?C(X2,”)，其中X1<X2,若點。(XD,”))在此拋物線上，當X1<XD<X2時，>D

總滿足"<"><>1,求a的值和力的取值范圍.

【分析】(1)①把。=1代入函數(shù)解析式求出頂點坐標，進而求解.②令y=0,求出XI

與X2,進而求解.

(2)由當xiVXD<X2時，yo總滿足可得當xi<X〈JC2時，y隨x增大而減小，

從而可得點A與點C重合或點A在點C右側，進而求解.

【解答】解：(1)①把。=1代入y=a(x-h)2-8.得)?=(x-h)2-8,

二拋物線頂點坐標為(〃，-8),

點A到x軸的距離為|-8|—8,

故答案為：8.

②把y=0代入y=(x-h)2-8得0=(x-h)2-8,

解得xi=〃+2&,xi=h-2近,

Vxi-x2^h+242-(人-2近)=4&,

拋物線與x軸的兩個交點之間的距離為4近.

(2)'：y=a(x-h)2-8a,

???點A坐標為(〃，-8a),

：.\-8。|=4,

解得或a=-―,

22

當〃=丄時，如圖，當拋物線開口向上,

2

把x=h代入v=-2x+l得y=-2/z+l,

當-2/z+lW-4時，解得厶》旦

2

VO</z<Z,

2

.?百WY工.

22

當a=-丄時，y=-丄(x-h)2+4,

22

令-2x+l=-丄(x-〃)？+4,

2

整理得x2-(2/i+4)x+h2-6=0,

A=(-2/2-4)2-4(/Z2-6)>0,

整理得人<-互，與題干不符，舍去；

2

綜上，人的取值范圍為5w/z<Z.

22

【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，解題關鍵是掌握二次函數(shù)的性質，掌握二次函

數(shù)與方程及不等式的關系，通過數(shù)形結合求解.

27.在AABC中，ZACB=90°,CA=CB,。是AB的中點，E為邊4c上一動點(不與點

A,C重合)，連接OE,點A關于直線BC的對稱點為F,過點F作/田丄。E于點”，交

射線BC于點G.

(1)如圖1,當AE<EC時，寫出/AQE與N8FG的大小關系；

(2)如圖1,當AEVEC時，用等式表示線段8G與AE的數(shù)量關系，并證明；

(3)如圖2.當AE>EC時，依題意補全圖2,用等式表示線段。E,CG,AC之間的數(shù)

量關系(不需證明).

【分析】(1)在EC上截取EM=AE,可證明得NAOE=NF,進而證明△A8M絲ZX8FG,

即可得出結論；

(2)由全等三角形的性質得AM=8G,即可得出結論；

(3)由(1)可知，得出BG=AM，再證CM=CG,由三角形中位線

定理得BM=2￡>￡,然后在中，由勾股定理即可得出結論.

【解答】解：(1)NADE=NBFG,理由如下：

如圖1,在AC上截取EM=AE,連接BM,

■:FHLDE,

：.NFHE=NGHE=90°,

VZACB=ZECG=90Q,

在四邊形8DHF中，/ABC+NOHF=180°,

：.ZF+ZBDH^\SO°,

；NDEC+NDEA=18。°,

：.ZDEA=ZHGC,

\'AD=DB,AE=EM,

.?.DE是△A8M的中位線，

：.DE//BM,

：.ZABM=ZADE,

：.ZABM^NF,

在△ABM和△BFG中,

<ZA=ZFBG=45°

<AB=BF，

ZABM=ZF

(ASA),

/ABM=NBFG,

：.ZADE=ZBFG；

(2)由(1)可知I,EM=AEf4ABM沿4BFG,

：.AM=BG,

*：AM=2AEf

：.BG=2AE；

(3)補全圖形如圖2所示，

延長AC至M,使EM=AE,連接BM,