2023-2024學(xué)年河北省保定師范附屬學(xué)校九年級(jí)（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023.2024學(xué)年河北省保定師范附屬學(xué)校九年級(jí)(上)開學(xué)數(shù)學(xué)

試卷

一、選擇題(本大題共20小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.中國(guó)航天取得了舉世矚目的成就，為人類和平貢獻(xiàn)了中國(guó)智慧和中國(guó)力量.下列是有關(guān)中

國(guó)航天的圖標(biāo)，其文字上方的圖案是中心對(duì)稱圖形的是()

中國(guó)探火

CMEP中國(guó)探月

D.

中國(guó)火箭中國(guó)行星探測(cè)

CHINAROCKETMars

2.一元二次方程-2)=。的解是()

A.%=0B.x=2

C.=0,x2=2D.Xi=-2,&=2

3.菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是()

A.對(duì)角線互相垂直B.對(duì)角線相等C.對(duì)角線互相平分D.對(duì)角互補(bǔ)

4.課堂上老師在黑板上布置了如框所示的題目，小聰馬上發(fā)現(xiàn)了其中有一道題目錯(cuò)了，你知

道是哪道題目嗎？()

用平方差公式分解下列各式：

(l)a2-Z?2

(2)x2-1

(3)-x2-y2

(4)4m2-25n2

A.第(1)道題B.第(2)道題C.第(3)道題D.第(4)道題

5.如圖，已知菱形ZBCD的周長(zhǎng)為8,乙4=60。，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)

是（）

A.1

B.R

C.2

D.2c

6.如圖所表示的是下面那一個(gè)不等式組的解集（）

-4-3-2-101234

(x>-2(X<-2[%>-2(x>-2

rD.

lx<1lx>11%<1<1

7.如圖所示，△ABC中，484。=33。，將△/BC繞點(diǎn)4按順時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)50。，得到△AB'C',則NB2C的度數(shù)是（）

A.13°

B.17°

C.23°

D.33°

8.有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患了流感.設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x

個(gè)人，列出的方程是（）

A.尤(x+l)=64B,x(x-1)=64C.(1+x)2=64D.(1+2x)=64

9.如圖，任意四邊形ABC。各邊中點(diǎn)分別是E、F、G、從若對(duì)角線AC、

8。的長(zhǎng)分別是10cm、20cm,則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是（）

A.20cm

B.30cm

C.40cm

D.50cm

10.用求根公式解一元二次方程3/—2=4%時(shí)a,b,c的值是（）

A.a=3,b=—2,c=4B.Q=3,b=—4,c=2

C.a=3,b=—4,c=-2D.a=3,b=4,c=-2

11.下列命題中，假命題是（）

A.平行四邊形的對(duì)角線互相垂直平分B.矩形的對(duì)角線相等

C.菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半D.對(duì)角線相等的菱形是正方形

12.小明解方程工一工工=1的過程如下：

XX

解：去分母，得1一。-2）=1,①

去括號(hào)，得1-x+2=1,②

合并同類項(xiàng)，得一x+3=l,③

移項(xiàng)，得—x——2,④

系數(shù)化為1,得x=2.⑤

他的解答過程中開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是步驟（）

A.①B.②C.③D.④

13.如圖，在正方形ABC。外側(cè)，作等邊三角形40E,AC.BE相交于點(diǎn)F,則乙854為（）

A.15°B.30°C.45°D.55°

14.仇章算術(shù)》中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，

能夠剛好在規(guī)定時(shí)間送到，如果用快馬送，所需的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少3天，已知快馬的速度是

慢馬的2倍，求兩匹馬的速度.設(shè)慢馬的速度為x里/天，則可列方程為（）

900900,??900,?900?900900-900900

AA?「后+3B.丁+3r=D.「咫

15.若關(guān)于x的一元二次方程4/一6》+9=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）

A.k<1B.fc<1C.k<1且k清0D./c<1且kH0

16.如圖在RtAABC中，4C=90。，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半C

徑畫弧，分別交AC、4B于點(diǎn)M、N,再分別以M、N為圓心，大于

￡MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線4P交BC于點(diǎn)D,若A^~----------B

CD=2,AB=8,則△ABD的面積是（）

A.16B.32C.8D.4

17.若不等式組無解，則m的值可能（）

A.7B.6C.3D.5

18.如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為4和8的長(zhǎng)方形紙片48CD折疊，使點(diǎn)C與

點(diǎn)A重合，則CE的長(zhǎng)是（）

A.3

B.4

C.5

D.6

19.如圖，直線y=以+b交工軸于點(diǎn)4（一2,0）,直線y=

九交匯軸于點(diǎn)B（4,0）,這兩條直線相交于點(diǎn)C（l,p）,則

不等式組像的解集為（）

A.%<4

B.%<—2

C.-2V%<4

D.-2<x<1

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為2的正六邊形OABCDE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n個(gè)45。，

得至I」正六邊形。（BnCnOnEn，當(dāng)n=2022時(shí)，正六邊形0418n%DnEn的頂點(diǎn)外的坐標(biāo)是（）

A.(-<1,-3)B.(-3,-C)C.(3,-<3)D.(-7^,3)

二、解答題（本大題共3小題，共40.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

21.(本小題20.0分)

計(jì)算：

因式分解：(l)4a2-9；

解一元二次方程：(2)2/-7x+3=0；

解一元二次方程：(3)(x—2)2=2x—4；

解分式方程：(4)卷一書=點(diǎn)-

22.(本小題10.0分)

臺(tái)風(fēng)“杜蘇芮”牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動(dòng),

第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元.

(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長(zhǎng)率相同，求捐款增長(zhǎng)率；

(2)按照(1)中收到的捐款的增長(zhǎng)速度，第四天該單位能收到多少捐款？

23.(本小題10.0分)

【問題情境】如圖1,在矩形ABCD中，AB=9,BC=15,點(diǎn)P為邊4D上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP,

將AABP沿8P翻折，得到A&BP,點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)4,射線P4'交邊BC于點(diǎn)E.

【實(shí)踐探究】：

(1)如圖2,若點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，則4P=______；

(2)當(dāng)BA'平分/PBC時(shí)，則△4B4的面積=______；

【拓展提升】：

(3)若點(diǎn)P從圖2中的位置開始向右運(yùn)動(dòng)直至點(diǎn)。停止；

①在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4到邊CD的最小值=____?

②整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)=______.

「K

BECB(E)CBC

圖1圖2圖3

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：選項(xiàng)A、B、。均不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完

全重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，

選項(xiàng)C能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對(duì)稱

圖形，

故選：C.

根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行判斷，即可得出答案.把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后

的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心.

本題考查了中心對(duì)稱圖形的概念，判斷中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重

合.

2.【答案】C

【解析】解：x（x-2）=0,

可得x—0或x—2=0.

解得：X]=0,x2=2.

故選：C.

方程利用兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解.

本題考查因式分解解一元二次方程，掌握因式分解是解題關(guān)鍵.

3.【答案】A

【解析】解：4、菱形對(duì)角線互相垂直，而矩形的對(duì)角線則不一定垂直（只有作為特殊矩形的正方

形對(duì)角線才垂直）；故本選項(xiàng)符合要求；

3、矩形的對(duì)角線相等，而菱形不一定具備這一性質(zhì)（只有作為特殊菱形的正方形對(duì)角線才相等）；

故本選項(xiàng)不符合要求：

C、菱形和矩形的對(duì)角線都互相平分；故本選項(xiàng)不符合要求；

。、矩形對(duì)角互補(bǔ)，但菱形不一定具備對(duì)角互補(bǔ)這一性質(zhì)（只有作為特殊菱形的正方形對(duì)角才互補(bǔ)

）；故本選項(xiàng)不符合要求；

故選：A.

根據(jù)菱形對(duì)角線垂直平分的性質(zhì)及矩形對(duì)角線相等平分的性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到最

后的答案.

此題主要考查了學(xué)生對(duì)菱形及矩形的性質(zhì)的理解及運(yùn)用.菱形和矩形都具有平行四邊形的性質(zhì)，

但是菱形的特性是：對(duì)角線互相垂直、平分，四條邊都相等.

4.【答案】C

【解析】解：(I)a2-b2=(a+b)(a—b),它是利用平方差公式因式分解的：

(2)x2-l=(x+l)(x-1),它是利用平方差公式因式分解的；

(3)-x2-y2=一(/+y2),它不是利用平方差公式因式分解的；

(4)4m2-25n2=(2m+5n)(2m-5n),它是利用平方差公式因式分解的；

綜上，第(3)道題錯(cuò)誤，

故選：C.

將各式因式分解后進(jìn)行判斷即可.

本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵，特別注意因式分解必須徹底.

5.【答案】C

【解析】解：???四邊形Z8CD是菱形，

??.AB=AD,

又???乙4=60°,

：?△A8D是等邊三角形，

...BD=AB=l=2,

故選：C.

由菱形的性質(zhì)可證A/IB。是等邊三角形，即可求解.

本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】D

【解析】解：由圖示可看出，從-2出發(fā)向右畫出的線且-2處是空心圓，表示》>—2；

從1出發(fā)向左畫出的線且1處是實(shí)心圓，表示XW1,所以這個(gè)不等式組為

故選：D.

寫出圖中表示的兩個(gè)不等式的解集，這兩個(gè)式子就是不等式.這兩個(gè)式子組成的不等式組就滿足

條件.

不等式組解集在數(shù)軸上的表示方法：把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(>,2向右畫；<,W向

左畫)，數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)

數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集.有幾個(gè)就要幾個(gè).在表示解集時(shí)“2"，要用實(shí)心

圓點(diǎn)表示；“<”，“>”要用空心圓點(diǎn)表示.

7.【答案】B

【解析】解：???將△ABC繞點(diǎn)4按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)50。，

乙BAB'=50°,

乙B'AC=乙BAB'-L.BAC=17°,

故選:B.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得=50°,即可求解.

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

8.【答案】C

【解析】解：X+1+（X+l）x=64

整理得，（1+X）2=64.

故選：C.

平均一人傳染了x人，根據(jù)有一人患了流感，第一輪有Q+1）人患流感，第二輪共有X+1+Q+

l）x人，即64人患了流感，由此列方程求解.

本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是得到兩輪傳染數(shù)量關(guān)系，從而可列方程求解.

9.【答案】B

【解析】解：:E,F,G,H,是四邊形48CD各邊中點(diǎn)，

???HG=^AC,EF=^AC,GF=HE=^BD.

又??,AC=10cm,BD=20cm,

；?四邊形EFGH的周長(zhǎng)是HG+EF+GF+HE=^（AC+AC+BD+BD）=AC+BD=30cm.

故選:B.

利用三角形中位線定理易得所求四邊形的各邊長(zhǎng)都等于AC,或B。的一半，進(jìn)而求四邊形周長(zhǎng)即

可.

本題考查了中點(diǎn)四邊形，三角形的中位線定理，解決本題的關(guān)鍵是找到四邊形的四條邊與已知的

兩條對(duì)角線的關(guān)系.三角形中位線的性質(zhì)為我們證明兩直線平行，兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系又提

供了一個(gè)重要的依據(jù).

10.【答案】C

【解析】解：r3x2-2=4x,

3x2—4x—2=0,

?-a=3,b=—4,c=—2,

故選：C.

先將方程化為一般形式，然后即可寫出a、氏c,本題得以解決.

本題考查解一元二次方程的一般形式、解一元二次方程-公式法，解答本題的關(guān)鍵是明確一元二

次方程的一般形式.

11.【答案】A

【解析】解：A、平行四邊形的對(duì)角線互相平分但不一定垂直，故錯(cuò)誤，是假命題；

8、矩形的對(duì)角線相等，正確，是真命題；

C、菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半，正確，是真命題：

。、對(duì)角線相等的菱形是正方形，正確，是真命題，

故選：A.

利用平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的面積計(jì)算方法及正方形的判定等知識(shí)分別判斷后即

可確定正確的選項(xiàng).

考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的面積計(jì)算

方法及正方形的判定等知識(shí)，難度不大.

12.【答案】A

【解析】解：去分母，得1一（乂-2）=心①

去括號(hào)，得1一x+2=x,②

合并同類項(xiàng)，得一K+3=X,③

移項(xiàng)，得-2x=-3,（4）

系數(shù)化為1,得x=|.⑤

則他的解答過程中開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是步驟①.

故選：A.

觀察解方程的過程，找出出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟即可.

此題考查了解分式方程，以及解一元一次方程，解分式方程利用了轉(zhuǎn)化的思想，注意要檢驗(yàn).

13.【答案】A

【解析】解：???四邊形是正方形，

???AB=ADf/.BAD=90°,

???△ADE是等邊三角形，

:.AD=AE,Z.DAE=60°,

??.AB=AE,Z,BAE=150°,

/.BEA=/.ABE=T(180°-150°)=15°.

故選：A.

根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)可知IAB=4E,ABAE=150°,再利用三角形的內(nèi)角和定理可得

答案.

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握正方形

和等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】4

【解析】解：設(shè)慢馬的速度為％里/天，則快馬的速度為2久里/天，

根據(jù)題意，得曬=嬰+3,

x2x

故選:A.

設(shè)慢馬的速度為x里/天，則快馬的速度為2x里/天，由題意得等量關(guān)系：慢馬所需的天數(shù)=快馬所

需的天數(shù)+3,根據(jù)等量關(guān)系，可得方程.

此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系.

15.【答案】D

【解析】解：?.?一元二次方程k--6x+9=0有實(shí)數(shù)根，

.?.(-6)2-4x9k20,且

解得k<1且kk0,

故選：D.

根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式即可判斷.

此題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，熟練掌握一元二次方程的定義及根的判別式是解

題的關(guān)鍵.

16.【答案】C

【解析】解：作DH14B于

由作圖可知：PA平分NCAB,

DCLAC,DH1AB,

DH=DC=2,

S^ABD=2,AB,DH=gx8x2=8,

故選：C.

作CH1AB于從利用角平分線的性質(zhì)定理證明。H=DC=2即可解決問題.

本題考查作圖-基本作圖，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用

輔助線，屬于中考?？碱}型.

17.【答案】C

【解析】解：卜一？》中，

（.2%<m（2）

由①得x>2,

由②得x<三，

???不等式組無解，

.?.2>義，

-21

???m<4,

故選：C.

解不等式組可得x22,x<y,由不等式組無解可得22求出山的范圍即可求解.

本題考查一元一次不等式組的解集，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】A

【解析】解：根據(jù)翻折可知：AE=CE,

???四邊形力BCD是矩形，

:.乙B=90°,AB=4,BC=8,

???BE=BC-CE=8—CE,

在股△ABE中，根據(jù)勾股定理得:

BE2+AB2=AE2,

：.(8-CE)2+42=CF2,

???CE=3.

故選：A.

利用翻折變換的知識(shí)，可得到AE=CE,根據(jù)勾股定理可求出CE.

本題考查了折疊的知識(shí)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和運(yùn)用，關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì).

19.【答案】B

【解析】解：y=kx+b<0,則x<—2,

y=mx+n>0,則x<5,

不等式組產(chǎn)V的解集即為：X<-2，

(mx+n>0

故選：B.

y=kx+b<0,則x<—2,y=mx+n>0,則x<5,即可求解.

本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，準(zhǔn)確的確定出x的值，是解

答本題的關(guān)鍵.

20.【答案】B

【解析】解：將邊長(zhǎng)為2的正六邊形。4BCOE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n個(gè)45。，

???45°x8=360°,

當(dāng)n=2022時(shí),2022+8=252…6,

則。2022的坐標(biāo)與久的坐標(biāo)相同，

???乙DODa=2x45。=90。，

則。01。4，

如圖，過點(diǎn)。作。尸lx于F,過點(diǎn)4尼軸于點(diǎn)吊，

vOE—DE=2,OD=0D6,

???Rt△ODF=Rt△0D6F6(HL)f

???DP=D6F6,OF=0F6,

??,正六邊形048CDE的一個(gè)外角乙OEF=,

???DF=sin^DEFxDE=^x2=口,

???乙DEO=180°-乙DEF=120°,DE=EO,

???乙DOF=30°,

,,，

D6F6=DF=C,0F6=OF=3,

D6^—y/~3,-3),

。2022(—W^，-3),

故選：B.

由于正六邊形每次轉(zhuǎn)45。，根據(jù)2022+8=252…6,則￡)2022的坐標(biāo)與。6的坐標(biāo)相同，求得。6的

坐標(biāo)即可求解.

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，正六邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和，內(nèi)角和，求得“022

的位置是解題的關(guān)鍵.

21.【答案】解：(1)原式=(2a+3)(2a-3)；

(2)2x2-7x+3=0,

(2x-l)(x-3)=0,

2無-1=0或%—3=0,

解得％1=I，%2=3；

(3)(%—2)2=2x-4,

Q-2尸一2(%-2)=0,

(%—2)(X一2—2)=0,

(%-2)(%-4)=0,

解得％1=2,x2=4;

(4)方程兩邊同時(shí)乘以。+3)(%-3)得，

12-3(%4-3)=%-3,

12—3x—9—%+3=0,

6—4%=0,

解得X=|，

經(jīng)檢驗(yàn)X=稱是原分式方程的解.

【解析】(1)利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可：

(2)利用因式分解法求出x的值即可；

(3)利用因式分解法求出x的值即可；

(4)先把分式方程化為整式方程，求出x的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

本題考查的是利用因式分解法解一元二次方程及解分式方程，熟知解分式方程要驗(yàn)根是解題的關(guān)

鍵.

22.【答案】解：(1)設(shè)捐款增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列方程得，

3000X(1+x)2=4320,

解得Xi=0.2,冷=-2.2(不合題意，舍去)，

答：捐款增長(zhǎng)率為20%.

(2)4320x(1+20%)=5284元.

答：第四天該單位能收到5184元捐款.

【解析】(1)解答此題利用的數(shù)量關(guān)系是：第一天收到捐款錢數(shù)x(1+每次增長(zhǎng)的百分率產(chǎn)=第三

天收到捐款錢數(shù)，設(shè)出未知數(shù)，列方程解答即可；

(2)第三天收到捐款錢數(shù)X(1+每次增長(zhǎng)的百分率)=第四天收到捐款錢數(shù)，依此列式子解答即可.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，列方程的依據(jù)是：第一天收到捐款錢數(shù)x(l+每次降價(jià)的百分

率尸=第三天收到捐款錢數(shù).

23.【答案】3日7367.2

4

【解析】解：(1)?:四邊形ABCD是矩形，

AD=BC=15,CD=AB=9,4BAD=90°,

由翻折的性質(zhì)得：^BAP=^BA'P=90°,AP=A'P,BA=BA'=9,

???BA'1PC,

A'C=VBC2-BA'2=7152-92=12,

設(shè)4P=PA'=x,

則PC=15-%,PC=12+x,

在RtAPCD中，由勾股定理得：PD2+CD2=PC2,

BP(15-X)2+92=(12+X)2,

解得：x=3,

???AP=3,

故答案為:3；

(2)、?四邊形4BCD是矩形，

44BC=90。，

如圖3,設(shè)BP交44'于點(diǎn)F,

圖3

由翻折的性質(zhì)得：AB=A'B,AABP=APBA',BPLAA',

^ABP=/.PBA'=/.CBA'=1x90°=30°,

???/LABA'=30°4-30°=60°,

.?.△AB4'為等邊三角形，

■.AB=AA'=9,

BF=cos30°?AB=3X9=￡口,

119

-1-

222

故答案為：V-3;

(3)①由翻折的性質(zhì)得：BA=BA',

???點(diǎn)4'在以B為圓心4B為半徑的圓上，

.?.4'在BC邊上時(shí)，點(diǎn)4到邊C。的距離最小，

此時(shí),點(diǎn)A'到邊CD的最小值為8c-BA'=15-9=6,

故答案為：6；

圖4

此時(shí)，四邊形ABEP為正方形,

BE-AB=9.

CE=BC—