高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版選擇性必修一）第14講 2.1.1傾斜角與斜率（學(xué)生版）

第01講2.1.1傾斜角與斜率課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解直線的傾斜角與斜率的概念。②掌握直線的傾斜角的范圍與斜率存在的意義.。③了解直線的方向向量與直線、直線的斜率的關(guān)系。④會(huì)用兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線的斜率。⑤在平面直角坐標(biāo)系中探索確定直線位置的幾何要素。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，理解直線的傾斜角與斜率的概念，了解直線的方向向量與直線的斜率的關(guān)系，會(huì)求直線的斜率與傾斜角，掌握確定直線的條件及直線傾斜角與斜率的取值范圍.知識(shí)點(diǎn)01：直線傾斜角的定義以軸為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上的方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.（1）當(dāng)直線與軸平行或者重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為；所以傾斜角的取值范圍為：；特別地，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線的傾斜角為.（2）所有直線都有唯一確定的傾斜角，傾斜角表示的是直線的傾斜程度.知識(shí)點(diǎn)02：直線的斜率我們把一條直線的傾斜角（）的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用字母表示，即（1）傾斜角不是的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；（2）傾斜角時(shí)，直線的斜率不存在?！炯磳W(xué)即練1】（2023秋·湖南婁底·高二統(tǒng)考期末）已知直線的傾斜角是，則此直線的斜率是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角是，所以此直線的斜率是.故選:C.知識(shí)點(diǎn)03：斜率與傾斜角的聯(lián)系傾斜角（范圍）斜率（范圍）不存在【即學(xué)即練2】（2023秋·天津南開(kāi)·高二天津市第九中學(xué)?？计谀﹫D中的直線的斜率分別為，則有（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由圖象可得，，故選：C知識(shí)點(diǎn)04：直線斜率的坐標(biāo)公式如果直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，（），那么可得到如下斜率公式：（1）當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無(wú)關(guān)，橫縱坐標(biāo)的次序可以同時(shí)調(diào)換；（3）當(dāng)時(shí)，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行?！炯磳W(xué)即練3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)存在，1(2)存在，(3)不存在【詳解】（1）由題意，存在，直線AB的斜率．（2）由題意得，存在，直線CD的斜率．（3）∵，∴直線的斜率不存在．題型01求直線的傾斜角【典例1】（2023春·江蘇泰州·高二靖江高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）已知是直線的一個(gè)方向向量，則該直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023秋·福建福州·高二統(tǒng)考期末）若直線的方向向量是，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）若直線與直線平行，直線的斜率為，則直線的傾斜角為_(kāi)_________.題型02直線斜率的定義【典例1】（2023秋·天津?yàn)I海新·高二?？计谀┮阎本€的傾斜角是，則該直線的斜率是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·四川遂寧·高二?？计谀┤糁本€的傾斜角為120°，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023秋·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．題型03斜率與傾斜角變化關(guān)系【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若如圖中的直線的斜率為，則（

）

A． B． C． D．【典例2】（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？计谀┫铝姓f(shuō)法正確的是（

）A．直線的傾斜角越大，它的斜率越大； B．兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等；C．任何一條直線都有唯一的斜率； D．任何一條直線都有唯一的傾斜角．【變式1】（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水中學(xué)校考期末）已知直線經(jīng)過(guò)第二、四象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）.A． B． C． D．【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）（多選）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有三條直線，，，其對(duì)應(yīng)的斜率分別為，，，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．題型04已知兩點(diǎn)求斜率【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）分別判斷經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出傾斜角；如果不存在，求出傾斜角．(1)；(2)；(3)；(4)．【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)和的直線的傾斜角是鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知．(1)求直線和的斜率；(2)若點(diǎn)在線段（包括端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，求直線的斜率的變化范圍．

題型05已知斜率求參數(shù)【典例1】（2023春·湖北荊州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，且其傾斜角為135°，則的值為（

）A．0 B． C． D．【典例2】（2023春·山東濱州·高一校考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)，的直線的斜率為1，那么的值為（

）A．1或4 B．4 C．1或3 D．1【變式1】（2023春·河南安陽(yáng)·高二安陽(yáng)一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)，直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)，兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，求的值．題型06利用直線斜率處理共線問(wèn)題【典例1】（2023秋·甘肅蘭州·高二蘭州西北中學(xué)?？计谀┤c(diǎn)，，在同一條直線上，則值為（

）A．2 B． C．或 D．2或【典例2】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中?？计谥校┮阎c(diǎn)，，，若線段，，不能構(gòu)成三角形，則的值是________.【變式1】（2023秋·山西臨汾·高二統(tǒng)考期末）若三點(diǎn)在同一直線上，則實(shí)數(shù)等于（

）A． B． C．6 D．12【變式2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知三點(diǎn)，，在同一條直線上，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5題型07求斜率或傾斜角的取值范圍【典例1】（2023春·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮阎獌牲c(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)，若直線與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍是__________．【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線過(guò)點(diǎn)，且與以、為端點(diǎn)的線段相交，則直線的斜率的取值范圍是__________．【典例4】（2023秋·湖北武漢·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線，且直線與連接點(diǎn)，的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是__________．【變式1】（2023春·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）已知,,直線過(guò)定點(diǎn),且與線段相交,則直線的斜率的取值范圍是(

)A． B． C． D．或【變式2】（2023秋·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)，為的邊上一動(dòng)點(diǎn)，則直線斜率的變化范圍是（

）A． B．C． D．【變式3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線的方程為，，則直線的傾斜角范圍是（

）A． B．C． D．【變式4】（2023春·浙江溫州·高二校考階段練習(xí)）已知直線斜率為，且，那么傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型08斜率公式的幾何意義的應(yīng)用【典例1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的取值范圍為_(kāi)_____【典例2】（2023·湖南衡陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)，則的取值范圍為_(kāi)_____.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（

）A． B．C． D．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A．0° B．30°C．60° D．90°2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023秋·江蘇南京·高二南京大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）若直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致．如圖是閬中市盤龍山嘉陵江大橋，共有10對(duì)永久拉索，在索塔兩側(cè)對(duì)稱排列．已知拉索上端相鄰兩個(gè)針的間距（，2，…，9）均為，拉索下端相鄰兩個(gè)針的間距（，2，…，9）均為．最短拉索的針，，滿足，，則最長(zhǎng)拉索所在直線的斜率約為（

）（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）A． B． C． D．5．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知一直線經(jīng)過(guò)兩，，且傾斜角為，則的值為（）A．－6 B．－4C．0 D．66．（2023春·上海浦東新·高二上海師大附中?？茧A段練習(xí)）已知直線的傾斜角為，斜率為，那么“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2023秋·四川宜賓·高二四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校?？计谀┰O(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）1949年公布的《國(guó)旗制法說(shuō)明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個(gè)角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個(gè)角尖正對(duì)大五角星的中心點(diǎn)．有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點(diǎn)與四顆小星中心點(diǎn)的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（

）A．0° B．1° C．2° D．3°二、多選題9．（2023秋·湖北黃石·高二校聯(lián)考期末）在下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的有（

）A．坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率B．直線的傾斜角的取值范圍是C．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為D．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為10．（2022春·湖南衡陽(yáng)·高二衡陽(yáng)市一中?？茧A段練習(xí)）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)和的直線的傾斜角，則實(shí)數(shù)的可能取值有（

）A．11 B．12 C．13 D．14三、填空題11．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線的傾斜角，直線與的交點(diǎn)為，直線和向上的方向所成的角為，如圖，則直線的傾斜角為_(kāi)_______．

12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)原點(diǎn)的直線l與曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)A，B作x軸的垂線，與曲線交于C，D兩點(diǎn)，則直線CD的斜率為_(kāi)_________．四、解答題13．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）求經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線的斜率，并判斷其傾斜角是銳角還是鈍角.（1）A(0，-1)，B(2，0)；（2）P(5，-4)，Q(2，3)；（3）M(3，-4)，N(3，-2).14．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)．(1)求直線的斜率的取值范圍；(2)求直線的傾斜角的取值范圍．B能力提升1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）坐標(biāo)平面內(nèi)有相異兩點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·廣東深圳·高二深圳中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)，，若點(diǎn)在線段AB上，則的取值范圍（

）A． B．C． D．3．（2022秋·黑龍江大慶·高二大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．C綜合素養(yǎng)1．（多選）（2022秋·山東青島·高二青島二中校考階段練習(xí)）如圖所示，下列四條直線，，，，斜率分別是，，，，傾斜角分別是，，，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）臺(tái)球運(yùn)動(dòng)中反彈球技法是常見(jiàn)的技巧，其