2023屆山東省棗莊三中等33校高三年級下冊開學（第一次模擬）考試數(shù)學試題

2023屆山東省棗莊三中等33校高三下學期開學（第一次模擬）考試數(shù)學試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.i是虛數(shù)單位，2=二則|2|=（）

1-Z

A.1B.2C.V2D.272

2.已知向量a與8的夾角為定義axb為a與b的“向量積”,且是一個向量，它的長度,、0=慟卜卜皿夕，

若"=（2,0）,=貝山＞＜（〃+丫）卜（）

A.473B.73

C.6D.2G

3.已知集合A={M-l<x<2},B={x|x>l},貝!|AUZJ=

A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+oo)D.(1,+oo)

4.A3c中，點。在邊AB上，CO平分/4CB,若CB=a，CA=b忖=2,忖=1,貝!]C￡>=()

12,C."力D.'+%

A.B.-a+—b

33335555

5.若函數(shù)/（x）=3cosx+4sinx在時取得最小值，貝！jcos（9=（）

33

A.D.

55

6.已知雙曲線C:二-與=13＞0力＞0）的一個焦點為尸，點A5是C的一條漸近線上關于原點對稱的兩點，以A3

a'b'

為直徑的圓過E且交C的左支于兩點，若|MN|=2,A43尸的面積為8,則。的漸近線方程為（）

A.y=±\/3xB.y=±—

3

C.y=±2xD.y=±^x

1+z

7.在復平面內，復數(shù)7rFT對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.已知三棱錐P—ABC的四個頂點都在球。的球面上,PA，平面ABC,AABC是邊長為的等邊三角形，若球0

的表面積為207r，則直線PC與平面Q鉆所成角的正切值為（）

3_R幣D.且

A.B.-----C.尹

434

〃一4=5,則a-匕的最小值為（

9.已知平面向量a，/?,c滿足:a?b=0,卜|=1,卜-|

A.5C.7D.8

10.函數(shù)/（x）=；-+sinx的圖象的大致形狀是（)

ci,b,且2Q+〃=g(Q>0,/?>0),

11.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示,其中三視圖的長、寬、高分別為2,

則此三棱錐外接球表面積的最小值為（)

21

A.—71一7tC.44D.5萬

44

12.已知集合A={xeZ，

則集合A真子集的個數(shù)為（)

A.3B.4C.7D.8

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某次足球比賽中，A，B,C,。四支球隊進入了半決賽.半決賽中，A對陣C，8對陣。，獲勝的兩隊進入決

賽爭奪冠軍，失利的兩隊爭奪季軍.已知他們之間相互獲勝的概率如下表所示.

ABCD

A獲勝概率—0.40.30.8

3獲勝概率0.6—0.70.5

C獲勝概率0.70.3—0.3

。獲勝概率0.20.50.7—

則A隊獲得冠軍的概率為.

14.已知f(x)=sin[|(x+1)-x/3cos[|(x+1)],貝!]/■⑴+/(2)+/⑶+...+/(2020)=

15.已知函數(shù)/'(尤)=In±L為奇函數(shù)，則。=.

\-ax

16.已知復數(shù)z=(i—2)2(i為虛數(shù)單位)，貝!|z的共扼復數(shù)是,回=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)分(X)=X|X+T|MWR.

(1)若/(l)+/(-1)>1,求a的取值范圍；

⑵若4<0,對Vx,y,不等式/'(x)Wy+3+y+|CL?恒成立，求a的取值范圍.

2

18.(12分)△鉆C的內角A，B,C的對邊分別為“，b,c,已知AA3C的面積為」一.

4sinA

(1)求sinBsinC；

(2)若10cos8cosC=—l,a=&，求A4BC的周長.

19.(12分)為增強學生的法治觀念，營造“學憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍，某學校開展了“憲法小衛(wèi)士”

活動，并組織全校學生進行法律知識競賽.現(xiàn)從全校學生中隨機抽取50名學生，統(tǒng)計他們的競賽成績，已知這50名

學生的競賽成績均在[50,100]內，并得到如下的頻數(shù)分布表：

分數(shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)51515123

(1)將競賽成績在170,100]內定義為“合格”，競賽成績在[50,70)內定義為，，不合格”.請將下面的2x2列聯(lián)表補充完

整，并判斷是否有95%的把握認為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關？

合格不合格合計

高一新生12

非高一新生6

合計

（2）在（1）的前提下，按“競賽成績合格與否”進行分層抽樣，從這50名學生中抽取5名學生，再從這5名學生中隨

機抽取2名學生，求這2名學生競賽成績都合格的概率.

參考公式及數(shù)據(jù)：K2=------叱@~~---------,其中〃=a+/?+c+d.

（a+Z?）（c+d）（a+c）（b+d）

PgNk。)O.KM)0.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

20.（12分）某調查機構為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x（噸）對價格y（千克/噸）和利潤z的影響，對近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和

價格統(tǒng)計如下表：

Xi2345

y17.016.515.513.812.2

（1）求y關于x的線性回歸方程y=晟+必

（2）若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元，假設該產(chǎn)品可全部賣出，預測當年產(chǎn)量為多少時，年利潤w取到最大值？

2苦?一〃?亍.y￡（七一?。ǎ荆?）

參考公式：b=^-----------=『-------------,a=y-bx

就2￡（%-元『

1=11=1

21.（12分）如圖，在四棱錐。一458中，PD_L平面ABCD,底面ABCD是矩形，AD=PD,E,尸分別是

CD,P3的中點.

p

B

（I）求證：所_L平面A4B；

（H）設AB=G3C=3，求三棱錐P—AER的體積.

22.（10分）如圖，已知橢圓二三+二；二一,二為其右焦點，直線二二（匚二<0與橢圓交于二（二>3）,二（I二;.二;）

二二1.（點二二，二二從上到下依次排列）

⑺試用二表示二二：

（〃）證明：原點到直線/的距離為定值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

由復數(shù)除法的運算法則求出z,再由模長公式，即可求解.

【詳解】

由z=2；1?）=-1+j,|Z|=&.

1—1

故選:C.

【點睛】

本題考查復數(shù)的除法和模，屬于基礎題.

2、D

【解析】

先根據(jù)向量坐標運算求出，，+v=（3,V3）和cos（w,〃+?,進而求出sin〃+v）,代入題中給的定義即可求解.

【詳解】

手，得sinG，“+u）=3，由定義知

由題意u==,則〃+U=(3,G),cos“+1)=

J"x(〃+v)卜M?|w+v|sinw+=2xx；=2A/3,

故選:D.

【點睛】

此題考查向量的坐標運算，引入新定義，屬于簡單題目.

3、C

【解析】

根據(jù)并集的求法直接求出結果.

【詳解】

TA={x|-l<x<2},B={x|>l},

AA5=(-1,+oo),

故選C.

【點睛】

考查并集的求法，屬于基礎題.

4、B

【解析】

由CO平分ZACB,根據(jù)三角形內角平分線定理可得空=笑，再根據(jù)平面向量的加減法運算即得答案.

【詳解】

CQ平分ZACB,根據(jù)三角形內角平分線定理可得空=笑，

DACA

又CB=a，CA=b9=2,”=1,

or\

...——=2,：.BD=2DA.

DA

O)1Q

:.CD=CB+BD=CB+-BA=a+-(b-a]=-a+-b.

33、,33

故選：B.

【點睛】

本題主要考查平面向量的線性運算，屬于基礎題.

5、D

【解析】

利用輔助角公式化簡f(x)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得/(X)在X=8函數(shù)取得最小值時cos。的值.

【詳解】

4

解：/(無)=3cos龍+4sinx=5|—cosx+—sinx|=5sin(x+a),其中，sina=—,cosa--

5

故當。+c=2%r—g(ZeZ),即6=2版■-四—c(&eZ)時，函數(shù)取最小值/(。)=—5,

冗43

所以cos0=cos(2Z%----a)=cos(----a)=-sincu=——,

225

故選：D

【點睛】

本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應用，屬于基礎題.

6、B

【解析】

由雙曲線的對稱性可得=即兒、=8,又|MN|=Z=2,從而可得C的漸近線方程.

【詳解】

設雙曲線的另一個焦點為尸‘，由雙曲線的對稱性，四邊形AF8U是矩形，所以2M/=5,群一即從'=8,由

x2+y2c2

?尤2y2,得：y=±￡_,所以|MN|=Z=2,所以Z?2=c,所以b=2,c=4,所以〃=2百，C的漸近

.滔丁=1ee

線方程為y=土S~x?

3

故選B

【點睛】

本題考查雙曲線的簡單幾何性質，考查直線與圓的位置關系，考查數(shù)形結合思想與計算能力，屬于中檔題.

7、B

【解析】

化簡復數(shù)為a+6的形式，然后判斷復數(shù)的對應點所在象限，即可求得答案.

【詳解】

l+i_l+i_(l+i)Z

(1-z)2-2i-i

一l+i11.

=---=--1—I

222

對應的點的坐標為I在第二象限

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎題.

8、C

【解析】

設。為AB中點,先證明CD_L平面PAB,得出NCPD為所求角，利用勾股定理計算胡,陽,。),得出結論.

【詳解】

設。,E分別是A8,BC的中點CD=F

Q41.平面ABCPAA.CD

AA3C是等邊三角形：.CD±AB

又PAAB=A

\CC)A平面.?.NCP。為PC與平面Q43所成的角

AABC是邊長為的等邊三角形

2

:.CD=AE=3,AF=§AE=2且尸為AABC所在截面圓的圓心

球。的表面積為20〃..?球。的半徑04=5

：.OF=JOA2-AF2=1

241.平面ABC:.PA=2OF=2

PD=VPA2+AD2=V7

CD33#i

tan/CPD

本題正確選項：c

【點睛】

本題考查了棱錐與外接球的位置關系問題，關鍵是能夠通過垂直關系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解

出線段長，屬于中檔題.

9、B

【解析】

建立平面直角坐標系，將已知條件轉化為所設未知量的關系式，再將，-彳的最小值轉化為用該關系式表達的算式,

利用基本不等式求得最小值.

【詳解】

建立平面直角坐標系如下圖所示，設c=(cose,sine),0A=a,OB=b,且A(〃2,0),8(0,〃)，由于

,一4=|一。|=5,所以

<7-c=(m-cos6,-sin6),〃一c=(-cos6,〃一sin，).所以

m2-2mcos^+cos26+sin29=25

即nr+/=48+2mcos6+2〃sin8.

rr-2nsin^+sin2^4-cos20=25

_2(Q_(?)?(/?_c)+僅-c)=V48+27ncos0+2/tsin0

=Jw+九2>J市.當且僅當m二〃時取得最小值，此時由加2+〃2=48+2mcos8+2〃sin。得

2"??=48+2"2(sine+cos6)=48+2亞機sin[e+?J,當，二芋時，2m?有最小值為48-2血相，即

2/?r=48-272/71，m2+>/2m-24=0?解得m=38?所以當且僅當加=〃=3)2,。==時。一〃有最小值為

/鄧用=6.

故選：B

本小題主要考查向量的位置關系、向量的模，考查基本不等式的運用，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于難題.

10、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性，可排除D；求得尸(x)及/(x),由導函數(shù)符號可判斷〃力在R上單調遞增，即可排除AC選項.

【詳解】

V3

函數(shù)"X)=——Fsinx

易知為奇函數(shù)，故排除D.

尤271

又/'")=匕+COSX,易知當xw0,—時，ra)>o；

71

又當時，=--sinx>l-sinx>0,

綜上，X￡[0,4W)時，/(力>0,即單調遞增.

又了(%)為奇函數(shù)，所以/(%)在R上單調遞增，故排除A,C.

故選：B

【點睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，導函數(shù)性質與函數(shù)圖象關系，屬于中檔題.

11、B

【解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構造長方體，于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球，進而

得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值.

【詳解】

由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個頂點位于長方體的四個頂點，即為三棱錐A-C片?！盖?/p>

長方體ABC。-AqGA的長、寬、高分別為2,。1,

...此三棱錐的外接球即為長方體的外接球，

且球半徑為R=&+/+〃="+/+」,

22

...三棱錐外接球表面積為4萬"+"+”=^(4+a2+/>2)=5^-(?-l)2+—,

\7

121

.?.當且僅當4=1,匕=二時，三棱錐外接球的表面積取得最小值為二萬.

24

故選B.

【點睛】

(1)解決關于外接球的問題的關鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離都等于球的半徑，同時要作一圓

面起襯托作用.

(2)長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，對于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問題時可考慮通

過構造長方體，通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題.

12、C

【解析】

解出集合A,再由含有〃個元素的集合，其真子集的個數(shù)為2"-1個可得答案.

【詳解】

解：由A={X€Z|*〈O],得4={%62|_3<彳40}={-2,_1,0}

所以集合A的真子集個數(shù)為2,-1=7個.

故選：c

【點睛】

此題考查利用集合子集個數(shù)判斷集合元素個數(shù)的應用，含有〃個元素的集合，其真子集的個數(shù)為2"-1個，屬于基礎

題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、0.18

【解析】

根據(jù)表中信息，可得A勝C的概率；分類討論B或D進入決賽，再計算A勝B或A勝C的概率即可求解.

【詳解】

由表中信息可知，A勝C的概率為0.3;

若B進入決賽，B勝D的概率為0.5,則A勝B的概率為0.5x04=0.2；

若D進入決賽，D勝B的概率為0.5,則A勝D的概率為05x0.8=0.4；

由相應的概率公式知，則A獲得冠軍的概率為P=0.3x(0.5x0.4+0.5x0.8)=0.18.

故答案為：().18

【點睛】

本題考查了獨立事件的概率應用，互斥事件的概率求法，屬于基礎題.

14、G

【解析】

1T

化簡得/(x)=2sin§x,利用周期即可求出答案.

【詳解】

解：fU)=sin[—(x+1)]-V3cos[y(x+l)]=2sin—x,

...函數(shù)/(x)的最小正周期為6,

A/(I)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

/(D+/(2)+/(3)+...+/(2020)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=.,

故答案為：百.

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)的性質的應用，屬于基礎題.

15、-1

【解析】

利用奇函數(shù)的定義得出/(-^)=-/(x),結合對數(shù)的運算性質可求得實數(shù)a的值.

【詳解】

由于函數(shù)f(x)=ln二為奇函數(shù)，貝=即ln=l=—ln==lnE，

\-ax1+ax\-axx-1

一x—11—nx

——=-整理得1—爐=1_4%2,解得a=±L

\+axx-1

X—1

當々=1時，真數(shù)-=-1,不合乎題意；

1-x

y_1X—]

當。=一1時，/(x)=ln—j-,解不等式(石>0,解得x<7或x>l,此時函數(shù)y=/(x)的定義域為

(f,—l)U(l,+x)),定義域關于原點對稱，合乎題意.

綜上所述，a=—L

故答案為：一1.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查了函數(shù)奇偶性的定義和對數(shù)運算性質的應用，考查計算能力，屬于中等題.

16、3+4/5

【解析】

直接利用復數(shù)的乘法運算化簡，從而得到復數(shù)'的共匏復數(shù)和z的模.

【詳解】

22

..-Z=(Z-2)=Z-4/+4=3-4Z,則復數(shù)2的共甄復數(shù)為3+43且忖=巧不了=5.

故答案為：3+4z；5.

【點睛】

本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎的計算題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1),+ooj.(2)[—3,0).

【解析】

(1)分類討論aW—1,a>\,即可得出結果；

(2)先由題意，將問題轉化為了。),皿4(即可，再求出/(無)“心，y+[+y+5的最小值，解

不等式即可得出結果.

【詳解】

(1)由/(1)+/(_1)>1得|。+1|一|。_1|〉1,

若。<-1,則一1一。+〃一1>1,顯然不成立；

若一貝!］1+。+。一1>1,a>—,即1V。<1；

22

若。之1,則1+〃一〃+1>1,即2>1,顯然成立，

綜上所述，a的取值范圍是(g，+8)

3

(2)由題意知，要使得不等式恒成立，只需/(x),3<(，+］+y+］),,而,

當xe(9,-a］時，/(x)=-x(x+a),所以/(幻…=/(一：］=］；

3a3a

因為y+:+y+->

4242

2&

所以幺4士一巴，解得—3KaWl,結合a<0,

442

所以。的取值范圍是［一3,0).

【點睛】

本題主要考查含絕對值不等式的解法，以及由不等式恒成立求參數(shù)的問題，熟記分類討論的思想、以及絕對值不等式

的性質即可，屬于?？碱}型.

18、(1)；(2)V2+V7

【解析】

(1)根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案；(2)根據(jù)兩角余弦公式可得cosA,即可求出sinA,再根據(jù)正弦定

理可得歷，根據(jù)余弦定理即可求出8+C,問題得以解決.

【詳解】

(1)由三角形的面積公式可得=Lacsin8=」一，

24sinA

.\2csinBsinA=a,

由正弦定理可得2sinCsin3sinA=sinA,

?.,sinAw0,

sin5sinC=—；

2

(2)10cosBcosC=—1,

,cos3cosc=---,

10

3

cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC=--,

43.4

...cosA=—,sinAA=—,

55

?225

貝！1由V〃csinA=",可得：hc=—,由從+/—〃=2feccosA，

24sinA16

可得：b2+c2=^-,

o

3175

.?.S+C)2=?+==7,可得：b+c=不，經(jīng)檢驗符合題意，

oo

???三角形的周長a+Z?+c=&+77.

(實際上可解得引=28一逝,符合三邊關系).

44

【點睛】

本題考查了三角形的面積公式、兩角和的余弦公式、誘導公式，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應用,

考查了學生的運算能力，考查了轉化思想，屬于中檔題.

3

19、(1)見解析；(2)P=—

10

【解析】

(1)補充完整的2x2列聯(lián)表如下:

合格不合格合計

高一新生121426

非高一新生18624

合計302050

則K2的觀測值人攜筌鬻J等川27>3刈,

所以有95%的把握認為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關.

(2)抽取的5名學生中競賽成績合格的有30x4=3名學生，記為a,b,c,

競賽成績不合格的有20x點=2名學生，記為機巴

從這5名學生中隨機抽取2名學生的基本事件有：ab,ac,be,am,an,bin,bn,cm,cn,mn,共10種,

這2名學生競賽成績都合格的基本事件有：ab,ac,bc,共3種,

3

所以這2名學生競賽成績都合格的概率為P=歷.

20、(1)y=18.69-1.23x(2)當x=2.72時，年利潤z最大.

【解析】

(1)方法一：令2=丁-10,先求得z關于x的回歸直線方程，由此求得y關于x的回歸直線方程.方法二：根據(jù)回歸

直線方程計算公式，計算出回歸直線方程.方法一的好處在計算的數(shù)值較小.

(2)求得w的表達式，根據(jù)二次函數(shù)的性質作出預測.

【詳解】

(1)方法一：取2=丁一10,則得X與Z的數(shù)據(jù)關系如下

X12345

Z7.06.55.53.82.2

x=-(l+2+3+4+5)=3,

z(7.0+6.5+5.5+3.8+2.2)=5,

Zxizi=1x7.0+2x6.5+3x5.5+4x3.8+5x2.2=62.7,

i=\

5

=l2+22+32+42+52=55.

,=i

卒4-5.62.7.5x3x5

b=-..................=---------------------=-1.23,

^X,2-5X255—5X32

a=z-^x=5-<-1.23)x3=8.69,

z關于x的線性回歸方程是z=8.69-1.23%即9-10=z=8.69-1.23x,

故)'關于x的線性回歸方程是y=18.69-1.23%.

方法二：因為亍=；(1+2+3+4+5)=3,

y=1(17.0+16.5+15.5+13.8+12.2)=15,

5

=1x17.0+2x16.5+3x15.5+4x13.8+5x12.2=212.7,

/=1

5

=I2+22+32+42+52=55,

i=l

5

自光/—5“_2]2.7—5x3xl5_

??cz-7-——1?乙、?

自2c-255-5x32

二西-5九

i=l

所以&=]-尻=15-(-1.23)x3=18.69,

故),關于1的線性回歸方程是y=18.69-1.23%,

(2)年利潤卬=x(l8.69-1.23x)-l2x=-1.23x2+6.69x,根據(jù)二次函數(shù)的性質可知:當x=2.72時，年利潤二最大.

【點睛】

本小題主要考查回歸直線方程的求法，考查利用回歸直線方程進行預測，考查運算求解能力，屬于中檔