信號與系統(tǒng)：第7講 傅里葉級數(shù)的性質(zhì)與收斂問題

第七講傅里葉級數(shù)的性質(zhì)與收斂問題內(nèi)容提要傅里葉級數(shù)的性質(zhì)傅里葉級數(shù)的收斂性與吉伯斯現(xiàn)象內(nèi)容提要傅里葉級數(shù)的性質(zhì)傅里葉級數(shù)的收斂性與吉伯斯現(xiàn)象線性性質(zhì)時移性質(zhì)時間反轉(zhuǎn)性質(zhì)若x(t)為偶函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)系數(shù)也是偶函數(shù)

若x(t)為奇函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)系數(shù)也是奇函數(shù)

時域尺度變換性質(zhì)傅里葉級數(shù)系數(shù)雖然沒有變化，但是傅里葉級數(shù)表示發(fā)生了變化相乘性質(zhì)周期卷積性質(zhì)假設x(t)和y(t)都是周期為T的周期信號。

缺乏實際意義周期卷積性質(zhì)周期卷積：其中：仍然是一個周期為T的周期信號注意：周期卷積可以在任何一個周期內(nèi)進行。周期卷積性質(zhì)共軛對稱性若x(t)為實信號，則

共軛對稱性若x(t)為實偶信號，則ak是實偶函數(shù)若x(t)為實奇信號，則ak是虛奇函數(shù)帕斯瓦爾定理一個周期信號的平均功率等于它的全部諧波分量的平均功率之和舉例1舉例2關于一個周期為3和傅里葉級數(shù)系數(shù)為ak的連續(xù)時間周期信號給出如下信息：1.ak=ak+2；2.ak=a-k；

3.;試確定x(t)。4.解：由條件1可知：x(t)=x(t)e-j(4π/3)t

由條件2可知：x(t)=x(-t)

所以x(t)僅在t=0,1.5,-1.5,3,-3,4.5,-4.5……有非零值由條件3可知：x(t)=δ(t),-0.5<=t<=0.5

由條件4可知：x(t)=2δ(t-1.5),0.5<=t<=1.5

內(nèi)容提要傅里葉級數(shù)的性質(zhì)傅里葉級數(shù)的收斂性與吉伯斯現(xiàn)象傅里葉級數(shù)的收斂性綜合公式分析公式收斂的含義：ak為有限值綜合公式中的無窮級數(shù)收斂于x(t)傅里葉級數(shù)的收斂條件第一組條件(平方可積條件)：周期信號在一個周期內(nèi)平方可積，即：第二組條件(狄里赫利條件)：在任何周期內(nèi)，x(t)均絕對可積;在任何有限區(qū)間內(nèi)，x(t)只有有限個起伏變化；在任何有限區(qū)間內(nèi)，x(t)只有有限個不連續(xù)點，且在這些點處x(t)為有限值。幾個不滿足狄里赫利條件的信號不滿足條件1幾個不滿足狄里赫利條件的信號不滿足條件2幾個不滿足狄里赫利條件的信號不滿足條件3關于傅里葉級數(shù)收斂性的幾點說明收斂并不意味著逐點相等，而只意味著信號和它的傅里葉級數(shù)表示之間不存在能量上的差別平方可積條件和狄里赫利條件并不等價，它們都是傅里葉級數(shù)收斂的充分條件，而不是必要條件工程實際應用中的絕大多數(shù)信號都滿足平方可積條件或狄里赫利條件最小均方誤差近似引入如下近似誤差函數(shù)：一個周期內(nèi)的誤差能量為：最小均方誤差近似為了使上式最小，展開式中的各系數(shù)應為：這一結(jié)果表明：在最小均方誤差準則下，傅里葉級數(shù)是對周期信號的最佳近似。吉伯斯現(xiàn)象吉伯斯現(xiàn)象吉伯斯現(xiàn)