高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性講義第15講橢圓中6大最值問(wèn)題題型總結(jié)

第15講橢圓中6大最值問(wèn)題題型總結(jié)

題型目錄

題型一：利用均值不等式求最值

題型二：利用焦半徑范圍求最值

題型三：橢圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離最值問(wèn)題

題型四：橢圓上一點(diǎn)到直線(xiàn)距離最值問(wèn)題

題型五：橢圓有關(guān)向量積最值問(wèn)題

題型六：聲東擊西，利用橢圓定義求最值

典型例題

題型一：利用均值不等式求最值

【例1】已知《，尸2是橢圓C:（+（=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則IM用?∣M周的最大值為（）.

A.13B.12C.25D.16

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓定義可得IM￡|+|炳卜10,利用基本不等式可得結(jié)果.

【詳解】

由橢圓方程知：“=5；根據(jù)橢圓定義知：∣Λ∕制+∣M同=2α=10,

.?.pw訃IgI嗎網(wǎng)，=25（當(dāng)且僅當(dāng)I螭I=I峭I時(shí)取等號(hào)）,

???∣M∣?∣M段的最大值為25.

故選：C.

【例2】（2022?安徽?高二階段練習(xí)）已知橢圓C：±+《=1的左、右焦點(diǎn)分別為寫(xiě)，工，點(diǎn)P是橢圓C上

169

14

的動(dòng)點(diǎn)，m=?PFi?,n=?PF2?,則G+%的最小值為（）

c20-3√7D20+3√7

'-9-'~~

【答案】A

【解析】

【分析】

由橢圓的定義可得利+〃=8；

利用基本不等式，若a，b>0,則a+b≥2瓶,當(dāng)且僅當(dāng)α=匕時(shí)取等號(hào).

【詳解】

根據(jù)橢圓的定義可知，I尸耳∣+∣PM∣=2α=8,即〃?+〃=8,

因?yàn)榧印?-√7>0,n>4-√7>0,

141（14Y、1（n4∕n^1（.CΓn~~4m}9

所以一+—=/一+—I（根+“）=金|5c+—+—>-×5+2---------=-,

mnS?mnJ81m?mnJ8

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)4〃弋時(shí)等號(hào)成立.

?J

故選:A

【題型專(zhuān)練】

1.（2022.河南.輝縣市第一高級(jí)中學(xué)高二期末（文））設(shè)P是橢圓三+4=1上一點(diǎn)，耳、尸2是橢圓的兩個(gè)

94

焦點(diǎn)，則CoSNKPg的最小值是（）

A?C「1n1

A.—B.-IC.-D.—

992

【答案】A

【解析】

【分析】

利用橢圓的定義以及基本不等式可求得C。SNKP鳥(niǎo)的最小值.

【詳解】

z1122

ιl-IHiIwl—+?-=11>a=3,b—2,c=yja—I）=^5"

94

由橢圓定義可得IP與+∣P閭=2a=6,巧圖=2c=2石，

IPd+g2T耳用2(|因+∣p初2—恒閭2一2附|.|p&

由余弦定理可得COSNaPK=

2附I?明2閥HPKl

62-20,、1616,1

=------------1≥------------------11=----1=---

2附H叫，(閥∣+∣P段Y189,

ZXI2)

當(dāng)且僅當(dāng)IPKl=IP周=3時(shí),等號(hào)成立,

因此，CoSNEP瑪?shù)淖钚≈禐?/p>

9

故選：A.

22

2.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))己知P(m,〃)是橢圓二r+二v=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則/+〃2的取值范圍是

12

()

A.(0,l]B.[1,2]C.(0,2]D.[2,+∞)

【答案】B

【分析】根據(jù)題意求得機(jī)的范圍，及/=2-2病，從而可得裙+〃2=2-病，從而可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)镻(m,n)是橢圓片+f=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

12

所以—l≤m≤l,-√Σ≤"≤√Σ,

22

且江+土=1,則"=2-21,

12

則=2—"？,

因?yàn)橐?≤機(jī)≤1,所以0≤帆2≤1,

所以l≤2-∕√≤2,

即nr+n2∈[1,2].

故選：B.

3.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知點(diǎn)P在橢圓E→E=l(">∕>>O)上，耳、名為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求

a2b-

IP耳∣?∣尸Bl的取值范圍.

【答案】

【分析】由橢圓的定義，可得IP耳∣+∣P聞=2α,進(jìn)而可得附HP閭=-(冏∣-αf+A然后利用二次函數(shù)的

性質(zhì)即得.

【詳解】由題可知∣P6∣+∣P閭=2α,∣P卜4a-c,α+c],

因?yàn)殚y卜閥|=|叫伽-歸用)=_附『+翻M=-(IMl-『+落

.?.∣P用=4時(shí)，I尸甲IPgI有最大值小，|P￡|=a-c或IP周=α+c時(shí),I"；川尸亮I有最小值從,

即IPGI?∣Pg∣的取值范圍為

題型二：利用焦半徑范圍求最值

22

【例1】(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))己知橢圓C：;→4=1(α>A>())的右焦點(diǎn)F(GO),點(diǎn)尸(x,y)是橢

ah

圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).求證：a-c≤?PF?<a+c.

【答案】詳見(jiàn)解析.

________________2

【分析】利用橢圓方程及兩點(diǎn)間公式可得∣PF∣=J(x-c?)2+y2=(χ-*,再根據(jù)橢圓的有界性即證.

fV2

【詳解】由A方=1,可得V=4?-?-,

2

Λ?PF?=??(?-e)+χ=—X-—τ乂-a≤x≤a,

??.|叩=:a--x≡[a-c,a+c],

即a-c≤?PF?≤a+c.

【例2】(2021?山西呂梁?一模(理))已知尸為橢圓]+f=l的左焦點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，則IPFI的取值

范圍為.

【答案】[1,3]

【分析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出|「用，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)在橢圓上將式子化簡(jiǎn)，最后求出范

圍.

【詳解】由題意，餐—1,0),設(shè)P(XM,則J+[=i=y2=3_%2,所以

i222

?PF?=y∣(x+?)+y=^(X+1)+3-∣Λ=^∣X+4∣,因?yàn)椤?≤X≤2,所以I尸F(xiàn)l的范圍是[1,3].

故答案為：[1,3].

【例3】(2022?河南?新蔡縣第一高級(jí)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試(文))己知橢圓?+]=1,點(diǎn)A(0,1),尸為橢圓

上一動(dòng)點(diǎn)，則IPAI的最大值為一.

【答案】√6

【分析】設(shè)點(diǎn)P(x,y),可得出∕=4-2y2,其中-√5≤y≤√∑,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得IPAl的最大

值.

【詳解】設(shè)點(diǎn)P(x,y),則:+91,可得χ2=4-2∕,其中-√Σ≤y≤√I,

2222,22

IPAI=y∣x+(y-l)=y∣4-2y+γ-2>+l=y∣-y-2y+5=1J-(y+l)+6≤?/e，

當(dāng)且僅當(dāng)y=τ時(shí)，|尸4|取得最大值幾.

故答案為：√6.

2

【例4】(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知點(diǎn)戶(hù)是橢圓工+V=I上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上)，6、居為橢

4

圓的左，右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)；若“是/耳尸"的角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，且則IOMI的取值

范圍為()

A.(0,√3)B.(0,2)

C.(1,2)D.(√3,2)

【答案】A

【分析】延長(zhǎng)PA、FyM相交于點(diǎn)N,連接QM,利用橢圓的定義分析得出|。Ml=JI尸制-IP周I,設(shè)點(diǎn)P(X°,%),

求出與的取值范圍，利用橢圓的方程計(jì)算得出IoM卜;IXoI,由此可得出結(jié)果.

【詳解】如下圖，延長(zhǎng)尸心、耳時(shí)相交于點(diǎn)N,連接。M,

因?yàn)槠?

因?yàn)镻M為N耳尸鳥(niǎo)的角平分線(xiàn)，所以，∣∕W∣=歸用，則點(diǎn)〃為KN的中點(diǎn)，

因?yàn)?。為耳心的中點(diǎn)，所以，I。叫=；IKNI=SPM-IP磯=SPKiTP/，

設(shè)點(diǎn)P(x°,%),由己知可得α=2,h=↑,c=?∣a2-b2=yβ`

則-2<%<2且XOWO,且有尤=1-：片，

IP用=^(?+√3)^+yθ=J*+2√?>+3+l-};=gj+2√5?+4=?y?+2=y^?+2,

故∣"∣=4-附∣=2-￥x°,

所以，I。叫=Jp周TP閭|=#闖e(o,√η.

故選：A.

【題型專(zhuān)練】

1.平面內(nèi)有一長(zhǎng)度為4的線(xiàn)段AB,動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足IpAI+∣PB∣=6,則|始|的取值范圍是()

A.[1,5]B.[1,6]C.[2,5]D.[2,6]

【答案】A

【解析】由題可得動(dòng)點(diǎn)戶(hù)在以AB為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓上，

..ci—3,c=2,

則可得IPAl的最小值為α-c=l,最大值為α+c=5■

???∣Λ4∣的取值范圍是[1,5].

故選：A.

2.已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸在橢圓工+匯=1上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)“滿(mǎn)足IAMl=1,且尸M?AM=0,則∣PΛ∕∣

4940

的最小值是.

【答案】√15

【解析】由題意知/=49,〃=40,所以￠2=9,解得c=3,所以A(3,θ)為橢圓的右焦點(diǎn)，由題意知點(diǎn)

M是以A為圓心，1為半徑上的圓上一動(dòng)點(diǎn)，且尸MJ_Au所以IPM=JIPAI2TAM2=JiPAf-1

,因IPd的最小值為a-c=7—3=4,所以IPMwn=J儲(chǔ)T=J^

3.已知P是橢圓C:：+(=l上的動(dòng)點(diǎn)，且與C的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，耳，鳥(niǎo)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若

點(diǎn)M在/GPK的平分線(xiàn)上，且MGMP=0,則IoMl的取值范圍是()

A.(0,2)B.(θ,2√2)C.(θ,3-2√2)D.(0,1)

【答案】D

【解析】

【分析】

作出輔助線(xiàn)，得到IOMl=g怩M，求出IENl的取值范圍，從而求出IoMl的取值范圍.

【詳解】

如圖，直線(xiàn)耳M與宜線(xiàn)PG相交于點(diǎn)M

由于PM是NKP心的平分線(xiàn)，且岬?MP=O,即PΛ∕J.,

所以三角形F、PN是等腰三角形，

所以尸耳=PN,點(diǎn)M為與N中點(diǎn)，

因?yàn)?。為耳網(wǎng)的中點(diǎn),

所以。例是三角形耳SN的中位線(xiàn)，

所以IOM=；|&M，

其中比MTPKHPKl=2∣P凰-2a=4P4|-6,

22

因?yàn)镻與C的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，設(shè)PW,〃)，則M∈(0,3),^-+?=1

2222

貝∣]IPF[I=??(w+1)+n=^(m+l)+9-^w=?^∣m+9∣,

所以仍用e(2,4),又IEM＞。，

所以?xún)?yōu)NIe(0,2),∣OMI=J鳥(niǎo)Me((U)

.?.IOMI的取值范圍是（0,1）.

故選：D.

題型三：橢圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離最值問(wèn)題

【例1】（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,短軸長(zhǎng)為8,則橢圓上任意一點(diǎn)P到橢圓中心

。的距離的取值范圍是（）

A.[4,5]B.[6,8]C.[6,10]D.[8,10]

【答案】A

【分析】不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，設(shè)點(diǎn)P（x,y）,則-5≤x≤5,且有V=16-^∣χ2,利用二次函數(shù)的基

本性質(zhì)可求得IoH的取值范圍.

【詳解】不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為5+]=】，

設(shè)點(diǎn)P（x,y）,則-5≤x≤5,且有>2=16-￡彳2,

所以，|。Pl=yjx2+y2=^x2+16-^X2=+16∈[4,5].

故選：A.

【例2】（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓t+片=1上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C：/+（>-if=]

129

的切線(xiàn)，設(shè)其中一個(gè)切點(diǎn)為M,則IPM的取值范圍為（)

A.[Λ4]B.[√3,√15]C.[√15,4]D.[^,2√3]

【答案】B

【分析】設(shè)P(χ,y),得至IJIPMI2=|PC『—Mc「=T(y+3)2+i5,利用橢圓的范圍求解.

【詳解】解：設(shè)P(χ,y),

貝"PM『=IPCf-IMel2=χ2+(y,

?fi-?-×12+(y-1)2-1,

1?

=-g(y+3)-+15,

因?yàn)?3≤y≤3,

所以3≤∣PΛ√f≤15,即√5w∣尸M∣≤J百，

故選：B

【例3】(2022?重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí))已知點(diǎn)P在橢圓《+$=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓(X-I)2+/=|

938

上運(yùn)動(dòng)，則IPQl的最小值為.

【答案】叵##；9

44

【解析】

【分析】

將求IPQl最小值的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到圓心M(l,0)距離最小值的問(wèn)題，結(jié)合點(diǎn)尸滿(mǎn)足橢圓方程，轉(zhuǎn)化為

二次函數(shù)求最值即可.

【詳解】

不妨設(shè)點(diǎn)P為小,％),?∈[-3,3].貝IJ,+冷=1，則y；=3-日

設(shè)圓(X-I)2+V=J的圓心為M,則M坐標(biāo)為(1,0)

O

則IPQI的最小值，即為I網(wǎng)的最小值與圓(X-I)2+產(chǎn)=。的半徑回之差.

o4

乂IMpl=J(Xo_if+%2=J∣?(*-3無(wú)0)+4=J■!1。d+1

當(dāng)/e［-3,3］時(shí)，IMP∣≥乎，當(dāng)且僅當(dāng)飛=T時(shí)取得等號(hào);

故∣R2∣≥四一亞=四.

11244

故答案為：叵.

4

【題型專(zhuān)練】

2

1.(2021.陜西.長(zhǎng)安一中高二期中(文))設(shè)B是橢圓C:?r+y2=i的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則IPM的最大值

為.

【答案】生叵

3

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，以及兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解.

丫2

【詳解】根據(jù)題意，易知3(0,1),設(shè)P(X,y),則?+丁=1,即χ2=4-4∕,

222

故IPM=JxRy-])=j4-4√+(y-l)=λ∣-3y-2y+5=.3卜++y>

因?yàn)門(mén)≤y≤l,所以當(dāng)y=-g時(shí)，歸虬““

故答案為：警

X2

2,已知橢圓T:+y2=ιg>i)的焦點(diǎn)尸(—2,0),過(guò)點(diǎn)M(0,1)引兩條互相垂直的兩直線(xiàn)∕∣、Z,若P為桶圓

72

上任一點(diǎn)，記點(diǎn)P到4、4的距離分別為4、4,則裙十片的最大值為()

131325

A.2B.C.D.

4^4T

【答案】D

【解析】由題意知從=1,。2=4,所以"=5,解得α=√L所以橢圓的方程為［→V=1,設(shè)P(Xo,%),

則乜，且M((M),所以?xún)?nèi)公畫(huà)…+①-譏又吟+%』，所以小5-5嫣

2222

所以6∕1+J2=5-5√+γ0-2y0+l=-4γ0-2γ0+6因?yàn)橐?≤%?1，所以當(dāng)先=一(時(shí)，4?+4?

25

的最大值為一

4

3.(多選題)已知點(diǎn)P是橢圓C：三+V=I上的動(dòng)點(diǎn)，。是圓O：(x+lf+y2=!上的動(dòng)點(diǎn)，則()

34

A.橢圓C的短軸長(zhǎng)為1B.橢圓C的離心率為亞

3

C.圓Z)在橢圓C的內(nèi)部D.∣PQ版最小值為日

【答案】BC

【解析】

【分析】

AB.利用橢圓的方程求解判斷；C.由橢圓方程和圓的方程聯(lián)立，利用判別式法判斷；D.利用圓心到點(diǎn)的距離

判斷.

【詳解】

解：因?yàn)闄E圓方程為：-+y2=?,

3

所以/=3,巨=1,，=/-62=2*=￡=漁，故A錯(cuò)誤，B正確;

a3

fx2.

—+y2=1

由，，得8χ2+24x+21=0,

(^÷1)2÷∕4

因?yàn)椤?242—4x8x21=—96<0,

所以橢圓與圓無(wú)公共點(diǎn)，又圓心(τ,o)在橢圓內(nèi)部,

所以圓在橢圓內(nèi)部，故C正確；

設(shè)P(x,y乂-&4x≤K),

則歸必=J(χ+ι)'+y2=+2x+2=J∣"|)+g，

當(dāng)X=-T時(shí)，IPq取得最小值孝，則IPa的最小值為等-g，故D錯(cuò)誤，

故選：BC

4.(全國(guó)?高二課前預(yù)習(xí))點(diǎn)P、。分別在圓一+｝一石y=2和橢圓［→y2=ι上，則尸、Q兩點(diǎn)間的最大

距離是()

A.5√2B.4√2C.3√2D.2√2

【答案】C

【分析】設(shè)點(diǎn)Q(χ,y),利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得點(diǎn)Q到圓心的最大距離，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可求得

結(jié)果.

【詳解】圓χ2+(y-√5)2=2的圓心為c(o,√i),半徑為廠=&,

-4y~+y~—2,?∕3y+3=^~3y~—2√3y+7

=卜y+y+8≤20,當(dāng)且僅當(dāng)y=-當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

所以，∣PβL=∣CβLχ+r=3√L

故選：C.

22

5.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)橢圓Cg+馬=l(α>%>0)的的焦點(diǎn)為片,0P是C上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)

a"b~

y=x-G經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，心的周長(zhǎng)為4+2√5?

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求pa+Pq的最小值和最大值.

【答案】(l)t+>2=i;⑵最小值為2,最大值為4.

4

【分析】(1)由給定條件求出半焦距C,再由APKB的周長(zhǎng)列出方程再經(jīng)計(jì)算即得；

(2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(X。,%),求出Pn+尸⑷關(guān)于X。的函數(shù)關(guān)系及X。的范圍，求得函數(shù)最值即可.

【詳解】(1)顯然橢圓C的焦點(diǎn)在X軸上，直線(xiàn)y=x-石交X軸于點(diǎn)(6,0),于是得橢圓C的焦點(diǎn)瑪(6,0)，

即半焦距C=6，

而的周長(zhǎng)為IwI+∣P心∣+∣∕^∣=2α+2c,則有2α+2c=4+2后，解得α=2,h2=a2-c2=?,

所以桶圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為J+>2=1；

4

⑵設(shè)橢圓C上的點(diǎn)P（X。,%）,于是有手+￥=1,即"_亨，-2≤?≤2,

令坐標(biāo)原點(diǎn)為0,則。是線(xiàn)段F1F2的中點(diǎn),于是得IPFi+PF2H2PO?=2?+y：=2向+1—今=片+4,

因此，當(dāng)Xo=O時(shí)，IPR+叫ImM=2,當(dāng)/=-2或x0=2時(shí)，|尸外+PKLX=4,

所以IP吊+喝的最小值為2,最大值為4.

題型四：橢圓上一點(diǎn)到直線(xiàn)距離最值問(wèn)題

兩種思路：法一：設(shè)橢圓參數(shù)方程，即設(shè)橢圓上一點(diǎn)為尸（“cos。/Sine）,用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式

法二：利用直線(xiàn)與橢圓相切，聯(lián)立方程，利用判別式△=（）,求出切線(xiàn)，再求兩直線(xiàn)間距離

【例1】（2022?黑龍江?齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校高二期中）橢圓工+.=1上的點(diǎn)P到直線(xiàn)/：x+y+3=0的

43

距離的最小值為（）

?3-√7r3+√7O3√2-√L4n3√2+√14

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓的形式，運(yùn)用三角代換法，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式、輔助角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

X2V2[^x=2COSe

由一+2-=l=4L設(shè)P（2cos6,石Sin。），

43[?=√3sin0

設(shè)點(diǎn)P到直線(xiàn)/：x+N+3=0的距高d,

,xrl7.,∣2cos0+^sin^+3∣∣√7sin（6+夕）+才√7sin（0+伊）+3

*/TUA-rJCl-I—=產(chǎn)=尸>

√i77F√2√2

其中tane=?^^（0e（O,]））,

所以當(dāng)e+e=2版'-]（后∈z）時(shí)，d有最小值?Σ=逑于叵，

故選：c

【例2】(2022.全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí))橢圓寧+匚1上的點(diǎn)到直線(xiàn)/：2x+6廠9=0的距離的最大值為.

【答案】2√7

【分析】設(shè)與直線(xiàn)2x+0y—9=0平行的直線(xiàn)2x+石)，+m=0與橢圓江+t=1相切，然后將直線(xiàn)方程代入

43

橢圓方程中，由A=O可求出用的值，再利用兩平行線(xiàn)間的距離公式可求得結(jié)果

【詳解】設(shè)與直線(xiàn)2x+石)-9=0平行的直線(xiàn)2x+Ky+W=O與橢圓?+號(hào)=1相切，

2x+Gy+m=0

由，X2y2得25%2+16〃優(yōu)+4帆2-36=0，

I43

由A=O得，(16m)2-4×25(W-36)=0,解得加=±5,

設(shè)直線(xiàn)2x+√Jy+m=O與直線(xiàn)2x+合-9=O的距離為d,

當(dāng)機(jī)=5時(shí)，直線(xiàn)為2x+Gy+5=O,Pl1Jd='——-=2Λ∕7,

√4÷3

當(dāng)τπ=-5時(shí)，直線(xiàn)為2x+Gy-5=0,W∣Jd=',

√4+37

因?yàn)?√j>勺豆，

7

22

所以橢圓?+?=1上的點(diǎn)到直線(xiàn)2x+Qy-9=0的距離的最大值為2√L

故答案為：2后

【例3】(2021?浙江?慈溪市滸山中學(xué)高二階段練習(xí))設(shè)點(diǎn)Pa,)，J在橢圓￡+反=1上，點(diǎn)Q(Λ2,%)在直線(xiàn)

82

x+2y-8=O上，則3∣Λ2-4|+6以一R的最小值為,

【答案】12

【分析】對(duì)橢圓進(jìn)行三角換元，進(jìn)而代入所求式子，再利用放縮法進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后通過(guò)輔助角公式結(jié)合三

角函數(shù)的性質(zhì)求得答案.

X.=2夜cosa...,

【詳解】由題意，設(shè)r,αe[0,2%),則3比一力+6良一引

y=√2sina

=3∣X2-2?∣2cosa∣+6∣y2-?∕2sinɑ∣=3(忖-2Λ∕2COSa∣+2∣y2->∕2sina∣j

=3^∣Λ2-2?∕2cos6z∣+2∣γ2-V∑sin<z∣j≥3∣x2+2y2-2?∕2(cosα÷sina)∣=38—4sin∣α+?)≥3∣8-4∣=12,當(dāng)且

僅當(dāng)α=M時(shí)取“=”

4

故答案為：12.

【題型專(zhuān)練】

1.（2022?甘肅?蘭州一中高二期中（文））已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足方程Y+2丁-2=0,則x+），的最大值為.

【答案】√3

【分析】利用三角換元法，再用輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求出答案.

【詳解】因?yàn)閒+2/-2=0,所以gf+y2=ι

令X=0cosay=sin6,

則x+y=V5cosg+sin，=GSin（6+°）,

所以χ+y的最大值為√L

故答案為：小

22

2.（2022?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí)）橢圓C：三+匯=1上的點(diǎn)P到直線(xiàn)Mx+3y+18=0的距離的最小值為.

94

［答案］18~6λ^

5

【分析】設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3COSa2sing）,利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式及輔助角公式計(jì)算可得.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3CoSa2sin6）,其中。∈［0,2π）,

I12cos0+6sin^+18∣

L

則點(diǎn)P到直線(xiàn)/的距離d=J——,+3,——

=6∣2CoSRSine+3|臼瓜代分⑶+彩詞,其中tan∕7=2,

當(dāng)sin（。+/?）=—1時(shí)，等號(hào)成立.

所以d取得最小值史二述.

5

故答案為：18-6-

5

3.（2022.四川遂寧.高二期末（理））如圖，設(shè)P是圓V+V=9上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)力是尸在X軸上的射影，M為

2

P力上的一點(diǎn)，且IMq=IP口.

tj?

⑴當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C方程；

⑵求點(diǎn)M到直線(xiàn)/：X+2y-9=O距離的最大值.

【答案】⑴cq+t=ι,⑵竽

=X

【分析】(1)設(shè)點(diǎn)?(%,%),M(x,y),根據(jù)題意得到3,代入即可求解：

y(>=2y

(2)設(shè)平行于直線(xiàn)/且與C相切的直線(xiàn)4：x+2y-匕=0,聯(lián)立方程組，根據(jù)4與C相切時(shí)，求得。=±5,得

到4的方程，結(jié)合兩平行線(xiàn)間的距離公式，即可求解.

IX=Ao[χ0=x

(1)解：設(shè)點(diǎn)P(X0,%),M(x,y),由IMM=引刊中可得2，即3,又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓/+>2=9

?[>=/[y°=2y

上，代入可得￡+*4=9,整理得上+$=1,即點(diǎn)M的軌跡方程。三+￡=1.

9494

x+2y-b=0

(2)解：設(shè)平行于直線(xiàn)/且與C相切的直線(xiàn)4：x+2y-8=0,聯(lián)立方程組Y,整理得

25V-⑹+4〃-36=0,當(dāng)4與C相切時(shí)，則滿(mǎn)足△=(16ft)2-4×25×(4?2-36)=0,解得b2=25.SP?=±5,

所以《的方程為x+2y+5=0或x+2y-5=0,所以點(diǎn)M至IJ直線(xiàn)Lx+2y-9=0距離的最大值

)9-5∣14√5

?ax=匚；=-∑--

√l2+225

/2

4.(2020.海南?高考真題)已知橢圓C：0+av=l(a>8>O)過(guò)點(diǎn)M(2,3),點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜

率為萬(wàn)，

(1)求C的方程;

(2)點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求AAMN的面積的最大值.

【答案】(I)—+^-=1；(2)18.

1612

【分析】(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；

(2)首先利用幾何關(guān)系找到三角形面積最大時(shí)點(diǎn)N的位置，然后聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，結(jié)合判別式確定

點(diǎn)N到直線(xiàn)AM的距離即可求得三角形面積的最大值.

【詳解】⑴由題意可知直線(xiàn)AM的方程為：y-3=∣(x-2),^x-2y=-4.

當(dāng)y=0時(shí)，解得了=T,所以。=4,

橢圓U*?+^=l(α>8>0)過(guò)點(diǎn)M2,3),可得α+*=1,

解得從=12.

22

所以C的方程：土+匕=1.

1612

(2)設(shè)與直線(xiàn)AM平行的直線(xiàn)方程為：x-2y=m,

如圖所示，當(dāng)直線(xiàn)與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線(xiàn)與橢圓的切點(diǎn)為N,此時(shí)AAMN的面積取得最

大值.

22

聯(lián)立直線(xiàn)方程x-2y=∕n與橢圓方程二+匕=1,

1612

可得：3(∕n+2y)2+4y2=48,

化簡(jiǎn)可得：16y2+12my+3M?-48=0,

所以A=14Φ√-4xl6(3%2—48)=0,QPw?64,解得加=±8,

與AM距離比較遠(yuǎn)的直線(xiàn)方程：x-2y=8,

直線(xiàn)AM方程為：x-2y=-4,

點(diǎn)N到直線(xiàn)AM的距離即兩平行線(xiàn)之間的距離，

j8+4I2√5

利用平行線(xiàn)之間的距離公式可得:d=E=M

由兩點(diǎn)之間距離公式可得IAM∣=√(2+4)2+32=3√5.

所以AAMN的面積的最大值：1×3√5×-^=18.

25

【點(diǎn)睛】解決直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意:

(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線(xiàn)、橢圓的條件；

(2)強(qiáng)化有關(guān)直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三

角形的面積等問(wèn)題.

題型五：橢圓有關(guān)向量積最值問(wèn)題

【例1】(2022?黑龍江?佳木斯一中高二期中)己知P為橢圓τ7+=1上任意一點(diǎn),EF為圓N:(X-1):+V=4

任意一條直徑，則PEPF的取值范圍為()

A.[8,12]B.[12,20]C.[12,32]D.[32,40]

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意可得圓心N(LO)恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，將PEPF化簡(jiǎn)得-4+∣M)j,由橢圓的性質(zhì)可知

INPk[α-c,α+c1,從而可求出PE-PF的取值范圍

【詳解】

由二+上=1,得"=25,/=24,則α=5,〃=26,0=1,

圓NXx-l>+y2=4的圓心N(LO)恰好是桶圓的右焦點(diǎn)，圓的半徑為2,

因?yàn)镻EpF=(NE-NPNNF-NP)

=NE?NF-NP<NE+NF)+NP1

=INEH帽COS乃—0+M1

=-4+網(wǎng)\

因?yàn)镻為橢圓g+g=l上任意一點(diǎn)，N為橢圓的右焦點(diǎn),

所以INPi∈[α-c,α+c],βp∣∕VP∣∈[4,6],

所以網(wǎng)2e[16,36],所以T+Wde[12,32],

所以PE?PF的取值范圍為[12,32],

故選：C

【例2】(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知大,8是橢圓E:工+￡=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上任一點(diǎn)，則

42

FtPF2P的取值范圍是

【答案】[0,2]

【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出P(m,")(-√2≤n≤√2),利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和橢圓方程表達(dá)出

2

FlPF2P=2-n,結(jié)合”的取值范圍，得到耳PEP的取值范圍.

【詳解】由6=4,b2=2,解得：c2=a2-b2=2,所以C=&，不妨令耳(-夜,0),∕?(√2,θ),因?yàn)镻

是橢圓E上任一設(shè)點(diǎn)，設(shè)P(m,")(-√2≤n≤>^).則J+[=l,即4=4-2/,其中

2222

F1P-F2P=^m+>∕2,nj^m->j2,nj=m-2+n=2-n,因?yàn)?√5≤"≤√J,所以0≤∕≤2,0≤2-n≤2,所以

EP?gP的取值范圍是[0,2].

故答案為：[0,2]

【例3】(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足J(X-I)。+歹+J(X++/=2&,點(diǎn)A,B關(guān)于

點(diǎn)。(0,-2)對(duì)稱(chēng)且IABl=2,則PA.刊?的最大值為()

A.10B.9C.8D.2

【答案】C

【分析】利用向量的加法運(yùn)算求出PA,PB,根據(jù)向量數(shù)量積基底模式求出PA-PB=∣PD∣2-1,

再用兩點(diǎn)間的距離公式及點(diǎn)P(χ,y)在橢圓[+/=1上即可求解.

【詳解】由橢圓定義可得點(diǎn)P(x,y)在橢圓]+y2=i上，因?yàn)辄c(diǎn)4,8關(guān)于點(diǎn)0(0,-2)對(duì)稱(chēng)，所以RVPB=

(PD+叫(PD+DB)=(PD-；AB)(PD+；AB=PDLmABj=M”一1,而

2222

IPD?=λ∕x+(y+2)=√2-2/+(y+2)=J-(y-2)+10,因?yàn)?∣≤y≤l,

所以當(dāng)y=l時(shí)IPq取得最大值3,所以BVPB的最大值為32-1=8.

故選:C.

【題型專(zhuān)練】

1.（2022?山東?高三開(kāi)學(xué)考試）在橢圓[→y2=ι上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,Q,￡（1,0）為定點(diǎn)，EP±EQ,則辦.β>的

最小值為（）

1j2

A.-B.?C.7D.1

323

【答案】C

【分析】由題意得EPQP=Ep產(chǎn)-Eq=EP-EpEQ=EP,然后轉(zhuǎn)化為橢圓上的點(diǎn)尸到點(diǎn)醺1,0）的距

離的問(wèn)題處理，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得所求.

→→T（T→?->29T—2

【詳解】解：由題意得EpQP=EPEP-EQJ=EP-EP-EQ=EP.

設(shè)橢圓上一點(diǎn)P（X,y）,則6a=（x-l,y）,

?-?EP=（X—if+y?=（x—I）?+[1—彳）=W（X-3）+~,又—2≤x≤2,

????x=∣4,Bl.還取得2最小值與.

故選：C.

2.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)多選題）已知橢圓C:《+《=l的左、右焦點(diǎn)為J%,點(diǎn)M為橢圓上的點(diǎn)（M

32

不在X軸上），則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2百

B.橢圓C的離心率e=；

C.ΔMEK的周長(zhǎng)為2√i+2

D.?M鳥(niǎo)的取值范圍為U,2）

【答案】ACD

【分析】根據(jù)橢圓的方程，求出“，b,C,判斷A,B,C的正誤，對(duì)于D,設(shè)出M（X,y）,表示出M片?Λ√居

的解析式，求出其范圍，判斷正誤即可.

【詳解】輔圓C:W+￡=1,.?./=3,從=2,￠2=1,

32

ci—^/?,b—c=l,

?二橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2α=26，故A正確，

橢圓的離心率e=￡=且，故B錯(cuò)誤，

a3

△MK心的周長(zhǎng)為：IM6+IM周+∣6M∣=2α+2c=2√5+2,故C正確，

設(shè)M(X,y)(y≠O),則<x<后,-√Σ<y<√Σ,y≠0,且片(—1,0),E(1,0),

故M=(-?-x,-y?MF1=(l-x,-y),

又工+反=1,則丁—3=—1V,

322

222

i^MFt-MF2=x-?+y=-^y+2,

0<γW,.?.-l-??2<0,

故ME的取值范圍是U,2),故D正確，

故選：ACD.

3.(2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知耳鳥(niǎo)是橢圓!+耳=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，AB分別是該橢圓的左頂點(diǎn)和上頂

63

點(diǎn)，點(diǎn)尸在線(xiàn)段AB上，則?P鳥(niǎo)的最小值為.

【答案】-1

【分析】由題可設(shè)P(X,y),則y=孝x+百,-"≤x≤0,然后利用數(shù)量積坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.

【詳解】由題可得網(wǎng)-6,0),乙(6,0),A(-√6,0),B(0,√3),

設(shè)P(X,)，)，因?yàn)辄c(diǎn)P在線(xiàn)段48匕

所以，>,=-^-X+Λ∕3,-Λ∕6≤x≤0

Z廠、2

；?尸耳?PF2=(X+G,y)?(x—=12+,2_3=3彳2+6工=3χ+~^--1,

2213，

.?.當(dāng)X=-當(dāng)時(shí)，/Y；.PE的最小值為T(mén).

故答案為：-1.

4.(2015?山西大同市?高二期末(理))設(shè)F、E分別是橢圓二-I-=1的左、右焦點(diǎn)，若Q是該橢圓上

*4'

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則應(yīng)離談^的最大值和最小值分別為

A.1與一2B.2與一2C.1與一1D.2與一1

【答案】A

【詳解】試題分析:設(shè)Q(x,y),由題得耳(一百,0)6(8,0),所以QM=(-yβ-X,-y),QF2=(yβ-x,-y),

22

QFl-QF2^x-3+y，(-2≤x≤2)因?yàn)镼(x,y)在橢圓上，所以上_「=1所以

2

2V.3χ2

QFiQF2=x-3+?~^=Y-2(-2≤X≤2),所以當(dāng)X=O有最小值一2：x=2或一2時(shí)，有最大值1

題型六：聲東擊西，利用橢圓定義求最值

此種類(lèi)型題目，一般要利用橢圓定義，轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，利用三角形兩邊之和大于第三邊，或者兩邊

之差小于第三邊解決

【例1】(2022?遼寧?高二期中)動(dòng)點(diǎn)M分別與兩定點(diǎn)A(-5,0),8(5,0)連線(xiàn)的斜率的乘積為-蔣，設(shè)點(diǎn)M的

軌跡為曲線(xiàn)C,已知N(2,√5),F(-3,0),則IMFI+1"Nl的最小值為()

A.4B.8C.2y∣3D.12

【答案】B

【解析】

【分析】

求出軌跡方程根據(jù)橢圓的定義，可得IMFI+∣M6∣=10,當(dāng)g經(jīng)過(guò)點(diǎn)N時(shí)，I同+∣MV∣最短.

2516

【詳解】

設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x,>,),則一