山東省煙臺(tái)市龍口市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)試題

高一數(shù)學(xué)

（時(shí)間：120分鐘，分值：150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知向量a=（-l,2,l）,b=（3,x,y）,且a〃b,則實(shí)數(shù)x+y等于（）

A.3B.-3C.9D.-9

2.如果ac<0,bc>0，那么直線(xiàn)or+6y+c=0不通過(guò)（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在正方體ABCD-AB|C］。中，石為的中點(diǎn)，在該正方體各棱所在的12條直線(xiàn)中，與直線(xiàn)"E異

面的共有（）

A.5條B.6條C.7條D.8條

4.過(guò)點(diǎn)A。,4）的直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線(xiàn)方程為（）

A.X—y+3=0B.x+y—5=0

C.4x—y=0或x+y—5=0D.4x—y=0或x—y+3=0

5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬.如圖，四棱錐

P—ABCD為陽(yáng)馬，PA1面ABC。，且EC=2PE,若QE=xAB+yAC+zAP,則x+y+z=

()

A.1B.2C.—D.—

33

6.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱(chēng)軸截面為等腰直角三角形的圓錐

為直角圓錐.如圖，△^'△SCD是直角圓錐SO的兩個(gè)軸截面，且cosN5OC=J，則異面直線(xiàn)SA與

3

瓜V6

A.—B.——C.D.——

3463

7.柏拉圖多面體是柏拉圖及其追隨者對(duì)正多面體進(jìn)行系統(tǒng)研究后而得名的幾何體.下圖是棱長(zhǎng)均為1的柏拉

圖多面體E48c分別為。戶(hù)的中點(diǎn)，則PQ-MN=（）

8.已知直線(xiàn)/:（/l+2）x+（/l—l）y—3—3/1=0,點(diǎn)P（3,2）,記尸至心的距離為d,則〃的取值范圍為

（）

A.[o,V2]B.[（）,&）C.[0,2]D.[0,2）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法正確的有（）

A.直線(xiàn)x—y-2=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2

B.直線(xiàn)y=x+l在*軸上的截距為1

c.過(guò)（％，x）,（%2，%）兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為=三號(hào)'

D.若直線(xiàn)/沿X軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，回到原來(lái)的位置，則該直線(xiàn)

/的斜率為—2

3

10.設(shè)向量Ac可構(gòu)成空間一個(gè)基底，下列結(jié)論正確的有（）

A.若。力1C則”_Lc

B.。也C兩兩共面，但“，瓦C不可能共面

C.對(duì)空間任一向量p,總存在有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使p=xa+）力+ZC

D.^a+b,b+c,c+a^一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底

11.設(shè)直線(xiàn)/:依+（2。+3）＞-3=0與〃:（。-2）%+到一1=0,則（）

A.當(dāng)。=—2時(shí)，I//nB.當(dāng)q=,時(shí)，l」n

3

c.當(dāng)/〃〃時(shí)，/，幾間的距離為手D.坐標(biāo)原點(diǎn)到直線(xiàn)1的距離的最大值為日

12.如圖，在四棱錐S—ABC。中,底面ABC。是正方形，$41_面488,&4=43,0,P.分別是

ACSC的中點(diǎn)，M是棱SZ）上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（）

A.OMLAP

B.存在點(diǎn)使OW〃面SBC

C.存在點(diǎn)M,使直線(xiàn)0M與A3所成的角為30°

D.點(diǎn)M到平面ABCD與平面SAB的距離和為定值

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知直線(xiàn)/的一個(gè)方向向量加=（3,—2,1）,且直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（a,2,-1）和8（—2,38）兩點(diǎn)，則a+b的

值為.

14.已知點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為（-1,1）,（2,2）,直線(xiàn)/:x+my+加=0與線(xiàn)段PQ的延長(zhǎng)線(xiàn)相交，則實(shí)數(shù)加

的取值范圍是.

15.已知四棱錐P—ABC。的底面ABCO是正方形，B41平面ABC。且BA=45=1,則B到直線(xiàn)

P。的距離為.

16.已知定點(diǎn)P（6,4）與定直線(xiàn)，：）'=4x,過(guò)P點(diǎn)的直線(xiàn)/與/］交于第一象限Q點(diǎn)，與工軸正半軸交于點(diǎn)

M,則使△OQM面積最小的直線(xiàn)方程為.

四、解答題：本題共4小題，共40分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A（-2,l）,8（0,-3）,C（3,4）.

（1）求△ABC的面積S；

（2）若直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)C,且點(diǎn)A,8到直線(xiàn)/的距離相等，求直線(xiàn)/的方程.

18.（12分）如圖，在正四棱柱ABCD-中，A4,=2AB=2,瓦尸分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)M

在CD〕上，且CM=2M。］.

|C,

(1)證明：廣四點(diǎn)共面；

(2)求直線(xiàn)與平面AEMF所成角的正弦值.

19.(12分)已知點(diǎn)P(—1,2),直線(xiàn)/］：4%+y+3=0和/2：3%-5y-5=0

(1)過(guò)點(diǎn)尸作/］的垂線(xiàn)PH,求垂足H的坐標(biāo)；

(2)過(guò)點(diǎn)尸作/分別于",2交于點(diǎn)4B,若尸恰為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求直線(xiàn)/的方程.

20.(12分)等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)3和頂點(diǎn)A都在直線(xiàn)2x-y-3=0上，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)是

(-2,3),直線(xiàn)AC的傾斜角是鈍角.

(1)求直線(xiàn)3C,AC在［軸上的截距之和；

(2)平行于AC的直線(xiàn)/與邊分別交于點(diǎn)D,E,若ZXBZ比的面積等于.，求直線(xiàn)/與兩坐標(biāo)軸

2

圍成的三角形的周長(zhǎng).

21.(12分)如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCO是矩形，△S4。是正三角形，且平面S4O_L

平面ABC￡),A3=1,P為棱A。的中點(diǎn)，A￡>=2.

(1)若石為棱S3的中點(diǎn)，求證：PE//平面SCD-,

2Fi

(2)在棱SA上是否存在點(diǎn)M,使得平面尸MB與平面S4￡>所成銳二面角的余弦值為~1一？若存在，指出

點(diǎn)M的位置并給以證明：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.如圖，已知四棱臺(tái)ABCD-4B|C|A上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3和6的正方形，例=6,且例1

底面ABC。，點(diǎn)尸、Q分別在棱ODpBC上.

(1)若P是的中點(diǎn)，證明：ABiLPQ.,

(2)若PQ〃平面ABB|A，二而角「一QD-A的余弦值為上，求四面體ADPQ的體積.

7

高二數(shù)學(xué)答案

一、選擇題：DBDDACAB

二、選擇題：ADBCDACDABD

三、填空題：

2>/6

13.-214.—3<m<——15.16.x+y—10=0

四、解答題：本題共4小題，共40分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.【解析】

/\/\1-(-3)

解：(1)A(-2,l),B(0,-3),kAB=--——=-2,

一2-u

故直線(xiàn)A3的方程為y=-2x-3,即2x+y+3=0,

,AB=J(_2-0)2+(1+3)2=2亞,

點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離為d=巴3+4+3|=B

V22+l2石

]113

所以△ABC的面積S為S=/M?A8=2X忑x26=13

(2)因?yàn)辄c(diǎn)A8到直線(xiàn)(的距離相等，所以直線(xiàn)4與A3平行或通過(guò)A3的中點(diǎn),

—3—1

①當(dāng)直線(xiàn)公與A3平行，所以勺=L=c二、=-2,所以/2：2x+yT0=0.

0-(-2)

②當(dāng)直線(xiàn)％通過(guò)AB的中點(diǎn)￡>(-1,-1),

所以k°D=所以4：y-4=?(x-3)'即5x—4y+l=。'

綜上：直線(xiàn)&的方程為2x+y-10=0或5x-4y+l=0.

18.

【詳解】(1)因?yàn)镺D|1平面A6C￡>,A，8u平面ABC。，

所以D"1AD,DD11CD,

又ADLOC,所以以。為原點(diǎn),

DA,DC,DD1所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(l,0,0),F(0,0,l),C(0,l,0),D,(0,0,2),

所以CD=(0,T,2),AC=(-1,1,0),AE=(0,1,1),A尸=(一1,0,1),

由CM=2MD],得

而=|函=(。,一|,富

(14、

所以AM=AC+CM=-1,-,-.

<33/

—A=—1

1

設(shè)AM=]LIAE+2,AF,貝1"=一.

3

。4

13

解得;1=1,〃=工，所以AM=,AE+AF，故A,2〃，尸四點(diǎn)共面.

33

(2)設(shè)平面AEMF的法向量為

AE-in—0y+z=0(、，八

由」,，即1，取工，則加=(1,一1』，

IAF-m=0、-x+z=0

設(shè)直線(xiàn)CD］與平面AEMF所成角為依則加二（x,y,z）,

設(shè)直線(xiàn)CD,與平面AEMF所成角為。，則

n|「clC”|3V15

sin，=cosCD,,m=----：~L=-7=—產(chǎn)=----.

1116X百5

「八而

故直線(xiàn)CD】與平面AEMF所成角的正弦值為亍.

19.【小問(wèn)1詳解】

Z）:4x+y+3=0,即y=7x—3,則左叫=:，直線(xiàn)P”為y=；（x+l）+2,

21

x=----

17,故H2133

即x-4y+9=0,聯(lián)立方程〈’，解得<

x-4y+9=03317,17f

y=—

【小問(wèn)2詳解】

4飛+1+3=0

不妨設(shè)A（x。,%），則B（—2—％,4—%），貝入

3（-2-尤0）-5（4-刊）一5=。

解得*二;2,故直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)P（T,2）和點(diǎn)（一2,5）,匕=卷亮=一3，

故直線(xiàn)方程為y=-3（%+1）+2,即3x+y+l=0.

20.解：（1）因?yàn)橹本€(xiàn)A3的方程為2x-y-3=0,所以直線(xiàn)5c的斜率為—g,

直線(xiàn)BC的方程為y—3=—；（x+2），即x+2y—4=0,

令y=0,得x=4,所以直線(xiàn)3C在X軸上的截距為4.

設(shè)A（a,2a-3）,由|A5|=|BC|知點(diǎn)A到直線(xiàn)3c的距離等于點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離,

即|。+2（273）-4|=|-4一；3|,解得。=0或〃=4,

當(dāng)a=4時(shí)，即A（4,5），陽(yáng)0=―>0>不符合題意舍去，

當(dāng)。=0時(shí)，即4（0,一3）,左忙=二^=一3<0,符合題意，

所以直線(xiàn)AC的方程為y=-3x—3=>3x+y+3=0,

令y=0,得％=—1,所以直線(xiàn)AC在X軸上的截距為一1,

所以直線(xiàn)3C、AC在1軸上的截距之和為3.

（2）設(shè)直線(xiàn)/的方程為3x+y+n?=0,

由，可得8僅1卜則忸c|=J（2+2）2+（1_3）2=2行.

△ABC的面積為gx2逐x26=10,而△BDE的面積為g=：xl0,

所以點(diǎn)B到直線(xiàn)AC的距離是點(diǎn)B到直線(xiàn)I的距離的2倍，

即2xJ~—一=1~解得加=-2或m=—12.

因?yàn)橹本€(xiàn)I與邊AB,BC分別交于點(diǎn)D,E,所以租=一2,

即直線(xiàn)/的方程為3x+y—2=0,

所以所求三角形的周長(zhǎng)為2+|+U=*^.

21.解：（1）取SC中點(diǎn)/，連接EF,FD,

,亂尸分別為5仇5。的中點(diǎn)，，“'〃8。且石尸=，5。

2

底面四邊形A8CO是矩形，尸為棱AO的中點(diǎn)，

/.PD//BC且P￡）=,BC.EF//PD且EF=PD,故

2

四邊形莊也是平行四邊形，...尸石〃FD.

又?.紅）（=平面58,產(chǎn)￡且平面58,

.?.PE〃平面SCD

（2）假設(shè)在棱弘上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足題意，

在等邊△S4Q中，尸為AO的中點(diǎn)，所以SPLAD,

又平面SAD1平面ABCD,平面SAD平面ABCD=AD,SPu平面SAD,：.SP1平面ABCD,

以點(diǎn)P為原點(diǎn)，PAPS的方向分別為X,z軸的正方向，建立如因所示的空間直角坐標(biāo)系，則0（0,0,0）,

s,

A(1,O,O),B(1,1,O),S(O,0,5/3),

故PA=(1,0,0),PB=(1,1,0),AS=百).

設(shè)AM=AAS=(—2,0,7^)(0<A<1)，

PM=PA+AM=(l-/l,0,a).

設(shè)平面PBM的一個(gè)法向量為n,=(x,y,z),

n,-PM=(1—\/3/lz=0r-r-

則〈，取z=/i—1得％=，3/1,丁=一43幾，則勺=(6幾,一6幾/1_1).

7

n]PB=x+y=01

易知平面S4T>的一個(gè)法向量為%=(0,1,0),

%?%

cos<,n2>=醇o(jì)-%=|.

司"V722-2/1+1

故存在點(diǎn)M，位于棱AS上靠近點(diǎn)S的三等分點(diǎn)處滿(mǎn)足題意.

22.解法1：由題設(shè)知，A41,AB,AZ）兩兩垂直。以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A8,AD,AA所在直線(xiàn)分別為x軸，y

軸，z軸，建立如圖b所示的空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A（o,0,0）,4（3,0,6）,

D（0,6,0），A（0,3,6）,Q（6,m,0）,其中m=BQ,O<m<6

r9、-（9、一

（1）若尸是的中點(diǎn)，則P0,-,3,PQ=6,m--,3AB}=（3,0,6）,于是

\2JI27

做?所=18-18=0,所以福1而，即ABI1PQ；

（2）由題設(shè)知，。0=（6,1?-6,0）,?！?（0,-3,6）是平面尸00內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量.

設(shè)4=（x,y,z）是平面PQ。的一個(gè)法向然，則心少°一°,即[6x+（,〃-6力=0,取6,得

[n}-DD}=0[-3y+6z=0

n,=（6—m,6,3）.又平面AQO的一個(gè)法向量是%=（0,0,1）,所以

cos<n,,〃,>=舟1=,3=3,而二面角p_QD.A的余弦值為2,因此

同?同'（6-〃2）2+62+32J（6-療+457

?3_______.=3_____..解得加=4,或加=8（舍去），此時(shí)0（6,4,0）

7（6-W）2+62+32,（6—根）2+45

設(shè)DP=1Z）D；（O<2<1）,而DR=（0,—3,6）,由此得點(diǎn)P（0,6-32,62）,

所以因?yàn)镻Q〃平面ABBM，且平面AB4A的一個(gè)法向量是々=（0,1,0）,

所以PQ?%=0,即34-2=0,亦即2=2,從而P（0,4,4）,于是，將四面體ADPQ視為△AOQ為底

面的三菱錐P—ADQ,則其高〃=4,故四面體ADPQ的體積V=；SAAD2-〃=gxgx6x6x4=24.

解